Презентации

Report
Министерство образования и науки Российской федерации
Государственная корпорация «Российская корпорация нанотехнологий»
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Презентации
к курсу лекций дисциплины
«Когерентная и нелинейная оптика». Код М.1.В.03
Направление подготовки 200400.68 «Оптотехника»
Профиль подготовки
Волоконные лазеры и волоконно-оптические системы
Заказчик: Государственная корпорация «Российская корпорация нанотехнологий»
(ГК «Роснано»)
Москва – 2013 г.
1
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
 D
rot H =j
 t
 B
rot E +
=0
t
1 D
rot H = 4 πj
с t
1 B
rot E +
=0
с t
1
2
div D = 
div D = 4
3
div B = 0
div B = 0
4
j = E,
j = E,
I
D=0E,
D=E,
II
B = 0H
B = H
III
D  0E  P,
D  E  4P,
B  0 H  M
B  H  4M,
2
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
с учетом условия, что div rot =0 div j = -div D/t,
воспользовавшись уравнением 3
 ρ
+ div j = 0
 t
граничные условия
n12(B2 - B1)=0,
нормальная компонента вектора магнитной индукции непрерывна на поверхности
раздела двух сред.
n12(D2 - D1)=
нормальная компонента вектора электрического смещения испытывает скачок на
границе раздела двух сред, пропорциональный поверхностной плотности заряда ,
n12(E2 - E1)=0
тангенциальная компонента электрического вектора непрерывна на границе раздела
двух сред,
n12(H2 - H1) = j
тангенциальная компонента магнитного вектора испытывает скачок на границе
раздела двух сред, пропорциональный плотности поверхностного тока j.
3
Волновое уравнение и скорость света
Продифференцируем по времени третье из материальных уравнений и подставим результат во второе УМ
B =0 H  B/t = 0H/t
rot E + 0 H/t = 0  (1/0) rot E + H/t = 0
Возьмем rot от обеих частей
rot (
1
rot E) + rot  H /  t = 0
 0
(*)
Далее, продифференцируем первое уравнение из УМ по времени и второе из материальных уравнений дважды по времени
rot H/t - 2D/t2 = j/t
2D/t2 = 02E/t2
и подставим их в уравнение (*)
rot (
1
rot E) +  0  2 E /  t 2 +  j /  t = 0
 0
Считаем, что токов нет (j = 0), и пользуемся правилом взятия оператора rot от произведения скалярной и векторной функции rot uv =
urot v + (grad u)v, а также правилом взятия операции rot rot = grad div - , в результате чего получаем уравнение вида
E-(00)2E/t2+[grad (ln0 )]rot E - grad div E = 0.
(**)
Далее, используя третье уравнение из УМ и тождество div uv = udiv v + vgrad u получаем, что 0 div E + E grad 0 = 0.
Подставляя это уравнение в (**), получаем уравнение для Е
E - (/c2)2E/ t2 + [grad (ln 0)]rot E + grad [E grad (ln0)] = 0
Уравнение упрощается, если среда однородна и производные от  и  равны нулю, и принимает вид волнового уравнени
Е -
(/с2)2E/t2
=0
Аналогичное уравнение может быть получено и для вектора напряженности магнитного поля H.
с
1
 0 0
4
Волновое уравнение и скорость света
Появление подобного уравнения в теории электромагнитного поля подтверждает гипотезу Максвелла о наличии электромагнитных
волн, распространяющихся в среде со скоростью
v =
c

.
Для прозрачных веществ  обычно больше 1, а 1, и скорость света в веществе v меньше скорости света в вакууме. Величина
носит название показателя преломления среды.
Первое экспериментальное подтверждение – опыты Герца
5
Скалярное волновое уравнение
Каждая декартова компонента V векторов поля удовлетворяет однородному волновому уравнению вида
.
2
2
2
2
 V-
1  V
=0
v t
Простейшим решением данного уравнения является плоская волна.
Пусть r(x,y,z) - радиус-вектор точки P, а s(sx,sy,sz) - единичный вектор с фиксированным направлением. Тогда, любое решение вида
V(rs,t) представляет собой плоскую волну, так как в каждый момент времени эта функция постоянна в плоскостях rs = const,
перпендикулярных к единичному вектору s.
Для того, чтобы сделать анализ более наглядным, перейдем к новой переменной  = rs, которая отсчитывается по оси, перпендикулярной
плоскости rs = const. Тогда производные по координатам приобретают вид
а само уравнение становится весьма простым
 2V
ΔV

так как
ς 2

 
 

=sz
=sy
=sx
z
ς y
ς x
ς
 2V
1  2V
=0
ς 2
v 2 t 2
а сумма квадратов компонент вектора s равна единице.
Если произвести замену и обозначить  - vt = p и  + vt = q, то вышеприведенное уравнение еще более упростится и
примет вид
.
 2V
=0
pq
Общим решением этого уравнения служит функция
V = V1(p) + V2(q) = V1(rs - vt) + V2(rs + vt),
где V1, V2 - произвольные функции.
Видно, что V1 представляет собой возмущение, движущееся со скоростью v против направления оси , а V2 - такое же возмущение, но
движущееся в противоположном направлении. То есть решение уравнения представляет собой суперпозицию плоских волн,
движущихся в противоположных направлениях.
6
Скалярное волновое уравнение
Аналогичная ситуация складывается и в том случае, когда решение ищется с учетом сферической симметрии, то есть ищутся решения в
виде сферических волн
V = V(r,t), где r = (x2 + y2 + z2)1/2.
Переход к сферическим координатам при дифференцировании преобразует волновое уравнение к виду
2
1 2
(rV)

(rV) = 0
r 2
v 2 t 2
Решение этого уравнения также имеет вид суммы двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях
V=
V1 (r - vt) V2 (r + vt)
+
r
r
первая - расходящаяся от начала координат, а вторая - сходящаяся.
7
Гармонические волны
Гармонические волны и их комплексная запись.
Рассмотрим оптическое поле, зависящее от времени по гармоническому закону. Если это плоская волна, распространяющаяся вдоль
некоторого единичного вектора s, то она может быть представлена выражением вида
V(r,t)=acos((t-rs/v)+)
Подобная волна распространяется в среде со скоростью v и круговой частотой . Поверхности постоянной фазы в данный момент
времени носят название волновых фронтов.
Расчеты, связанные с гармоническими волнами, значительно упрощаются, если перейти от тригонометрических функций к
экспоненциальным. То есть записать волновое поле в виде
V(r,t)=Re{U(r)exp[-jt]}
где
U( r ) = a( r )exp[jg( r )]
Последняя функция носит название комплексной амплитуды, а Re обозначает действительную часть. Функция фазы g( r ) в частном
случае плоской волны имеет вид
g(r) = (rs/v) -  = kr - .
Если подставить такую функцию поля в волновое уравнение,
то последнее преобразуется к виду
U+k2U=0
волновой вектор (по модулю) k = 2/ = n/c = /v
частота = / 2=1/T
фаза t+
угловая частота  = 2  = 2 /T
волновое число k = 1/0 = v/c
длина пути l= (v /)= ( / 2)= ( 0/ 2)
Это уравнение носит название уравнения Гельмгольца
Ограничения, возникающие при использовании комплексного представления световых полей. связаны с тем, что в реальном мире
могут существовать
только действительные функции. Поэтому он должен описываться гармоническими полями в
тригонометрическом представлении либо действительными частями комплексных функций.
Однако, в том случае, когда операции, проводимые над полями, линейны, можно забыть о различии между комплексной функцией и
ее действительной частью и проводить все вычисления с функциями в комплексном виде, переходя к действительным их частям
8
только в самом конце преобразований.
Гармонические волны
две монохроматические компоненты, имеющие одинаковую амплитуду и распространяющиеся вдоль оси z
V(z,t)=aexp(-j(t-kz))+ aexp(-j((+)t-(k+k)z)
Уравнение можно преобразовать к более наглядному виду
1
1
1
j( t  zk )]  exp[  j( t  zk )]} exp j( ω t  kz)  2a cos[ ( t  zk )] exp[  j(  t  kz)]
2
2
2
k  k  (1/ 2)δk
-средняя частота и среднее волновое число соответственно.
V(z, t )  a{exp[
где
ω  ω  (1/ 2)δω,
Можно считать, что данное выражение описывает плоскую волну с частотой
и волновым вектором ,
распространяющуюся вдоль оси z. Причем амплитуда этой волны меняется во времени и пространстве от нуля до величины 2a, что
вызывает хорошо известное явление биений.
Из формулы вытекает, что плоскости постоянной амплитуды распространяются со скоростью
δω
v (g) 
δk ,
которая носит название групповой скорости, а плоскости постоянной фазы распространяются со скоростью
ω
v (p) 
,
k
носящей название фазовой скорости.
В недиспергирующей среде, то есть в такой среде, где нет зависимости показателя преломления n от частоты ,
фазовая и групповая скорости равны между собой и могут быть определены как c/n. Однако, если в среде присутствует дисперсия, то
эти скорости различны, а если среда является еще и анизотропной, то «направления» этих скоростей не совпадают.
9
Векторные волны
Каждая из компонент поля зависит от пространственных и временных переменных только через их комбинацию u  rs -vt , т.е.
E  E(rs  vt)
H  H(rs  vt)
где s – как и раньше, единичный вектор в направлении распространения волны.
Получим выражения для производных по времени (обозначаются точкой) и по координатам (обозначаются штрихом) при
такой комбинации переменных:
  vE',
E
(rotE) x 
E z E y

 Ezs y  Eys z  (s  E) x
y
z
Подставляем теперь производные в этом виде в уравнения Максвелла и, воспользовавшись материальными уравнениями, получим
s  H    0 vE   0,
s  E   0 vH   0.
Считая постоянную интегрирования равной нулю, то есть пренебрегая постоянным полем, и, считая, что
получаем
E
H
v/c  1/ εμ,
μ 0μ
(s  H),
ε 0ε
ε 0ε
(s  E).
μ 0μ
Умножаем скалярно полученные уравнения на вектор s и получаем условие поперечности электромагнитной волны
Es  Hs  0
которое показывает, что электрический и магнитный вектор лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.
10
Поляризация волны
Рассмотрим случай гармонической плоской волны. Для нее каждая из декартовых компонент полей меняется гармонически
a cos(τ  δ)
где  обозначает переменную часть фазового множителя и имеет вид
rs
τ  ω(t  )  ωt  kr
v
Пусть распространение волны идет вдоль оси z. Тогда, вследствие поперечности электромагнитной волны, у нее будут только x и y
компоненты. (Вектор s направлен вдоль оси z).
Рассмотрим кривую, которую описывает конец вектора E в произвольной точке пространства. Эта кривая является
геометрическим местом точек, координаты которых равны
E x  a1 cos(τ  δ1),
E y  a 2 cos(τ  δ 2).
Преобразуем эти уравнения
Ex
 cos τ cosδ1  sin τ sin δ1,
a1
Ey
a2
 cos τ cosδ 2  sin τ sin δ 2.
следовательно,
Ey
Ex
sin δ 2 
sin δ1  cos τ sin (δ 2  δ1),
a1
a2
Ey
Ex
cosδ 2 
cosδ1  sin τ sin (δ 2  δ1).
a1
a2
11
Поляризация волны
Возводим уравнения в квадрат и складываем
(
где
Ey
ExEy
Ex 2
)  ( )2  2
cosδ  ( sin δ) 2
a1
a2
a1a 2
δ  δ 2  δ1
Это уравнение носит названия канонического сечения. Геометрическое место точек концов вектора
напряженности электрического (магнитного) поля в общем случае представляет собой эллипс, который
вписан в прямоугольник со сторонами 2a1 и 2a2. В этом случае говорят, что волна эллиптически
поляризована.
В частном случае эллипс канонического сечения может выродиться либо в прямую линию, либо в
окружность. В этих случаях говорят о линейной или круговой поляризации. (Отметим также, что в
зависимости от направления вращения по окружности, круговая поляризация может быть правой и левой).
a2+b2=a12+a22,
+ab= a1a2sin
0 <  < - угол большей оси
-/4 <</4 - угол эллиптичности
0 <  </2 – вспомогательный угол
a1/a2=tg
+b/a=tg
tg2 =(tg2)cos
sin2=(sin2) sin
12
Поляризация волны
Правая поляризация sin>0 и 0<</4, мнимая часть Еу/Е положительна
Левая поляризация sin<0 и 0>>-/4, мнимая часть Еу/Е отрицательна
Примеры для случая a1=a2

0


5
2
3

7
2
Вид
поляризации

3 2
Вид
поляризации
13
Описание поляризации. Сфера Пуанкаре
s0= a2+b2=a12+a22 , (пропорционален
интенсивности)
s1= a12-a22,
s2= 2a1a2cos
s3= 2a1a2sin
s 0 2 = s1 2 + s2 2 + s3 2
Правая круговая – «северный
полюс», левая круговая – «южный»
s1=s0cos2cos2
s2=s0cos2sin2
s3=s0sin2
s2=s1tg2
14
Вектор Джонса
 a exp j1 
J 1

a 2 exp j 2 
JJ  1 RL  0
*
*
R
1
( x  jy )
2
L
1
( x  jy )
2
x
1
( R  L)
2
1
y
( R  L)
2
Состояние поляризации
1
Вектор Джонса
1
x 
0 
2
0 
y 
1
3
cos
 sin  


4
R
1 1
 
2  j
1 1

2  j
5
L
6
 cos 
 j sin 


7
 j sin 
 cos 


8
cos cos  j sin  sin 
15
sin  cos  j cos
 sin 

Отражение и преломление
Пусть sr и st единичные векторы в направлении распространения отраженной и преломленной волн, приравнивая аргументы трех
волновых функций в точке r(x,y,z) на границе раздела, получим
xsi x  ysi y xsr x  ysr y xst x  yst y


v1
v1
v2
,
где v1,v2 – скорости волны в первой и второй средах.
Выбрав границей раздела двух сред плоскость z=0, находим, что предыдущее выражение преобразуется к виду
.
rsi
rsr
rst
t
t
t
v1
v1
v2
Это равенство должно выполняться в произвольной точке границы, то есть для всех x и y, поэтому
si x s r x s t x si y s r y s t y


;


.
v1 v1 v 2 v1 v1 v 2
(*)
Соотношение (*) показывает, что направляющие векторы отраженной и преломленной волн sr и st лежат в одной плоскости,
определяемой направляющим вектором падающей волны si и нормалью к границе раздела двух сред и называемой плоскостью
падения.
16
Отражение и преломление
17
Отражение и преломление
Считаем xz плоскостью падения и вводим углы i, r и t, тогда
s iz  cosi ,
s ix  sin i ,
s iy  0,
s rz  cosr ,
s rx  sin  r ,
s ry  0,
s zt  cos t .
s tx  sin  t ,
s ty  0,
Если волна распространяется из первой среды во вторую, то компонента вектора s вдоль оси z положительна, если наоборот, то
отрицательна, то есть
siz  cosi  0, srz  cosr  0, szt  cost  0.
Подставляя в выражение (*), получим
sin i v1 n 2

