Modelo Cinético-Molecular de um Gás Ideal

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Propriedades Moleculares da Matéria
 R0 12  R0  6 
U  U 0    2  
 r  
 r 
U
dU
F 
 12 0
dr
R0
 R0 13  R0  7 
     
 r   r  
Obs.: os líquidos possuem
“ordem de curto alcance”
Modelo Cinético-Molecular de um Gás Ideal
Modelo de gás ideal + Leis de Newton = Teoria Cinética:
• Um gás é constituído de partículas ("moléculas")
de volume desprezível e massa m.
• As moléculas obedecem às leis de Newton e tem
movimento desordenado devido às colisões.
• As colisões são elásticas, com duração e alcance
desprezíveis.
• O número de moléculas é muito grande.
Cálculo Cinético da Pressão
Considere uma molécula com velocidade vx
ao longo do eixo x, dentro de um cubo de
arestas L.
Ela colidirá com a parede sombreada em x = L
a cada intervalo de tempo t = 2L/vx .
Cada colisão transfere um momento
P = mvx – (-mvx ) = 2mvx .
Fx
p

A
p x
2
2
m
v
m
v
t 
x
x

L2
L3
V
A pressão total é obtida somando as contribuições de todas as partículas:
.
m vxi2
Nm N vxi2
1
2
2
p



v


v

x
V
V i 1 N
3
i 1
N
Onde foram usadas as definições de densidade , média < >, e isotropia espacial
em três dimensões na última igualdade
A equação acima informa que a velocidade
quadrática média de uma molécula (grandeza
microscópica) pode ser obtida das medidas
macroscópicas de densidade e pressão:
vRMS 
v
2

3p

Interpretação Cinética da Temperatura
Inserindo a pressão calculada pela teoria cinética, na equação de estado do
gás ideal obtemos:
pV 
1
21
1
3

V v 2   Nm v 2   Nk BT  K tr  Nm v 2  Nk BT
3
32
2
2

onde V = Nm é a massa total de gás. Assim:
A energia cinética de translação média de uma molécula (grandeza
microscópica) é proporcional à temperatura do gás (grandeza
macroscópica).
Algumas velocidades moleculares ˆ temperatura ambiente (300K).
A energia cinŽtica de
translaŽ‹ o correspondente Ž
3,74 kJ/mol.
Resolver problema 16.8
Livre Caminho Médio
N moléculas de
raio r e volume V
1 molécula se move : 4p(2r)2vdt e
dN = 4p r2 vdt N/V
Numero de colisões por tempo
dN/dt= 4p r2 v N/V
…
dN/dt= 21/24p r2 v N/V
Tempo livre médio tmédio= V/(21/24p r2 v N)
Livre caminho médio l=vt= V/(21/24p r2 N)
Para moléculas de ar em CNTP e r ~ 2 Å
l ~ 0,06mm
Distribuição de velocidades
(Maxwell-Boltzmann)
 m
f (v)  4pN 
 2pk BT



3/ 2
2
v e
 mv 2 / 2 k BT
Capacidade Calorífica
Calor específico molar a volume constante
de um gás ideal “puntual” (monoatômico)
dQ  ncV dT 
3

dQ  dKtr  cV  R
3

dKtr  nRdT
2
2

=12,47 J/(mol.K)
Transformação a volume constante implica que
não deve haver realização de trabalho e todo o
calor deve ser convertido em energia interna do
gás.
* Uma molécula “puntual” ideal só possui energia do tipo
“energia cinética de translação”.
Moléculas diatômicas e o princípio de equipartição da energia
O Princípio da eqüipartição de energia afirma
que cada componente da velocidade (linear ou
angular) possui, em média, uma energia
cinética associada a cada molécula igual a
1/2kT
Molécula diatômica;
3 graus de liberdade translacionais
2 graus de liberdade rotacionais
Ktot=nNA(5/2kT)=5/2n(kNA)T=5/2nRT
Q=nCv T
Cv=5/2R=20,79 J/(mol.K)
Mecânica Quântica:
Rotações em torno do eixo de simetria e
vibrações em geral não absorvem energia
devido ao grande espaçamento entre os
níveis de energia correspondentes.
Variação do calor específico com a temperatura
Calor específico de um sólido
monoatômico
Consideramos 3 graus de liberdade de vibração por átomo,
cada um com energias potencial e cinética.
Etot=6/2n(kNA)T=3nRT
Q=nCv T
Cv=3R=24,9 J/(mol. K)
(Valor de Dulong e Petit)

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