三角形的内切圆

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三角形的内切圆
前提测评
一.判断:
1.角平分线上的点到角两边的距离相等。( √ )
A
2.圆的切线垂直于圆的半径。
( ╳
)
二.填空:
O
1.如图1,⊙O叫△ABC的 外接 圆,
B
D
外心
圆心O点叫△ABC的
,
△ABC叫⊙O的 内接 三角形。
图1
2.直线与圆有且只有唯一公共点,则此直线是圆的切线 。
3.确定一个圆的条件有两种①:已知圆心与半径;
② 不在同一直线上的三点 。
教学目标
1.让学生会用画三角形的内切圆。
2.让学生了解三角形内切圆,圆的外切三
角形和外切多边形、三角形内心的概念。
重点、难点、关键
重点:三角形的内切圆的作法和三角形的内心的应用。
难点:重点也是难点。
关键: 确定圆心位置及半径这是作三角形的内切圆的关键。
探索研究
请同学们思考下列问题:
从一块三角形的材料上裁下一块圆形的用料,怎
样才能使圆的面积尽可能大呢?
A
B
C
导读提纲
请同学们阅读教材P59,思考下列问题:
1.如图,若⊙O与∠ABC的两边相切,
那么圆心O的位置有什么特点?
圆心0在∠ABC的平分线上。
A
M
O
B
N
C
2.如图2,如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边
相切,且与内角∠ACB的两边也相切,
A
那么此⊙O的圆心在什么位置?
圆心0在∠ABC与∠ACB的两个角的角平分线
的交点上。
O
B
图2
C
3.如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的
位置与半径的长?
作出三个内角的平分线,三条内角
平分线相交于一点,这点就是符合
条件的圆心,过圆心作一边的垂线,
垂线 段的长是符合条件的半径。
4.你能作出几个与一个三角形的 A
三边都相切的圆?为什么?
只能作一个,因为三角形的三条内角
平分线相交只有一个交点。
C
F
E
I
D
B
5.什么叫三角形的内切圆?什么叫三角形的内心?
什么叫圆的外切三角形?
A
和三角形各边都相切的圆叫做三角形
的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形
的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。
B
三角形的内心是它的三条内角平分线的交点。
I
C
6.什么叫多边形的内切圆?什么叫圆的外切多边
C
形?
B
和多边形的各边都相切的圆叫做
多边形的内切圆,这个多边形叫
做圆的外切多边形。
I
D
A
E
问题解决
例1:作圆,使它和已知三角形的各边都相切。
A
已知:△ABC(如图)。
求作:和△ABC的各边都相切的圆。
分析:作圆的关键是确定圆心,
因为所求的圆与△ABC的三边
C
B
都相切,所以圆心到三边的距离相等,因此,这个点既要
在∠B的平分线上,又要在∠C的平分线上。显然这两条平
分线的交点到三边的距离相等。
A
作法:
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN,交点为I。
2.过点I作ID⊥BC,垂足为D。
3.以I为圆心,ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
M
N
I
B
D
C
例题2:如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB
=75°,点O是内心,求∠BOC的度数。
分析:
O为△ABC的内心
BO是∠ABC的角平分线
CO是∠ACB的角平分线
A
1
1  ABC
2
3 
1
ACB
2
O
∠1 + ∠3= ?
∠O = ?
2
1
B
4
3
C
解: ∵点O为△ABC的内心
1
1
ABC   50 0  25 0
∴∠1=∠2=
2
2
1
1
0
0
3  4  ACB   75  37.5
2
2
∴ ∠BOC=1800 - (∠1+∠2)
=1800 - (250+37.50)
=117.50
∴ ∠BOC=117.50
A
O
2
1
B
4
3
C
延伸与拓展
如图,在△ABC中,∠A=n°,点I是内心,
A
求∠BIC的度数。
解:∠BIC=1800-(∠IBC+∠ICB)
I
1
ABC  ACB
2
=1800- 1 (180 0  A)
2
n0
=1800-
=1800-900+
2
0
n
0
=90 +
2
B
一般地: △ABC的内
心为I, ∠A=n0 0
n
0
则∠BIC=90 +
2
C
如图,⊙I是△ABC的内切圆分别切AB、BC、CA于点D、E、
F。设⊙I的半径为r,BC=a,CA=b,AB=c,求证:
S△ABC= 1 r (a  b  c)
2
证明:连结AI、BI、CI,并连结ID、IE、IF,则ID⊥AB、
IE⊥BC,IF⊥CA。
1
1
1
S△BCI= ar
∴S△AIB=  AB  ID  c  r
2
2
2
C
1
S△ACI= br
E
2
F
∴S△ABC=S△ACI+S△BCI+S△ABI= 1 r (a  b  c)
I
2
A
D
B
反馈练习
一:填空题:
1、三角形的 内切 圆的圆心叫三角形的内心。
2、三角形的内心是三条 内角平分 线的交点,它到三角
三条边
形的
的距离相等。
一个 个内切圆。
3、任意三角形有且只有
二:选择题
1、任意三角形的内心的位置( A )
A: 总是在三角形的内部
B:可以在三角形的边上
C: 可以在三角形的外部
D:无法确定
C
2.如图△ABC的内心为I,且∠A=900, 则∠BIC=(
C)
A
A:
90°
B:120°
I
C:135°
D:150°
C
B
三:解答题:
已知Rt△ABC中,∠C=90°,r为其内切圆的半径,
C
若AC=6,BC=8.求内切圆半径r。
E
解:连结AI、BI、CI
F
由勾股定理得:AB=10
∴S△ABC=S△ACI+S△BCI+S△ABI
∴AC·BC=AC·r+BC·+AB·r
即: r=
I
B
A
D
2 AC  BC
 4 还有其他解法:切线长定理
AC  BC  AB
归纳小结
1. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆
的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做外切三角形。
2.三角形的内心是三条内角平分线相交于一点,它到三角形三边的
距离相等。
外接圆-外心  三边中垂线的交点
3.三角形与圆:三角形的 内切圆-内心  三条内角平分线交点

内接三角形  圆在三角形外
圆的 
外切三角形  圆在三角形内

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