 .
sin  t v 2 n1
sin i sin r sin t


v1
v1
v2
Данное соотношение, вместе с условием, что все волновые векторы лежат в одной плоскости, составляет закон преломления –
произведение показателя преломления первой среды на синус угла падения равно произведению показателя преломления
второй среды на синус угла преломления.
Если выполняется условие, что n2n1, то мы говорим, что оптическая плотность второй среды больше чем первой. В этом
случае
n
sin t  1 sin i  sin i
n2
и для каждого угла падения существует вещественный угол преломления t. Но, если вторая среда оптически менее плотная, чем первая,
то вещественное значение угла t можно получить только для таких i, для которых выполняется условие
n1
sin i  1.
n2
Это условие определяет эффект полного внутреннего отражения, а угол ему соответствующий носит название угла полного
внутреннего отражения. При переходе через этот угол во второй среде исчезает преломленная волна, и коэффициент отражения18
границы
раздела двух сред становится равным единице ( по модулю).
Формулы Френеля
Остановимся теперь на соотношении аамплитуд падающего, отраженного и прошедшего через границу раздела двух сред
света. Предположим, что обе среды прозрачные, однородные и изотропные (то есть поглощения и рассеяния нет, 1=2=1).
Вернемся к рис.2.5 и проанализируем векторные соотношения для комплексных амплитуд рассматриваемых волн. Пусть А
– комплексная амплитуда электрического вектора падающей волны. Переменная часть фазы электрического вектора записывается в
следующем виде
rsi
x sin θi  z cosθi
τi  ω(t  )  ω(t 
)
v1
v1
Разложим вектор Е на две компоненты – параллельную и перпендикулярную плоскости падения (А и А):
E ix  A II cosθ i exp(  jτ i ),
E iy  A  exp(  jτ i ),
E iz  A|| sin θ i exp(  jτ i ).
Можно получить соответствующие компоненты магнитного вектора Н
H ix   A  cosθ i ε 0 ε1/μ 0 exp(  jτ i ),
H iy   A|| ε 0 ε1/μ 0 exp(  jτ i ),
H  ε 0ε/μ0 [s  E]
H iz  A  sin θ i ε 0 ε1/μ 0 exp(  jτ i ).
Если обозначить комплексные амплитуды отраженной и преломленных волн соответственно R,T, то можно аналогичным образом
получить формулы по для их компонент. При этом надо только учесть, что преломленная волна распространяется уже во второй среде, и
в формулах для ее компонент полей будут стоять уже 2 и v2.
В качестве примера приведены выражения для компонент магнитного вектора преломленной волны
H tx  T cosθ t ε 0 ε 2 /μ 0 exp(  jτ t ),
H ty  T|| ε 0 ε 2 /μ 0 exp(  jτ t ),
H zt  T sin θ t ε 0 ε 2 /μ 0 exp(  jτ t ).
19
Формулы Френеля
В соответствии с граничными условиями для векторов поля, необходимо чтобы тангенциальные составляющие векторов Е и Н были
непрерывны на границе раздела двух сред
E yi  E yr  E yt ,
E xi  E xr  E xt ,
H yi  H yr  H yt .
H xi  H xr  H xt ,
Для нормальных компонент векторов граничные условия будут выполняться автоматически, так как нет зарядов и токов.
cos r  cos(  i )   cos i ,
Используя тот факт, что
получим
cos i ( A||  R|| )  cos tT|| ,
A  R  T ,
1 cos i ( A  R )   2 cos tT ,
1 ( A||  R|| )   2 T|| .
Система уравнений делится пополам, причем каждая из половинок зависит только от параллельных или перпендикулярных компонент
полевых векторов, что говорит о независимости волн этих двух типов.
Решая систему и используя равенство n   , получим формулы, связывающие компоненты комплексных амплитуд участвующих в
процессе отражения волн. Эти формулы и носят название формул Френеля:
T|| 
2n1 cosθ i
A ||,
n 2 cosθ i  n1 cosθ t
T 
2n1 cosθ i
A ,
n1 cosθ i  n 2 cosθ i
R || 
n 2 cosθ i  n1 cosθ t
A ||,
n 2 cosθ i  n1 cosθ t
R 
n1 cosθ i  n 2 cosθ t
A.
n1 cosθ i  n 2 cosθ t
20
Формулы Френеля
Если рассматривать обычное отражение (без полного внутреннего отражения), величины углов действительны и
тригонометрические функции, стоящие в правых частях уравнений также действительны. Поэтому фаза компонент отраженной и
преломленной волн либо совпадает с фазой падающей волны, либо отличается от нее на .
Так как знаки параллельной и перпендикулярной составляющих преломленной волны совпадают со знаками таких же компонент
падающей волны, то их фазы совпадают. Другая ситуация складывается с фазами компонент отраженной волны. Либо третье,
либо четвертое уравнение системы уравнений Френеля, но не одновременно, имеют знак минус по отношению к компонентам
падающей волны. Это означает, что фаза одной из компонент отраженной волны всегда отличается на  по отношению к
соответствующей компоненте падающей волны.
Возвращаясь к вопросу о полном внутреннем отражении можно показать, что при подстановке формулы (2.31) для
соответствующих углов в формулы Френеля мы получим
| R|| || A|| |,
| R || A |,
а амплитуды компонент преломленной волны равны нулю. Энергия в общем случае не проникает во вторую среду, а течет
вдоль границы раздела двух сред в плоскости падения.
Следует отметить еще один важный момент относительно комплексных амплитуд, связанный с фазами
отраженных волн за границей полного внутреннего отражения. Можно показать , что фазы отраженных компонент волны
меняются экспоненциально относительно компонент падающей волны
R
 exp( j  ),
A
R ||
A ||
 exp( j || ),
а величины  и || могут быть определены исходя из следующих формул, которые легко выводятся из формул Френеля и
условий полного внутреннего отражения
tg
 ||
2

sin 2  i  n 2
n 2 cos  i
,
sin 2  i  n 2
tg

.
2
cos  i

21
Формулы Френеля. Угол Брюстера
Кроме угла полного внутреннего отражения существует и еще один критический угол при отражении, который
связан с изменением поляризации отраженного света – это угол Брюстера. Он соответствует случаю, когда
отраженный и преломленный лучи перпендикулярны друг другу. При этом выполняется условие
tg i 
n2
.
n1
Если свет падает под этим углом, то электрический вектор отраженной волны не имеет составляющей в
плоскости падения, то есть отраженный свет линейно поляризован. Это явление широко используется в
технике, в частности, изготовление торцов активных элементов лазеров под углом Брюстера позволяет получать
в них линейно поляризованное излучение.
Объяснение этого эффекта отностительно простое, и связано с характером возбуждения колебаний в
среде под действием падающего излучения. Падающая во вторую среду электромагнитная волна возбуждает
колебания электронов в атомах в ней в направлении изменения электрического вектора, то есть
перпендикулярно направлению падения. Колеблющиеся относительно тяжелого ядра атома электроны
формируют излучающие диполи, которые, как известно, излучают в направлении, перпендикулярном оси
диполя. То есть в направлении колебаний диполя поток энергии отсутствует. Поэтому в отраженном луче
энергия колебаний в плоскости падения равна нулю, если отраженный и прошедший лучи перпендикулярны
друг другу.
22
Формулы Френеля. Отражательная и пропускательная способности
Введём отражательную и пропускательную
способности границы двух сред следующим
образом:
R
R2
A2
T
n 2 cost T 2
n1 cosi A 2
R T 1
Пусть I угол между вектором Е и плоскостью
падения
A   A sin i
A||  A cosi
R|| cos2 i  R sin 2 i  R
T|| cos2 i  T sin 2 i  T
T||  R||  T  R  1
Для нормального падения
 n 1 
R

 n 1
2
 4n 
T 

 n 1
lim R  0
2
n1
limT  1
n1
Для естественного света направление колебаний
хаотическим образом быстро меняется, можно
ввести отражптельную способность и степень
поляризации
Зависимость отражательной
способности от угла падения
падения а) R б) R|| в) R
для стекла с n=1,52
1
(R||  R )  R
2
П
R||  R
R||  R
23
Поляризация и намагничение
Связь между полем и средой описывалась материальными уравнениями
D  ε 0E  P,
B  μ 0 H  M,
где P – вектор электрической поляризации, а M – вектор намагничения. Суть этих векторов определяется тем, что поведение электронов
в среде, колеблющихся относительно неподвижного, тяжелого ядра под действием прикладываемого электромагнитного поля, схоже с
поведением электрических и магнитных диполей. Векторные суммы электрических и магнитных дипольных моментов единицы объема
среды определяют дипольные моменты единицы объема, которые с точностью до коэффициента равны векторам электрической
поляризации и намагничения.
В приближении слабых полей (малых по сравнению с внутриатомными) можно предположить линейную зависимость
поляризации и намагничения от напряженности электрического и магнитного поля
P=0E, M=0H.
Величины  и  носят название диэлектрической и магнитной восприимчивости. Ситуации, когда линейность не соответствует реально
наблюдаемым явлениям рассматриваются в нелинейной оптике.
Объединение формул позволяет найти связь между проницаемостями и восприимчивостями
=1+, =1+.
24
Формула Лорентц-Лоренца
Будем различать эффективные поля, действующие на молекулу E/, H/ и поля E, H, полученные усреднением по области. Нам необходимо
найти разность E/-E, H/-H. Для этого построим модель взаимодействия молекулы с полем и соседями.
Предположим, что молекула окружена небольшой сферой, но большой по сравнению с размерами молекулы. Определим воздействие на
данную молекулу вещества внутри сферы и снаружи ее. Из-за нашего выбора размера сферы мы можем считать, что вне ее вещество
непрерывно, а значит и поляризация P,создаваемая средним полем, постоянна. Внутри сферы вещество не воздействует на молекулу, так
как воздействия с разных сторон (сфера большая относительно размеров молекул и межмолекулярных расстояний) уравновешивают
друг друга. Для случая хаотического расположения молекул это доказывается относительно просто. Таким образом, можно считать, что
молекула находится в вакууме внутри сферы, снаружи которой - равномерно поляризованная среда. На границе сферы поляризация
меняется от величины Р до нуля, а это означает, что на этой границе должны быть свободные заряды. Потенциал такой конфигурации
обозначим .
Введем компенсирующий потенциал  , создаваемый однородно поляризованной сферой, находящейся в вакууме. Сложение двух этих
конфигураций дает среду без границ с однородной поляризацией, а значит и потенциал, созданный границей, равен нулю
    0.
Для конфигурации с однородно заряженной сферой можно доказать, что
1
  P  grad / dV /
R
Штрих означает координаты интегрирования. Зная, что
R  ( x  x) 2  ( y  y ) 2  ( z  z ) 2
мы можем брать градиент по нештрихованным координатам, одновременно взяв интеграл со знаком минус
dV 
  Pgrad 
Pgrad  0   ,
R
где  0 - потенциал однородно заряженной сферы с плотностью заряда, равной 1. Следовательно, он должен удовлетворять уравнению
Пуассона
2  0  1  0 .
25
Формула Лорентц-Лоренца
В явном виде производные от потенциала  запишутся следующим образом
0
0
0
 20
 20
 20
 


[P

P

P
]

P

P

P
.
x
y
z
x
y
z
(Р=const.)
x x
x
y
z
x 2
xy
xz
Из условия симметрии в центре поля имеем
 20  20  20
 20  20  20


 0,


.
xy xz yz
x 2
y 2
z 2
Используя уравнение Пуассона находим, что каждый член последнего равенства равен 4/3, тогда следует, что вклад поляризации в
1
эффективное поле равен
 
P
3 0
Эффективное поле, действующее на молекулу, представляет собой сумму среднего поля и добавки, связанной с поляризацией среды
E  E 
1
P.
3 0
(*)
Теперь, определив эффективное поле, действующее на молекулы среды, выведем формулу Лорентц-Лоренца. Для этого рассмотрим
отдельную молекулу в поле. Эффективное поле вызывает перераспределение заряда в молекуле таким образом, что образуется диполь,
характеризуемый дипольным моментом р= E  где  - носит название средней поляризуемости. Полный дипольный момент единицы
объема будет складываться из дипольных моментов составляющих его частиц (N)
P  Np  NE
.
(**)
Пользуясь формулами (*) и (**) можно получить связь между макроскопическими и микроскопическими параметрами
Nα
(***)
1
ε 0  Nα
3
Подставим (***) в формулу для связи проницаемости и восприимчивости получим аналогичное выражение для 
2
.
1
Nα
3ε 0
ε
1
1
Nα
3ε 0
Обратив эту формулу с заменой диэлектрической проницаемости на квадрат показателя преломления, получим формулу ЛорентцЛоренца
3ε ε  1 3ε n 2  1
η
P=0E, .
α
0
N ε2

0
N n2  2
.
Формула связывает феноменологическое рассмотрение с атомной структурой вещества.
26
N определяет плотность вещества, получается
зависимость показателя преломления от плотности. В частности для веществ
с
2


n

1
,
показателем преломления близким к 1
Элементарная теория дисперсии
Экспериментальные факты однозначно утверждают, что существует зависимость оптических характеристик среды от частоты
электромагнитного поля, то есть существует дисперсия. Наиболее ярким и известным проявлением дисперсии является разложение
света в спектр в призме. Для того, чтобы объяснить подобное явление необходимо предположить, что отклик среды на падающее поле
частотнозависим и рассмотреть сам процесс взаимодействия поля с частицами среды.
F  e(E  [ v, B]),
На движущийся в поле заряд действует сила Лоренца
v c , можно считать, что движение электрона
где e – заряд электрона, а v – его скорость. Однако, вследствие того, что
осуществляется только под действием электрической компоненты поля, то есть внешняя сила равна F=eE/.
С другой стороны, на электрон действует электростатическая сила притяжения положительно заряженного ядра, то есть
можно представить, что электрон в атоме представляет собой пружинный маятник с жесткостью q, совершающий вынужденные
колебания. Уравнение подобных колебаний известно, и имеет вид
mr  qr  eE
(*)
Искать решение этого уравнения мы будем в виде
r  r0 exp( jt ),
поскольку действующее электромагнитное поле с частотой  имеет гармонический характер и может быть представлено в виде
E  E0 exp( jt ).
Подставляя выражения для векторов поля и величины смещения электрона относительно ядра в уравнение (*), получаем стационарное
его решение в виде
eE
r
,
m( 02   2 )
где
называется резонансной частотой.
ω0 
q
,
m
27
Элементарная теория дисперсии
Дипольный момент каждого атома в простейшем случае составляет величину
дипольному моменту единицы объема
e2
E
P  Np  Ner  N
,
2
m (ω0  ω2)
p  er , а вектор поляризации, соответствующий
где N – число атомов в единице объема. С другой стороны, 2 P  NE, поэтому
e
Nα  N
,
m(ω02  ω2)
что говорит о частотной зависимости плотности поляризуемости и о наличии дисперсии в среде.
Подставим формулу Лорентц-Лоренца в (*) и получим зависимость показателя преломления от частоты
(*)
n 2 1
1
Ne2

,
n 2  2 3ε 0 m(ω02  ω2)
которая, для показателей преломления близких к единице, имеет вид
n2  1
Ne2
.
ε 0 m(ω02  ω2)
Зависимость показателя преломления от частоты, имеет характерный резонансный вид. Показатель преломления растет с
увеличением частоты, что соответствует нормальной дисперсии.
Уравнение гармонического осциллятора, совершающего вынужденные колебания, с учетом потерь энергии выглядит следующим
образом
mr  gr  qr  eE.
Стационарное решение этого уравнения подобно ранее полученному, но величина r становится комплексной
eE
r
2
m(ω0  ω2)  jg
Теперь необходимо рассматривать по отдельности действительную и мнимую части показателя преломления, который,
естественно, тоже стал комплексным. Появился участок кривой, где показатель преломления уменьшается с ростом частоты. Этот
участок зависимости носит название аномальной дисперсии. На этом участке порядок цветов должен смениться на обратный. Такие
области действительно существуют, но не в видимой области спектра, а в ультрафиолетовой, где лежат резонансные частоты
поглощения атомов.
28 вид.
Мнимая часть восприимчивости определяет поглощение в среде и имеет характерный для формы линий поглощения
Элементарная теория дисперсии
29
Геометрическая оптика
Электромагнитные колебания, соответствующие видимой области спектра, происходят с частотами порядка (4,9 - 7,9) 1014
Гц, что соответствует длинам волн в диапазоне от 0,38 до 0,78 мкм. Поэтому при решении волнового уравнения можно в
некотором приближении предположить, что
0

0
Раздел оптики, в котором пренебрегают конечностью длин волн, носит название геометрической оптики. В данном
приближении явления, характеризующие волновую природу света (интерференция, дифракция, поляризация), не
рассматриваются, а описание распространения света происходит с помощью луча.
Волновое уравнение Гельмгольца для непоглощающей среды с показателем преломления n имеет вид
2Eo  n 2k 02E0  0
где
k 0  ω/c
- волновое число для вакуума.
Применяя формулу логарифмического дифференцирования, имеем
E 0

 E0
ln E 0
x
x
и
 2E0

2
2

E
(
ln
E
)

E
ln E 0.
0
0
0
x 2
x
x 2
Аналогичные выражения получаются для производных по у и z. Тогда
1 2
 E 0   2 (ln E 0 )  [ grad(ln E 0 )]2 .
E0
Скалярное волновое уравнение примет при этом вид
2( ln E0)  [grad(ln E0)]2  n 2k 02  0
30
Геометрическая оптика
E0(r)  e exp(jk0 n(sr))
Однородная плоская волна, е – комплексная константа
E0(r)  e(r)exp(jk0 r)
Излучение монохроматического диполя, е – переменная
По аналогии с решением волнового уравнения в виде плоской однородной волны, распространяющейся в среде с показателем
преломления n, сконструируем решение в следующем виде.
E0(r)  e(r) exp(jk0(r))
Уравнение преобразуется тогда следующим образом
2( ln e)  [grad(ln e)]2  k 02[grad(r)]2  ik0[2grad( ln e)grad((r)) 2(r)] n 2k 02  0
Приравнивая нулю вещественные и мнимые части, получим
2( ln e)  [grad(ln e)]2  k 02grad2(r)  n 2k 02  0
ik 0[2(r)  2grad( ln e)grad(r)]  0
В приближении коротких длин волн первыми двумя членами в уравнении для вещественной части можно пренебречь. Окончательно
получим
[grad(r)]2  n 2
31
Геометрическая оптика
[grad(r)]2  n 2
Функция (r) называется функцией эйконала, а выражение – уравнением эйконала.
Уравнение эйконала представляет собой основное уравнение геометрической оптики, а его вывод определяет
ограничения по использованию этой модели. Они связаны с двумя упрощениями – при выводе уравнения эйконала
предполагалось, что малы первые два слагаемых в исходном длинном выражении по сравнению с последними слагаемым, т.е.
не рассматриваются области, в которых велики производные от напряженности поля. Примером такой области, где
геометрическая оптика дает неправильные результаты, является фокальная плоскость линзы, в которой поле концентрируется в
точку, и его производная бесконечно велика. Второе упрощение вытекает из условий вывода волнового уравнения из уравнений
Максвелла, когда были отброшены члены с производными от диэлектрической и магнитной проницаемостей. В этом случае не
рассматриваются области, где происходят резкие изменения характеристик среды, например, край линзы или экрана, где нельзя
не учитывать дифракционные явления.
Поверхности (r) = const называются геометрическими волновыми поверхностями или геометрическими волновыми
фронтами. Световые лучи можно определить как траектории, ортогональные к волновым фронтам.
32
Геометрическая оптика
Электромагнитные колебания, соответствующие видимой области спектра, происходят с частотами порядка (4,9 - 7,9) 1014
Гц, что соответствует длинам волн в диапазоне от 0,38 до 0,78 мкм. Поэтому при решении волнового уравнения можно в
некотором приближении предположить, что
0

