Penyelesaian Persamaan Linier Simultan

Report
Penyelesaian Persamaan Linier
Simultan
Nana Ramadijanti
Persamaan Linier Simultan




Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang
secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas
Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas
aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan
simultan
xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan
Persamaan Linier Simultan





Penyelesaian persamaan linier simultan adalah
penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang
memenuhi semua persamaan yang diberikan.
AX = B
 a11
a
 21
 ...

a m1
Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian.
Vektor x = vektor variabel
vektor B = vektor konstanta.
a12
a 22
...
am2
... a1n   x1   b1 
... a 2 n   x 2  b2 




 ... 
... ... ...
   
... a mn   x n  bn 
Persamaan Linier Simultan

Persamaan Linier Simultan
atau Sistem Persamaan
Linier mempunyai
kemungkinan solusi :



Tidak mempunyai solusi
Tepat satu solusi
Banyak solusi
Augmented Matrix


matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan
menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan
dituliskan:
Augmented (A) = [A B]
 a11
a
 21
 ...

a m1
a12
a13
... a1n
a 22
...
a 23
...
... a 2 n
... ...
am2
a m3
... a mn
b1 
b2 
... 

bm 
Contoh 1 :


Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam
boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka
tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam
bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A
membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing,
sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain
dan 8 kancing.
Permasalahannya adalah berapa buah boneka
A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82
potongan kain dan 62 kancing ?
Contoh 1

Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan :



Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa:



x = jumlah boneka A
y = jumlah boneka B
Potongan kain
10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82
Kancing
6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62
Atau dapat dituliskan dengan :
10 x + 8 y = 82
6 x + 8 y = 62

Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang
memenuhi kedua persamaan di atas.
Contoh 2 :

Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar (zoom) sebagai
berikut :
3
4
2
1



Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis
lurus, sehingga tampak kasar.
Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva
yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial.
Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan
dengan lebih halus.
Contoh 2 :

4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini
dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :
y  ax3  bx2  cx  d


Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas
akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut :
Titik 1  3 = 8 a + 4 b + 2 c + d
Titik 2  6 = 343 a + 49 b + 7 c + d
Titik 3  14 = 512 a + 64 b + 8 c + d
Titik 4  10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d
Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.
Contoh 2 :

Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan
polinomialnya didapatkan dan dengan menggunakan step x
yang lebih kecil dapat digambarkan grafiknya dengan lebih
halus.
Theorema 4.1.

Suatu persamaan linier simultan mempunyai
penyelesaian tunggal bila memenuhi syaratsyarat sebagai berikut.



Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar,
dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah
variable bebas.
Persamaan linier simultan non-homogen dimana
minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol
atau ada bn  0.
Determinan dari matrik koefisien persamaan linier
simultan tidak sama dengan nol.
Metode Analitik



metode grafis
aturan Crammer
invers matrik
Metode Numerik



Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode Iterasi Gauss-Seidel
Metode Eliminasi Gauss


Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang
dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu
menghilangkan atau mengurangi jumlah variable
sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable
bebas
matrik diubah menjadi augmented matrik :
 a11 a12

a 21 a 22
 ... ...

a n1 a n 2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a nn
b1 

b2 
... 

bn 
Metode Eliminasi Gauss

 a11
a
 21
a31

 ...
a n1
ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau
segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi
Baris Elementer).
a12
a13
... a1n
a 22
a32
a 23
a33
... a 2 n
... a3n
...
...
...
an2
a n 3 ... a nn
...
b1 
b2 
b3 

... 
bn 
c11
0

0

 ...
 0
c12
c13
... c1n
c 22
0
c 23
c33
... c 2 n
... c3n
...
...
...
0
0
... c nn
...
d1 
d 2 
d3 

... 
d n 
Operasi Baris Elementer


Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem
Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada
dengan sistem yang baru yang mempunyai himp
solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan
Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step
yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut
Operasi Baris Elementer
1. Multiply an equation through by an nonzero
constant.
2. Interchange two equation.
3. Add a multiple of one equation to another.
Metode Eliminasi Gauss

