第五冊3-1電子書

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我們在國小五年級時,曾利用量角器量過一個三
角形三內角度數和為180°,也曾利用下面操作的
方式來理解一個三角形的三內角度數和為180°。
剪下附件(五)中△ABC 的三個內角,將頂點對齊,
邊與邊拼在一起,如下圖所示,可以發現它們排
成一直線。
A
A
B
C
C
B
如右圖,△ABC中,∠1=80°,
∠2=60°,求∠3的角度。
∠3=∠ACB
=180°-∠1-∠2
=180°-80°-60°
=40°
A
1
B 2
C
3
我們知道三角形的內角和是180°,那麼四邊形的內角和是多
少度呢?
(1) 任意畫一個四邊形 ABCD,連接 AC ,
將四邊形 ABCD 分割成兩個三角形:
B
△ABC 和△ACD,如右圖。
(2) 因為△ABC 和△ACD 的內角和都是180°,
所以四邊形 ABCD 的內角和
=(∠1+∠2)+∠B+(∠3+∠4)+∠D
=(∠1+∠B+∠3)+(∠4+∠D+∠2)
=△ABC 的內角和+△ACD 的內角和
=180°+180°=360°(=180°×(4-2))
A
1 2
D
3 4
C
五邊形的內角和又是多少度呢?
(1) 任意畫一個五邊形 ABCDE,仿照上面
的方法,連接 AC 、 AD ,這兩條過 A 點 B
的對角線將五邊形 ABCDE 分割成三個三
角形:△ABC、△ACD 和△ADE,如右圖。
A
1 2 3
E
7
6
4
5
D
C
(2) 因為△ABC、△ACD 和△ADE 的內角和都是180°,
所以五邊形 ABCDE 的內角和
=(∠1+∠2+∠3)+∠B+(∠4+∠5)+(∠6+∠7)+∠E
=(∠1+∠B+∠4)+(∠2+∠5+∠6)+(∠7+∠E+∠3)
=△ABC 的內角和+△ACD 的內角和+△ADE 的內角和
=180°+180°+180°=540°(=180°×(5-2))
A
任意畫一個六邊形 ABCDEF,
並連接 AC 、 AD 、 AE ,這三條
通過 A 點的對角線將六邊形
F
B
E
ABCDEF 分割成四個三角形:
△ABC、△ACD、△ADE 和△AEF,
所以六邊形 ABCDEF 的內角和
=三角形內角和 ×( 6 -2)
= 720° 。
C
D
由上面的討論可以推知
n 邊形可用通過其一頂點的(n-3)條對角線
分割成(n-2)個三角形,
再利用「三角形的內角和為180°」,
即可推得:
內角和定理:n 邊形的內角和為180°×(n-2)。
由內角和求內角
如右圖,已知 ABCDE 為五邊形,
∠A=110°,∠B=100°,∠C=110°,
∠D=130°,求∠E 的角度。
A
E
B
D
C
五邊形內角和=180°×(5-2)
=540°
∠E=540°-(110°+100°+110°+130°)
=540°-450°
=90°
已知六邊形 ABCDEF 中,∠B=120°,∠C=150°,∠D
=95°,∠E=120°,∠F=125°,求∠A 的角度。
所求
=180°× (6-2)-(120°+150°+95°+120°+125°)
=720°-610°
=110°
正多邊形是所有邊的長度都相等,而且所有內角的
角度都相等的多邊形,因此:
180° ×(n-2)
正 n 邊形每個內角的角度均為
。
n
由內角和求內角
如右圖,已知 ABCDEF 為正六邊形,
延長 AF 、 DE ,相交於 G 點,求∠G
的角度。
A
F
B
G
E
C
D
因為 ABCDEF 為正六邊形,
180° ×(6-2) 720°
所以∠AFE=∠DEF=
= 6 =120°。
6
故∠EFG=180°-∠AFE=180°-120°=60°,
∠FEG=180°-∠DEF=180°-120°=60°,
所以∠G=180°-∠EFG-∠FEG
=180°-60°-60°=60°
A
如右圖,已知 ABCDE 為正五邊形,
E
B
延長 AE 、 CD ,相交於 F 點,求
∠F 的角度。
F
C
D
因為 ABCDE 為正五邊形,
180° ×(5-2) 540°
所以∠AED=∠CDE=
= 5 =108°。
5
故∠DEF=180°-∠AED=180°-108°=72°,
∠EDF=180°-∠CDE=180°-108°=72°,
所以∠F=180°-∠DEF-∠EDF
=180°-72°-72°=36°。
阿寶陪爺爺去公園散步,他們
到達公園後,依逆時針方向繞
著一個三角形步道,自P 點出發
沿著 P→A→B→C→P 的路線走
一圈後回到 P 點,如右圖。
F
3
C
P
2
A
B
E
D 1
他們在 A 點時,由原先朝 D 點的方向轉成朝 B 點的
方向,因此在 A 點所轉的角是∠1;同理,他們在 B
點所轉的角是∠2,在 C 點所轉的角是∠3。
∠1、∠2 與∠3 分別稱為
△ABC 三內角∠CAB、
∠ABC 與∠BCA 的外角。
此時,因為∠CAD 為平角,
所以∠1 跟∠CAB 互為補角,
亦即 ∠1+∠CAB=180°;
同理,∠2+∠ABC=180°;
∠3+∠BCA=180°。
F
3
C
P
2
A
B
E
D 1
為了顯示∠1、∠2 與∠3 是繞△ABC 走一圈時,在三頂
點處所轉的角,我們稱它們為△ABC 的一組外角。
計算外角及外角和
如右圖,若△ABC 的三個內角分別為
∠A=30°,∠B=50°,∠C=100°,
則其外角各為多少度?一組外角和是
多少度?
