Probabilitas

Report
Probabilitas
1.
2.
3.
4.
Sheldon M Ross, Introduction Probability and Statistics
for Engineers and Scientists, 2004
Oliver C. Ib, Fundamentals of Applied Probability and
Random Proceses, 2005
John A Gubner, Probability and random Processes for
Electrical and Computer Engineers, 2006
KA Stroud, Engineering Mathematics ,2001
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Probabilitas



Probabilitas adalah ukuran kemungkinan bagi
suatu kejadian (event) untuk terjadi dalam
suatu percobaan atau eksprimen yang
dilaksanakan dalam kondisi tertentu. Setiap
kemungkinan yang dihasilkan dari percoban
disebut hasil (outcome)
Himpunan semua hasil yang mungkin dari
suatu percoban statistika disebut ruang
sample (sample space)
Contoh :


Pelemparan mata uang logam S ={ M, B }
Pelemparan sebuah dadu S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Kejadian (Event)





Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari ruang
sample. A  S
Komplemen suatu kejadian A terhadap S adalah semua
unsur S yang tidak termasuk A. Komplemen A dinyatakan
dengan lambang A’, Ac
Irisan dua kejadian A dan B dinyatakan dengan A  B,
adalah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B
Kejadian A dan B saling meniadakan atau terpisah bila
A  B = Ø, yakni bila A dan B tidak memiliki unsur
persekutuan
Gabungan dua kejadian A dan B dinyatakan dengan
lambang AUB, adalah kejadian yang mengandung semua
unsur yang termasuk A atau B atau keduanya.(Union)
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Diagram Venn
S
S
S
A B
Ac
A B
S
A B
S
A B  Ø
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Kombinatorik
Menghitung Titik Sample


Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara,
dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat
dikerjakan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap kedua
cara operasi dapat dikerjakan dengan n3 cara dan
seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan
dengan n1.n2.n3…nk
Contoh :
Berapakah titik sample dalam ruang sample bila dua
buah dadu dilempar sekali ?
Dadu pertama dapat menghasilkan n1 = 6 posisi. Untuk
tiap posisi tersebut dadu kedua dapat menghasilkan n2
=6 posisi. Jadi pasangan dadu tersebut dapat
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
menghasilkan n .n = (6).(6) = 36 posisi
Permutasi





Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk
dari satu kumpulan benda yang diambil sebagian
atau seluruhnya.
Contoh :
Ambilah 3 buah hurup a,b,c. Permutasi yang dapat
dibuat : abc, acb, bac, bca, cab dan cba, ada n1 = 3
pilihan untuk tempat pertama, n2=2 untuk tempat
kedua dan menyisakan hanya n3 =1 untuk tempat
ketiga, jadi jumlah permutasi yang dapat dibuat oleh
3 hurup tersebut (3)(2)(1) = 6 permutasi
Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah
n!
n faktorial adalah n! = n(n-1)(n-2)…(3)(2)(1)
Definisi : 1! = 1, 0! = 1
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Banyaknya permutasi n benda berlainan bila
diambil r sekaligus adalah
n
n!
Pr 
n  r !
Contoh :
Banyaknya permutasi empat buah hurup a,b,c
dan d adalah 4! =24.
Banyaknya permutasi yang dapat dibuat dari 4
hurup bila dua 2 hurup diambil sekaligus.
Permutasi tersebut adalah : ab, ac, ad, ba, ca,
da, bc, cb, bd, db, cd, dan dc
4
4!
24
P2 

 12
4  2! 2
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Kombinasi


Kombinasi adalah banyaknya cara memilih r benda
dari sejumlah n tanpa memperdulikan urutannya.
Banyaknya kombinasi dar n benda yang berlainan
bila diambil sebanyak r sekaligus adalah
n

n!
Cr 
n  r ! r!
Contoh :
Bila ada 4 orang Elektro dan 3 orang Informatika.
Carilah banyaknya panitia 3 orang yang dibuat
yang beranggotakan 2 elektro dan 1 Informatika
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Penyelesaian

Banyaknya cara memilih 2 Elektro dari 4 adalah :
4

4!
4! 24
C2 


6
4  2! 2! 2!2! 4
Banyaknya cara memilih seorang Informatika dari
3 adalah :
3!
3! 6
C1 
3

3  1! 1!

2!1!