0
Раздел оптики, в котором пренебрегают конечностью длин волн, носит название геометрической оптики. В данном
приближении явления, характеризующие волновую природу света (интерференция, дифракция, поляризация), не
рассматриваются, а описание распространения света происходит с помощью луча.
Волновое уравнение Гельмгольца для непоглощающей среды с показателем преломления n имеет вид
2Eo  n 2k 02E0  0
где
k 0  ω/c
- волновое число для вакуума.
Применяя формулу логарифмического дифференцирования, имеем
E 0

 E0
ln E 0
x
x
и
 2E0

2
2

E
(
ln
E
)

E
ln E 0.
0
0
0
x 2
x
x 2
Аналогичные выражения получаются для производных по у и z. Тогда
1 2
 E 0   2 (ln E 0 )  [ grad(ln E 0 )]2 .
E0
Скалярное волновое уравнение примет при этом вид
2( ln E0)  [grad(ln E0)]2  n 2k 02  0
33
Геометрическая оптика
E0(r)  e exp(jk0 n(sr))
Однородная плоская волна, е – комплексная константа
E0(r)  e(r)exp(jk0 r)
Излучение монохроматического диполя, е – переменная
По аналогии с решением волнового уравнения в виде плоской однородной волны, распространяющейся в среде с показателем
преломления n, сконструируем решение в следующем виде.
E0(r)  e(r) exp(jk0(r))
Уравнение преобразуется тогда следующим образом
2( ln e)  [grad(ln e)]2  k 02[grad(r)]2  ik0[2grad( ln e)grad((r)) 2(r)] n 2k 02  0
Приравнивая нулю вещественные и мнимые части, получим
2( ln e)  [grad(ln e)]2  k 02grad2(r)  n 2k 02  0
ik 0[2(r)  2grad( ln e)grad(r)]  0
В приближении коротких длин волн первыми двумя членами в уравнении для вещественной части можно пренебречь. Окончательно
получим
[grad(r)]2  n 2
34
Геометрическая оптика
[grad(r)]2  n 2
Функция (r) называется функцией эйконала, а выражение – уравнением эйконала.
Уравнение эйконала представляет собой основное уравнение геометрической оптики, а его вывод определяет
ограничения по использованию этой модели. Они связаны с двумя упрощениями – при выводе уравнения эйконала
предполагалось, что малы первые два слагаемых в исходном длинном выражении по сравнению с последними слагаемым, т.е.
не рассматриваются области, в которых велики производные от напряженности поля. Примером такой области, где
геометрическая оптика дает неправильные результаты, является фокальная плоскость линзы, в которой поле концентрируется в
точку, и его производная бесконечно велика. Второе упрощение вытекает из условий вывода волнового уравнения из уравнений
Максвелла, когда были отброшены члены с производными от диэлектрической и магнитной проницаемостей. В этом случае не
рассматриваются области, где происходят резкие изменения характеристик среды, например, край линзы или экрана, где нельзя
не учитывать дифракционные явления.
Поверхности (r) = const называются геометрическими волновыми поверхностями или геометрическими волновыми
фронтами. Световые лучи можно определить как траектории, ортогональные к волновым фронтам.
35
Геометрическая оптика
Возьмем произвольную точку Р, расположенную на луче, и пусть r(s) радиус- вектор этой точки, а s - длина
луча, отсчитываемая от этой точки. Пусть
dr ds  s - единичный вектор, направленный по касательной к
траектории луча. Уравнение эйконала можно преобразовать к виду
.
n
dr
 grad 
ds
Интеграл
 nds вдоль кривой называется оптической длиной пути. Обозначим оптическую длину
пути между точками Р1 и Р2 как P1P2  , тогда
P2
P1 P2    nds
.
Учитывая, что
 (P2 )  (P1 )
P1
nds  cdt
, получим
P2
P1 P2   c  dt
P1
,
т.е. оптическая длина пути равна произведению скорости света с в вакууме на время распространения света от точки
Р1 до Р2.
36
Геометрическая оптика
Дифференциальное уравнение световых лучей. Преобразуем уравнение луча к виду, не содержащему
функцию эйконала.
d
dr
d
dr
1
1
(n )  (grad ) 
 (  )  grad   (  ) 
grad (grad ) 2 
ds ds
ds
ds
n
2n
1

gradn 2  gradn .
2n
Окончательно имеем
d
dr
( n )  gradn
ds ds
Уравнение представляет собой векторную форму дифференциального уравнения для световых
лучей. Если свет распространяется в однородной среде, то n=const формула приобретает вид
d 2r dx2  0
тогда ,
r  sa  b
где a,b - постоянные векторы. Отсюда следует, что в однородной среде световые лучи являются прямыми
линиями.и
37
Геометрическая оптика
Интегральный инвариант Лагранжа. Предположим, что показатель преломления является непрерывной функцией координат.
Тогда из теоремы Стокса следует
 ns  dr  0
.
Полученное соотношение называется интегральным инвариантом Лагранжа. Его можно интерпретировать следующим образом.
Выберем две произвольные точки поля Р1 и Р2. Интеграл
P2
 nsdr
P1
не зависит от пути интегрирования.
Это является справедливым и при пересечении контуром границы раздела двух сред с разными показателями
преломления. Разобьем контур интегрирования С на две части С1 и С2, расположенные соответственно в первой и второй средах и
замыкающиеся линиями К, идущими параллельно границе раздела.
 n1s1dr   n 2s 2dr   (n 2s 2  n1s1 )dr  0
C1
C2
K
(применяя инвариант к обоим контурам и складывая выражения)
.
Из закона преломления ,
n 2s 2  n1s1  0
поэтому интеграл вдоль К также равен 0. Отсюда
.
 n1s1dr   n 2s2dr   nsdr  0
C1
C2
38
Геометрическая оптика
Принцип Ферма. Согласно принципу Ферма оптическая длина пути реального луча между любыми двумя точками Р1 и Р2 короче
оптической длины пути вдоль любой другой кривой, соединяющей эти точки и лежащей в некоторой регулярной окрестности луча. Под
регулярной окрестностью подразумевается область, через каждую точку которой проходит один и только один луч.
Для доказательства принципа Ферма рассмотрим пучок лучей и сравним оптические длины отрезка Р1Р2 луча С и
произвольной кривой К, соединяющей эти точки.
Рассмотрим два волновых фронта, которые пересекают луч С в точках С1 и С2, а кривую К в точках К1и К2. Применяя
интегральное соотношение Лагранжа для треугольника К1К2К2’ , получим
.
(ns  dr)
 (ns  dr)
 (ns  dr)
0
K1K2
K2 K2
K1K2
Поскольку вектор s перпендикулярен к dr на волновом фронте, то
(ns  dr) K2 K2  0 , (ns  dr) K1K2  (ns  dr) K1K2
.
Из определения скалярного произведения следует
(ns . dr) K1K2  (nds) K1K2
С другой стороны, так как точки К1,К’2 и С1,С2 лежат на пересечении лучей с волновыми фронтами , то
(ns  dr) K1K2  (nds) K1K2  (nds) C1C2
Откуда получим
(nds)C1C2  (nds) K1K2
или
 nds   nds
C
K
.
Знак равенства можно ставить только в том случае, если направление s и dr совпадают
в каждой точке кривой, а это возможно только, если кривая К является реальным лучом.
Однако, мы предположили, что через каждую точку проходит единственный луч,
следовательно, оптическая длина пути луча меньше оптической длины пути
вдоль произвольной кривой.
39
Геометрическая оптика
Теорема Малюса. Преломление на любой поверхности вызывает искривление лучей, однако, оптическая разность хода между
волновыми поверхностями остается неизменной.
Докажем эту теорему для случая единичного преломления. Предположим, что лучи преломляются на поверхности Т,
разделяющей среду с показателями преломления n1 и n2. Пусть S1 - один из волновых фронтов в пространстве предметов, А1 и Р – точки
пересечения произвольного луча в пространстве предметов соответственно с волновым фронтом и поверхностью преломления, а А2 –
произвольная точка на преломленном луче. Переместим точку А1 в точку В1 на том же волновом фронте, тогда точка Р на поверхности
преломления переместится в точку Q. На преломленном в точке Q луче выберем такую точку В2, чтобы
[ A1 PA2 ]  [ B1QB2 ]
Если перемещать точку В1 вдоль поверхности S1, то точка В2 будет перемещаться вдоль некоторой поверхности S2. Докажем, что
преломленный луч перпендикулярен этой поверхности.
Применим интегральный инвариант Лагранжа к контуру A PA B QB A
1
2
2
1 1
 nds   ns  dr   nds   ns  dr  0
A1PA2
A2 B2
Из равенства путей [ A1PA2 ]  [ B1QB2 ] следует, что
B2QB1
B1 A1
 nds   nds  0
A1PA2
B2QB1
Так как на волновом фронте векторы s и dr и перпендикулярны, то
 ns  dr  0
Следовательно
B1 A1
 ns  dr  0
A2 B 2
но это возможно только в том случае, если на всей поверхности s и dr
перпендикулярны, т.е. поверхность является волновым фронтом.
Оптическая длина пути между двумя
волновыми фронтами одинакова для всех лучей.
40
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
Правило знаков
В приближении геометрической оптики можно считать, что энергия распространяется вдоль световых лучей, а оптические
законы можно сформулировать на языке геометрии. Прежде чем приступить к изложению законов геометрической оптики, остановимся
на принятом правиле знаков.
Правило знаков для отрезков. Отрезки, отсчитываемые вдоль оптической оси, считаются положительными, если они лежат
правее выбранной точки отсчета, и отрицательными, если они лежат левее. Поясним это правило на примере одиночной преломляющей
сферической поверхности радиуса r. Для отрезков S и S’, отсчитываемых вдоль оптической оси, за точку отсчета принимается вершина
преломляющей поверхности О. Для отрезков t и t’ вдоль лучей, составляющих с оптической осью некоторый угол, за начало отсчета
принимается точка пересечения луча с преломляющей поверхностью (точка М). Отрезки, перпендикулярные оптической оси считаются,
положительными, если они расположены над оптической осью (отрезок h), и отрицательными, если они расположены под осью.
Правило знаков для углов. Для углов, которые луч образует с оптической осью, за начало отсчета выбирается ось системы, а для
углов падения и преломления - нормаль к преломляющей поверхности. Углы считаются положительными, если для совмещения
выбранной линии отсчета с лучом ее нужно вращать по часовой стрелке и отрицательными при вращении против часовой стрелки.
41
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
Теория идеальной оптической системы
Предположим, что на оптическую систему падает гомоцентрический пучок лучей. (Пучок называется гомоцентрическим, если
его лучи имеют одну точку пересечения). Если, пройдя оптическую систему, пучок остался гомоцентрическим, то такое
изображение называется стигматическим. Точки пересечения лучей гомоцентрического пучка называются соответственно точечным
предметом и изображением и являются сопряженными относительно оптической системы. Плоскости, перпендикулярные
оптической оси и содержащие сопряженные точки, называются сопряженными плоскостями.
Идеальной называется оптическая система, для которой выполняются следующие условия :
1.
1. Гомоцентрический пучок, пройдя оптическую систему, остается гомоцентрическим, т.е. любой точке пространства предметов
соответствует единственная точка пространства изображений.
2.
2. Изображение подобно предмету. Для этого отношение размера изображения к размеру предмета, лежащего в плоскости,
перпендикулярной оптической оси, должно быть постоянно. Это отношение называется линейным или поперечным увеличением
оптической системы и является постоянным для пары сопряженных плоскостей.
.
 0
y  x
  const
y
x
42
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
Кардинальные элементы идеальной оптической системы. Рассмотрим идеальную оптическую систему. На рис. изображены
только первая и последняя преломляющие поверхности такой системы. Предположим, что некоторый луч ВМ, параллельный оптической
оси, падает на систему на высоте h. Пройдя оптическую систему, сопряженный луч либо останется также параллельным оптической
оси, либо пересечет ее в некоторой точке F’. Продолжим луч ВМ до пересечения его с лучом М’F’ и через полученную точку
пересечения N’ проведем плоскость перпендикулярную оптической оси. Точку пересечения этой плоскости с оптической осью
обозначим через H’. Рассмотрим луч, AO1 идущий вдоль оптической оси. Этот луч пройдет систему, не преломляясь. Значит, точка F’,
лежащая на пересечении лучей M’F’ и OkF’ через точку пересечения N’, должна быть сопряжена с некоторой точкой, лежащей на
пересечении лучей. Точка, являющаяся изображением бесконечно удаленной точки, лежащей на оси в пространстве предметов,
называется задним фокусом оптической системы. Плоскость Q’, содержащая эту точку и перпендикулярная оптической оси, называется
задней фокальной плоскостью. Точка H’ носит название задней главной точки, а плоскость в которой она лежит - задней главной
плоскости.
Проделаем аналогичные построения, направляя луч, параллельный оптической оси справа налево на той же высоте h. Повторяя
все рассуждения, получим передний фокус системы F , переднюю фокальную плоскость Q, переднюю главную точку H и переднюю
главную плоскость NH. Фокусы, фокальные плоскости, главные точки и главные плоскости называются кардинальными
элементами идеальной оптической системы.
Можно показать, что главные плоскости сопряжены друг с другом. Так как высоты, на которых лежат точки N и N’, равны
друг другу, то линейное увеличение в главных плоскостях равно единице. Таким образом, главными плоскостями оптической системы
называется пара сопряженных плоскостей, для которых линейное увеличение равно единице.
43
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
Расстояние от вершины последней преломляющей поверхности до заднего фокуса называется задним фокальным отрезком, а расстояние
от вершины первой преломляющей поверхности до переднего фокуса - передним фокальным отрезком. Задний фокус системы
сопряжен с бесконечно удаленной точкой, лежащей на оси пространства предметов. Следовательно, задняя фокальная плоскость
сопряжена с бесконечно удаленной плоскостью пространства предметов. Отсюда следует, что пучок параллельных лучей,
образующих в пространстве предметов некоторый угол с оптической осью, соберется в точке, лежащей в задней фокальной
плоскости. Аналогичные рассуждения позволяют сделать вывод, что пучок параллельных лучей, идущих под некоторым углом в
пространстве изображений, выходит из одной точки в передней фокальной плоскости.
Так как линейное увеличение в главных плоскостях равно единице, то можно совместить главные плоскости в одну и
рассматривать идеальную оптическую систему как бесконечно тонкую, разделяющую среды с показателем преломления n и n’. В этом
случае углы  H и  H  можно рассматривать как углы падения и преломления, причем при малых углах закон преломления можно
записать в виде ntg H  ntg H  . Из рис. имеем  ftg H  f tg H  . Отсюда получаем
 f f   n n
В том случае, когда оптическая система находится в однородной среде, например, в воздухе
(n  n)
 f  f
т.е. переднее и заднее фокусные расстояния равны по абсолютной величине.
44
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
Основные формулы для сопряженных точек и отрезков. Выберем в качестве предмета отрезок АВ, перпендикулярный оптической
оси, и построим его изображение, даваемое идеальной оптической системой (рис.). Для этого в пространстве предметов проведем луч
параллельно оптической оси. В пространстве изображений этот луч пересечет оптическую ось в заднем фокусе. Второй луч пройдет
через передний фокус системы, а в пространстве изображений пойдет параллельно оптической оси. Пересечение этих лучей даст точку
В’, являющуюся изображением точки В. Существует несколько соотношений, связывающих между собой положение предмета с
положением изображения через параметры оптической системы, которые различаются способом задания положения предмета и
изображения. Зададим сначала положение сопряженных точек А и А’ относительно фокусов системы. Это положение определяется
соответственно отрезками –z и z’ и определяется уравнением Ньютона
zz   ff 
Положение точек А и А’ может быть также задано относительно главных плоскостей отрезками –а и а’ и определяется уравнением
Гаусса
f  a  f a  1
Задать положение точек А и А’ можно в неявном виде через координаты вспомогательного луча. Проведем луч АМ, составляющий угол
с оптической осью  
. Сопряженный луч М’A’ пойдет под углом . Для них
f
h
tg    tg 
f
f
Формулы связывают между собой координаты предмета с координатами изображения через параметры оптической
системы. Для системы в воздухе эти формулы примут вид
zz    f  2 ;
1 a  1 a  1 f ;
tg   tg  h f 
В этих уравнениях не принимаются во внимание размеры
предмета и изображения. Для учета величины предмета
и изображения используется система
 fytg  f y tg 
nytg  ny tg 
Уравнение носит название
инварианта Лагранжа – Гельмгольца
и является критерием идеальности системы.
Оно показывает, что для получения идеального
изображения произведение показателя преломления н
а величину предмета и на тангенс угла наклона луча
с оптической осью должно оставаться постоянным при
переходе от пространства предметов к пространству изображения.
45
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
Линейное увеличение. Линейным увеличением называется отношение величины изображения предмета, перпендикулярного
оптической оси, к величине самого предмета. Линейное увеличение не зависит от величины предмета и является постоянным для
сопряженных плоскостей
y
f
z
.
0     
y
z
f
В частном случае, когда предмет находится на двойном фокусном расстоянии от системы, изображение равно по величине
предмету, перевернуто и находится также на двойном фокусном расстоянии.
Легко показать, что
a a  z  f  f  z . Отсюда
f a
0  
f a
Для системы в воздухе  0  a a
На практике часто требуется решить обратную задачу. Если заданы фокусные расстояния системы и требуется получить заданное
увеличение, то можно определить положение предмета и изображения. Решая совместно уравнение Гаусса для системы в воздухе и
уравнение для линейного увеличения в воздухе, получим
(1   0)
a
f
0
a  
L 0
;
1 0
Если в условиях предыдущей задачи неизвестно также фокусное расстояние, то задача имеет бесконечное число решений. В этом
случае необходимо наложить дополнительные условия, например, задать габаритный размер L  a  a 
Тогда
.
L 0
L
f
a  (1   0 ) f 
a
;
(1   0 ) 2
1 
0
46
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
Угловое увеличение и узловые точки. Угловым увеличением идеальной оптической системы называется отношение тангенса угла
наклона луча к оптической оси в пространстве изображений к тангенсу сопряженного луча в пространстве предметов
tg  a
f
z


