发挥集体智慧,提高课堂效益

Report
福州高级中学
陈锦平
一、什么是集体备课
• 集体备课是指教师在以自己所有的
生活感受和知识储备教会学生如何
学习、如何思索、逐渐成长的备课
基础上形成的一种共同研究教什么、
怎么教、学什么、怎么学、考什么、
怎么考的一种集思广益的备课形式。
二、集体备课的意义
• 社会赋予我们相同的职责
• 教师自身发展的需要
• 提高年段的学科成绩
三、 如何进行有效的集体备课?
• 1、学校制度保障 严格管理
• 2、教研组制定集体备课的流程
• 3、老师通力合作
三、 如何进行有效的集体备课?
抓住“课标”与“教材”的基准
抓住“制定”与“达成”的契合
抓住“情境”与“情感”的交汇
抓住“例题”与“方法”的结合
函 数 的 奇 偶 性
知识与技能
过程与方法
①理解奇函数和偶函数的概念,重
点是理解概念的本质特征,难点是
经历概念的数学化提炼过程。
②掌握用定义判断奇偶性的方法
情感、态度
价值观
教学目标定位比较实在
函 数 的 奇 偶 性
知识与技能
①经历从初中“图形对称性”到高中“函
数奇偶性”的概念形成过程
②经历从几个具体共同属性到一般抽象函
过程与方法 数本质性的数学化提炼过程
③体验数学思想方法,如函数思想、数形
结合思想等
④发展数学理性思维(从观察、归纳到概
情感、态度 括、论证),积累数学活动经验
价值观
教学目标定位比较实在
函 数 的 奇 偶 性
知识与技能
①经历从初中“图形对称性”到高中“函
数奇偶性”的概念形成过程
②经历从几个具体共同属性到一般抽象函
过程与方法 数本质性的数学化提炼过程
③体验数学思想方法,如函数思想、数形
结合思想等
④发展数学理性思维(从观察、归纳到概
情感、态度 括、论证),积累数学活动经验
价值观
教学目标定位比较实在
• 问题1:能否用辗转相减将98与63转化成较
小的数,从而求出最大公约数.
• 问题2:为什么7既是63和35的最大公约数既
是98和63的最大公约数?
• 问题3:从中看出计算的规律是什么?
• 问题4:更相减损术的关键步骤是哪种逻辑结
构?
• 引导学生得出:更相减损术是一个反复执行
直到差数等于0停止的步骤,这实际上是一个
循环结构。
• 问题5:写出更相减损术的程序框图
x =m
m=n
n=x
m-n=r
r = m+ n
是
98 - 63 = 35
m <n?
63-35 = 28
否
r=m-n
35-28= 7
m=n
n=r
r=0?
是
否
28 - 7=21
21 - 7=14
14 - 7=7
程序框图
开始
x =m
m=n
n=x
输入m,n
是
m<n?
否
r=m - n
m=n
n=r
r=0?
是
输出m
结束
否
程序:
INPUT m, n
DO
IF m<n THEN
x=m
m=n
n=x
END IF
r=m- n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,D 在
BA的延长线上,AD=AE,连结DE。
求证:DE⊥BC。
D
A
E
B
C
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,
D在BA的延长线上,AD=AE,连结DE。求证:
DE⊥BC。
D
A
方法一)证明:
延长DE交BC边
于F点
E
B
F
图1
C
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,
D 在BA的延长线上,AD=AE,连结DE。
D
求证:DE⊥BC
A
方法二)证明:
过C点做AB的平
行线,交DE的延
长线于N点
E
F
B
C
图2
N
已知:如图,在△ABC
中,AB=AC,E在AC上,
D 在BA的延长线上,
AD=AE,连结DE。
D
A
求证:DE⊥BC。
E
方法三)证明:
B
C
F
图3
G
过B点做AC的平
行线,交DE的延
长线于G点
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E在
AC上,D 在BA的延长线上,AD=AE,
连结DE。求证:DE⊥BC。
Q
D
方法四)证明:
过B点做DE的平
行线,交CA的延
长线于Q点