Sehingga penyelesaian dapat diperoleh
dengan: x  d n
n
c nn
x n 1 
1
c n 1,n 1
 c
n 1, n
x n  d n 1 
.....................................
1
d 2  c23 x3  c24 x4  ...  c2 n xn 
x2 
c 22
1
d1  c12 x2  c13 x3  ...  c1n xn 
x1 
c11
Contoh :

Selesaikan sistem persamaan berikut:
x1  x2  x3  6
x1  2 x2  x3  2
2 x1  x2  2 x3  10

Augmented matrik dari persamaan linier simultan
tersebut :
1 1 1 6 
1 2  1 2 


2 1 2 10
Contoh :

Lakukan operasi baris elementer
B2  B1
B3  2B1
B3  B2
1
6 
1 1


0 1  2  4
0 1 0  2


6
1 1 1
0 1  2  4 


0 0  2  6
Contoh :

Penyelesaian :
6
x3 
3
2
1
x 2   4  (2)3  2
1
1
x1  6  2  3  1
1
Echelon Forms
This matrix which have following properties is in reduced rowechelon form (Example 1, 2).
1. If a row does not consist entirely of zeros, then the first
nonzero number in the row is a 1. We call this a leader 1.
2. If there are any rows that consist entirely of zeros, then they are
grouped together at the bottom of the matrix.
3. In any two successive rows that do not consist entirely of zeros,
the leader 1 in the lower row occurs farther to the right than the
leader 1 in the higher row.
4. Each column that contains a leader 1 has zeros everywhere else.

A matrix that has the first three properties is said to be in rowechelon form (Example 1, 2).

A matrix in reduced row-echelon form is of necessity in rowechelon form, but not conversely.

Example 1
Row-Echelon & Reduced Row-Echelon form

reduced row-echelon form:
0
1 0 0 4  1 0 0 
0 1 0 7 , 0 1 0, 0

 
 0
0 0 1  1 0 0 1 
0

1 2
0 0
0 0
0 0
0
1
0
0
1
3 0 0
,

0 0 0

0
row-echelon form:
1 4  3 7  1 1 0 0 1 2 6 0
0 1 6 2  , 0 1 0  , 0 0 1  1 0 

 
 

0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 0 1
Example 2
More on Row-Echelon and Reduced
Row-Echelon form

1
0

0

0

1
0

0

0
All matrices of the following types are in row-echelon
form ( any real numbers substituted for the *’s. ) :
* * * 1
1 * * 0
,
0 1 * 0
 
0 0 1 0
* * * 1
1 * * 0
,
0 1 *  0
 
0 0 0  0
0
* * * 
0
1 * * 
, 0
0 0 0 
 0
0 0 0 
0
1 * * * * * * * *
0 0 1 * * * * * *
0 0 0 1 * * * * *

0 0 0 0 1 * * * *
0 0 0 0 0 0 0 1 *
All matrices of the following types are in reduced rowechelon form ( any real numbers substituted for the *’s. ) :
0
0
1
0
0
1
0
0
0 1
0 0
,

0 0
 
1  0
0
0
1
0
0
1
0
0
* 1
* 0
,

* 0
 
0  0
0
*
1
0
*
0
0
0
0
* 
0
* 
, 0

0 
 0
0 
0
1
*
0
0
0
*
*
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
*
*
*
*
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
*
0
*
0
0 *
0 *
0 *

0 *
1 *
Contoh
Solusi dari Sistem Pers Linier
Anggaplah ini adalah matrik dari Sistem Persamaan
Linier yang telah direduksi dengan bentuk row echelon.
1 0 0 5 
(a) 0 1 0  2
0 0 1 4 
Solution (a)
x
y
 5
 -2
z 4
Example 3
Solutions of Four Linear Systems (b1)
1 0 0 4  1
(b) 0 1 0 2 6 
0 0 1 3 2 
Solution (b)
 4 x4  - 1
x1
x2
 2 x4  6
x3  3x4  2
leading
variables
free variables
Example 3
Solutions of Four Linear Systems (b2)
x1  - 1 - 4 x4
x2  6 - 2 x4
x3  2 - 3x4
Free variabel kita misalkan dengan t.
Sehingga selanjutnya dapat kita tentukan
leading variabelnya.
Sistem Persamaan Linier
menghasilkan banyak solusi
x1  1  4t ,
x2  6  2t ,
x3  2  3t ,
x4  t
Example 3
Solutions of Four Linear Systems (c1)
1
0
(c) 
0