  
0
.
tg a  z  f 
Угловое увеличение не зависит от угла наклона лучей и является постоянным для данной пары сопряженных плоскостей.
Определим положение сопряженных плоскостей, для которых угловое увеличение равно единице.
Если 0  1 , то z   f и z  f  .
Данная пара сопряженных плоскостей называется узловыми плоскостями, а точки пересечения их с оптической осью – узловыми
точками.
Рис. иллюстрирует нахождение узловых точек N и N’ оптической системы , при этом .  N   N 
Узловые точки и узловые плоскости также входят в понятие кардинальных элементов идеальной оптической системы.
Связь между угловым и линейным увеличениями оптической системы
f 1
0  
f  0
Для системы в воздухе  0  1  0 . Формула показывает, что для главных плоскостей в общем случае угловое увеличение не равно
единице,  0 H   f f 
. И только в случае однородной среды, в частности для системы в воздухе,  0 H  1 . В этом случае узловые
и главные плоскости совпадают.
47
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
Продольное увеличение. Предположим, что бесконечно малому предмету , расположенному вдоль оптической оси, соответствует
изображение , также расположенное вдоль оптической оси. Продольным увеличением оптической системы называется отношение
величины изображения бесконечно малого отрезка, расположенного вдоль оптической оси, к величине этого отрезка (рис.).
0 
dz 
dz
.
zdz   z dz  0
Дифференцируя формулу Ньютона по z и z’, получим
.
dz 
z
0 

dz
z
на
Связь между продольным и линейным увеличениями ( умножим числитель и знаменатель в предыдущем выражении
ff  . Учитывая, что z  f   f z   0 , получим
0  
f 2
0
f
.
2
Для однородной среды  0   0 . Из формулы следует, что предметы, имеющие протяженность вдоль оптической оси, даже идеальной
оптической системой будут отображаться с искажениями, так как продольное увеличение пропорционально квадрату поперечного
увеличения.
Перемножая формулы связи
углового и линейного и
продольного и линейного увеличения,
связь между увеличениями идеальной оптической системы
.
 0 0   0
48
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
Оптическая система из к тонких компонентов.
Сложную оптическую системы можно представить, как состоящую из
нескольких простых систем – компонентов. При этом встает задача нахождения эквивалентной оптической системы, т.е. определение
кардинальных элементов системы, которая строила бы изображение также, как и совокупность простых.
Рассмотрим сложную оптическую систему, состоящую из к тонких компонентов.
Для определения положения и
размера изображения рассмотрим ход луча, идущего из осевой точки предмета под произвольным углом . Применим последовательно
для каждого компонента формулу
f
h

f
h
tg



tg




tg    tg 
, получим
f 
f
f
f
Для определения размера изображения воспользуемся связью между линейным и угловым увеличениями системы
.
f 1
f tg1
y k   0 y1  
y1  
y1
f 0
f  tg k
Для расчета эквивалентной оптической системы рассчитывается ход луча, параллельного оптической оси. Определяя, последовательно
высоты падения и углы преломления луча для каждого компонента, находим
aF   hk tg k
ak  hk tg k
aH   aF   f 
где и - расстояния от главной плоскости последнего компонента до заднего фокуса и задней главной плоскости эквивалентной
оптической системы.
Для определения величин aF aH f необходимо рассчитать ход луча, идущего справа налево параллельно оптической оси. На практике для
подобного расчета оптическую систему поворачивают на 180 градусов и продолжают считать, что луч распространяется слева направо.
49
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
В качестве примера рассмотрим оптическую систему, состоящую из двух компонентов (рис.). В этом случае имеем
h
d
f
h
tg1  0
tg1  1  tg 2 h2  h1  dtg 2  h1 (1  )
tg 2   2 tg 2  2
f1
f1
f 2
f 2
Оптической силой компонента называется величина   n f 
Тогда
 d1   2 h1
n
h
h
d1
h

tg 2  2 tg 2 2 2  1 1  h1 1 
 (1  2 d1 2 )
tg 2  1 Ф1
h2  h1 (1 
)
n3
n3
n3
n
n
n3
n2
n2
2 
3

Учитывая, что оптическая сила эквивалентной оптической системы   n3 f   n3tg 3 h1
  1   2 
d1 2
n2
Расстояние от второго компонента до заднего фокуса эквивалентной системы и до задней главной плоскости будут
соответственно равны
a F  
h2
d1
 f (1 
)
tg 2
n2
aH   aF   f 
Положения фокуса и главных плоскостей
f1 f1

f1 ( f1  f 2 )
zH  zF  f 

z F  a F  f1 
Увеличение:
 0   f z   z f 
0  
f1 f 2
z    f 2 f 2
 2
z1  f1 f1
f1 f 2
50
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
Преломление и отражение лучей сферическими поверхностями.
Уравнение действительного луча в меридиональной плоскости.
n n n  n n(r  s) sin   sin   sin    sin  
 

[
]
s s
r
rs
sin    sin  
Меридиональной называется любая плоскость, содержащая
оптическую ось системы. (Плоскость, перпендикулярная
меридиональной и содержащая падающий на систему луч,
называется сагиттальной). В дальнейшем в качестве меридиональной
плоскости будем выбирать плоскость чертежа. Из уравнения следует,
что при заданном положении предмета (координата s) положение
изображения (координата s’) зависит от угла наклона луча
к оптической оси. Это значит, что гомоцентрический пучок,
выходящий из осевой точки предмета, пройдя через сферическую
преломляющую поверхность, потеряет свою гомоцентричность.
В этом случае вместо точечного изображения в плоскости наблюдения
получим кружок рассеяния (рис.3.17).
Параксиальная область. Анализ выражения показывает, что для
Получения идеального изображения сферической преломляющей
поверхностью необходимо устранить зависимость координаты
s от углов σ и ε. Выполнить это можно только устремив их к нулю.
Тогда
n n n  n
 
s s
r.
Лучи, образующие бесконечно малые углы с оптической осью
и углы с нормалью называются параксиальными лучами, а область
в которой они распространяются, - параксиальной областью.
Уравнение называется уравнением параксиального луча
в меридиональной области.
Перепишем
1 1
1 1
Qs  n(  )  n (  )
r s
r s
Такое уравнение называется параксиальным инвариантом Аббе.
51
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
Первый и второй параксиальные лучи. При расчете реальной оптической системы использование формул параксиальной оптики
затруднительно из-за бесконечно малых углов и высот. В этом случае для расчета используется метод вспомогательных параксиальных
лучей.
Рассмотрим сферическую преломляющую поверхность радиуса r, разделяющую среды с разным показателем преломления . Возьмем на
ее оси две пары сопряженных точек (рис.). Для А и А’ инвариант Аббе
n n n  n
 
s s
r
а для точек Р и Р’
n n. n  n


s p s p
r
В параксиальной области главные плоскости преломляющей
поверхности совпадают друг с другом и являются касательными
к преломляющей поверхности в ее вершине. Продолжим главные
плоскости до конечных размеров и будем считать их фиктивными
главными плоскостями преломляющей поверхности.
На главной плоскости возьмем точку М лежащую на высоте h ,
и соединим ее с точками А и А’. Аналогично точку К, лежащую
на высоте –H, соединим с точками Р и Р’. Линии АМА’ и РКР’
называются, соответственно, первым и вторым вспомогательными
параксиальными лучами. Свойства этих лучей следующие:
1). Это лучи фиктивные, так как они преломляются на фиктивных главных плоскостях и в природе существовать не могут.
2). Углы, образуемые лучами с оптической осью , а также высоты h и H являются конечными величинами, как и для действительных
лучей.
3). Отрезки (s, s, s p sp ) , отсекаемые этими лучами вдоль оптической оси подчиняются формулам параксиальной оптики.
Расчет хода вспомогательных лучей через оптическую системы позволяет определить кардинальные элементы системы, а также
положение и размер изображения. Для 1-ого луча
n   n  h(n  n) 
где =1/r. Для второго луча
n   n  H (n  n) 
52
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
Линзы конечной толщины и бесконечно тонкие линзы.
Фокусные расстояния преломляющей поверхности.
Для
определения
фокусных
преломляющей поверхностииспользуется ход параксиальных лучей параллельных оптической оси (рис.).
Из уравнения параксиального луча
в меридиональной области для преломляющей поверхности
nr
n n  n
f 
 
n  n
f
r
n r
n n  n
f

n  n
f
r
расстояний
сферической
при этом оптическая сила преломляющей поверхности равна .

n n n  n


f
f
r
Кардинальные элементы толстой линзы. Представим толстую линзу как сложную оптическую систему, состоящую
из двух компонентов - двух преломляющий поверхностей, находящихся на расстоянии d друг от друга. Тогда для определения
кардинальных элементов можно воспользоваться формулами для системы из нескольких компонентов. Определив из фокусные
расстояния каждой преломляющей поверхности, для величины оптического интервала получим
R
  ( f1  f 2  d ) 
(n2  n1 )(n3  n2 )
n n rr
n n rr
f  1 212
f 2 3 1 2
Где
Для фокусных расстояний
R  n2 r2 (n2  n1 )  n2 r1 (n3  n2 )  d (n2  n1 )(n3  n2 )
R
R
В итоге для линзы в воздухе
s H    f 
d (n  1)
nr1
sH   f 
d (n  1)
nr2
s F   f [1 
d (n  1)
]
nr1
s F   f [1 
d (n  1)
]
nr2
 f  f
nr1r 2
(n  1)[n(r2  r1 )  d (n53
 1)]
Геометрическая оптика
Геометрическая теория изображения
Бесконечно тонкие линзы. Если толщина линзы намного
меньше радиусов кривизны преломляющих поверхностей ,
то такая линза называется бесконечно тонкой. Формулы в
этом случае имеют вид
 f  f
sF  f
r1r2
(n  1)(r 2 r1 )
sF   f 
s H  s H   0
54
Геометрическая оптика
Матричная оптика
Элементы матричной алгебры находят широкое применение при решении задач геометрической оптики. Известно, что если имеется
система алгебраических линейных уравнений то ее можно представить в матричном виде
Применение матричных методов в оптике становится возможным, так как связь между координатами предмета и изображения в
пределах параксиальной оптики описывается линейными уравнениями, коэффициенты которых однозначно определяются свойствами
оптической системы.
 x2  Ax1  By1
 x2   A B   x1 

 y   C D   y 
 y 2  Cx1  Dy1
  1
 2 
Матрицы преобразования лучей.
В матричной оптике, как и в геометрической оптике, существует правило, определяющее выбор знака угла. Поскольку
матричная и геометрическая оптики развивались независимо, то правило это диаметрально противоположно, принятому в
геометрической оптике, а именно: угол считается положительным, если он соответствует вращению против часовой стрелки от
положительного направления оси z к направлению, в котором свет распространяется вдоль луча. Будем в дальнейшем придерживаться
этого правила знаков для углов, а для отрезков – правила знаков, принятого в геометрической оптике.
Часто в качестве второй координаты используется величина V  n , которая носит название «направляющий косинус».
Эту величину удобно использовать, поскольку в параксиальной области
значит,
направляющий косинус остается постоянным
n , nаsin

при прохождении границы раздела двух сред. Тогда
,
 y 2   A B   y1 


V  C D V 
  1
 2 
где коэффициенты матрицы определяются только параметрами системы.
Выбор в качестве второй координаты направляющего
косинуса удобен еще и тем, что в этом случае матрицы,
описывающие как отдельные оптические элементы, так и
систему в целом, будут унимодулярными, т.е. их
определители будут равны единице. Это свойство удобно
использовать для проверки правильности составления матриц
в случае сложных оптических систем.
Так как распространение луча через оптическую систему
сводится, в основном, к двум процессам: преломлению на преломляющей поверхности (отражение можно рассматривать как частный
случай преломления) и распространение по прямой между этими поверхностями , то остановимся более подробно на этих двух
55
процессах.
Геометрическая оптика
Матричная оптика
Матрица перемещения Т. Пусть луч распространяется слева направо в среде с показателем преломления n и проходит путь d между
двумя опорными плоскостями. Углы, под которыми луч пересекает опорные плоскости, одинаковы. Одинаковы и направляющие
косинусы V2=V1. Высоты падения на опорные плоскости связаны уравнением .
y2  y1  dtg1
Учитывая, что в параксиальной области
tg  
Таким образом, матрица перемещения имеет вид
, имеем V2  (n1  n2 ) y1 r.1  V1
y2  y1  d1  y1  d nV1
1 d n 
T

0 1 
Матрица преломления . Обозначение матрицы преломления буквой происходит от английского слова “refraction” преломление. Предположим, что луч падает на сферическую преломляющую поверхность с радиусом кривизны r, разделяющую среды с
показателем преломления и (рис.3.25). Проведем первую опорную плоскость через вершину этой поверхности, а вторую – через точку
пересечения луча с поверхностью.
Так как луч распространяется в параксиальной области, то координаты пересечения луча с опорными плоскостями практически равны
друг другу, т.е. y2  y1
Из закона преломления в параксиальном приближении .n1 1  n2 2
Из рис. следует
1    1 ,  2     2
  y1 r
Тогда закон преломления запишется в виде
n ( y r   ) n ( y . r   )
1
1
1
2
2
2
Переходя к направляющим косинусам, получим V2  (n1  .n2 ) y1 r1  V1
Отсюда, матрица преломления имеет вид
0
 1

R   n1  n2
1
 r

.
Коэффициент С этой матрицы представляет собой оптическую
силу преломляющей поверхности, взятую с обратным знаком.
56
Геометрическая оптика
Матричная оптика
Матрица сложной оптической системы.
Предположим, что имеется некоторая оптическая система, состоящая из
нескольких преломляющих поверхностей, причем известны матрицы каждой преломляющей поверхности в отдельности и матрицы
перемещения между поверхностями (рис).
Обозначим матрицу перемещения между первой и второй опорными плоскостями через M1, а матрицу преломления
первой поверхности – через M2 и т.д. Тогда
 y2 
 y1 
V   M1 V 
 2
 1
y
Обозначим вектор столбец  
V 
 y3 
 y2 
V   M 2 V  и т.д.
 2
 3
через К, тогда получим
K 2  M1K1
K3  M2 K 2  M2 M1K1
Kn  Mn 1Kn 1  Mn1Mn 2Kn 2  Mn 1Mn 2Mn 3      M3M2 M1K1
Последнее выражение связывает координаты луча на первой и последней опорных плоскостях. Значит, матрица
M M n1M n2    M 2 M 1
представляет собой матрицу, описывающую всю
систему в целом. Таким образом, матрица сложной оптической
системы равна произведению матриц отдельных элементов
оптической системы, взятых в порядке обратном расположению
элементов вдоль направления распространения луча.
Если матрица сложной системы уже известна, то в дальнейшем
все промежуточные опорные плоскости можно опустить,
а выходную опорную плоскость обозначить как ОП2.
Тогда матрица М будет как и прежде связывать
координаты луча на двух опорных плоскостях.
57
Геометрическая оптика
Матричная оптика
Тонкая линза.
Рассмотрим прохождение луча через тонкую линзу с радиусами кривизны
Матрицы преломления на первой и второй поверхностях имеют вид
0
 1
n

1


R2 
1
 r
 2

 1
R1  1  n
 r
 1
и показателем преломления n.
0

1

Матрица перемещения, соответствующая распространению луча внутри линзы, является единичной матрицей, так как толщину
случае можно принять равной нулю. Тогда
в этом
1
0

n

1
n

1


M  R2 R1 
1
 r  r
1
 2

Коэффициент С в данной матрице есть не что иное, как оптическая сила линзы, взятая с обратным знаком. Если несколько
тонких линз расположены вплотную друг к другу, то матрица системы будет иметь вид
 1
k
M   
  i
 i 1
где -

i
0

1

сумма оптических сил каждой тонкой линзы.
58
Геометрическая оптика
Матричная оптика
Толстая линза. Рассмотрим матрицу толстой линзы с радиусами кривизны, толщиной d и показателем преломления n. В качестве
опорных плоскостей проведем касательные к вершинам преломляющих поверхностей. Матрицы преломления в этом случае имеют
такой же вид, как и в случае тонкой линзы, а матрица перемещения равна
1 d n 
T

