Lenguajes Independientes del Contexto

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Lenguajes Independientes del
Contexto
Teoría del Autómata
AFD como generadores
Un AFD (o AFN) puede verse como un aceptador de cadenas o
como un generador de cadenas.
Acepta a(a*  b*)b
a
e
q2
a
q0
q4
q1
e
b
Como productor haciendo las
transiciones
q0- q1- q2- q2- q2- q5.
Genera: aaaab
q3
b
b
Las cadenas están formadas por a seguidas por otra parte.
Podemos representarlo como S  aE, lo que sigue pueden ser
cadenas de aes o bes, de E podemos ir a generar aes mediante
A y bes mediante B, es decir, E  A o E  B.
Las aes se producen con A  aA y las bes con B  bB,
eventualmente A y B producirán b, es decir A  b y B  b.
En suma:
S  aE
EA
EB
A  aA
B  bB
Ab
Bb
Las reglas anteriores pueden escribirse como se muestra:
S  aE
EA|B
A  aA | b
B  bB | b
Donde | significa “o”.
Una derivación es una es una serie de sustituciones de el
símbolo de la derecha de las producciones por las cadenas de la
izquierda hasta obtener una cadena de símbolos terminales.
Ejemplo
La siguiente es una derivación para la cadena aaab.
S  aE  aaA  aaaA  aaab
Gramáticas regulares
Una gramática es un cuarteto (N, S, S , P) donde:
N es un conjunto de símbolos llamados no terminales.
S es un conjunto finito y no vacío de símbolos terminales.
S  N es el símbolo inicial
P es una colección, de reglas de sustitución, llamadas
producciones, que son de la forma A  w, donde A  N y w es
una cadena sobre S  N que satisface lo siguiente:
1 w contiene un no terminal como mucho.
2 si w contiene un no terminal se encuentra al extremo
derecho de la cadena
Ejemplo
La siguiente es una gramática
S = {a, b}, N = {S, A}, S  bA, A  aaA | b | e
Genera cadena de la forma ba2nb o ba2n.
L(G) = b(aa)*(b)
Las producciones se pueden representar como pares
ordenados de N  S (N  e).
P = {(S, bA), (A, aaA), (A, b), (S, e)}
Ejercicios
Sea S  aS | bT y T  aa
Derivar abaa, aabaa, aaabaa.
Probar que deriva akba2, k >= 1.
S  aS  aaS  aaaS …  akS  akbT  akbaa
Obtener gramaticas para
a*b  a
a*b  b*a
(a*b  b*a)*
AFD a gramática regular
A partir de un AFD dado por M = (Q, S, s, F, d) definiendo la
gramática por G = (N, S, S, P) con
N=Q
S=S
S=s
P = {(q, ap)| d(q, ap) = p} {(q, e)| q  F}
a
a,b
b
q1
q2
a,b
q1  aq1 | bq2
q1  aq3 | bq3 | e
q1  aq3 | bq3
q3
Tarea
Obtener la expresión regular para la siguiente gramática regular.
S  bA | aB | e
A  abaS
B  babS
Gramática regular a AFD
Sea G una gramática regular, G = (N, S, S, P). Definimos M = (Q,
S, s, F, D) de la siguiente manera
Q=N{f}
s=S
F={f}
1. Si A  s1…snB es una producción, añada a Q los estados
q1,…, qn y las transformaciones siguientes
D(A, s1…sn) = D(q1, s2…sn) = D(qn–1, sn) = B
2. Si A  s1…snB es una producción, añada a Q los estados
q1,…, qn y las transiciones siguientes
D(A, s1…sn) = D(q1, s2…sn) = D(qn–1, sn) = f
Ejemplo
S  bA | aB | e
A  abaS
B  babS
a
b
s
q1
a
e
q4
b
q1
q5
a
q6
b
a
q2
b
q3
Ejercicios
Obtener AFNs para la siguientes gramáticas regulares.
