Aula 4 - Bizuando

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EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE
MOVIMENTO – EQUAÇÃO DE EULER –
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
I. DESCRIÇÃO DO ESCOAMENTO DOS FLUIDOS:
 DEFINIÇÃO:
- É O ESTUDO DOS CONCEITOS REFERENTES AO
MOVIMENTO DOS FLUIDOS DE UM LOCAL A OUTRO, NO
INTERIOR DE UM SISTEMA DE TRANSPORTES, EM UMA
PLANTA PROCESSADORA, ONDE OS FLUIDOS COMEÇAM A
ESCOAR A PARTIR DE FORÇAS AGINDO SOBRE ELES. ESTA
FORÇA,
CAUSA
VARIAÇÃO
NA
QUANTIDADE
DE
MOVIMENTO.
 IMPORTÂNCIA:
 PROJETOS DOS EQUIPAMENTOS PROCESSADORES (BOMBAS,
TANQUES, TROCADORES DE CALOR, TUBULAÇÕES,...);
 MINIMIZA AS PERDAS DE ENERGIA NAS INDÚSTRIAS;
 EVITA UM SUB OU SUPER DIMENSIONAMENTO DOS EQUIPAMENTOS.
II. BALANÇOS (MASSA, MOMENTUM):
- APLICADOS AO DESENVOLVIMENTO DE EQUAÇÕES PARA
ANÁLISE DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS;
REGIMES TRANSIENTES
REGIMES PERMANENTES
GEOMETRIAS SIMPLES (UNIDIMENSIONAIS)
GEOMETRIAS COMPLEXAS (TRIDIMENSIONAIS)
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO:
INTEGRAL
DIFERENCIAL
COMPORTAMENTO GENÉRICO DE UM CAMPO
DE ESCOAMENTO;
CONHECIMENTOS DETALHADOS PONTO A PONTO DO
CAMPO DE ESCOAMENTO.
III. EQUAÇÕES DE EULER EM COORDENADAS
DE UMA LINHA DE CORRENTE
(ESCOAMENTO PERMANENTE):
z
n
s
(2)
OBS.: EIXO Y
(1)
x
EIXO XZ.
z
n
s
(2)
OBS.: EIXO Y
EIXO XZ.
(1)
x
- PARTÍCULA SE DESLOCA DE UM PONTO A OUTRO:
F  ma
- CONSIDERANDO UM FLUIDO INVÍSCIDO:

  FORÇA NA PARTÍCULA 
FORÇA LÍQUIDA

 


   DEVIDO À GRAVIDADE   MASSA DA PARTÍCULA  ACELERAÇÃO DA PARTÍCULA

 NA PARTÍCULA DEVIDO À PRESSÃO 



z
n
s
(2)
OBS.: EIXO Y
EIXO XZ.
(1)
x
- ESCOAMENTOS BIDIMENSIONAIS: PODEM SER DESCRITOS EM FUNÇÃO
DAS ACELERAÇÕES E VELOCIDADES DAS PARTÍCULAS FLUIDAS NAS
DIREÇÕES z E x:
EQUAÇÃO DE EULER
- O MOVIMENTO DE CADA PARTÍCULA FLUIDA É DESCRITO EM FUNÇÃO DO
VETOR VELOCIDADE (V):
V  f x, y, z, t 
- AO MUDAR DE POSIÇÃO, A PARTÍCULA SEGUE UMA TRAJETÓRIA, SENDO A
LOCALIZAÇÃO DA MESMA f (x0, V);
- PARA ESCOAMENTO PERMANENTE: TODAS AS PARTÍCULAS QUE PASSAM
POR UM CERTO PONTO SEGUEM A MESMA TRAJETÓRIA E SEU VETOR
VELOCIDADE É SEMPRE TANGENTE À TRAJETÓRIA;
z
n
s
(2)
(1)
x
- EM MUITAS SITUAÇÕES, É MAIS FÁCIL DESCREVER O ESCOAMENTO EM
FUNÇÃO DAS COORDENADAS DA LINHA DE CORRENTE (s,n).
F  ma
dV
a
dt
ESCOAMENTO
BIDIMENSIONAL
 as, an
- ACELERAÇÃO AO LONGO DA LINHA DE CORRENTE:
as 
dV  V   s   V 