0
6
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
4  2
3 1 
5 2

0 0
Solution (c)
1. Pada baris ke-4 semuanya nol
sehingga persamaan ini dapat
diabaikan
x1  6 x2
 4 x5  - 2
x3
 3x5  1
x4  5 x5  2
Example 3
Solutions of Four Linear Systems (c2)
Solution (c)
2. Selesaikan leading variabel
dengan free variabel
3. Free variabel kita misalkan
dengan t (sembarang value).
Sehingga Sistem Persamaan
Linier menghasilkan banyak
solusi
x1  - 2 - 6 x2 - 4 x5
x3  1 - 3x5
x4  2 - 5 x5
x1  - 2 - 6 s - 4t ,
x2  s
x3  1 - 3t
x4  2 - 5t ,
x4  t
Example 3
Solutions of Four Linear Systems (d)
1 0 0 0
(d) 0 1 2 0
0 0 0 1
Solution (d):
Persamaan terakhir pada Sistem Persamaan
Linier
0 x1  0 x2  0 x3  1
Karena persamaan ini tidak konsisten, maka
Sistem ini tidak mempunyai solusi
Example 3
Solutions of Four Linear Systems (d)
1 0 0 0
(d) 0 1 2 0
0 0 0 1
Solution (d):
the last equation in the corresponding system of
equation is
0 x1  0 x2  0 x3  1
Since this equation cannot be satisfied, there is
no solution to the system.
Elimination Methods (1/7)

We shall give a step-by-step elimination
procedure that can be used to reduce any
matrix to reduced row-echelon form.
0 0  2 0 7 12
2 4  10 6 12 28


2 4  5 6  5  1
Elimination Methods (2/7)

Step1. Locate the leftmost column that does not consist
entirely of zeros.
0 0  2 0 7 12
2 4  10 6 12 28


2 4  5 6  5  1

Leftmost nonzero column
Step2. Interchange the top row with another row, to
bring a nonzero entry to top of the column found in Step1.
2 4  10 6 12 28
0 0  2 0 7 12


2 4  5 6  5  1
The 1th and 2th rows in the
preceding matrix were
interchanged.
Elimination Methods (3/7)

Step3. If the entry that is now at the top of the column
found in Step1 is a, multiply the first row by 1/a in order to
introduce a leading 1.
1 2  5 3 6 14
0 0  2 0 7 12


2 4  5 6  5  1

The 1st row of the preceding
matrix was multiplied by 1/2.
Step4. Add suitable multiples of the top row to the rows
below so that all entires below the leading 1 become zeros.
14 
1 2  5 3 6
0 0  2 0 7

12


0 0 5 0  17  29
-2 times the 1st row of the
preceding matrix was added to
the 3rd row.
Elimination Methods (4/7)

Step5. Now cover the top row in the matrix and begin
again with Step1 applied to the submatrix that remains.
Continue in this way until the entire matrix is in rowechelon form.
14 
1 2  5 3 6
0 0  2 0 7

12


0 0  5 0  17  29
14 
1 2  5 3 6
0 0 1 0  7  6 
2


0 0 5 0  17  29
Leftmost nonzero
column in the submatrix
The 1st row in the submatrix
was multiplied by -1/2 to
introduce a leading 1.
Elimination Methods (5/7)

Step5
1 2
0 0

0 0
(cont.)
 5 3 6 14 
1 0  72  6
0 0 12
1 
1 2  5 3 6 14 
0 0 1 0  7  6 
2


1
0 0 0 0 2 1 
1 2  5 3 6 14 
0 0 1 0  7  6 
2


0 0 0 0 1 2 
-5 times the 1st row of the
submatrix was added to the 2nd
row of the submatrix to introduce
a zero below the leading 1.
The top row in the submatrix was
covered, and we returned again Step1.
Leftmost nonzero column in
the new submatrix
The first (and only) row in the
new submetrix was multiplied
by 2 to introduce a leading 1.
 The entire matrix is now in row-echelon form.
Elimination Methods (6/7)