0 1 
.
Перемножая матрицы в требуемом порядке, получим
d(1  n )
d


1


r1
n
M  R 2 T R1  

 n  1  [ (n  1)d  1] (1  n ) 1  d(n  1) 
 r2
nr2
r1
nr2 
.
Проведя преобразования, для коэффициента С получаем
C
(n  1)[n(r 1r2 )  (n  1)d ]
1
   
nr2 r1
f
.
Таким образом, как и в случае тонкой линзы коэффициент С представляет собой оптическую силу линзы со знаком минус. Сопоставляя
коэффициенты А и D с формулами для толстой линзы, получим
A  sF f ,
D  sF f
т.е. коэффициенты А и D равны отношению фокального отрезка к фокусному расстоянию соответственно в пространстве изображений и
пространстве предметов .
59
Геометрическая оптика
Матричное описание свойств оптической системы.
Предположим, что матрица сложной оптической системы известна.
Рассмотрим, какое свойство оптической системы определяет каждый из коэффициентов матрицы.
а). Предположим, что В=0. Уравнение для
координаты луча в этом случае будет иметь вид y 2  Ay1
Это значит, что все лучи, пересекающие точку с
координатой на первой опорной плоскости, пройдя оптическую
систему, соберутся в точке с координатой на второй опорной
плоскости (рис. а), т.е. эти точки являются сопряженными,
а опорные плоскости совпадают с плоскостями предмета
и изображения. Коэффициент А в этом случае
равен линейному увеличению A  0  y2 y1
б). Пусть А=0, тогда y 2  BV1 . Это значит, что все лучи,
идущие в пространстве предметов под одним углом 1  V1 n1 ,
соберутся в одной точке с координатой y2 т.е. вторая
опорная плоскость является задней фокальной плоскостью
оптической системы (рис. б).
в). Положим D=0, тогда V2  Cy1 . Это значит,
что все лучи, выходящие из точки с координатой на первой
опорной плоскости, в пространстве изображений будут
параллельны и пересекут вторую опорную плоскость под
углом  2  V2 n2 (рис. в). Отсюда следует,
что входная плоскость ОП1 является передней
фокальной плоскостью системы.
г). Предположим, что С=0, тогда V2  DV1. Это значит,
что все параллельные лучи, образующие в пространстве
предметов с оптической осью угол 1  V1 n1
на выходе оптической системы дадут также параллельный
пучок лучей с углом наклона к оптической оси  2  V2 n2
Такая система называется
афокальной или телескопической. Коэффициент в этом случае
будет равен угловому увеличению оптической системы (рис. г).
D  V2 n1 V1n2
60
Геометрическая оптика. Аберрации
G
Отрезок B0 Bназывается лучевой аберрацией Оптическая длина пути   N Q
Точечная характеристика определяется как
называется волновой аберрацией.
P1
V ( x0 , y0 , z 0 ; x1 , y1 , z1 )   nds   ( x1 , y1 , z1 )   ( x0 , y0 , z0 )
P0
  [ N Q]  [ BQ]  [ BN ]  [ BQ]  [ BP]
  ( x, y; xQ  , yQ  )
x   x0 
R  
n x  Q
y   y0 
 grad0V  n0 s 0

 grad1V  n1s1
R 

.
n yQ 
x, y
Функция 
зависит от 4-х переменных - x, y, M , m , где
- координаты внеосевой точки предмета, а
M , m
- координаты пересечения луча с плоскостью выходного зрачка.
эти переменные могут входить в выражение только в определенных комбинациях, обусловленных осевой симметрией системы.
R 



x



Разложение Ф в ряд имеет вид
меридиональная и сагиттальная
n  M 

составляющие поперечной лучевой аберрации
   IV  VI  VIII   
 y   R    .

n  m 
Член степени 2k описывает волновую аберрацию порядка 2k. Аберрации наинизшего порядка (2k=4) называются первичными
аберрациями или аберрациями Зейделя, составляющие волновых аберраций выше четвертого порядка называются аберрациями
61
высших порядков.
Геометрическая оптика. Аберрации
Представим  IV в виде
 IV 
A1 2 B1 2
D
R1 
R2  C1u 2  1 R1 R2  E1 R1u  F1 R2u,
4
4
2
yIII  R[ B1 (m(m 2  M  2 )  F1 (3m 2  M  2 ) y  (2C1  D1 )my 2  E1 y 3 ]
xIII  R[ B1M (m 2  M  2 )  2mM yF1  D1M y 2 ]
Каждый член в формуле описывает определенный тип отклонения волнового фронта от правильной сферической формы, при этом в
плоскости параксиального изображения вместо четкого изображения наблюдается размытое пятно – пятно рассеяния. По числу
коэффициентов в формуле различают пять типов монохроматических аберраций третьего порядка. Коэффициент А определяет
сферическую аберрацию, В – кому, С- астигматизм, D - кривизну поля изображения, Е – дисторсию.
выражения для составляющих поперечных аберраций третьего
порядка будут иметь вид
m( m 2  M 2 )
y (3m 2  M 2 )
y III  
S

S II 
I

2nk ( s1  s p ) 3  13 k
2n ( s  s ) 3  2  
k

2
p
1
k
1
D
3
y m
y
(3S III  I 2 S IV ) 
SV .
3
2
2nk ( s1  s p ) 1 k 1
2nk ( s1  s p ) 3  k 13
x III  

1
M (m 2  M 2 )
2 ym M
SI 
S II 

2nk ( s1  s p ) 3  12 k  1
2nk ( s1  s p ) 3  13 k
y2M
( S III  I 2 S IV ).
3
2


2nk ( s1  s p ) 1 k 1
Суммы Зейделя определяют различные аберрации оптической системы:
S I - сферическую аберрацию, S II
SV - дисторсию.
- аберрацию комы, S III и S IV
- астигматизм и кривизну поля изображения,
62
Геометрическая оптика. Аберрации
Нарушение гомоцентричности пучка лучей, прошедшего оптическую систему, при сохранении его симметрии
относительно оси пучка называется сферической аберрацией. Cферическая аберрация не зависит от величины
предмета y, имеет место для любой точки плоскости предмета и зависит от апертуры системы.
Нарушение симметрии пучка лучей, вышедших из внеосевой точки предмета, называется аберрацией комы.
Несимметрия плоского меридионального пучка лучей называется меридиональной комой.
Аберрация, при которой внеосевые точки предмета, расположенные в меридиональной плоскости, изображаются
в виде двух взаимно перпендикулярных отрезков, расположенных на разном расстоянии от плоскости
параксиального изображения, носит название астигматизма. Эти отрезки называются фокальными линиями.
При изображении плоских предметов изображение точек и будет находиться на поверхностях, представляющих
собой параболоиды вращения
Аберрация, при которой нарушается подобие между предметов и изображением, носит название дисторсии.
63
Геометрическая оптика. Аберрации
Хроматические аберрации
Аберрация положения, Аберрация размера и
Аберрация размера и положения
64
Интерференция света
Интерференцией света называется оптическое явление, состоящее в перераспределении световой
энергии в пространстве при наложении двух и более волн.
E 2 (r, t )  E 2 (r) exp{ jt},
E1 (r, t )  E1 (r) exp{ jt},
Рассмотрим суперпозицию двух монохроматических одинаково поляризованных волн вида
где Е1 и Е2 – комплексные амплитуды электрического поля излучения;  – круговая частота.
Суммарное поле имеет вид
E(r, t )  E1 (r, t )  E 2 (r, t ).
I(r)  E(r, t)E* (r, t ) ,
Поскольку интенсивность волны определяется соотношением
I1 (r)  E1 (r)E (r),
*
1
то интенсивность суммарного поля равна
E2 (r)  A2 (r) exp{j2 (r)};
E1 (r)  A1 (r) exp{j1 (r)};
I 2 (r)  E 2 (r)E (r)
*
2
I(r)  E1 (r)E1* (r)  E2 (r)E*2 (r)  2 Re E1 (r)E*2 (r).
Далее
I(r)  I1 (r)  I 2 (r)  I12 (r),
I12 (r)  2 Re E1 (r)E*2 (r)
I12 (r)  2A1 (r)A2 (r) cos(r),
где А1, А2, 1, 2 – действительные амплитуды и фазы интерферирующих волн, зависящие в общем случае от координат
Поэтому выражение для интенсивности суммарного поля принимает вид
I(r)  A12 (r)  A22 (r)  2A1 (r)A*2 (r) cos(r)
(r)  1 r   2 r 
Интенсивность суммарного поля зависит не только от интенсивности отдельных волн, но и от разности фаз между ними.
Выражение можно переписать в следующем виде:
I(r)  I1 (r)  I2 (r)  2 I1 (r)I2 (r) cos(r)
Максимум интенсивности суммарного поля равен
Imin (r)  I1 (r)  I2 (r)  2 I1 (r)I2 (r)
и появляется в точках пространства, где  = 0, 2, 4, ..., а минимум интенсивности равен
Imax (r)  I1 (r)  I2 (r)  2 I1 (r)I2 (r)
и появляется при  = , 3, 5, ..
65
Интерференция света
В частном случае, когда I1(r) = I2(r), соотношение принимает вид
 (r) 
I(r)  2I1 (r)1  cos(r)  4I1 cos2 
 2 
и интенсивность изменяется от минимального значения Imax(r) = 0 до максимального значения Imax(r) = 4I1(r).
Для характеристики интерференционных явлений вводится понятие видности интерференционного поля, определяемой соотношением
.
I (r )  I min (r )
V(r )  max
I max (r )  I min (r )
V(r ) 
2 I1 (r )I 2 (r )
I1 (r )  I 2 (r )
т.е. при интерференции одинаково поляризованных волн видность определяется только соотношением интенсивностей этих волн и
меняется от V = 0 при I1 = 0 или I2 = 0 до V = 1 при I1 = I2.
Приведенные выше формулы для интенсивности суммарного поля верны не только для монохроматических волн, но и для любых других
волн, для которых разность фаз (r) не меняется в течение времени регистрации интерференционного явления.
66
Интерференция света
Интерференция поляризованных волн. Рассмотрим, как влияет на интерференционные явления то обстоятельство, что оптические волны
являются когерентными векторными электромагнитными волнами. Рассмотрим суперпозицию двух монохроматических волн с
произвольной поляризацией.
Интерференционная составляющая определяется следующим выражением
I12 (r)  2 Re E1 (r)E*2 (r) ,
т.е. скалярным произведением векторных амплитуд интерферирующих волн. Если E1 || E ,2 то интерференционные явления описываются
выражением показанным ранее. Если E1  E 2 , то I12 = 0 , т.е. ортогонально поляризованные волны не интерферируют.
Интерференция линейно поляризованных волн. Пусть интерферирующие волны имеют линейную поляризацию, но различные углы
между направлением колебаний вектора E и осью х, первая волна – 1, а вторая – 2, т.е.
cos1 
cos2 
E1  A1 expj1
E 2  A 2 expj 2 


 sin 1 
 sin 2 
В этом случае характеристики интерференционного поля имеют вид:
I  A12  A22  2A1A2 cos(1  2 ) cos
V
2A1A 2 cos(1  2 )
(A12  A 22 )
Таким образом, при интерференции линейно поляризованных волн с 1  2 видность ИК уменьшается на величину |cos(1 – 2)|.
Интерференция волн, поляризованных по кругу. Если обе интерферирующие волны поляризованы либо по правому,
либо по левому кругу, то результат интерференции описывается соотношением полученным ранее. Рассмотрим случай, когда одна волна
поляризована по правому кругу, а вторая – по левому, тогда
E1  E 2  A1 expj1
1 1
1 1
 j  A 2 expj2 
 
2
2  j
I  A12  A 22 ;
V  0,
т.е. интенсивность суммарной волны не зависит от разности фаз, и такие волны не интерферируют.
67
Интерференция света
Если А1 = А2 = A; 1 = 2, то суммарная волна является линейно поляризованной вдоль оси х волной с амплитудой
и интенсивностью I = 2A2.
2A
При А1 = А2; 1  2 суммарная волна является также линейно поляризованной, так как при этом имеем
. j } 
cos
1  exp{j1}  exp{
2
E1  E 2 
A
 2A exp{j2 }

.
2  j exp{j1}  j exp{j2 }
 sin  
Азимут линейно поляризованной волны составляет угол  = 1 – 2 с осью х.
Интерференция линейно и эллиптически поляризованных волн. Рассмотрим интерференцию линейно поляризованной вдоль оси х
волны с амплитудой А1 и эллиптически поляризованной волны с амплитудой А2, углом эллиптичности  и азимутом  = 0. Тогда
1
 j sin  
E1  E 2  A1 expj1   A 2 expj2 

0
 cos  
2A1A 2 cos 
1
 cos  
V
I  A12  A22  2A1A2 cos cos(1  2 );
E1  E 2  A1 expj1   A 2 expj2 

(A12  A 22 )
0
 j sin  
cos  | раз.
При интерференции линейно поляризованной волны с эллиптически поляризованной волной видность ИК уменьшается в |
Если  = /2, то
I  A12  A22  2A1A2 sin  cos(1  2   2);
V
2A1A 2 sin 
(A12  A 22 )
т.е. видность ИК уменьшается в |sin | раз.
Наиболее общим случаем интерференции поляризованных волн является интерференция двух эллиптически
поляризованных волн, из которой следуют рассмотренные выше частные случаи.
68
Интерференция света
Интерференция двух плоских однородных волн.
Пусть амплитуды волн не зависят от координат, а фазы волн меняются по закону
где и – волновые векторы плоских волн; 1 и 2 – их начальные фазы; r – радиус-вектор точки наблюдения.
Разность фаз будет
1 (r)  k1r  1 ,
2 (r)  k 2r  2 ,
(r)  Kr  12
где K = – разностный волновой вектор плоских волн, 12 = 1 – 2 – начальная разность фаз.
Пусть волновые векторы плоских волн и лежат в плоскости x0z и составляют углы /2 с осью z тогда
.
2

( x, y, z) 
2 sin  x  12

2
Максимум интенсивности наблюдается в точках пространства, удовлетворяющих следующему условию
,
2

2 sin x m  12  2m

2
и координаты максимумов будут
 


x m   m  12 
2 


2 sin  
.
2
Здесь m = 0, 1, 2 – порядок интерференции.
Интерференционное поле представляет собой чередование светлых и темных плоскостей, параллельных плоскости y0z. Расстояние
между соседними плоскостями, где интенсивность принимает максимальное значение, называется периодом интерференционной
картины. В данном случае период определяется следующим соотношением

  x m 1  x m 

2 sin  
2
и зависит от длины волны интерферирующих волн
и угла между волновыми векторами.
Период увеличивается при увеличении длины волны
и уменьшении угла .
Например, при  = 0.63 мкм и  = 30
период  = 0.63 мкм, а при  = 1 –
 = 1 мм.
69
Интерференция света
Интерференция плоской и сферической волн. Пусть вдоль оси z распространяются две волны: плоская и сферическая изменение фаз
которых описывается соотношениями
2 (x, y, z)  kz  2
1 (x, y, z)  kR(x, y, z)  1
Рассмотрим вид ИК на большом расстоянии от начала координат в непосредственной близости к оси z, где действительно соотношение
 (x 2  y2 ) 
R ( x, y, z)  x 2  y 2  z 2  z 1 

2z 2 

Разность фаз равна
k 2
kr2
2
( x, y, z)  ( x  y )  1   2 
 12
2z
2z
а условие максимума интенсивности примет вид
krm2
 12  2m
2z
где m = 0; 1; 2; ... Как видно из данного соотношения, ИК представляет собой чередование светлых
которых совпадает с осью z. При 12 = 0 радиус m-го светлого кольца определяется соотношением
rm  2mz
и темных колец,
центр
rm1  rm  2z ( m 1  m )
расстояние между соседними кольцами уменьшается при увеличении порядка интерференции. Радиус светлых колец тем больше, чем
больше длина волны и чем больше расстояние, на котором наблюдается ИК.
Так как интенсивность сферической волны уменьшается с расстоянием
пропорционально R2, а интенсивность плоской однородной волны
остается постоянной, то видность ИК в пространстве меняется.
Интерференционное поле описывается набором парабол,
вершины которых совпадают с осью z.
70
Интерференция света
Интерференция двух сферических волн. Для двух сферических волн, центры которых расположены на оси z в точках z = 0 и z =
z2, фазы будут
1 (x, y, z)  kR1 (x, y, z)  1
2 (x, y, z)  kR2 (x, y, z)  2
Если ограничиться областью пространства вокруг оси z, где r<<R1, R2, то можно записать
 x 2  y2 
1 ( x, y, z)  kz1 
  1
2z 2 


x 2  y2 
 2 ( x, y, z)  k (z  z 2 ) 1 
 2
2
 2(z  z 2 ) 
откуда получаем
1

1
( x, y, z)  kz2  k ( x 2  y 2 )  
  12 .
 2z 2(z  z 2 ) 
Условие максимумов интенсивности при kz2 + 12 = 2n имеет вид
krm2  1
1 
 