A
E
B
图4
C
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,D 在BA的
延长线上,AD=AE,连结DE。求证:DE⊥BC。
R
D
方法五)证明:
过C点做DE的平
行线,交BA的延
长线于R点
A
图5
E
B
C
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,D
在BA的延长线上,AD=AE,连结DE。
求证:DE⊥BC。
O
D
方法六)证明:
过D点做BC的延
长线,交CA的延
长线于O点,并
延长DE交BC于F
点
A
E
图6
B
C
F
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,D
在BA的延长线上,AD=AE,连结DE。
求证:DE⊥BC。
D
方法七)证明:
过A点做BC的平
行线,交DE于P
点
A
P
图7
E
B
C
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,D
在BA的延长线上,AD=AE,连结DE。
求证:DE⊥BC。
D
方法八)证明:
过E点做BC的平
行线,交AB于K
点,并延长DE
交BC于F点
A
图8
K
(证明略)
B
E
F
C
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,D
在BA的延长线上,AD=AE,连结DE。
求证:DE⊥BC。
D
方法九)证明:
过E点做AB的平
行线,交BC于M
点,并延长DE交
BC于F点
A
图9
E
(证明略)
B
M
F
C
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,D
在BA的延长线上,AD=AE,连结DE。
求证:DE⊥BC。
D
方法十)证明:
过D点做AC的平
行线,交BC的延
长线于H点,并
延长DE交BC于F
点
A
E
(证明略)
B
F
C
图10
H
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,E在AC上,D
在BA的延长线上,AD=AE,连结DE。
求证:DE⊥BC。
D
图中AR这条线段
的引出可以看成
是:
方法十一)证明:
过A点做DE的平
行线,交BC于R
点,并延长DE交
BC于F点
A
1、过A点做DE的
平行线
2、过A点做BC的
垂线
E
(证明略)
B
R
图11
F
C
3、∠BAC的角平
分线
4、BC边的中线
D
D
E
E
E
CB
D
A
E
B
A
A
A
B
D
C
CB
C
例如:已知动点 P
x2 y2
与双曲线   1 的两个焦点
2
3
F1, F2 的距离之
和为 6, (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;
(2)若 PF1  PF2  3 ,求 PF1 F2 面积;
(3)若已知 D(0,3),M,N 在 C 上且 DM   DN 求实数  的取值范
围
D
M
F
A
F
1
N
B
2
X
思路 1 数学直觉好的同学会说:
“显然当点 M,N 运
动到 AB 的位置时,  将取得最小值或最大值,口算
1
5
1
5
就能得到 和 5,因此    5
D
M
A
F1
N
F2
B
思路2 以点D为圆心,DB为半径作一个圆,其方程为 x  ( y  3)  25 ,
2
2
现考虑圆与椭圆的位置关系,联立两个方程得它们只有一个公共点,
因此 A,B 点分别是椭圆上和点 D 距离最近和最远的点。
D
M
A
F1
N
F2
B
思路 3
1
5
当直线 DMN 的斜率不存在时,易求   ,   5
当直线 DMN 的斜率存在时,可设直线方程为 y=kx+3,代入
x2 y2
椭圆方程 
1
9
4
整理得; (4  9k 2 ) x 2  54kx  45  0 ,由   0 可得 k 2 
5
①
9
设 M,N 的坐标分别为(x1,y1) (x2,y2),依题意得 x1=  x2,根据韦达定
理可得:x1+x2=(1+  )x2= 
消去 x2 得;
(1   ) 2