Step6. Beginning with las nonzero row and working upward, add
suitable multiples of each row to the rows above to introduce
zeros above the leading 1’s.
1 2  5 3 6 14
7/2 times the 3rd row of the
0 0 1 0 0 1 
preceding matrix was added to


the 2nd row.
0 0 0 0 1 2 
1 2  5 3 0 2 
0 0 1 0 0 1 


0 0 0 0 1 2
1 2 0 3 0
0 0 1 0 0

0 0 0 0 1
 The last matrix
-6 times the 3rd row was added
to the 1st row.
7
1
5 times the 2nd row was added
to the 1st row.
2
is in reduced row-echelon form.
Elimination Methods (7/7)



Step1~Step5: the above procedure produces a
row-echelon form and is called Gaussian
elimination.
Step1~Step6: the above procedure produces a
reduced row-echelon form and is called GaussianJordan elimination.
Every matrix has a unique reduced rowechelon form but a row-echelon form of a given
matrix is not unique.
Algoritma Metode
Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss
Jordan

Metode ini merupakan pengembangan metode
eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada
sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal
 a11
a
 21
a31

 ...
a n1

a12
a13
... a1n
a 22
a32
a 23
a33
... a 2 n
... a3n
...
...
...
an2
a n 3 ... a nn
...
b1 
b2 
b3 

... 
bn 
1
0

0

...
 0
d1 
... 0 d 2 
... 0 d 3 

... ... ... 
... 1 d n 
0
0 ... 0
1
0
0
1
... ...
0
0
Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai
d1,d2,d3,…,dn dan atau:
x1  d1 , x2  d 2 , x3  d 3 ,....,xn  d n
Contoh :



Selesaikan persamaan
linier simultan:
Augmented matrik dari
persamaan linier
simultan
Lakukan operasi
baris elementer
x1  x2  3
2 x1  4 x2  8
1 1 3
2 4 8


1
B2  2b1 
0
1 1
B 2 / 2
0 1
1 3
2 2
3
1
1 0 2 
B1  B2 

0
1
1


Penyelesaian persamaan linier simultan :
x1 = 2 dan x2 = 1
Contoh :
x  y  2z  9
2 x  4 y  3z  1
B2-2B1
3x  6 y  5 z  0
1 1 2 9 
2 4  3 1


3 6  5 0
B2-2B1
x  y  2z  9
2 y  7 z  1 7
3x  6 y  5 z  0
9 
1 1 2
0 2  7  17


3 6  5
0 
B3-3B1
B3-3B1
Example 3
Using Elementary row Operations(2/4)
x  y  2z  9
2 y  7 z  17
3 y  11z  27
½ B2
9 
1 1 2
0 2  7  17


0 3  11  27
½ B2
x  y  2z 
y z 
7
2
3 y  11z 
9
17
2
B3-3B2
0
9 
1 1 2
0 1  7  17 
2
2 

0 3  11  27
B3-3B2
Example 3
Using Elementary row Operations(3/4)
x  y  2z 
9
y  72 z   172
-2 B3
9 
 172 
 32 
9
y  72 z   172
B1 - B2
z 3
 12 z   32
1 1 2
0 1  7
2

0 0  12
x  y  2z 
-2 B3
1 1 2
0 1  7
2

0 0 1
9 
 172 
3 
B1 - B2
Example 3
Using Elementary row Operations(4/4)
x
 112 z 
35
2
y  72 z   172
z 3
1 0 112

7
0
1

2

0 0 1


 
3 
35
2
17
2
B2 + 7/2 B3
B1 - 11/2 B3
B2 + 7/2 B3
B1 - 11/2 B3
 Solusi x = 1, y=2 dan z=3
x
y
1
 2
z 3
1 0 0 1 
0 1 0 2 