  2m
2  z z  z2 
откуда получаем выражение для радиуса m-го светлого кольца
rm  2m
z( z  z2 )
z2
Интерференционная картина представляет собой чередование светлых и темных колец, радиусы которых определяются длиной
волны, порядком интерференции и местоположением источников волн и плоскости наблюдения.
Если плоскость наблюдения параллельна плоскости x0z и находится на большом расстоянии от начала координат, то
волны от точечных источников можно считать плоскими и ИК представляет собой чередование светлых и темных полос,
параллельных оси х. В промежуточных положениях ИК представляет собой переход от ИК, наблюдаемой вдоль оси z , к ИК,
наблюдаемой вдоль оси у.
71
Интерференция света
Интерференция гауссова пучка и плоской волны. Пусть плоская волна и гауссов пучок распространяются вдоль оси z Фаза
гауссова пучка изменяется как:
1 ( x, y, z)  kz 
 z 
k(x 2  y2 )
 arctg   01
2R ( z )
 R0 
где радиус кривизны волнового фронта R(z) зависит от координаты z немонотонно, R0 – конфокальный параметр.
Для разности фаз гауссова пучка и плоской волны имеем
.
 z 
x 2  y2
k
 arctg   01
2R ( z )
 R0 
В данном случае (x, y, z) зависит от координаты более сложным образом. Это связано с немонотонным изменением радиуса
кривизны волнового фронта гауссова пучка: в перетяжке волновой фронт гауссова пучка плоский, при z = R0 имеет
минимальный радиус, а далее волновой фронт изменяется как у сферической волны.
72
Интерференция света
Лазерный интерферометр по схеме Майкельсона (ЛИМ). Интерферометр предназначен, в основном, для получения информации о
характеристиках движения различных тел: перемещении, скорости и ускорении. В этом интерферометре происходит сравнение
изменения оптического пути для измерительного пучка с длиной волны лазера, которая перед этим сравнивается с рабочим эталоном
длины.
В данном интерферометре используется высокостабильный одночастотный лазер с известной с высокой точностью длиной волны.
Например, He-Ne лазер стабилизированный по поглощению в йоде, имеет длину волны в вакууме 0 = 0.632991399 мкм. Излучение от
лазера 1 поступает на делительный кубик 2, после которого получаются два когерентных пучка. Опорный пучок отражается от
неподвижной призмы 3, проходит кубик 2 и попадает на фотоприемник 5. Туда же попадает и измерительный пучок, который отражается
от подвижной призмы 4. Электрический сигнал с фотоприемника 5 подается на электронный процессор 6, который подсчитывает число
интерференционных полос, прошедших через диафрагму фотоприемника при перемещении призмы 4.
Если призма 4 смещается на расстояние l, то разность фаз изменяется на величину
2
( l ) 
2 ln
0
где n – показатель преломления воздуха.
Цифра 2 в этом выражении означает, что
измерительный пучок проходит расстояние l при смещении
призмы дважды. Число интерференционных полос
соответствующее данной разности фаз будет
(l )
 N  N
2
где N – целое число интерференционных полос, N – дробная часть.
Здесь принимается, что показатель преломления по пути
измерительного пучка не меняется и известен с высокой точностью или измеряется независимым способом. Заметим, что показатель
преломления сухого воздуха при нормальных условиях (давление – 760 мм рт. ст., температура – 15 0С) для длины волны гелий
неонового лазера равен n = 1,000276. Изменение температуры, давления и влажности воздуха приводит к изменению показателя
преломления. Электронный процессор позволяет определить как целую часть интерференционной полосы, так и дробную. Тогда
минимальное смещение призмы определяется соотношением
  
lmin  0  
2n  2  min
Современные электронные процессоры позволяют определять ()min = 10-7. Максимальная величина перемещения определяется, как
правило, длиной когерентности лазера и составляет сотни метров. В выпускаемых лазерных интерферометрах перемещения 73
lmin = 0.01
-7
мкм и Lmax = 60 м, относительная погрешность измерения составляет 10 .
Интерференция света
Лазерный интерферометр по схеме Маха-Цендера (ЛИМЦ). Интерферометр предназначен для измерения распределения показателя
преломления среды, через которую распространяется измерительный пучок.
Здесь излучение одномодового лазера 1 расширяется с помощью телескопической системы 2 и направляется в интерферометр,
состоящий из двух полупрозрачных пластинок 3 и 6 и двух зеркал 4 и 7. Измерительный пучок проходит исследуемую среду 5,
показатель преломления которой изменяется в пространстве и по времени. Результат интерференции опорного и измерительного пучков
регистрируется с помощью фотопластинки или видеокамеры 8, выход которой подключен через интерфейс 9 к персональному
компьютеру 10.
Разность фаз интерферирующих пучков определяется соотношением
 ( x , y ,t ) 
2
0
l
 n( x , y ,z ,t )dz
0
,
где l – геометрический путь пучка в исследуемой среде.
Интерференционная картина в этом случае имеет сложный вид, и ее расшифровка представляет самостоятельную задачу обработки
оптических изображений.
74
Интерференция света
Интерференция волн с одинаковой амплитудой. Рассмотрим, как изменится интерференционная картина, если в некоторую точку
пространства направлено N монохроматических волн с одинаковой амплитудой А и постоянной разностью фаз . Комплексная
амплитуда суммарного поля будет
Е = А + Аеj + Aej2 + ... + Aej(N–1) = A(1 – ejN)/(1 – ej).
Здесь использована формула для суммы геометрической прогрессии. Интенсивность такого поля определяется соотношением
.
N
A 2 sin 2
2
I

sin 2
2
Главные максимумы ИК получаются при условии  = 2m, где m = 0, 1, 2, ....; при этом интенсивность принимает значение Imax =
N2I0, где I0 – интенсивность одной волны. Таким образом, при интерференции N волн одинаковой амплитуды с постоянной разностью
фаз интенсивность суммарного поля пропорционально квадрату числа складываемых волн.
Положение минимумов интенсивности определяется из условий: sin (N/2) = 0 и sin (/2)  0, откуда получаем  = 2(m+k/N), где k =
1,2,...., N-1. Положение добавочных максимумов определяется из условия sin (N/2)  1, так как функция sin (/2) при изменении 
меняется медленнее, чем функция sin(N/2). Поэтому   2(m+n/2N), где n – целое нечетное число, причем n = 3, 5,..., 2N-3.
Ширина главного максимума составляет  = 4/N и если N велико, то главные максимумы имеют малую ширину, что соответствует
узким интерференционным полосам. Первый наблюдаемый добавочный максимум соответствует n = 3 и отстоит от вершины главного
максимума на расстоянии, равном  = 3/N и его интенсивность составляет только 5% от интенсивности главного максимума.
Интенсивность побочного максимума в центре между главными максимумами приблизительно равна интенсивности одной волны.
Для характеристики интерференционной картины в случае интерференции многих волн вводится понятие резкости, определяемое
отношением расстояния между главными максимумами к ширине главного максимума.
2
.  
В нашем случае имеем
2
N
,  4  2
N
т.е. резкость определяется только числом интерферирующих волн.
В частном случае, если N = 2, то  = 1, т.е. для двухлучевой
интерферометрии ширина темных и ширина
светлых полос совпадают.


75
Интерференция света
Интерференция волн с убывающей амплитудой. На практике широко распространен случай интерференции многих волн с
убывающей амплитудой и постоянной разностью фаз. Такой вид интерференции имеет место, если на плоскопараллельную пластинку
падает пучок света под некоторым углом к ее поверхности, где он испытывает многократные отражения и преломления. Амплитуда
каждого следующего пучка будет меньше амплитуды предыдущего. Кроме того, пучки получают дополнительную разность фаз,
обусловленную разностью хода между двумя поверхностями пластины. Рассмотрим результаты интерференции этих волн, наблюдаемые
в фокусе линзы.
Если ввести обозначения: r – амплитудный коэффициент отражения на границе воздух–пластинка; r' – амплитудный коэффициент
отражения на границе пластинка–воздух; t – амплитудный коэффициент пропускания по границе воздух–пластинка; t' – амплитудный
коэффициент пропускания по границе пластинка–воздух, то для амплитуд волн, прошедших через пластинку, можно записать
выражения
A1 = tt'A0.
A2 = A0tt'r'2ej';
...........................
AN = A0tt'r'2(N-1)ej(N-1),
где А0 – амплитуда падающей волны,  – разность фаз, соответствующая двухкратному прохождению волны в пластинке. Амплитуда
суммарного поля определяется соотношением
1  r' 2 N e jN
A  A0 tt'
.
1  r' 2 e j
Поскольку r'<1, то при достаточно большой длине пластинки число интерферирующих волн велико, поэтому r'2N  0.
Для интенсивности суммарного поля в этом случае справедливо выражение
I0
I() 
,
1  F sin 2  2
где I0 – интенсивность падающей волны, F = 4R/(1-R)2, R = r'2 – энергетический коэффициент отражения границы пластинка–воздух.
Здесь также учтено, что T+R = 1, т.е. поглощение света на границе раздела двух сред и внутри пластинки отсутствует.
76
Интерференция света
R
0.046
0.27
0.64
0.87
0.90
0.95
0.99
F
0.2
2
20
200
360
1520
40000

0.7
2
7
22
30
61
314
Функция I() имеет максимум при условии  = 2m и минимум при  = (2m+1), причем Imax = I0, и Imin = I0/(1+F). На рис.
6.9 показан график функции I()/I0 в зависимости от разности фаз. Видно, что чем больше коэффициент отражения R, тем резче
изменение интенсивности в зависимости от .
Ширина главного максимума, где интенсивность уменьшается в 2 раза, равна
а резкость интерференционной картины
  2    F 2
  4 F,
и зависит только от коэффициента отражения пластины: чем больше R, тем больше резкость.
При R = 0.99  = 314, т.е. в прошедшем свете получаются
очень узкие светлые полосы и широкие темные,
в отраженном свете наблюдается обратная картина.
77
Интерференция света
Интерферометр Фабри-Перо (ИФП). В 1899 французские ученые К. Фабри и А. Перо предложили новый тип интерферометра,
основанного на интерференции многих волн. Основными элементами этого прибора являются стеклянные или кварцевые
пластинки 3 и 4 внутренние поверхности которых параллельны и обработаны с высокой точностью, а также покрыты
высокоотражающим слоем.
Внешние грани пластин скошены под углом, чтобы избежать искажающего влияния отраженного от них света. Для
соблюдения строгой параллельности пластины разделяют неподвижным кольцом из инвара или кварца. Интерферометр, в котором
расстояние между отражающими поверхностями постоянно, называется эталоном Фабри-Перо. Иногда одну из пластин делают
подвижной, что позволяет менять расстояние между пластинами.
Интерференционная картина, наблюдается в фокусе линзы 5, при освещении интерферометра расходящимся пучком света от
протяженного источника 1 при помощи объектива 2.
Оптическая разность хода между двумя волнами будет
L = n'(AB+BC)–Adn = 2n'hcos'
и разность их фаз составляет
 = (2/0)2n'hcos'+2.
Здесь h – расстояние между пластинами, n' – показатель преломления
воздуха между пластинами,  – сдвиг фазы при
отражении от покрытия пластины.
Порядок интерференции
m = /2 = (1/0)2n'hcos'+/
принимает максимальное значение m0, равное
m0 = (1/0)2n'h+/
при нормальном падении света на интерферометр. При отклонении
от центра порядок интерференции уменьшается, так что ИК представляет собой чередование светлых и темных колец.
Найдем диаметр р-го светлого кольца. Представим порядок интерференции в центре в виде m0 = m1+e, где m1 –
целое число, е – дробный порядок в центре. Для р-ой от центра светлой полосы с угловым размером р порядок интерференции
равен
2n'hcos'p = mp0 = [m1–(p–1)]0,
откуда получаем
p  n' 0 hn2 p  1  e.
78
Интерференция света
Диаметр р-го светлого кольца равен
где f – фокусное расстояние линзы.
Dp = 2pf,
Диаметр интерференционных колец зависит от длины волны. Если е = 0, то в центре наблюдается максимум интенсивности и диаметры
светлых колец пропорциональны квадратному корню из целых чисел.
1h
Интерферометр Фабри-Перо широко используется в лазерной технике (резонаторы лазеров представляют собой интерферометр со
сферическими зеркалами) и оптической спектроскопии.
Основными характеристиками интерферометра Фабри-Перо (ИФП) как спектрального прибора являются разрешающая способность и
область дисперсии.
Разрешающая способность определяется как отношение R = 0/, где  – минимальная разность длин волн, разрешаемых с помощью
данного прибора.
В соответствии с критерием Рэлея две спектральные линии одинаковой интенсивности считаются разрешимыми, если в центре
интерференционной картины наблюдается провал на 19% от максимального значения интенсивности.
В соответствии с этим критерием разрешающая способность ИФП определяется соотношением
R = 0/ = 0.97m  2n'h/0.
Таким образом, разрешающая способность ИФП пропорциональна резкости и расстоянию между пластинами. При  = 30 и h = 10 мм, n'
=1, 0 = 0.5 мкм, R = 106, т.е. с помощью ИФП возможно разрешение двух спектральных линий, длины волн которых отличаются в
шестом знаке.
Разность длин волн , соответствующая смещению на один порядок ( = 2), называется областью дисперсии интерферометра. Для
ИФП имеем
 = 0/m = 02/(2n'h).
Величина области дисперсии ИФП обратно пропорциональна расстоянию между пластинами и, следовательно, увеличение его
разрешающей способности, получающееся при увеличении этого расстояния, сопровождается пропорциональным уменьшением
области дисперсии. В рассмотренном нами примере  = 510-7 мкм, и  = 1.510-5 мкм, т.е. область дисперсии ИФП очень мала и его
применение возможно, например, для исследования тонкой структуры спектральных линий. ИФП используется в метрологии для
сравнения длин волн различных источников.
79
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Обозначим через ik компоненты тензора диэлектрической проницаемости среды. Тогда связь между электрической
индукцией волны в кристалле D и напряженностью поля волны Е запишется в виде
Di =  ik Ek .
Тензорный характер зависимости означает, что в общем случае в анизотропной среде векторы D и Е могут иметь
различные направления. В конечном итоге это приводит к тому, что при распространении световой волны в анизотропной среде
направление нормали к волновому фронту ( направление волнового вектора) отличается от направления распространения
световой энергии (направление вектора плотности светового потока S ).
В отличие от оптически изотропной среды, где поверхность одинаковой плотности энергии излучения представляется в
виде сферы, такая поверхность в анизотропной среде имеет довольно сложную форму. Плотность электрической энергии поля
излучения Е в ней при произвольно выбранной системе координат (x,y,z) представится в виде
Е = 1/8  Ei Di = 1/8  Ei ik Ek = = 1/8 (xxEx2 + yy Ey2 +zz Ez2 +2 xy Ex Ey +2xz Ex Ez + 2yz Ey Ez ).
Если в качестве анизотропной среды используется какой-либо монокристалл, то выражение можно существенно
упростить, т.к. для каждого монокристалла существует определенная координатная система X,Y,Z, в которой тензор
диэлектрической проницаемости среды диагонализируется (ik=0 при i  k) и выражение (7.4) преобразуется в
Di =  ii Ei
(в дальнейшем вместо ii будем писать i ).
В этой системе координат выражение для Е принимает вид
Е = 1/8 (x Ex2+y Ey2 + z Ez 2)
Координатные оси системы X,Y,Z называются главными диэлектрическими осями кристалла, а величины x, y, z главными значениями тензора диэлектрической проницаемости. В соответствии с определением
ni =
i
определяют и главные показатели преломления кристалла: n x, n y и n z.
80
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Оптическая индикатриса
С учетом полученного перепишем выражение для плотности энергии в виде
8Е = Dx2 / n x2 + Dy2 / n y2+ Dz2 / n z2.
Данное ыражение показывает, что поверхность одинакового значения плотности энергии излучения
имеет вид трехосного эллипсоида, величины главных осей которого пропорциональны главным показателям
преломления.
Сохранив направления координатных осей, введем обозначения
x* = Dx /
8Е ;
y* = Dy /
8Е;
z* = Dz /
8Е .
C учетом этих обозначений перепишем верхнее выражение как
x*2 / n x2 + y*2 / n y2 + z*2 / n z2 = 1.
Данное уравнение описывает эллипсоид с главными полуосями, равными значениям главных показателей
преломления - n x, n y и n z. Этот эллипсоид называется оптической индикатрисой кристалла (иногда его называют
эллипсоидом индексов или нормалей). Оптическая индикатриса практически полностью описывает оптические свойства
кристалла, причем для однозначности описания принимают условие:
n x  n y  n z.
81
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Определение оптических свойств среды с помощью оптической индикатрисы
Основная особенность распространения света в анизотропной среде заключается в том, что в отличие от изотропных
сред, где проходящая световая волна может иметь любую поляризацию (линейную, круговую, эллиптическую), в анизотропной
среде свет может распространяться только в виде линейно поляризованных волн, причем в каждом направлении
распространяются две линейно поляризованные монохроматические волны, имеющие одинаковую частоту и одинаковое
направление волнового вектора, но отличающиеся друг от друга скоростью распространения (показатели преломления для
каждой из волн различны) и поляризацией.
Чтобы определить направление поляризации волн, распространяющихся в анизотропной среде, и соответствующие этим
волнам показатели преломления, пользуются оптической индикатрисой. Задавшись направлением распространения волнового
фронта (направлением волнового вектора), находят сечение оптической индикатрисы плоскостью, проходящей через ее центр и
перпендикулярной выбранному направлению (рис). В общем случае такое сечение является эллипсом (рис). Направления
главных осей этого эллипса как раз и представляют направления поляризации проходящих волн (направления векторов D1 и D2).
Поскольку оси эллипса всегда ортогональны друг другу, то и направления поляризации пары волн, распространяющейся в
любом направлении, всегда взаимно перпендикулярны. Длины главных полуосей эллиптического сечения представляют собой
показатели преломления n1 и n2 для соответствующих волн. Так как показатели преломления определяют скорости
распространения световой волны в веществе, то согласно значениям n1 и n2 оказываются различными и скорости световых
волн:
v1 = с / n1 ; v2 = c / n2 .
Скорости v1 и v2 представляют собой скорости распространения фазы волны, измеренные вдоль нормали к волновому
фронту, и называются поэтому нормальными скоростями.
Индикатриса и сечение индикатрисы плоскостью,
Проходящей через её центр и перпендикулярной
Выбранному направлению распространения
82
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Двулучепреломление. Двуосные и одноосные кристаллы
Из-за различия в скоростях одна из волн в процессе распространения в среде будет отставать от другой, благодаря
чему на выходе из кристалла длиной L между обеими волнами создается некоторая разность фаз
 =  L( 1/v1 - l/v2 ).
Учитывая формулы для скоростей и используя соотношение =2с/ , получаем
 =
2L