将①代入②得③ 4 

54 k
45
;x1x2=  x22=
2
4  9k
4  9k 2
54  6
②
4
5( 2  9)
k
(1   ) 2


36
5
1
5
所以    5
M
D
A
F1
N
F2
B
问题 3 上述三个步骤非常关键,学生往往忽略了①,而②体现了方
程思想,也提醒大家解题中要强化问题的目标意识,③的难度大学生
在此望而却步。能否避免分类讨论、
思路 4
x2 y2
直线 DN 方程为 x=m(y-3),代入椭圆方程   1
9
4
整理得; (4n  9) y  24n y  36(n  1)  0 ,由   0 可得 n 2 
2
2
2
2
9
①
5
设 M,N 的坐标分别为(x1,y1) (x2,y2),则 y1-3=  (y2-3)根据韦达
24n 2
36(n 2  1)
定理可得:y1+y2= 2
;y1y2= 
4n  9
4n 2  9
②
1
 5
5
D
M
A
F1
N
F2
B
思路五:设 M,N 的坐标分别为(x1,y1) (x2,y2),则 x1=x2,y1-3= (y2
x2
y2
x2 (y 2  3  3) 2
-3)因为 M,N 在椭圆上,所以 
 1及

1
9
4
9
4
2
2
消去 x2 得: 6 (  1) y 2  (13  5)(  1) ,  =1 或 y 2 
1
所以    5
5
D
M
A
F1
N
F2
B
2
(13  5)
而 y2  2 ,
6
思路六:设 p 为椭圆上的任一点(3cosθ,2sinθ),
6 2 126

5
(sin


) 
则 DP =(3cosθ-0) +(2sinθ-3) =
,
5
5
2
2
2
当 sinθ=-1 或 1, DP 的值也取得最值
D
M
A
F1
N
F2
B
例如:
若

2
 

2
,
cos 
2

求函数 f ( ) 
的最小值
2
cos 
解法 1:利用函数的单调性
令 cos =t,0<t  1
t
2
2
t
原题等价于求函数 f (t )   ,当 t  (0,1] 时的最小值
t1  t 2 2(t 2  t1 ) t1  t 2
4
设 0  t1  t 2  1 , f (t1 )  f (t 2 ) 


(1 
) 0,
2
t1t 2
2
t1t 2
 f (t1 )  f (t 2 ) 所以 f(t)在(0,1〕上单调递减,
5
2
从而〔f(t)〕min=f(1)= ,即〔f(α)〕min=
5
2
解法 2:利用基本不等式
cos 
2
cos 
1
3
f ( ) 



=
2
cos 
2
2 cos  2 cos 
cos 
1
3

; h( ) 
令 g ( ) 
2
2 cos 
2 cos 


∵     ∴ 0  cos   1
2
2
cos
1
g ( ) 

 1(当且仅当cos=1时取等号)
2
2 cos
3
h( ) 
(当且仅当cos=1时取等号)
2 cos
5
∴ cos=1时,即=0时,〔f(α)〕min=
2
解法 3:利用导数求
 sin  2 sin 
1
2
cos2   4
f ( ) 
 2   sin  (  2 )   sin  
2
2 cos 
cos 
2 cos2 
'


( ,0)
2
0

(0, )
2
f ' ( )
-
0
+
f ( )

极小值

所以 当 =0时, 〔f(α)〕min=
5
2
解法 4:利用判别式法求解
将原式化为 cos2   2 y cos  4  0, 令 cos =t,0<t  1
原题等价于求函数 t 2  2 yt  4  0 ,在 t (0,1] 有解时 y 的最小值
4 y 2  16  0
5

由  2 y  4 y 2  16 ,解得 y 
2
1
0 
2

5
5
〔f(t)〕min= ,即〔f(α)〕min=
2
2
解法 5:利用方程的实根分布求解
将原式化为 cos2   2 y cos  4  0, 令 cos =t,0<t  1
原题等价于求函数 t 2  2 yt  4  0 ,在 t  (0,1] 有解时 y 的最小值
令 f (t )  t 2  2 yt  4  (t  y) 2  4  y 2 , t  (0,1]其函数图像是以 t=y 为对称
轴、过定点(0,4),且开口向上的抛物线(如图)
8
6
4
2
-15
-10
-5
5
10
-2
-4
-6
-8
由   4 y 2  16  0 ,得 y<-2(舍去)或 y>2,即对称轴 t>2,所以,要
使 t 2  2 yt  4  0 ,在 t  (0,1] 有解,只需 f(1)  0,即 1-2y+4  0,故
y
5
5
即〔f(α)〕min=
2
2
解法 6:利用数形结合求解
cos 
2
cos2   4
cos2   (4)
f ( ) 

