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BLOQUE 8: Aplica las leyes
de senos y cosenos.
 No
todos los triángulos poseen un ángulo
recto (90º)
 Aquellos triángulos que no poseen un ángulo
recto se les llama:
.
 Por ejemplo estos triángulos:
 Si
observas, ninguno de ellos tiene ángulos
rectos.
 Calcular
la medida de todos sus lados y ángulos.
 Anteriormente
utilizamos FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS cuando eran triángulos
rectángulos.
 Ahora
utilizaremos las
para resolver cualquier tipo de
triángulos.
 En
cualquier triángulo la relación de cualquiera
de sus lados al seno del ángulo opuesto es
constante.
 Así
que, esta ley aplica mayormente cuando
tenemos:
 “En
cualquier triángulo la relación de cualquiera
de sus lados al seno del ángulo opuesto es
constante”.
a
b
c


sen A
sen B
sen C
 Esta
ley también se puede utilizar de esta otra
forma y ofrece el mismo resultado final:
sen A sen B sen C


a
b
c
 Resuelve
el siguiente triángulo, dado que posee
las medidas anotadas en el dibujo:
1. Primero buscamos el tercer ángulo (el que
falta): A  180 (54  72)
A  180 126
A  54
2. Luego los otros lados utilizando la ley de los
senos.
2.- Ahora calculamos los otros lados utilizando la ley de
los senos.
a
c

sen A
sen C
=54º
15
x

sen 5 4
sen 7 2
1 5( sen 7 2)  x ( sen 5 4)
1 5( sen 7 2)
 x
( sen 5 4)
1 7.6 3  x
3.- Ahora calculamos el lado que falta utilizando la
ley de los senos.
a
b

Sen A Sen B
15
y

Sen 54 Sen 54
15  ( Sen 54)  y  ( Sen 54)
15  ( Sen 54)
 y
( Sen 54)
15  y
=54º
Una vez tengas todas las medidas de los lados y
ángulos el problema terminó.
=54º
y = 15 m
 Resuelve
el siguiente triángulo:
1.- Primero buscamos el
ángulo β con la ley de
senos.
2.- Buscamos el tercer
ángulo con suma de ángulos
interiores de un triángulo.
3.- Finalmente, calculamos
el lado que falta utilizando
la ley de los senos.
b
23
47


sen
sen 
sen 123
23( sen 123)  47( sen  )
23( sen 123)
 sen 
47
 23( sen 123) 
sen 1 

47


24  
2.- Buscamos el tercer ángulo con suma de
ángulos interiores de un triángulo.
  180   
  180 (24  123)
  180 147
  33
3.- Por último, buscamos el
lado que falta por la ley de
senos.
a
c

Sen Sen
47
c

Sen 123 Sen 33
47  ( Sen 33)  c  ( Sen 123)
47  ( Sen 33)
c
Sen 123
31 Cm.  c
Para medir la longitud d de un lago, se estableció y
se midió una línea de base AB de 125 metros. Los
ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente.
¿Qué tan largo es el lago?
Como nos dan la medida de un lado, deberíamos
conocer el ángulo en C para luego utilizar la ley de
senos y encontrar d.
1.- Primero encontramos el ángulo C con suma de
ángulos interiores de un triángulo.
C  180 (A  B)
C  180 (41.6  124.3)
C  180 165.9
C  14.1
A continuación usaremos la ley de senos para
encontrar el lado que nos piden d:
2.- Ahora usaremos la ley de senos para encontrar el
lado d que nos piden.
c
a

sen C sen A
125
d

sen 14.1 sen 41.6
125( sen 41.6)  d ( sen 14.1)
125( sen 41.6)
d
sen 14.1
340.66  d
 No
se tiene entre los datos un
par de elementos opuestos.
 Así
que, esta ley aplica
mayormente cuando tenemos:
Estas tres ecuaciones plantean en
esencia lo mismo.
a  b  c  2bc cos A
2
2
2
b  a  c  2ac cos B
2
2
2
c  a  b  2ab cosC
2
2
2
PASO
ENCUENTRE
MÉTODO
1
El lado opuesto al ángulo
dado.
2
Segundo ángulo (Encuentre
el ángulo opuesto al más
corto de los dos lados
Ley de senos.
dados, siempre será
agudo).
3
Tercer ángulo.
Ley de cosenos.
180° menos la suma de los
otros 2 ángulos.
 Resuelve
derecha
el triángulo de la
Paso 1: Utiliza la ley de
cosenos para despejar b.
b 2  a 2  c 2  2  a  c  Cos B
b
a 2  c 2  2  a  c  Cos B
b
(10.3) 2  (6.45) 2  2(10.3)(6.45) Cos 32.4
b  5.96 cm
Paso 2: Utiliza la ley de senos
para encontrar .
Puesto que el lado c es más
corto que el lado a,  debe
ser agudo.
c
b

Sen
Sen 
b  ( Sen )  c  ( Sen  )
c  ( Sen  )
Sen 
b
1  6.45( Sen 32.4) 
  Sen 

5.96


  35.44
Paso 3: Calcular el tercer
ángulo.
  180  (    )
  180  (32.4  35.44)
  112.16

PASO
ENCUENTRE
MÉTODO
1
El ángulo opuesto al lado más
largo (hay que tener cuidado si el Ley de cosenos.
ángulo es obtuso).
2
De los ángulos restantes, cuál
será agudo (¿Por qué?)
Ley de senos.
Tercer ángulo.
180° menos la
suma de los otros 2
ángulos.
3
 Resuelve
el triángulo con a = 27.3 m,
b = 17.8 m y c = 35.2 m
Paso 1: Utiliza la ley de
cosenos para encontrar el
ángulo , que está opuesto
al lado más largo. c 2  a 2  b 2  2ab cos
c 2  a 2  b 2  2ab cos
c2  a2  b2
 cos
 2ab
2
2
2

(
35
.
2
)

(
27
.
3
)

(
17
.
8
)
  cos1 
 2(27.3)(17.8)

  100.49



Paso 2: Utiliza la ley de senos
para encontrar el ángulo α o
β.
Calculemos α.
a
c

sen 
sen 
c ( sen  )  a ( sen  )
sen  
a ( sen  )
c
 27.3( sen 100.49) 

35.2


  sen 1 
  49.69
Paso 3: Calcular el tercer
ángulo, β.
  180  (   )
  180  (100.49  49.69)
  29.82


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