S  aS | bB | b e
B  cC
C  aS
S  abA | B | baB | e
A  bS | b
B  aS
Gramáticas Libres del contexto
La siguiente es una gramática
S  aB | bA
A  a | aS | bAA
B  b | bS | aBB
No tiene las restricciones de una gramática regular.
Las producciones permiten más de un no terminal en el lado
derecho.
Definición
Una gramática libre del contexto (GIC) es un cuarteto (N, S, S ,
P) donde:
N es un conjunto de símbolos llamados no terminales.
S es un conjunto finito y no vacío de símbolos terminales.
S  N es el símbolo inicial
P es una colección, de reglas de sustitución, llamadas
producciones, que son de la forma A  w, donde A  N y w es
una cadena sobre (S  N)*. Es decir, las producciones pueden
tener cero, uno o más no terminales que aparezcan en cualquier
lugar del lado derecho.
El lenguaje generado es conocido por Lenguaje independiente
del contexto (LIC).
Ejemplo
Sea la gramática
S  aSb | e
Esta gramática genera el lenguaje (anbn | n>=0} que no es
regular.
Ejercicios
Sea la gramática
S  AA
A  AAA | a | bA | Ab
Obtener derivaciones para b2aba2ba.
Probar como puede obtenerse una derivación para
b m1 abm2 a...b m2 n abm2 n1
Para todo n > 0 y m1, m2,…, m2n+1 >= 0
Ejercicios
Obtener gramáticas independientes del contexto para los
siguientes lenguaje
(ambn | m >= n}
(w  {a, b}*| w tiene el doble de aes que de bes}
(ambn | n <= m <= 2n}
S  aSb | aaSb | e
(ambncpdq | m+n >= p+q}
S  aS | aSd | A | B | C
A  bA | bAc | e
B  aBc | aB | A | e
C  bCd | bC | A | e
Árboles de derivación
Considere la siguiente es una gramática
S  AB
A  aA | a
B  bB | b
La cadena aabbb se puede derivar mediante
S  AB  AbB  AbbB  Abbb  aAbbb  aabbb
S
El árbol de derivación es
B
A
a
A
a
B
b
b
B
b
La cadena aabbb se puede derivar también mediante las
siguientes derivaciones
S  AB  aAB  aaBBB  aabBB  aabbB  aabbb
S  AB  aAB  aAbB  aAbbB  aAbbb  aabbb
El árbol de derivación es el mismo que el anterior
Considere la siguiente es una gramática
S  SbS | ScS | a
Las siguientes derivaciones son para abaca
S  SbS  SbScS  SbSca  Sbaca abaca
S  ScS  SbScS  abScS  abacS  abaca
Los árboles de derivación se muestran a continuación
S  SbS  SbScS  SbSca  Sbaca abaca
S
S
S
b
S
a
S c
a
a
S  ScS  SbScS  abScS  abacS  abaca
S
S
S
a
c
S
S
a
b
a
Ejemplos
S → x | y | z | S + S | S – S | S *S | S/S | (S)
S  S + S  S + S*S  S + S*(S)  S + S*(S – S)
 x + S*(S – S)  x + y*(S – S)  x + y*(z – S)  x + y*(z –
y)
Dibujar el árbol de derivación, ¿es ambiguo?
Una gramática libre de contexto para un lenguaje consistente en
todas las cadenas que se pueden formar con las letras a y b,
habiendo un número diferente de una que de otra, sería:
S→U|V
U → TaU | TaT
V → TbV | TbT
T → aTbT | bTaT | ε
T genera todas las cadenas con la misma cantidad de letras a que
b, U genera todas las cadenas con más letras a, y V todas las
cadenas con más letras b.
Otro ejemplo para un lenguaje es {anbncm+n | n>=0 , m>=0}
puede ser generado por la siguiente gramática libre de contexto.
S → aSc | B
B → bBc | ε
Es ambiguo?