(n1 - n2 )
Величина  = L(n1 - n2) есть разность оптических путей двух волн в кристалле. Наличие разности хода в одном
направлении для двух волн отражает способность анизотропных сред к весьма специфическому явлению - двойному
лучепреломлению. Отнесенная к единице пути разность хода
В12 = /L = n1 - n2 .
Очевидно, что при выполнении условия на главные показатели преломления максимальное значение величины В12
будет для случая, когда световой луч распространяется вдоль оси OY:
В = nz -nx .Этот параметр является одной из
важнейших оптических характеристик кристалла и называется двулучепреломлением кристалла.
Поскольку n x  n y  n z , то в некотором положении n станет равным n y , а сечение индикатрисы окажется круговым. В
этом сечении n1 = n2 = n y , а значит, скорости распространения волн в направлении, перпендикулярном этому сечению,
оказываются одинаковыми, и проходящий луч света не испытывает двойного лучепреломления: В12 = 0 ; = 0. Такое особое
направление в кристалле, распространяясь вдоль которого свет не чувствует влияния анизотропии его оптических свойств,
называется оптической осью кристалла.
Всякий трехосный эллипсоид имеет два круговых сечения, поэтому кристаллы, оптические индикатрисы которых
представляются в виде трехосного эллипсоида, имеют две оптические оси и называются двуосными.
Наряду с двуосными кристаллами существует ряд кристаллов, в которых оптическая индикатриса имеет вид эллипсоида
вращения. В таком эллипсоиде имеется только одно круговое сечение и в соответствии с этим в подобных кристаллах существует
лишь одно направление (ортогональное этому сечению), вдоль которого не происходит двойного лучепреломления. Такие
кристаллы называются одноосными. В одноосных кристаллах оптическая ось, являющаяся осью вращения эллипсоида, совпадает с
одной из главных диэлектрических осей и с осью симметрии кристалла. Поэтому эти кристаллы характеризуются всего83
двумя
главными показателями преломления no и ne , полностью определяющими форму индикатрисы : no = n x = n y ; ne = n z.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Пластинки λ/2 и λ/4
Рассмотрим кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси. При падении на такую пластинку
плоскополяризованного света разность фаз δ обыкновенного и необыкновенного лучей равна нулю, на выходе из пластинки
Вырезанная параллельно оптической оси пластинка, для которой (nо - ne)d = mλ0+ λ0/4 где m-любое целое число либо нуль,
называется пластинкой в четверть волны. При прохождении через такую пластинку обыкновенный и необыкновенный лучи
приобретают разность фаз, равную π/2 (напомним, что разность фаз определяется с точностью до 2πm). Пластинка, для которой
(nо - ne)d = mλ0 + λ0/2, называется пластинкой в полволны.
При прохождении через пластинку в полволны разность фаз между колебаниями
обыкновенного и необыкновенного лучей и изменяется на π.
Поэтому на выходе из пластинки фазовое соотношение между обыкновенным и
необыкновенным лучами будет соответствовать взаимному расположению векторов
показанному на рис. Следовательно, свет, вышедший из пластинки, будет поляризован в
плоскости Р1. Плоскости Р и Р1 расположены симметрично относительно оптической оси
пластинки О. Таким образом пластинка в полволны поворачивает плоскость колебаний
прошедшего через нее света на угол 2 ( — угол между плоскостью колебаний в падающем
луче и осью пластинки).
Если расположить пластинку в четверть волны так, чтобы угол j между плоскостью колебаний
в падающем линейно поляризованном луче и осью пластинки О равнялся 45°, амплитуды
обоих лучей, вышедших из пластинки, будут одинаковы. Сдвиг по фазе между колебаниями в
этих лучах составит π/2. Следовательно, свет, вышедший из пластинки, будет поляризован по
кругу. При ином значении угла  амплитуды вышедших из пластинки лучей будут
неодинаковыми. Поэтому при наложении эти лучи образуют свет, поляризованный по эллипсу,
одну из осей которого совпадает с осью пластинки О. Если на пути эллиптически
поляризованного света поставить пластинку в четверть длины волны, расположив ее
оптической осью вдоль одной из осей эллипса, то пластинка внесет дополнительную разность
фаз, равную π/2. В результате разность фаз двух плоско-поляризованных волн, дающих в
84
сумме эллиптически поляризованный свет в плоскополяризованный.
Скалярная теория дифракции
Дифракция - любое отклонение света от прямолинейного распространения, не вызванное преломлением
или отражением
Гюйгенс - если окружить все источники излучения замкнутой поверхностью, то каждую точку этой поверхности можно
рассматривать как источник вторичных волн, распространяющихся во всех направлениях. Тогда в следующий момент времени
волновой фронт можно найти, как огибающую вторичных сферических волн.
Френель - предположение о том, что при нахождении нового светового распределения необходимо учитывать также и
интерференцию вторичных волн, принимая во внимание когерентность вторичных источников, так как они возбуждаются одними
85
и теми же первичными источниками.
Скалярная теория дифракции
Теория дает очень хорошие результаты, подтвержденные экспериментами, но при условиях, что:
1. Отверстия в экранах (дифракционные элементы) велики, по сравнению с длиной волны .
2. Дифрагированные волны наблюдаются не слишком близко от экрана.
В качестве примера, когда скалярная теория не работает, можно привести теорию дифракционных
решеток высокого разрешения (с количеством штрихов более 1000 на мм). В этом случае угловые
соотношения в дифрагированном поле описываются скалярной теорией дифракции, но она дает неверные
значения для амплитудного распределения.
86
Скалярная теория дифракции
Интегральная теорема Гельмгольца-Кирхгофа.
Теорема Грина.
Пусть U(P) и G(P) две произвольные комплексные функции пространственных координат, а S поверхность, окружающая объем
V. Если эти функции, а также их первые и вторые частные производные однозначны и непрерывны внутри указанного объема и
на поверхности, его окружающей, то
U
G
2
2
 (G U  U G)dv   (G n  U n )ds
V
S
где - dn - обозначает частную производную в каждой точке поверхности по внешней нормали в этой точке. Пользуясь этой
теоремой, нужно все время помнить об условиях, накладываемых на вид функций и форму поверхности.
Функции Грина.
По определению функцией Грина называется решение дифференциального уравнения, в правой части которого стоит дельтафункция. С точки зрения физики это означает, что она есть решение задачи с точечным источником. В качестве примера можно
привести волновое уравнение и его решение. Если в волновом уравнении в правой части стоит (r), то его решением является
сферическая волна, так как в однородном пространстве точечный источник излучает волну со сферическим волновым
фронтом.
87
Скалярная теория дифракции
Интегральная теорема Гельмгольца-Кирхгофа.
G( P1 ) 
exp( jkr01 )
r01
( 2  k 2 ) U ( P)  0
( 2  k 2 )G ( P)  0.
2G(P)  k 2G(P),2 U(P)  k 2 U(P)
2
2
2
2
 (G U  U G)dv   (GUk  UGk )dv  0.
V
V
U
G
 (G n  U n )ds  0.
S
  (G
S
U
G
U
G
U
)ds   (G
U
)ds
n
n
n
n
S
G
1 exp(jkr01 )
 cos(nr01 )( jk  )
,
n
r01
r01
G (P1 ) 
U
G
exp( jk)
,

G (P1 ) exp( jk) 1

(  jk ).
n


U(P0 ) exp(jk)
exp(jk) 1
 U(P0 )
(  jk)]0  4U(P0 ).



 (G n  U n )ds  4 [ n
S

U(P0 ) 
2
1
U exp(jkr01 )
 exp(jkr01 )
{

U
[
]}ds

4 S n
r01
n
r01
88
Скалярная теория дифракции
Дифракция на плоском экране
U(P0 )   (
SS1 S2
U
G
GU
)ds.
n
n
Увеличиваем радиус сферы. При этом поверхность
интегрирования все более и более становится похожей
на полусферу. Функции U и G с ростом радиуса сферы
уменьшаются пропорционально 1/R, поэтому можно
предположить, что подынтегральное выражение
стремится к нулю. В этом случае интегрирование по
поверхности полусферы S2 должно было бы давать
нулевой вклад в интеграл. Однако это неочевидно, так
как площадь поверхности полусферы растет как R2, и
неясно, какой же из факторов является определяющим.
Необходим дополнительный анализ выражения.
На поверхности S2 функция G имеет вид
G
exp( jkR )
.
R
при R стремящемся к бесконечности:
G
1 exp( jkR )
 ( jk  )
 jkG
n
R
R
перейдём от интегрирования по поверхности полусферы к интегрированию по телесному углу, который
на неё опирается.
U
U
2
 [G n  U( jkG)]ds   G( n  jkU)R d
S2

Величина RG равномерно ограничена на S2, поэтому полный интеграл будет стремиться к нулю при радиусе сферы,
U
стремящемся к бесконечности, в том случае, если выполняется условие (условие Зоммерфельда)
89
R(
 jkU )  0
lim
R 
n
Скалярная теория дифракции
Дифракция на плоском экране
функция U стремится к нулю со скоростью, по меньшей мере равной той скорости, с которой расходится сферическая волна. Так
как волна, падающая на отверстие, всегда есть сферическая волна или набор таких волн, то можно считать, что интеграл по
полусфере действительно стремится к нулю.
Таким образом, интеграл
U(P0 ) 
1
U
G
[ GU
]ds.

4 S1 n
n
Граничные условия Кирхгофа:
В отверстии  само поле U и его производные такие же, как если бы экрана не
было вообще.
На поверхности S1 вне отверстия само поле U и его производные равны нулю.
U(P0 ) 
1
U
G
(
G

U
)ds.

4  n
n
90
Скалярная теория дифракции
Формула дифракции Френеля-Кирхгофа.
Дифракционные эффекты слабо сказываются на малых расстояниях от препятствия. Поэтому рассмотрим вначале случай,
когда расстояние r01 много больше длины волны, то есть k»1/r01. В этом случае выражение для производной от функции
Грина может быть преобразовано к виду
exp(jkr01 )
G(P1 )
1 exp(jkr01 )
 cos(n, r01 )( jk  )
 jk cos(n, r01 )
n
r01
r01
r01
U(P0) 
1 exp(jkr01) U
[
 jkU cos(n,r01)]ds
 r
4π Σ
n
01
Теперь предположим, что экран с отверстием освещается сферической волной, исходящей из точечного источника, расположенного
слева от экрана в точке P2. Расстояние от источника до экрана равно r21. Тогда поле в отверстии определяется следующим выражением
U(P1 ) 
A exp(jkr21 )
.
r21
подставив это выражение в интеграл Кирхгофа, получим с учетом
того, что r21», :
U(P0 ) 
A exp[jk (r21  r01 )] cos(n, r01 )  cos(n, r21 )
[
]ds

j 
r21r01
2
Этот результат, справедливый только при освещении экрана точечным
источником, называется формулой дифракции Френеля-Кирхгофа.
Отметим, что этот интеграл уже полностью определен, в нем нет
неизвестных функций, а те что есть – вычисляются.
Это выражение симметрично по отношению к отражению – если поменять местами точки Р0 и Р2, то результат не изменится. 91
Принцип
такой взаимности был сформулирован Гельмгольцем.
Скалярная теория дифракции
Формула дифракции Френеля-Кирхгофа.
Перепишем формулу дифракции Френеля-Кирхгофа в другом виде:
U(P0 )   U(P1 )

exp(jkr01 )
ds,
r01
где
U(P1 ) 
1 A exp(jkr21 ) cos(n, r01 )  cos(n, r21 )
[
][
].
j
r21
2
Если исходить из этого выражения, то можно считать, что поле в точке Р0 создается бесконечным множеством точечных
источников, находящихся в пределах отверстия и имеющих амплитуду U’(P1). Амплитуда каждого вторичного источника
пропорциональна амплитуде падающей волны, но отличается от нее в следующем: во-первых, есть множитель 1/, вовторых, происходит уменьшение амплитуды за счет коэффициента наклона, который никогда не превышает единицы и
всегда больше нуля, в-третьих, фаза излучаемой волны отличается от фазы падающей волны на /2. Этот факт и
соответствует предположению Френеля о фазах источников. Таким образом, последняя интерпретация формулы ФренеляКирхгофа математически описывает принцип Гюйгенса-Френеля для случая дифракции на плоском экране.
U(P0 )   h(P0 , P1 )U(P1 )ds
exp[jk(r21  r01 )]
U(P0 )  
cos(n, r01 ).
r
r

21 01

где
h (P0 , P1 ) 
1 exp(jkr01 )
cos(n, r01 ).
j
r01
интеграл суперпозиции работает только для линейных систем, что
справедливо для электромагнитных полей и линейных сред. 92
Скалярная теория дифракции
Угловой спектр плоских волн
Пусть волна имеет вид U(x,y,z), тогда её
Фурье-преобразование (часто говорят –
Фурье-образ) может быть записано
следующим образом
A0 (f x , f y , z)   U(x, y, z) exp[ j2(f x x  f y y)]dxdy

обратно:
U(x, y, z)   A0 (f x , f y , z) exp[j2(f x x  f y y)]df x df y

Пусть комплексное поле в плоскости xy (z=0) описывается функцией U(x,y,0). Рассчитаем поле U(x,y,z) в точке (x,y,z).
Плоская волна, распространяющаяся в пространстве в направлении, определяемом направляющими косинусами (,,)
B( x , y, z)  exp[ j
2
(x  y  z)]

  1   2  2
в плоскости z=0 волну можно рассматривать как плоскую волну с направляющими косинусами
  f x ,
  f y,
  1  ( f x ) 2  ( f y ) 2 .
представляет собой суперпозицию плоских волн с комплексными амплитудами вида
A0 (f x , f y )df x df y
(fx=/, fy=/), каждая из волн суперпозиции распространяется по своему направлению.
93
Скалярная теория дифракции
Угловой спектр плоских волн
Спектр плоских волн, составляющих световое распределение в плоскости z=0, записывается в виде
 


A 0 ( , )   U( x, y,0) exp[ j2( x  y)]dxdy.
 



Теперь необходимо переместиться в плоскость z0 и рассмотреть связь между спектром плоских волн в начале координат и
в этой плоскости
 


A( , , z)   U( x, y, z) exp[ j2( x  y)]dxdy
 



Запишем обратное преобразование
 


 
U( x, y, z)   A( , , z) exp[j2( x  y)]d d
 


 

2 U  k 2 U  0
и воспользуемся уравнением Гельмгольца, подставив в него U
d2
 
2 2
 
2
2
A
(
,
,
z
)

(
)
[
1




]
A
(
, , z)  0.
2
dz
 

 
Частное решение этого уравнения можно записать в виде
 
 
2
A( , , z)  A 0 ( , ) exp( j
1   2   2 z).
 
 

94
Скалярная теория дифракции
Дифракция Френеля и Фраунгофера.
Возьмем решение Зоммерфельда
заменив в интеграле конечные
пределы на бесконечные, считая,
что вне отверстия функция
U(x1,y1)0,
U( x 0 , y 0 )   h ( x 0 , y 0 , x1 , y1 ) U( x1 , y1 )dx 1dy1 ,

h ( x 0 , y 0 , x1 , y1 ) 
1 exp(jkr01 )
cos(n, r01 ).
j
r01
Наше приближение будет основываться на предположении, что zrmax (максимального размера отверстия в экране). Область
наблюдения в выходной плоскости также лежит вблизи оси z и много меньше, чем z. В этих предположениях cos(n, r01 )  1с
погрешностью не более 5% (если угол не превышает 180), r01 тоже будет лишь незначительно отличаться от z. Тогда можно
переписать
h ( x 0 , y 0 , x1 , y1 ) 
1
exp(jkr01 ).
jz
95
Скалярная теория дифракции
Приближение Френеля
Упростим анализ, если заменив точное выражение для r01 рядом
r01  z 2  (x 0  x1 ) 2  ( y0  y1 ) 2  z 1  (
x 0  x1 2 y0  y1 2
) (
) .
z
z
Оставим только два первых члена, считая что величины, стоящие в скобках, достаточно малы
1 x  x1 2 1 y 0  y1 2
r01  z[1  ( 0
)  (
) ]
2
z
2
z
функция h принимает следующий вид
h ( x 0 , y 0 , x1 , y1 ) 
exp(jkz)
k
exp{j [(x 0  x1 ) 2  ( y 0  y1 ) 2 ]}
jz
2z
В том случае, если z достаточно велико, чтобы данное выражение было точным, говорят, что решение соответствует
приближению Френеля.
В приближении Френеля сферические волны заменяются поверхностями второго порядка. При этом естественным образом
налагаются ограничения на z, размеры отверстия  и т.д. Можно провести оценку и показать, что для этого должно
выполняться условие
z 3 

[( x 0  x1 ) 2  ( y 0  y1 ) 2 ]2. .
4
Данное условие получается при учете малости следующего члена в разложении
96
Скалярная теория дифракции
Приближение Френеля
Подставим h в интеграл суперпозиции
U( x 0 , y 0 ) 
exp(jkz)
k
U( x1 , y1 ) exp{j [(x 0  x1 ) 2  ( y 0  y1 ) 2 ]}dx 1dy1 ,

jz 
2z
и разложим квадратичные члены в показателе экспоненты
U( x 0 , y 0 ) 
exp(jkz)
k
k
2
exp[j ( x 02  y 02 )] {U( x1 , y1 ) exp[j ( x12  y12 )]}exp[ j ( x 0 x1  y 0 y1 )]dx 1dy1.
jz
2z
2z
z