0 0 1 3
Algoritma Metode
Eliminasi Gauss-Jordan
Metode Iterasi GaussSeidel


Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan
proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.
Bila diketahui persamaan linier simultan


a11
a 21
x1
x1
a31
...
x1  a32
... ... ...
a n1
x1

a12
a 22
an2
x2
x2


a13
a 23
x 2  a33
... ... ...
x2

an3
x3
x3
 ... 
 ... 
a1n
a2n
x3  ...  a3n
... ... ... ... ...
x3
 ... 
a nn
xn
xn
 b1
 b2
x n  b3
... ... ...
xn
 bn
Metode Iterasi GaussSeidel


Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n)
kemudian persamaan linier simultan diatas
dituliskan menjadi:
x1 
1
b1  a12 x 2  a13 x3  ....  a1n x n 
a11
1
b2  a 21 x1  a 23 x3  ....  a 2 n x n 
x2 
a 22
...............................................................
xn 
1
bn  a n1 x1  a n 2 x 2  ....  a nn 1 x n 1 
a nn
Metode Iterasi GaussSeidel



Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n)
menggunakan persamaan-persamaan di atas secara
terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n)
sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya
maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier
simultan tersebut.
Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila
selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi
sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang
ditentukan.
Untuk mengecek kekonvergenan
Catatan




Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier
ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini.
Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi
pada semua persamaan di diagonal utama (aii).
Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk
setiap xi pada diagonal utama.
Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus
benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang
salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen
dan tidak diperoleh hasil yang benar.
Contoh
x1  x2  5
2 x1  4 x2  14


Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0
Susun persamaan menjadi:
x1  5  x 2
x2 
1
14  2 x1 
4
(5,1)
(4,3/2)
(7/2,7/4)
Contoh
(13/4 , 15/8)
(25/8 , 31/16)
(49/16 , 63/32 )
(97/32 , 127/64)
Contoh :

Selesaikan sistem persamaan berikut:
x1  x2  x3  6
x1  2 x2  x3  2
2 x1  x2  2 x3  10

Augmented matrik dari persamaan linier simultan
tersebut :
1 1 1 6 
1 2  1 2 


2 1 2 10
Hasil Divergen
2 x1  x2  2 x3  10
Hasil Konvergen
x1  2 x2  x3  2
x1  x2  x3  6
Algoritma Metode Iterasi
Gauss-Seidel
Soal


Selesaikan dg Eliminasi Gauss-Jordan x1 + x2 + 2x3 = 8
-x1 – 2x1 + 3x3 = 1
3x1 – 7x2 + 4x3 = 10
x – y + 2z – w = -1
2x + y - 2z -2w = -2
-x + 2y – 4z + w = 1
3x
- 3w = -3
x  y  2z  9
2 x  4 y  3z  1
3x  6 y  5 z  0



Selesaikan dg Gauss Seidel
5x1 + 2x2 + 6x3 = 0
-2x1 + x2 + 3x3 = 0
X1 – 2x2 + x3 – 4x4 = 1
X1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2
X1 – 12x2 – 11x3 – 16x4 = 5
Contoh Penyelesaian Permasalahan
Persamaan Linier Simultan





Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10
blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1
dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia
80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.
Model Sistem Persamaan Linier :
Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap:
x1 adalah jumlah boneka A
x2 adalah jumlah boneka B
Perhatikan dari pemakaian bahan :
B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80
B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36
Diperoleh model sistem persamaan linier
10 x1 + 5 x2 = 80
2 x1 + 6 x2 = 36
Contoh 1 :

metode eliminasi Gauss-Jordan

Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat
dibuat 6 boneka A dan 4 boneka B.
Contoh 2 :Penghalusan Kurva Dengan
Fungsi Pendekatan Polinomial

Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis
lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan
pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi
pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva
dapat digambarkan dengan lebih halus.
3
4
2
1
Contoh 2 :






Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang ditunjuk
adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat
didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :
Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam
persamaan di atas akan diperoleh model persamaan
simultan sebagai berikut :
Titik 1
 3=8a+4b+2c+d
Titik 2
 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d
Titik 3
 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d
Titik 4
 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d

Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan
a = -0,303
b = 6,39
c = -36,59
d = 53,04
y = -0,303 x3 + 6,39
x2 – 36,59 x + 53,04

similar documents