=
=
,可以看成是动点
2 cos 
2 cos
2 cos  0
p(2 cos , cos2  )到定点 Q(0,-4)连线的斜率,p 点轨迹是抛物线
1 2
y  x (0  x  2) 的一段,从图像不难看出:当点 p 处于端点(2,1)
4
1  ( 4 ) 5
时,PQ 的斜率最小,〔f(α)〕min=
=
20
2
原题展示
如图,分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方
形AEDB和正方形ACFG,连结CE、BG。
求证:BG=CE E
G
A
D
F
B
C
来源
八下课本作业题
变式一:条件不变、增加探究结论
(2)观察图形猜想CE与BG之间的位置关系,并证明
你的猜想。
(3)图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到?请
说出是怎样的变换?
E
G
A
D
F
B
C
变式二:添加条件,探索新结论
(4)如上图,AB=11,AC=7,连结EG,
求BC2+EG2的值
E
G
A
D
O
F
B
C
(2007甘肃陇南中考题)
四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.
(1)求证:AE=CG;
(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,
并证明你的猜想
G
F
加强知识
的巩固
A
B
D
C
E
变式三:改变条件,探究原结论
把“正方形ABCD、DEFG”改为“矩
形ABCD、DEFG(长宽不等)”,上面两
个结论还成立吗?若不成立,请问在什
么条件下成立?
G
F
A
(1)通过类比,加深全等与相似
知识的理解与巩固
(2)培养学生的探索、创新精神
D
B
C
E
变式四:图形旋转,探究原结论
四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.
(1)求证:AE=CG;
(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,
并证明你的猜想.
G
F
A
B
D
E
C
旋转演示
变式四:图形旋转,探究原结论
(3)正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转,使AD
与GD重合如图(1)时,上述两个结论是否成立?
(4)正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转,如
图(2),上述两个结论是否成立?
G
B
GF
A
G
F
A
F
C
B
C
B
D
C
图(1)
ED
E
ED
A
图(2)
(5)如图(2),连结BF,求CG:BF:AE的值. 旋转演示
2008年浙江省义乌市中考题
如图1,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(点G与
C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG,
连结BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系
及所在直线的位置关系:
(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线
的位置关系;
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转
任意角度,得到如图2、如图3情形.请你通过观察、测量等方
法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断.
2008年浙江省义乌市中考题
(2)将原题中正方形改为矩形(如图4—6),且AB=a,
BC=b,CE=ka, CG=kb (a≠b,k>0),第(1)题①中得到
的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图5为例简要
说明理由.
(3)在第(2)题图5中,连结DG、BE,且a=3,b=2,
k=0.5,求的BE2+DG2值.
变式五:根据图形或变式图形,求面积
1.如图,A在线段BG上,ABCD和DEFG都是正方形,
面积分别为7和11,则△CDE的面积等于
。
E
C
B
D
A
F
G
2.如图,直线上有三个正方形a、b、c,若a、c的
面积分别为5和11,则b的面积为(
)
A.4
B.6
C.16
D.55
b
a
c
变式五:根据图形或变式图形,求面积
3.如图,梯形ABCD中,AB∥DC, ∠ADC+
∠BCD=90°,且DC=2AB,分别以DA、AB、
BC为边向梯形外作正方形,其面积分别为S1、
S2、S3,则S1,S2,S3之间的关系是______.
S2
S1
(1)补形法,旋转法 D
(2)数形结合思想和转
化思想
S3
A
B
C
1. (05年温州市中考题)在直线l上依次摆放着七个正
方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积
(1)启发学生寻找基本图
分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次
形,利用基本图形解题,
是S1培养图形识别和观察能力.
、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4=______.
(2)方程思想
1
S1
2
S2
3
S3
S4
2.如图,分别以Rt△ABC的三边向形
外作正方形ABGH、BCEF、ACDI,
若直角边BC=1,AC=2,则六边形 G
DEFGHI的面积。
H
I
A
B
F