Этот интеграл и описывает распределение в ближней зоне дифракции или зоне дифракции Френеля. Если проанализировать
структуру выражения, то с точностью до амплитудного и фазового множителей, не зависящих от координат выходной плоскости и
стоящих перед интегралом, распределение поля в выходной плоскости может быть представлено, как Фурье-преобразование от
функции
U ( x1 , y1 ) exp[ j
k 2
( x1  y12 )]
2z
fx 
x0
,
z
fy 
y0
.
z
Фурье-преобразование от функции h
H(f x , f y )  exp(jkz) exp[ jz(f x2  f y2 )].
Это выражение описывает эффект распространения волны в пространстве при дифракции Френеля. Первый экспоненциальный
множитель определяет общую фазовую задержку при распространении на расстояние z, а второй – фазовую дисперсию,
зависящую от пространственной частоты по квадратичному закону.
97
Скалярная теория дифракции
Приближение Фраунгофера
Ужесточим требования к расстоянию r01 до выходной плоскости, «отодвинувшись» в дальнюю зону дифракции – зону
дифракции Фраунгофера. Эта область удовлетворяет следующему условию
k ( x12  y12 ) max
z 
2
Условие определяет параметр малости при разложении величины r01 в ряд. При этом квадратичный фазовый множитель в
фигурных скобках (4.39) практически равен единице по всему отверстию, и поле в выходной плоскости имеет вид
U( x 0 , y 0 ) 
exp  jkz  exp[ j
k 2
( x 0  y 02 )]
2
2z
U( x1 , y1 ) exp[  j ( x 0 x1  y 0 y1 )]dx 1dy1.

j z
z

Без учета множителей перед интегралом, которые тем более несущественны при вычислении интенсивности в изображении
(при умножении на комплексно-сопряженное выражение), (4.42) представляет собой преобразование Фурье распределения
поля в отверстии для пространственных частот fx=x0/z и fy=y0/z.
Это есть формула дифракции в приближении Фраунгофера.
К примеру, в случае отверстия размером 2,5 мм и длины волны света 0,6 мкм расстояние до экрана должно быть более 15 м.
98
Скалярная теория дифракции
Дифракция Френеля и Фраунгофера.
99
Скалярная теория дифракции
Примеры дифракционных картин Фраунгофера
Рассмотрим ряд примеров дифракционных картин Фраунгофера.
Полученную формулу можно непосредственно использовать для расчетов комплексных полей в дальней зоне. Однако, надо
помнить, что любой детектор, в том числе человеческий глаз, является квадратичным, то есть чувствует интенсивность, а не
амплитуду, поэтому при регистрации дифракционной картины фаза исчезнет.
Прямоугольное отверстие
t ( x1 , y1 )  rect(
U( x 0 , y 0 ) 
k 2
( x 0  y 02 )]
2z
F{U( x1 , y1 )},
j z
exp( jz) exp[ j
x1
y
)rect( 1 ).
wx
wy
fx 
x0
y
, fy  0 .
z
z
F{U(x1, y1 )}  w x w y sin c(w x f x ) sin c(w yf y ),
U( x 0 , y 0 ) 
k 2
( x 0  y 02 )]
w y y0
w x
2z
w x w y sin c( x 0 ) sin c(
).
j z
z
z
exp( jkz ) exp[ j
I( x 0 , y 0 ) 
w 2x w 2y
2 z 2
sin c 2 (
w y y0
w x x0
) sin c 2 (
).
z
z
100
Скалярная теория дифракции
Примеры дифракционных картин Фраунгофера
101
Скалярная теория дифракции
Примеры дифракционных картин Фраунгофера
Круглое отверстие
t (r1 )  circ (
U(r0 ) 
r1
).
w
2
kr2
exp(jkz)
exp(j 0 )B{U(r0 )},
jz
2z
B{circ(
r1
w J (w)
)}  ( ) 2 1
,
w
w
2
2
2
kwr0
)
kr02 kw2 J1 (
2z ].
U(r0 )  exp(jkz) exp(j
)
[2
kwr0
2z j8z
2z
J1 (
kwr0
) 2
kw 2
2
z
I(r0 )  (
) [2
].
kwr
8z
0
2z
2
Радиус ее первого темного кольца равен r0  1,22z / w.
102
Скалярная теория дифракции
Примеры дифракционных картин Фраунгофера
103
Скалярная теория дифракции
Примеры дифракционных картин Фраунгофера
Синусоидальная амплитудная решетка.
1 m
x
y
t ( x, y)  [  cos( 2f 0 x )]rect ( )rect ( ).
2 2
w
w
1 m
1
m
m
F{  cos( 2f 0 x1 )}  (f x , f y )  (f x  f 0 , f y )  (f x  f 0 , f y ).
2 2
2
4
4
wy
w2
k
exp(jkz) exp[j ( x 02  y o2 )]sin c( 0 ) 
jz
2z
z
wx
m
w
m
w
{sin c( 0 )  sin c[ ( x 0  f 0z)]  sin c[ ( x 0  f 0z)].
z
2
z
2
z
U( x 0 , y 0 ) 
w2 2
m2
w
2 wy 0
I( x 0 , y 0 )  (
) sin c (
){ sin c 2 [ ( x 0  f 0 z)] 
2z
z
4
z
wx
m2
w
sin c 2 [ ( x 0  f 0 z)]  sin c 2 (
)}.
4
z
z
104
Скалярная теория дифракции
Примеры дифракционных картин Фраунгофера
Синусоидальная фазовая дифракционная решетка
t ( x1 , y1 )  exp[ j
exp[j
m
x
y
sin( 2f 0 x1 )]rect ( 1 )rect ( 1 ).
2
w
w

m
m
sin(2f 0 x1 )]   J q ( ) exp(j2qf 0 x1 )
2
2
q  
U(x 0 , y0 ) 

wy
w2
k
m
w
exp(jkz) exp[j (x 02  y02 )]  J q ( ) sin c[ (x 0  qf 0z)]sin c( 0 ).
jz
2z
2
z
z
q  
I( x 0 , y 0 )  (
wy
w 2  2 m
w
)  J q ( ) sin c 2 [ ( x 0  qf 0z)]sin c 2 ( 0 )
z q 
2
z
z
105
Скалярная теория дифракции
Примеры дифракционных картин Фраунгофера
106
Скалярная теория дифракции
Примеры дифракционных картин Фраунгофера
107
Скалярная теория дифракции
Линза, как элемент, выполняющий преобразование Фурье
(x, y)  kn(x, y)  k[0  (x, y)].
t L (x, y)  exp(jk0 ) exp[jk(n 1)(x, y)].
Необходимо определить величину (x,y).
(x, y)  1 (x, y)   2 (x, y).
x 2  y2
1 ( x, y)   01  (R 1  R  x  y )   01  R 1 (1  1 
)
R 12
2
1
2
2
x 2  y2
 2 ( x, y)   02  (R 2  R  x  y )   02  R 2 (1  1 
).
R 22
2
2
2
2
x 2  y2
x 2  y2
( x , y)   0  R 1 (1  1 
)  R 2 (1  1 
).
R 12
R 22
параксиальное приближение, поэтому корни можно разложить в
ряд, оставив только нулевой и первый члены ряда
x 2  y2
x 2  y2
1
 1
;
R 12
2R 12
( x, y)   0 
x 2  y2
x 2  y2
1
 1
.
R 22
2R 22
x 2  y2 1
1
(  ).
2
R1 R 2
t L (x, y)  exp(jkn 0 ) exp[ jk(n  1)
x 2  y2 1
1
(  )]
2
R1 R 2
t L ( x , y)  exp( jkn 0 ) exp[  j
k 2
( x  y 2 )].
2f
108
Скалярная теория дифракции
Линза, как элемент, выполняющий преобразование Фурье
Тонкая линза освещается плоской световой волной
через прижатый к ней тонкий объект (транспарант) с
пропусканием t0(x,y). Тогда, если амплитуда плоской
волны равна А, на линзу будет падать волна с
амплитудой
UL (x, y)  At0 (x, y).
Конечный размер линзы задается с помощью
функции зрачка P(x,y), определяющей ее края,
которая равна 1 внутри апертуры линзы и 0 вне ее.
U L/ ( x, y)  U L ( x , y)P( x, y) exp[  j
k 2
( x  y 2 )].
2f
Найдем амплитуду поля в фокальной плоскости линзы Uf(xf,yf). Для этого воспользуемся формулой дифракции для френелевской
области с заменой z на f
k
2
2
exp[ j
Uf (x f , yf ) 
2f
( x f  y f )]
j f
k
2
2
2
( xx f  yyf )]dxdy.
 U L ( x , y ) exp[ j ( x  y ) exp[ j

2f
f
k
exp[ j ( x f2  y f2 )]
2
2f
U f (x f , yf ) 
U L ( x , y)P( x , y) exp[  j ( xx f  yy f )]dxdy .

j f
f

U f (x f , yf ) 
A exp[ j
k 2
( x f  y f2 )]
2
2f
t
(
x
,
y
)
exp[

j
( xx f  yy f )]dxdy .
 0
j f
f

2
A2
2
If (x f , yf )  2 2  t 0 (x, y) exp[ j (xxf  yyf )]dxdy .
f 
f
109
Скалярная теория дифракции
Линза, как элемент, выполняющий преобразование Фурье
Пусть освещающая волна является плоской, предмет и
линза тонкими, а лучи, формирующие распределение поля в
фокальной плоскости, - параксиальными.
Пусть распределение света после объекта U0 (Фурье-спектр
этого распределения – F0), распределение амплитуды света,
падающего на линзу UL (Фурье-спектр этого распределения
– FL), а распределение поля в фокальной плоскости – Uf.
Считаем, что на расстоянии d0 справедливо приближение
Френеля
U f (x f , yf ) 
A exp[ j
d
k
(1  0 )( x f2  y f2 )]
2
2f
f
t
(
x
,
y
)
exp[

j
( x 0 x f  y 0 y f )]dx 0 dy 0 .
 0 0 0
j f

f

110
Скалярная теория дифракции
Формирование изображения линзой в дифракционном приближении
Поле сразу за предметом будет иметь вид U0(x0,y0), а на
расстоянии di за линзой – Ui(xi,yi). Необходимо
определить условия, при которых распределение поля
в плоскости за линзой можно с уверенностью назвать
изображением предмета.
Ui ( x i , yi )   h ( x i , yi , x 0 , y0 ) U 0 ( x 0 , y0 )dx 0dy 0 ,

Чтобы изображение было высококачественным,
необходимо, чтобы поле Ui мало отличалось от U0.
Это значит, что импульсный отклик должен быть
очень близок к -функции
h(x i , yi , x 0 , y0 )  K(x i  Mx0 , yi  My0 ),
Теперь допустим, что предмет – точечный источник с координатами (x0,y0),
описываемый -функцией. В этом случае на линзу будет падать сферический пучок, расходящийся из этой точки. В
параксиальном приближении эту волну можно записать в виде
1
k
U L ( x, y) 
exp{j
[(x  x 0 ) 2  ( y  y0 ) 2 ]}.
jd 0
2d 0
После прохождения через линзу
U L/ ( x, y)  U L ( x, y)P( x, y) exp[  j
k 2
( x  y 2 )].
2f
111
Скалярная теория дифракции
Формирование изображения линзой в дифракционном приближении
Распределение поля в плоскости за линзой может быть получено с помощью интеграла Френеля с учетом того, что это
распределение и есть импульсный отклик, так как оно создано точечным источником
h ( x i , yi , x 0 , y 0 ) 
1
k
U L/ ( x, y) exp{j
[(x  x i ) 2  ( y  yi ) 2 ]}dxdy.

jd i 
2d i
Объединяя четыре последних в одну формулу, получим
h ( x i , yi , x 0 , y 0 ) 
x
y
1
k
k
k 1 1 1
x
y
exp[j
(x i2  yi2 )]exp[j
( x 02  y02 )] P( x, y) exp[j (   )(x 2  y 2 )]exp{ jk[( 0  i ) x  ( 0  i ) y]}dxdy.
 d 0d i
2d i
2d 0
2 d0 di f
d0 di
d0 di

2
Экспоненты, стоящие перед интегралом, не зависят от переменных (x,y), они определяют фазовое искривление в плоскостях
предмета и изображения. Первую из этих экспонент, зависящую от (xi,yi), можно в расчет не принимать, так как в плоскости
изображения, как правило, стоит квадратичный детектор (глаз, фотоприемник и т.д.), который все равно фазу не регистрирует.
К сожалению, от второй экспоненты так просто не избавиться. Вычисляемая функция импульсного отклика входит в
подынтегральное выражение, которое интегрируется по переменным (x0,y0). Однако, если система достаточно близка к
идеальной, а только такая система будет создавать изображение объекта, то ее импульсный отклик должен быть похож на функцию. Это означает, что амплитуда волны в точке (xi,yi) будет определяться вкладом только от очень малой области в
пространстве предмета с центром в точке, соответствующей идеальному геометрическому изображению. Если внутри этой
области аргумент от функции
k
exp[ j
( x02  y02 )] меняется не более, чем на доли радиана, то
2d 0
exp[ j
k
k xi2  yi2
( x02  y02 )]  exp[ j
(
)],
2d 0
2d 0
M
и теперь его можно опустить, так как здесь нет координат
входной плоскости.
112
Скалярная теория дифракции
Формирование изображения линзой в дифракционном приближении
Используя формулу Гаусса
x
y
1
x
y
P( x, y) exp{ jk[( 0  i ) x  ( 0  i ) y]}dxdy

 d 0d i 
d0 di
d0 di
Это соотношение определяет расположенную за линзой точку, в которой пересекаются лучи, исходящие из одной и той же
точки предмета.
Для того, чтобы доказать, что полученная функция импульсного отклика соответствует реальности, необходимо, чтобы в
предельном переходе 0 эта функция превратилась в функцию импульсного отклика геометрической оптики, то есть в функцию. Покажем это.
Увеличение системы в данном случае будет равно .0  d i d 0
Тогда
h ( x 0 , y0 , x i , yi ) 
h ( x i , yi , x 0 , y 0 ) 
2
1
2
P( x, y) exp{ j
[(x i  0 x 0 ) x  ( yi  0 y0 ) y]}dxdy

 d 0d i 
d i
2
Фактически это формула дифракции Фраунгофера. Ее появление не должно быть удивительным, так как при выборе di в
соответствии с формулой линзы анализируется плоскость, в которой сходится сферическая волна, прошедшая через линзу.
Совершим предельный переход к условиям геометрической оптики. В этом случае дифракционные эффекты должны быть
несущественны. Осуществим замену переменных
тогда
x  x di ,
y  y di
h( x i , yi , x 0 , y0 )  0  P(d i x, d i y) exp{ j2[(x i  0 x 0 ) x  ( yi  0 y0 ) y]}dxdy

При 0 аргументы функции зрачка Р стремятся к нулю, а это значит, что Р=1, так как по центру апертуры пропускание всегда
равно единице
1 x
y
h( x i , yi , x 0 , y0 )  0  exp{ j2[(x i  0 x 0 ) x  ( yi  0 y0 ) y]}dxdy  0( x i  0 x 0 , yi  0 y0 )   ( i  x 0 , i  y0 ).
0 0
0

Подставляем выражение для импульсного отклика в интеграл суперпозиции и получаем
Ui ( x i , yi ) 
1
x
y
U 0 ( i , i ).
0
0 0
113
Частотный анализ оптических систем
114
Частотный анализ оптических систем
Свойство линейности дает возможность применить к оптическим системам удобный математический аппарат теории линейных систем,
позволяющий однозначно определять свойства оптических систем, вводя описание их работы как линейное преобразование входного
сигнала в выходной. Под системой вообще понимается любое устройство, производящее какое-либо действие над сигналом. Действие
линейной системы в общем случае описывается интегралом суперпозиции:
s ВЫХ (u ВЫХ )   h(u ВЫХ ; u ВХ )s ВХ (u ВХ )du ВХ

На практике реальные системы, строго говоря, не являются линейными, но можно говорить о той или иной степени их близости к
линейным в некоторой области. В частности, как известно, при выполнении некоторых условий, в дифракционном приближении
преобразование входного светового поля, осуществляемого оптической системой, характеризуется интегралом суперпозиции вида:
U ВЫХ (x ВЫХ , y ВЫХ )   h(x ВЫХ , y ВЫХ ; x ВХ , y ВХ )U ВХ (x ВХ , y ВХ )dx ВХ dy ВХ

в случае когерентной оптической системы, а в случае некогерентной оптической системы
IВЫХ (x ВЫХ , yВЫХ )    h(x ВЫХ , yВЫХ ; x ВХ , yВХ ) IВХ (x ВХ , yВХ )dx ВХ dy ВХ
2

где UВХ,ВЫХ - комплексные амплитуды и IВХ,ВЫХ - интенсивности поля на входе и выходе соответственно, h - комплексный импульсный
отклик оптической системы, к - вещественная константа. То есть, когерентная оптическая система осуществляет линейное преобразование
амплитуды, а некогерентная - линейное преобразование интенсивности. Когерентная передаточная функция:
H(f x , f y )  FT{h}
описывает действие когерентной оптической системы в частотной области и совпадает с точностью до системы координат с функцией
зрачка оптической системы
H(f x , f y )  P(di f x ,di f y )
здесь di – расстояние до изображения. Аналогичные соображения верны и для пространственно-некогерентных оптических систем, хотя
математическое описание в этом случае несколько сложнее. Таким образом, зная частотные характеристики оптической системы можно
удобным образом судить о ее действии.
115

similar documents