Simplificación de gramáticas
independientes del contexto
Sea G = (N, S, S, P) una gramática independiente del
contexto. Transformaremos G en G'= (N', S, S, P') de forma
que L(G') = L(G), y para todo A  N' se obtenga que A *
w para algún w  S*.
Algoritmo 1.
Eliminación de no terminales que no deriven cadenas terminales.
1. Iniciar N' con todos los no terminales de A para los que A  w,
es una producción de G, con w  S*.
2. Inicializar P' con todas las producciones A  w para las cuales
A  N y w  S*.
3. Repetir
Añadir a N ' todos los no terminales A para los cuales A  w, para
algún w  (N '  S*) que sea una producción de P y añadirla P '.
hasta que no puedan añadir más no terminales a N '.
Ejemplo
S  Aa | B | D
Bb
A  aA | bA | B
C  abc
C es una producción inútil
1er paso: N’ = {B, C}
2o paso: P = {B  b}
3er paso: N’ = {B, C, A, S}
Ejemplo
S  aAb | cEB | CE
A  dBE | eeC
B  ff | D
C  gFB | ae
Dh
Algoritmo 2.
Elimina aquellos terminales y no terminales que no aparezcan en
las cadenas que se deriven a partir de S.
Sea G = (N, S, S, P) una gramática independiente del contexto.
Transformaremos G en G '= (N', S, S, P ') de forma que
L(G ') = L(G),
y para todo X  N '  S', se tenga que
S  aXb
para las cadenas a y b de (N '  S')*.
Algoritmo 2. (cont.)
1. Inicializar N ' de forma que contenga el símbolo inicial S, e
inicializar P ' y S' a .
2. Repetir
Para A  N ', si A  w es una producción de P, entonces
1. Introducir A  w en P '.
2. Para todo no terminal B de w, introducir B en N '.
3. Para todo terminal s de w, introducir s en S'.
hasta que no se puedan añadir nuevas producciones
Algoritmo 3
Identifica el conjunto N, de todos los no terminales anulables
en una gramática independiente del contexto.
1. Inicializar N con todos los no terminales A para los cuales
existe una producción e, A  e.
2. Repetir
Si B w para algún w (N  S)* y todos los símbolos de w
están en N, añadir B a N.
hasta que no se añadan más no terminales a N.
Algoritmo 3 (cont.)
Una vez identificados los no terminales anulables, se
modifican las reglas de producción con el fin de eliminar la
producciones e.
Esto se realiza sustituyendo producciones de la forma B 
X1X2…Xn por las producciones que se formen al eliminar los
subconjuntos de Xi que son anulables.
Algoritmo 3 (cont.)
Se crea un nuevo conjunto de producciones P’ como sigue:
Si B  X1X2…Xn es una producción de P, entonces en P’
introduciremos todas las producciones de la forma B 
Y1Y2…Yn, donde las Yi satisfagan:
Yi = Xi si Xi no es anulable
Yi = Xi o e si Xi es anulable
Yi no es e para toda i (es decir, no se introduce en P’
ninguna producción de la forma
B  e)
En una gramática que contenga e, se pueden eliminar todas las
producciones e y después añadir la producción S  e.
Ejemplo
N = {B, C, D}
S  AB
S  AB | A
A  aA | abB | aCa
A  aA | abB | ab | aCa | aa
B  bA | BB | e
B  bA | BB | B
Ce
D  dB | d | BCB | BC | CB | BB
D  dB | BCB
B|C
Con 1: S  AB  abB  abbA  abbaA  abbaabB 
abbaab
Con 2: S  A  abB  abbA  abbaA  abbaab
Eliminación de producciones
unitarias
Producciones de la forma A  B se conocen como unitarias. Para
A  N se define
Unitario(A) = {B  N | A * B usando solamente producciones
unitarias}
Las producciones unitarias agregan pasos inútiles al proceso de
derivación de cadenas de terminales.