A
30°
B
50° 100°
C
因為外角與內角互為補角,因此
∠A 的外角為 180°-30°=150°,
∠B 的外角為 180°-50°=130°,
∠C 的外角為 180°-100°=80°,
故△ABC 的一組外角和是 150°+130°+80°=360°。
若△ABC 的三個內角分別
為∠A=60°,∠B=40°,
∠C=80°,則其外角各為
多少度?△ABC 的一組外
角和是多少度?
A
60°
40°
B
∠A 的外角=180°-60°=120°,
∠B 的外角=180°-40°=140°,
∠C 的外角=180°-80°=100°,
一組外角和=120°+140°+100°=360°。
80°
C
阿寶和爺爺兩人依逆時針方向繞三角形步道 ABC 走一
圈,可得一組外角∠1、∠2 與∠3。如果阿寶和爺爺兩人
是依順時針方向繞三角形步道 ABC 繞一圈,可得到另
外一組外角∠4、∠5 與∠6,如下圖。
F
3
C
C
D
6
2
A
1
B
4
E
G
A
B
5
H
事實上,∠1 與∠6、∠2 與∠5、∠3 與∠4 都是對頂角,
所以∠1=∠6,∠2=∠5,∠3=∠4,因此可知△ABC 共
有兩組外角,且其和相同。
F
3
C
C
D
6
2
A
1
B
4
E
G
A
B
5
H
一般而言,若沒有特別說明,三角形的外角和指的是
其中一組外角和。
由例題 3 及其隨堂練習,可以發現某些三角形的一
組外角和是 360°,請問任意三角形的外角和都是
360°嗎?
剪下附件(五),將△ABC 三個外
角的頂點對齊,邊與邊拼在一起,
這三個角不能重疊,看看這三個
外角是否恰好圍成一圈。 是。
3
C
2
A
1
B
上面這個結果也可以從「三角形的內角和為 180°」
推導如下:
因為每一個內角與其外角互補,
即∠1+∠CAB=180°,∠2+∠ABC=180°,
∠3+∠BCA=180°,
3
C
2
A
1
B
所以∠1+∠2+∠3+∠CAB +∠ABC+∠BCA=540°。
又 ∠CAB+∠ABC+∠BCA=180°,
故△ABC 的一組外角和=∠1+∠2+∠3
=540°-180°=360°。
由此可知:
三角形的一組外角和為360°。
求三角形的外角
如右圖,△ABC 中,∠A 的外角
為 110°,∠B 的外角為 120°,則
∠C 的外角是多少度?
110°
A
C
因為三角形的外角和為 360°,
所以∠C 的外角=360°-110°-120°=130°。
正三角形的每個外角各是多少度?