   
 V
dt  s   t   s 
- COMPONENTE NORMAL DA ACELERAÇÃO:
V2
an 
R
- FORÇA AO, LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE:
V
 V 

F


m

a


m

V







V



 s
s
s
 s 
(*)
- SUPONDO ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO, FLUIDO INCOMPRESSÍVEL E
INVÍSCIDO:
PESO
- FORÇAS QUE AGEM NA PARTÍCULA:
PRESSÃO
z
 p  pn sy
n
 p  ps ny
s
(2)
 p  ps ny
(1)
 p  pn sy
Peso W 
x
p s 
p s
s 2
z
sen  
n

Ws
z
s
s
(2)

Wn
(1)
W
- COMPONENTE DA FORÇA PESO NA DIREÇÃO S:
Ws  W  sen      sen
- COMPONENTE DA FORÇA PESO NA DIREÇÃO n:
Wn  W  cos      cos
x
z
 p  pn sy
n
 p  ps ny
s
(2)
 p  ps ny
 p  pn sy
(1)
Peso W 
x
- COMPONENTE DA PRESSÃO NA DIREÇÃO S:
FPS   p  p s n  y   p  p s n  y
p s 
p ds 


p
n  y   p 
n  y
s 2 
s 2 


P
 2  p s  n  y  
 s  n  y
s
P

 
s
p s
p s 
s 2
p 

Fs  Ws  Fps      sen  s   
- COMBINANDO AS E
(**)
QUAÇÕES (*) e (**):
p 
V

    sen          V 
s 
s

p
V
   sen  
  V 
s
s
as
EXEMPLO: CONSIDERE UM FLUIDO INVÍSCIDO E INCOMPRESSÍVEL, AO LONGO DE
UMA LINHA DE CORRENTE, EM TORNO DE UMA ESFERA DE RAIO a E A VELOCIDADE
AO LONGO DA LINHA DE CORRENTE ENTREOS PONTOS A E B É DADA POR:
A
B
 a3 
V  V0 1  3 
x 

DETERMINE A VARIAÇÃO DE PRESSÃO ENTRE OS PONTOS A E B, DA LINHA DE
CORRENTE MOSTRADA NA FIGURA.
- DE MANEIRA ANÁLOGA, NA DIREÇÃO n:
F
n
F
n

m V 2
R

V 2
Wn  Fpn
R
p 

    cos  
n 

dz p V 2
 


dn n
R
z
n

Ps
s
(2)
sen  
z
s

Pn
(1)
W
x
   sen  
p
V
  V 
s
s
 p 
 p  0
p dp
dp   ds   dn 

s
ds
 s 
 n 

 
1 dV2
2 dS
 
dz dp 1
dV2
   
 
ds ds 2
ds
 
dz dp 1
dV2
  
 
ds ds 2
ds
- AO LONGO DA LINHA DE CORRENTE:
 
1
dV2
dp    
   dz  0
2
ds
 


1
d V2
  dp    
   dz  C
2
ds


IV. A EQUAÇÃO DE BERNOULLI:
s
(2)
(1)
- INTEGRANDO A EQUAÇÃO DE (1) A (2):
P2
dP
P1


v2
z2
v1
z1
  v  dv  g   dz  0
1
1
2
P1     V1    g  z1  P2     V22    g  z 2
2
2
EQUAÇÃO
DE
BERNOULLI
V. APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI:
MEDIDORES DE VAZÃO:

DEFINIÇÃO:
DISPOSITIVOS
QUE
DETERMINAM
A
QUANTIDADE
(MÁSSICA/VOLUMÉTRICA) POR UNIDADE DE TEMPO DE UM FLUIDO, QUANDO O
MESMO ESCOA ATRAVÉS DE UMA DADA SEÇÃO.
 TIPOS DE MEDIDORES:

MEDIDA
DIRETA
–
FLUIDO
É
DESPEJADO
EM
UM
RESERVATÓRIO(DE
PESAGEM/GRADUADO) DURANTE UM CERTO TEMPO CRONOMETADO.
TANQUE DE
MATÉRIA-PRIMA
TANQUE DE
PRODUTO PROCESSADO
PROCESSAMENTO
CRONÔMETRO
BALANÇA
 MEDIDA INDIRETA – A MEDIDA DE VAZÃO DÁ-SE POR UMA REDUÇÃO NA SEÇÃO
DO ESCOAMENTO. OU SEJA, NO CONDUTO DO ESCOAMENTO INTERNO É INSERIDO
UM ESTRANGULAMENTO, A FIM DE PROPICIAR UMA QUEDA DE PRESSÃO LOCALIZADA
(OU PERDA DE CARGA LOCALIZADA). A VAZÃO É DETERMINADA RESOLVENDO-SE UM
SISTEMA COMPOSTO PELAS EQUAÇÕES DE BERNOULLI E DA CONTINUIDADE.
TUBO
DE
VENTURI
EXEMPLO: QUEROSENE ESCOA NO MEDIDOR DE VENTURI, COM VAZÃO
VOLUMÉTRICA VARIANDO DE 0,005 A 0,05 m3/s. DETERMINE A FAIXA DE ARIAÇÃO
DE DIFERENÇA DE PRESSÃO MEDIDA NESSES ESCOAMENTOS.
EXEMPLO 2: A FIGURA A SEGUIR MOSTRA UM MODO DE RETIRAR ÁGUA A 20C DE
UM GRANDE TANQUE. SABENDO QUE O DIÂMETROI DA MANGUEIRA É CONSTANTE,
DETERMINE A MÁXIMA ELEVAÇÃO DA MANGUEIRA, H, PARA QUE NÃO OCORRA
CAVITAÇÃO NO ESCOAMENTO DA ÁGUA NA MANGUEIRA. ADMITA QUE A SEÇÃO DE
DESCARGA DA MANGUEIRA ESTÁ LOCALIZADA A 1,5 M ABAIXO DA SUPERFÍCIE
INFERIOR DOP TANQUE E QUE A PRESSÃO ATMOSFÉRICA SEJA IGUAL A 101.325 Pa.
(2)
(1)
4,5 M
(3)
 MEDIDA DE VELOCIDADE DO AR PELO MEDIDOR DE PITOT E
PRANDT:
- CONSISTE DE DOIS TUBOS CONCÊNTRICOS E CURVADOS EM FORMATO DE L, CUJO
SENSOR É INSERIDO NO INTERIOR DA TUBULAÇÃO E CUIDADOSAMENTE ALINHADO
À DIREÇÃO FORNTAL DO ESCOAMENTO, DE TAL MODO QUE FORMA-SE UM PONTO DE
ESTAGNAÇÃO ONDE PODEMOS MEDIR A PRESSÃO EXERCIDA PELO FLUIDO.
PRESSÃO
DE
ESTAGNAÇÃO
1
p     V 2    z  cte
2
PRESSÃO ESTÁTICA
PRESSÃO HIDROSTÁTICA
PRESSÃO DINÂMICA
A EQUAÇÃO DE BERNOULLI ESTABELECE QUE A PRESSÃO TOTAL PERMANECE
CONSTANTE AO LONGO DA LINHA DE CORRENTE.
EXEMPLO: CONSIDERE UM AVIÃO VOANDO A 160 KM/H NUMA ALTITUDE DE 3000M.
ADMITINDO QUE A ATMOSFERA SEJA A PADRÃO,DETERMIONE A PRESSÃO AO LONGE
DO AVIÃO, A PRESSÃO NO PONTO DE ESTAGNAÇÃO NO NARIZ DO AVIÃO E A
DIFERENÇA DE PRESSÃO INDICADA PELO TUBO DE PITOT QUE ESTÁ INSTALADO NA
FUSELAGEM DO AVIÃO.

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