El siguiente algoritmo elimina todas las producciones unitarias de
una gramática G. Sea G = (N, S, S, P) se obtendrá G’, tal que G’ =
(N, S, S, P’) no contiene producciones unitarias como sigue:
Eliminación de producciones
unitarias (cont.)
1. Inicializar P’ de forma que contenga todos los elementos de P.
2. Para cada A  N, obtener el conjunto Unitario(A).
3. Para cada A para el cual Unitario(A)  {A}.
Para cada B  Unitario(A).
Para cada producción no unitaria B  w de P
Añadir A  w a P’
4. Eliminar todas las producciones unitarias que haya en P’.
S  A | Aa
Unitario(S) = {S, A, B, C, D}
AB
Unitario(A) = {A, B, C, D}
B C | b
Unitario(B) = {B, C, D}
C  D | ab
Unitario(C) = {C, D}
Db
Unitario(D) = {D}
Se introducen las producciones:
S  b | ab, A  b | ab, B  b | ab, C  b | ab
Se eliminan las unitarias y resulta:
S  b | ab | Aa
C  b | ab
A  b | ab
Db
B  b | ab
Forma normal de Chomsky
Una gramática independiente del contexto esta en forma
normal de Chomsky si no contiene producciones e y todas
las producciones son de la forma A  a para a  S, o de la
forma A  BC, donde B y C son no terminales.
Para transformar una gramática independiente del contexto a
la forma normal de Chomsky, primero se eliminan todas las
transformaciones e, los símbolos inútiles y las producciones
unitarias de G.
Si se tiene una producción de la forma A  w, con |w| > 1,
donde w = X1X2…Xn. Si Xi es un símbolo terminal s,
sustituimos Xi por un nuevo no terminal Cs y añadimos la
producción Cs  s. De esta forma A  w contendrá solo no
terminales.
Forma normal de Chomsky (cont.)
La producción tendrá la forma A  B1B2…Bn, esta se puede
reemplazar por las producciones
A  B1D1
D1  B2D2
…
Dn-2  Bn-1Bn
donde los Di son nuevo no terminales.
S  bA | aB
A  bAA | aS | a
B  aBB | bS | b
Después de la primera transformación:
Después de la segunda transformación:
S  CbA | CaB
S  CbA | CaB
A  CbAA | CaS | a
A  CbD1 | CaS | a
B  CaBB | CbS | b
D1  A A
Ca  a
B  CaD2 | CbS | b
Cb  b
Ca  a
Cb  b
D2  BB
Propiedades de los lenguajes
independientes del contexto
Se puede probar mediante inducción que, si se puede derivar
w y | w | >0, la derivación tiene 2 | w | etapas en una gramática
en forma normal de Chomsky.
En el nivel m del árbol de derivación hay, como máximo, 2m
nodos padre, por tanto, el camino más largo en un árbol de
derivación consta de m + 2 nodos, entonces 2m es la longitud
máxima de la cadena derivada.
Lema del bombeo para GIC
Sea L un LIC que no contiene e. Existe un entero k para el
cual, si z  L y | z | > k, entonces z se puede volver a
escribir como z = uvwxy con las propiedades siguientes:
1. | vwx |  k.
2. Al menos o v o x no es e.
3. uviwxiy  L para todo i  0.
Demostración. Sea G = (N, S, S, P) con L = L(G) y sea n el
número de no terminales de N y k = 2n. Supongamos z  L
con | z | > k.
Lema del bombeo para GIC (cont.)
El camino más largo de derivación debe contener n + 2 nodos,
n + 1 serán no terminales, por tanto, algún no terminal se
repite. Entonces
S * uAy * uvAxy * uvwxy = z
por tanto | vwx |  2n. Puesto que A * vAx, debemos tener A
* viAxi para algún i  0. Por tanto S * uviwxiy para
todo i  0. Como A * vAx, se debe tener que A  BC *
vAx * vwx. Entonces B * v y C * Ax o si no B * vA
y C * x. En el primer caso | v |  1 y en el segundo | x | 
1, con lo que o v o x no es e.
