1.2.1三角形的角平分线和中线

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怎样才能得到一个角的平分线?
角平分线
用量角器或折纸的办法
从一个角的顶点引出的一条射线,把这
个角分成两个相等的角。这条射线叫做这个
角的平分线。
B
如图,记作
∠AOC=∠BOC=
1
∠AOB.
2
C
O
A
你能用同样的方法画出或折出任意一个三
角形的一个内角的平分线吗?
任意剪一张三角形纸片ABC,把内角∠ BAC对折
一次,使AB与AC重合,得到一条折痕AD。把三角形
纸片展开、铺平。AD一定平分∠ BAC吗?
A
B
D
C
用量角器画∠BAC的平
分线交对边BC于D
B
A
C
D
∠BAD 和∠CAD 有什么关系?
∠BAD =∠CAD
三角形的角平分线的定义:
在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,
这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
如图∠BAC的平分线交BC于点D,线段AD就是
△ABC的一条角平分线.
A
∵ AD是 △ ABC的 角平分线

1
∠BAD =∠CAD = 2∠BAC
思考:
B
D
C
(1)三角形的角平分线是一条线段;
三角形的角平分线与角的平分线有什么不同?
(2)三角形的角平分线仍具有角平分线的基本性质。
一个三角形有几条角平分线? (三条)
A
请画出这个三角形的另外两
E
F
条角平分线,你发现了什么?
B
D
三角形的三条角平分线交于一点.
称之为三角形的内心.
C
例1、如图,AE是 △ ABC的角平分线.已知
0
0
∠B=45 , ∠ C=60 ,求下列角的大小.
(1) ∠BAE
(2) ∠AEB
解:(1)∵AE是△ABC的角平分线
1
∴∠CAE=∠BAE=
∠BAC
2
C
∵ ∠BAC+∠B+∠C=1800
E
(三角形的内角和定理)
∴∠BAC=1800-∠B-∠C=1800-450-600=750
∴∠AEB=37.50
A
(2)∵∠AEB=∠CAE+∠C (三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和)
∠CAE=∠BAE
∴∠AEB=37.50+600=97.50
B
试一试:
△ABC中,∠ABC=80°∠ACB=40°,BO、CO分
别平分∠ABC、∠ACB,求∠BOC的度数.
解:∵ ∠ABC=80°
∴∠OBC=
BO平分∠ABC
1
∠ABC=40°
2
1
同理:∴∠OCB=
∠ACB=20°
2
O
B
∴∠BOC= 180°- ∠OBC - ∠OCB
=180° - 40°-20° =120°
A
C
A
B
D
C
任意画一个三角形,用刻度尺
画BC的中点D,连接AD。
三角形的中线的定义:
在三角形中,连接一个顶点与它对边 中点的
线段,叫做这个三角形的中线.
如图,D为BC的中点,线段AD就ΔABC的BC边上的中线。
A
∵AD是△ ABC的 中线
∴BD = CD =
1
BC
2
B
D
一个三角形有几条中线?有什么特点?
特点:(1)三角形的中线是一条线段;
(2)三角形的中线的一端平分这条边。
(三条)
C
请画出这个三角形的另外两条中线,
你发现了什么?
A
F
B
三角形的三条中线交于一点.
称之为三角形的重心.
E
D
C
1、AD是ΔABC的角平分线(如图),
那么∠BAC=
2
∠BAD;
2、AE是ΔABC的中线(如图),那么
BC=
2
BE。
A
B
D
A
C
B
E
C
3、如图,AF是ΔABC的角平分线,
AE是BC边上的中线,选择
A
“>”、“<”或“=”号填空:
=
(1)BE___EC
1
= 2
(2)∠CAF___―∠BAC
=
(3)∠AFB___∠C+∠FAB
(4)∠AEC___∠B
>
B
E F
C
1、如图,在ΔABC中,∠ACB=90°,
CE是ΔABC的角平分线,已知
∠CEB=110°,求∠A和∠B的度数。
C
A
E
B
2、如图,在△ABC中,BE是边AC上的中线.
已知AB=4cm,AC=3cm, BE=5cm,
求△ABE的周长.
A
E
B
C
3、已知△ABC中,AC=5cm。中线AD把△ABC分成
两个小三角形,这两个小三角形的周长的差是
2cm。你能求出AB的长吗?
A
A
B
D
AB > AC
C
B
D
AB < AC
C
1. 什么是三角形的角平分线?
2. 什么是三角形的中线?
3. 它们都有什么性质?

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