2
3
Jadi sesuai dengan teorema permutasi n1 =6 dan
n2 = 3 , maka didapat n1 n2 =(6)(3) =18 panitia
yang terdiri dari 2 Elektro dan 1 Informatika
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Definisi Probabilitas Klasik
Contoh :
Pelemparan sebuah dadu.
S= 1, 2 ,3 ,4, 5, 6
P(enam) = 1/6, P(bukan enam)=5/6
Kejadian {bukan A} dikatakan komplemen dari kejadian {A}
yaitu : P(Ac) = 1- P(A)
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Definisi Probabilitas Empiris/Relatif
Frekuensi
Probabilitas empiris didasarkan pada hasil-hasil sebelumnya
yang diketahui. Frekuensi relatif dari banyaknya ulangan suatu
kejadian telah muncul sebelumnya merupakan suatu indikasi
tentang kemungkinan kemunculannya dikemudian hari.
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Difinisi Probabilitas Aksioma
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Kejadian Mutually Exclusive

Kejadian terputus (mutually exclusive) adalah
kejadian yang tidak terjadi secara bersamaan.
Contohnya pada pelemparan sebuah dadu,
kejadian untuk mendapatkan angka enam dan
mendapatkan angka lima tidak mungkin terjadi
pada waktu yang sama
A B  Ø
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Kejadian Mutually Non-Exclusive

Kejadian berbarengan (mutually non-exclusive
adalah kejadian-kejadian yang dapat terjadi
secara bersamaan.Sebagai contoh pada
pelemparan sebuah dadu, kejadian mendapatkan
angka yang merupakan kalipatan 3 dan kejadian
memperoleh angka kalipatan 2 dapat terjadi
bersamaan jika angka 6 diperoleh
A B
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Aturan Penjumlahan
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Contoh :

Jika ada n kemungkinan hasil suatu percobaan dan x
menghasilkan kejadian A dan y menghasilkan kejadian B,
maka jika kejadian A dan B mutual exclusive, probabilitas
P baik bagi munculnya kejadian A atau B dan tentu saja
bukan keduanya maka
x y
P( A atau B) / P( A  B) 
n
x y
   P( A)  P( B)
n n
Jadi P( A  B)  P( A)  P( B)
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

Jika kejadian A dan B berbarengan,
sedemikian sehingga kejadian A dan B dapat
terjadi bersamaan, maka probabilitas
munculnya A atau B adalah :
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Contoh pelemparan sebuah dadu.




Probabilitas munculnya angka kalipatan
3 ( yaitu 3 atau 6) =2/6
P(A)
Probabilitas munclnya angka kalipatan 2
(yaitu 2, 4, 6)= 3/6
P(B)
P(A)=2/6; P(B)= 3/6; P(A dan B)=1/6
P(A atau B)=P(A) + P(B) – P(A dan
B)=2/6+3/6 – 1/6 =2/3
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Probabilitas Bersyarat



Probabilitas terjadinya kejadian B bila diketahui bahwa
kejadian A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat
dan dinyatakan dengan P(B|A).
Lambang P(B|A) dibaca peluang B terjadi bila diketahui A
terjadi.
Peluang bersyarat B bila A diketahui dinyatakan dengan
P(B|A) ditentukan oleh :
P( A  B)
P( B A) 
, bila P( A)  0
P( A)
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Contoh :

Sebuah kotak berisi lima resistor 10 Ω dan dua belas
resistor 30 Ω. Resistor-resistor ini tidak ditandai dan
berukuran fisik sama.


Jika satu resistor diambil secarak acak (random),
hitunglah probabilitas bahwa resistornya adalah 10
Ω
Jika resistor pertama ternyata adalah 10 Ω dan dia
dibiarkan diluar kotak, hitunglah probabilitas
bahwa resistor kedua yang dipilih adalah resistor
30 Ω
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Penyelesaian:
Misalkan A={resistor 10 Ω } dan
B= {resistor 30 Ω}
a. S={ 5+12} =17, maka P(A)=5/17
b. Sekarang kotak itu berisi empat resistor 10 Ω dan
dua belas resistor 30 Ω
S= { 4 + 12 )= 16
Maka probabilitas B, setelah A terjadi
P(B|A)=12/16=3/4
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Contoh :
A
C
B
Resistansi
(Ohm)
Toleransi
5%
10%
Total
22
10
14
24
47
28
16
44
100
24
8
32
62
38
100
A : Pengambilan resistor 47 Ohm
B : Pengambilan resistor dengan toleransi 5%
C : Pengambilan resistor 100 Ohm
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Penyelesaian :
44
P( A)  P(47) 
100
62
P( B)  P(5%) 
100
32
P(C )  P(100) 
100
P( A | B) 
P( A  B) 28
 ;
P( B)
62
28
100
P ( A  C )  P (47  100)  0
P ( A  B )  P (47  5%) 
24
P ( B  C )  P (5%  100) 
100
P( A | C ) 
P( A  C )
P( B  C ) 24
 0; P( B | C ) 

P(C )
P(C )
32
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Kejadian Bebas dan Tak Bebas
(Independent dan Dependent)


Kejadian-kejadian disebut bebas (independent) bila
munculnya satu kejadian tidak mempengaruhi
probabilitas munculnya kejadian kedua. Sebagai
contoh pelemparan sebuah dadu dalam dua
kesempatan, hasil pelemparan pertama tidak akan
mempengaruhi probabilitas diperolehnya angka enam
pada pelemparan kedua.
Kejadian-kejadian tak bebas (dependent) bila satu
kejadian mempengaruhi probabilitas munculnya
kejadian kedua.
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Contoh :