Ejemplo
Considerar el lenguaje L = {aibj | j = i2}.
Si z  L, z = akbk^2, por el lema del bombeo z = uvwxy.
Si v = arbs, vi = (arbs)i y por tanto no pertenece a L.
Igualmente si x = arbs. Las únicas posibilidades son
v = ar y x = as
v = br y x = bs
v = ar y x = bs.
En el primer caso tenemos: uv2wx2y = ak+r+sbk^2
En el segundo caso tenemos: uv2wx2y = akbk^2+r+s
En el tercer caso tenemos: uv2wx2y = ak+(i–1)rbk^2+(i–1)s
Los cuales no pertenecen a L.
Lema
Sea G = (N, S, S, P) una GIC que no tiene
producciones e y que está en forma normal de
Chomsky. Sea x una cadena de S*. Se puede
determinar, para cada A  N y para cada subcadena w
de x, si A * w.
Demostración. Sea n = | x | y sea wij la subcadena que
comienza en la posición i y tiene j caracteres.
Probaremos el lema con inducción sobre j.
Si j = 1, entonces A * w si y solo si existe la
producción A  wij esta en P, por tanto se puede
determinar lo enunciado en el lema.
Lema
Ahora supongamos que se cumple para cadenas de
longitud menor que j con j > 1. Observe que A  wij si
y solo si A  BC para algunos B y C, los cuales B *
wik y C * wk+1,j-k para k entre 1 y j - 1.
Entonces tanto wik como wk+1,j-k tiene longitud menor
que j y se puede determinar si B * wik y si C *
wk+1,j-k.
De lo anterior, si j = n entonces se puede determinar si
S * w1,j = w1,n = x. Es decir si x  L(G) para cada x
 S*.
Algoritmo CYK (Cocke, Younger y
Kasami)
Sirve para determinar si x  L(G).
1. Para cada i = 1, 2, …, n, sea
Ni1 = {A | A  wi1}
Es decir, Ni1 es el subconjunto de todos los no terminales que producen el
i-ésimo símbolo de x.
2. Para cada j = 2, 3, …, n, hacer lo siguiente:
Para cada i = 1, 2, …, n - j + 1, hacer lo siguiente:
a. Iniciar Nij = 
b. Para cada k = 1, 2, …, j - 1, añadir a Nij todos los no
terminales A para los cuales A  BC, con B  Nik y C  Ni+k,j-k.
3. Si S  N1n, entonces x  L(G).
Ejemplo de CYK
Sea la gramática
Para la cadena bbab se genera la
siguiente tabla
S  AB | BC
j = 2, i = 1..3 y k = 1, Nij Ni+k,j–k = N12
N21, N22 N31, N32 N41,
A  BA | a
B  CC | b
C  AB | a
j = 3, i = 1..2 y k = 1..2 Nij Ni+k,j–k =
N13 N22, N13 N31, N23 N32, N23 N41,
Para la cadena bbab se
genera la siguiente tabla
j = 4, i = 1 y k = 1..3 Nij Ni+k,j–k = N14
N23, N14 N32, N14 N41,
b
j=1
b
j=2
a
j=3
j=4
b
j=1
j=2
B
B
A,C
B
B
A, S
S, C
j=3 j=4
A
S,C
S, C
Demostrar que bba, bab, babba pertenecen al lenguaje anterior
Algunos teoremas
Teorema. Si L1 y L2 son lenguajes independientes del
contexto, entonces L1  L2 es un lenguaje independiente del
contexto.
Teorema. Si L es un lenguaje independiente del contexto,
entonces L* es un lenguaje independiente del contexto.
Teorema. La concatenación de lenguajes independientes del
contexto es independiente del contexto.
Los lenguajes independientes del contexto no son cerrados
respecto a la intersección ni el complemento.

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