C
E
D
变式六:图形改变,探究定点定值问题
如图,已知C为定线段AB外一动点,分别以
AC、BC为边在△ABC外作正方形CADF和
CBEG,求证:不论点C的位置在AB的同侧
怎样变化,线段DE的中点M为定点。
从图形运动中找出规律,
转化为一般的几何证明
问题,探究解决新问题 D
的策略,训练思维的灵
活性。
F
G
C
A
E
B
演示
变式七:变换条件结论,提高探索能力
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以AC、BC为边向
△ABC外分别作正方形CBHF和正方形ACDE,连结DF,过点
C作CG⊥AB,垂足为G,且CG的反向延长线与DF交于点I。
1
1
(1)求证: CI 
AB  DF
2
2
(2)当∠ACB≠90°时,以上结论成立吗?若
不成立,关系又怎样?
D
C
I
B
A
E
F
F
G
C
I
H
A
H
D
G
B
E
变式七:变换条件结论,提高探索能力
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以AC、BC为边向
△ABC外分别作正方形CBHF和正方形ACDE,连结DF,过点
C作CG⊥AB,垂足为G,且CG的反向延长线与DF交于点I。
(3)当∠ACB为钝角,且分别向△ABC内作正方
形CBHF和ACDE,问:此时线段CI与AB间的数量关
1
系如何?CI是否平分DF?线段CI与 AB是否相等?
2
第(1)小题是常规题,第
D
(2)(3)小题又是探索
题,第(3)小题图形变化, I
E
寻找基本图形,培养识图
能力、探究能力和发散思
C
维能力。
A
C
B
A
F
F
G
I
H
H
D
G
B
E
变式八:改变条件,挖掘内在联系
(1)万变不离其宗,
如图,分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正
揭示问题的实质;
三角形ABD和正三角形ACE,连结CD、BE。
(2)使知识进一步理
(1)求证:BE=DC
解和内化,培养思维
的准确性,提高解决
(2)求直线猜想CD与直线BE的夹角
问题的能力以及应变
能力。
D
E
A
B
C
变式九:根据结论,探究条件
如图,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC的同
侧作等边三角形ABD,ACE,BCF
(1)求证:四边形DAEF是平行四边形;
(2)探究下列问题
①当△ABC满足什么条件时,四边形DAEF是矩形?
②当△ABC满足什么条件时,四边形DAEF是菱形?
③当△ABC满足什么条件时,以D,A,E,F为顶点的四
F
边形不存在?
(1)考查知识点丰富 D
(2)培养学生思维的全
面性与创新性,空间想象
能力、逻辑推理能力;
(3)渗透分类与转化的
数学思想方法。
(4)体现数学的整体性
E
A
B
C
变化演示
2008年广东佛山市中考题
如图,△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等
边三角形.
(1) 当AB≠AC时,证明四边形ADFE为平行四边形;
(2) 当AB = AC时,顺次连结A、D、F、E四点所构成的
图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应的条件.
F
分类思想
D
E
A
B
C
变式十:添加背景材料,与函数相结合
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°∠ACB=30°,
BC=2,四边形ABDE和ACFG均为正方形.
(3)在(2)的情况下,求经过A、B、O三点
(2)在(1)的图形中,如果点A是一次函数
(1)以点C为坐标原点,BC与x轴重合,画出直角坐
标系,并求点E、F、G的坐标.
的抛物线的解析式。
y  0.5 x  2 上的一个动点,点A运动到什么
位置时,正方形ABCD和AOEF的面积和最小?最
小面积是多少?
(1)充分运用数形结合和建立函
数模型求面积和的最小值,(2)
G
提高学生的知识、能力和心理等
综合素质
F
E
A
D
C
B
原
题
三角形
相似
三角形
全等
三角
函数
等腰
三角形
直角
三角形
添辅助
线方法
等边
三角形
方程
图形
运动
函数
数与式
平行
四边形
圆
三角形
综合
应用
四边形
思想
方法
解决问
题策略
教材习题
菱形
正方形
矩形
梯形
转化
建模
数形
结合
分类
方程
2007年高考数学全国卷Ⅱ(理科)22题
已知函数f ( x)  x  x
3
(I)求曲线y  f ( x)在点M (t , f (t ))处的切线方程;
(II)设a  0,如果过点(a, b)可作曲线y  f ( x)的
三条切线,证明: a  b  f (a)
3
2
f
(
x
)

ax

bx
 cx  d (a  0) 的图像
探究 三次函数
f ( x)  0的判别式为
f ( x)  3ax2  2bx  c
Δ>0,
f ( x)在(, x1 ), ( x2 , )
Δ≤0
;在(x1, x2 )
f ( x1 ) f ( x2 )  0 f ( x1 ) f ( x2 )  0 f ( x1 ) f ( x2 )  0 f ( x)在R上
x
x1 x2
x
x1 x2
x
x
x1 x2
x
x0
x
与x轴有一个交点 与x轴有两个交点 与x轴有三个交点 与x轴有一个交点
集体备课的误区
一、集体备课是“四个等号”
集体备课=组长备课;
集体备课=个人备课;
集体备课=轮流备课;
集体备课=分头备课。
集体备课的误区
一、集体备课是“四个等号”
二、集体备课是“教案之和”
三、集体备课是“网上资料的拼盘”
四、集体备课成了“模式教育”

similar documents