Probabilitas tertariknya kartu as dari setumpukan
kartu adalah 4/52=1/13. Jika karu itu dikembalikan
sehingga tumpukan kartu itu lengkap lagi dan
dikocok kembali, probabilitas tertariknya sebuah
kartu as pada kesempatan kedua adalah serupa yaitu
1/13 (kejadian bebas).
Akan tetapi, jika kartu as tadi ditarik pada
kesempatan pertama dan tidak dikembalikan,
probabilitas tertariknya sebuah as pada kesempatan
kedua adalah 3/51, karena kini hanya ada 3 kartu as
dalam tumpukan 51 kartu yang tidak lengkap
(kejadian tak bebas)
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Aturan Perkalian
P( A  B)  P( B | A) P( A)  P( A | B) P( B)
Contoh :
Misalkan kita mempunyai kotak berisi 20 sekring. Lima diantaranya cacat.
Bila dua sekring dikeluarkan dari kotak satu demi satu secara acak ( tanpa
mengembalikan yang pertama kedalam kotak. Berapakah probabilitas
kedua sekring itu cacat.
Penyelesaian :
Misalkan A kejadian bahwa sekring pertama cacat dan B adalah kejadian
bahwa sekring yang kedua cacat. Kemudian tafsirkanlah A  B sebagai
kejadian A terjadi dan kemudian B terjadi setelah A terjadi. Probabilitas
mengeluarkan sekring cacat yang pertama adalah ¼ dan kemudian
probabilitas mengeluarkan kedua yang cacat dari sisa yang tinggal 4 adalah
4/19. Jadi
P( A  B)  P( A) P( B)  (1 / 4)(4 / 19)  1 / 19
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Dua kejadian A dan B
bebas jika dan hanya jika,
P( A | B)  P( A),
P( B | A)  P( B)
P( A  B)  P( A) P( B)
Contoh :
Suatu kota kecil mempunyai satu mobil pemadam kebakaran
dan satu mobil ambulans untuk keadaan darurat. Probabilitas
mobil pemadam kebakaran siap waktu diperlukan 0.98,
probabilitas ambulans siap waktu dipanggil 0.92. Dalam
kejadian ada kecelakaan karena kebakaran gedung, cari
probabilitas keduanya siap.
Penyelesaian :
Misalkan A dan B menyatakan masing-masing kejadian
mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap. Maka
P( A  B)  P( A) P( B)  (0.98)(0.92)  0.9016
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Probabilitas Total
B  ( A  B)  ( A'B)
P( B)  P( A  B)  P( B  A' )
 P( B | A) P( A)  P( B | A' ) P( A' )
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Probabilitas Total untuk k kejadian
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Teorema/Aturan Bayes
Probabilitas Bersyarat
P( A  B)  P( A | B) P( B)  P( B  A)  P( B | A) P( A)
P( A | B) P( B)  P( B | A) P( A)
P( B | A) P( A)
P( A B) 
, untuk P( B)  0
P( B)
Probabilitas Total
B  ( A  B)  ( A'B)
P( B)  P( B | A) P( A)  P( B | A' ) P( A' )
P( B | A) P( A)
P( B | A) P( A)
P( A B) 

P( B)
P( B | A) P( A)  P( B | A' ) P( A' )
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Bentuk umum Teorema Bayes untuk
k kejadian (k events)
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Contoh :


Probabilitas suatu penerbangan telah terjadwal
teratur berangkat tepat waktu P(B) =0.83;
probabilitas sampai tepat waktu P(S)=0.82 dan
probabilitas berangkat dan sampai tepat waktu
P(B  S)=0.78.
Carilah bahwa pesawat :


A. Sampai tepat waktu bila diketahui berangkat tepat
waktu
B. Berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat
waktu.
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Pemyelesaian
P(B)=0.83, P(S)=0.82, P(B  S)=0.78

A. Probabilitas pesawat sampai tepat waktu jika
diketahui berangkat tepat waktu :
P( B  S ) 0.78
P( S | B) 

 0.94
P( B)
0.83

B. Probabilitas pesawat berangkat tepat waktu bila
diketahui sampai tepat waktu :
P( B  S ) 0.78
P( B | S ) 

 0.95
P( S )
0.82
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Penyelesaian :
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Contoh :
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Contoh :




Bila A dan B dua kejadian yang saling terpisah
dengan P(A)=0.3 dan P(B)=0.5, hitunglah :
A. P(A  B)
B. P(Ac)
C. P(Ac  B)
Penyelesaian :
a. P( A  B)  P( A)  P( B)  0.3  0.5  0.8
b. P( Ac )  1  P( A)  1  0.3  0.7
c. P( Ac  B)  P( B)  0.5
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Keandalan (Reliability)

Sistem terhubung seri
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Keandalan (Reliability)

Sistem terhubung paralel
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Contoh :
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Penyelesaian :
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Contoh :
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Penyelesaian :
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Penyelesaian
:
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Penyelesaian
:
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Penyelesaian :
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.
Ir. I Nyoman Setiawan, MT.

similar documents