triangles isométriques - École Secondaire du Mont-Sainte-Anne

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Les triangles isométriques
~
=
Tout polygone est décomposable en un certain nombre de triangles.
Cette caractéristique donne aux triangles une importance particulière.
En étudiant le triangle, on étudie en quelque sorte tous les polygones.
Les triangles isométriques retiennent d’abord notre attention.
Les figures isométriques en général, donc les triangles isométriques,
possèdent les propriétés suivantes:
- mêmes mesures d’angles homologues;
- mêmes mesures de côtés homologues;
- mêmes périmètres et mêmes aires;
- le rapport des lignes homologues est égal à 1;
- elles sont donc parfaitement superposables.
Démontrer que des triangles sont isométriques nous permettra de
prouver de nouvelles situations géométriques.
Des triangles sont isométriques s’ils respectent certaines conditions; ces
conditions sont :
CCC :
3 paires de côtés homologues isométriques;
CAC :
une paire d’angles homologues isométriques compris entre
deux paires de côtés homologues isométriques;
ACA :
une paire de côtés homologues isométriques compris entre
deux paires d’angles homologues isométriques;
Examinons ce que cela veut dire !
Propriété CCC : 3 paires de côtés homologues isométriques;
Construisons deux triangles ayant les mêmes mesures de côtés.
3 cm
5 cm
4 cm
5 cm
4 cm
3 cm
Lorsque deux triangles ont trois paires de côtés homologues congrus,
on ne peut pas construire deux triangles différents.
Si deux triangles ont trois paires de côtés homologues isométriques, ils
sont nécessairement isométriques : CCC.
CCC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues
isométriques.
Propriété CAC :
1 paire d’angles homologues isométriques compris
entre 2 paires de côtés homologues isométriques;
Construisons deux triangles ayant une paire d’angles homologues congrus
compris entre deux paires de côtés homologues congrus..
500
500
8 cm
8 cm
La seule manière de compléter ces triangles est comme suit.
Si deux triangles ont une paire d’angles homologues isométriques compris
entre deux paires de côtés homologues isométriques, ils sont
nécessairement isométriques : CAC.
CAC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues
isométriques et le A signifie une paire d’angles homologues isométriques.
Propriété ACA :
1 paire de côtés homologues isométriques compris
entre 2 paires d’angles homologues isométriques;
Construisons deux triangles ayant une paire de côtés homologues congrus
compris entre deux paires d’angles homologues congrus..
600
400
7 cm
600
400
7 cm
La seule manière de compléter ces triangles est comme suit.
Si deux triangles ont une paire de côtés homologues isométriques compris
entre deux paires d’angles homologues isométriques, ils sont
nécessairement isométriques : ACA.
ACA est une abréviation; le C signifie une paire de côtés homologues
isométriques et chaque A signifie une paire d’angles homologues isométriques.
Remarque 1 : Lorsque deux triangles sont isométriques, on retrouve
nécessairement les trois propriétés CCC, CAC et ACA.
Cependant, la bonne propriété à utiliser pour démontrer que deux
triangles sont isométriques dépend des informations fournies par la
situation.
Exemples:
5 cm
5 cm
3 cm
si
3 cm
4 cm
5 cm
alors
CCC
alors
CAC
alors
ACA
4 cm
5 cm
si
300
300
4 cm
4 cm
si
300
300
4 cm
4 cm
Remarque 2 : La propriété AAA n’est pas une condition qui prouve que deux
triangles sont isométriques.
Exemple :
600
600
300
300
Remarque 3: CAA n’est pas une condition qui prouve que deux triangles sont
isométriques.
C’est le sigle du club automobile :
Voyons maintenant
Démontrer
que :
quelques applications.
B
A
Toute diagonale d’un parallélogramme
engendre deux triangles isométriques.
D
Affirmations
1) AD ~
= BC et
AB ~
= DC
2) AC ~
= AC
3)
∆ ABC
~
=
Justifications
1) Les côtés opposés d’un parallélogramme
sont isométriques.
2) Car AC est un côté commun aux
deux triangles.
∆ ADC
C
3) CCC
F
Démontrer que :
Si la diagonale d’un quadrilatère est la
bissectrice de deux angles opposés,
alors elle forme deux triangles
isométriques.
H
Justifications
Affirmations
1)
FEG ~
=
HEG
FGE ~
=
HGE
2) EG ~
= EG
3)
∆ EFG
~
=
G
E
1) Car EG est une bissectrice.
2) Car EG est un côté commun aux
deux triangles.
∆ EHG
3) ACA
B
Démontrer que :
L’axe de symétrie d’un triangle isocèle partage
ce triangle en deux triangles isométriques.
A
Affirmations
1) AE ~
= CE
2)
AEB ~
=
∆ AEB
~
=
Justifications
1) Car l’axe de symétrie EB est la
médiatrice de AC .
CEB
2) Car EB est une médiatrice, donc
une perpendiculaire.
3) Car EB est un côté commun aux
deux triangles.
3) EB ~
= EB
4)
E
∆ CEB
4) CAC
C
B
A
Démontrer que :
Les angles opposés d’un parallélogramme
sont congrus.
D
Affirmations
1) AD ~
= BC et
AB ~
= DC
2) AC ~
= AC
3)
∆ ABC
4)
B ~
=
~
=
C
Justifications
1) Les côtés opposés d’un parallélogramme
sont isométriques.
2) Car AC est un côté commun aux
deux triangles.
∆ ADC
3) CCC
D
4) Dans les triangles isométriques, les
éléments homologues sont congrus.
Remarque: Après avoir démontré que deux triangles sont isométriques, cet axiome
peut être utilisé pour justifier une affirmation.
A
Démontrer que :
B
Dans un cercle, deux angles au centre congrus
déterminent des cordes congrus.
Affirmations
1) AO ~
= BO ~
= CO ~
= DO
2)
3)
AOB ~
=
∆ AOB
~
=
COD
∆ COD
4) AB ~
= CD
O
C
Justifications
D
1) Les rayons d’un même cercle sont congrus.
2) C’est une donnée du problème.
3) CAC
4) Dans les triangles isométriques, les
éléments homologues sont congrus.
Dans cette figure :
~ DH
FD =
FE
Démontrer que :
F
GH
~ GH
FE =
E
Affirmations
G
D
Justifications
1)
~
FDE =
GDH
1) Ce sont des angles opposés par le
sommet.
2)
~
DFE =
GHD
2) Ce sont des angles alternes-internes
formés par des parallèles.
~ DH
3) FD =
4)
∆ FED
~
=
∆ GDH
~ GH
5) FE =
3) C’est une donnée du problème.
4) ACA
5) Dans les triangles isométriques, les
éléments homologues sont congrus.
H
D
Dans cette figure :
AE et BD se coupent en leur milieu.
A
2 cm
3,1 cm
400
C
450
2 cm
3,1 cm
B
A) Détermine la mesure de l’angle B en donnant l’énoncé qui justifie ton
calcul.
m
B = 950 ; la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .
B) En vertu de quel énoncé, les deux triangles sont-ils isométriques ?
~ CE et BC =
~ CD ; c’est une donnée du problème.
CAC car AC =
et
C) Détermine m
m
~
ACB =
DCE ; angles opposés par le sommet.
D et donne l’énoncé qui justifie ta réponse.
D = 950 ; dans les triangles isométriques, les éléments homologues sont
congrus.
E

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