正三角形的三內角相等三外角亦相等,
360°÷3=120°各是120°。
120°
B
任意畫出△ABC,延長 CA
至 D 點,如右圖所示,此
時∠BAD 為∠CAB 的外角,
其餘兩個內角∠B、∠C 是
∠BAD 的兩個內對角。
D
A
B
因為∠B+∠C+∠CAB=180°,以及
∠BAD+∠CAB=180°,所以∠BAD=∠B+∠C,
即∠CAB 的外角恰為其內對角∠B 與∠C 之和。
可知∠BAD>∠B;∠BAD>∠C。
C
因此我們可得:
1. 三角形的外角定理:
三角形的外角為其兩個內對角之和。
2. 三角形的外角大於其內對角。
利用外角定理求角度
如右圖,△ABC 中,已知
∠A 的外角為130°,∠B=50°,
求∠C 的角度。
130°
B
50°
由三角形的外角定理,得知130°=∠B+∠C,
又∠B=50°,因此∠C=130°-50°=80°。
A
C
△ABC 中,若∠A 的外角為 144°,且∠B=∠C,求
∠C 的角度。
∠A 的外角=∠B+∠C=144°,
又∠B=∠C,故∠C=144°÷ 2=72°。
五角星形的內角和
右圖為五角星形 ABCDE,求
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
的角度和。
A
E
Q
1 2
B
D
C
因為∠1 是△BDQ 的一個外角,
∠B 和∠D 是它的內對角,
所以∠1=∠B+∠D。
因為∠2 是△PAC 的一個外角,
∠A 和∠C 是它的內對角,
所以∠2=∠A+∠C。
P
五角星形的內角和
右圖為五角星形 ABCDE,求
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
的角度和。
A
E
Q
1 2
B
D
C
因為△EPQ 的內角和是 180°,
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=(∠A+∠C)+(∠B+∠D)+∠E
=∠2+∠1+∠E
=180°
P
如右圖,已知∠1=40°,∠2=60°,
求下列的角度和:
(1) ∠BAC+∠B
∠BAC+∠B=∠1=40°。
A
1 2
D
B
(2) ∠CAD+∠D
∠CAD+∠D=∠2=60°。
(3) ∠B+∠BAD+∠D
∠B+∠BAD+∠D
=(∠B+∠BAC)+(∠CAD+∠D)
=40°+60°=100°
C
任意畫出一個多邊形,若以逆時針(或順時針)方
向沿著此多邊形繞一圈,在每個頂點所轉的角稱為
此多邊形的外角,且與內角互為補角。
外角
內角
前面我們曾利用操作的
A
4
D
1
4 3
方式以及「三角形的內
1 2
3
角和為 180°」推知三角
C
B
形的一組外角和為 360°。 2
圖3-1
圖3-2
利用類似的方法,我們
可以推知 n 邊形的一組外角和也是360°(n≥3)。例
如:圖3-1中,∠1、∠2、∠3 和∠4 為四邊形 ABCD 的
一組外角,我們若將這組外角的頂點對齊,邊與邊拼
在一起,如圖 3-2,可以發現它們圍成一圈。
因此任意四邊形的一組外角和為360°。
這個結果可用「四邊形的內角和為360°」導出:
因為∠1+∠DAB=180°,∠2+∠ABC=180°,
∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDA=180°,
將這四個式子相加,可得
∠1+∠2+∠3+∠4+∠DAB+∠ABC+
∠BCD+∠CDA=720°,
由於四邊形的內角和為 360° ,
即 ∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360° ,
所以 ∠1+∠2+∠3+∠4=720°-360°=360°。
1. 利用五邊形的內角和為 540°,推導出五邊形的一組
外角和是 360°。 五邊形的一組外角和
=180°× 5-540°=360°。
2. 正五邊形的每個內角是多少度?每個外角是多少度?
180° × (5-2)
每個內角=
=108°,
5
每個外角=180°-108°=72°。
利用類似的方法,可以推得:
n 邊形的一組外角和是 360°,正 n 邊形每個外角的
360°
度數都是 n 。
由外角和求外角
已知一個五邊形的一組外角中四個外角的度數分別為63°、
57°、58°、74°,請問這一組外角中另一個外角的度數為
多少?
因為一個五邊形的一組外角和為 360°,
所以另一個外角的度數為
360°-63°-57°-58°-74°=108° 。
如右圖,已知四邊形 ABCD 的一組外角中
三個外角的度數分別為 115°、100°與 50°,
求這一組外角中另一外角的度數。
所求=360°-115°-100°-50°=95°。
D
115°
A
50°
B 100°
C
1. 三角形內角和
三角形的內角和是180°。
2. n 邊形的內角
(1) 內角和定理:n 邊形的內角和是 180° ×(n-2)
。
180° ×(n-2)
(2) 正 n 邊形每個內角的角度都是
。
n
3. 三角形的外角
(1) 三角形的外角定理:
三角形的外角為其兩個內對角之和。
(2) 三角形的外角大於其內對角。
4. n 邊形的外角
(1) n 邊形的一組外角和是 360°。
360°
(2) 正 n 邊形每個外角的度數都是 n 。
1. 下列各組角中,哪一個可為三角形的三內角?
(A) 80°、80°、10°
(B) 40°、60°、80°
(C) 70°、70°、70°
(D) 30°、100°、40°
答: (B) 1
2. 如右圖,求
B
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
C
的角度和。
所求=△ACE 內角和+△BDF 內角和
=180°× 2=360°
A
F
E
D
3. 如右圖,已知∠1=85°、
∠D=45°、∠A=63°,
求∠ABD、∠ACD的角度。
∠1=∠A +∠ABD
 ∠ABD=85°- 63°=22°
∠1=∠D +∠ACD
 ∠ACD=85°- 45°=40°
D
A
1
B
C
4. 如右圖,小美依逆時針方
向繞四邊形公園 ABCD 散
步,她由P 點出發,經過
B、C 兩點到達 Q 點,那
麼她至少轉了多少度?
D
A
Q
P
B
(180°-60°)+(180°-100°)
=120°+80°
=200°
60°
100°
C
5. 若正 n 邊形的每個內角都是 156°,
請問 n 是多少?
(n-2)× 180
=156,
n
180n-360=156n,n=15。
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