Prezentácia programu PowerPoint

Report
Ako staríci počítali π
Zbyněk Kubáček
Katedra matematickej analýzy a numerickej matematiky
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
Univerzity Komenského v Bratislave
Christiaan Huygens
(1629-1695)
Liu Hui (okolo 220 - 280)
Archimedes
(asi 287 -212 pred n.l.)
Willebrord Snell
(1580 - 1626)
Bhaskara
(1114-1185)
Džamšíd Ghijáth ad-Dín
al-Káší (cca 1380-1429)
Základná myšlienka
odhadnúť π obvodmi pravidelných
n-uholníkov vpísaných do kruhu
s priemerom 1 a opísaných tomuto kruhu
 <  < 

2
Súvisí to s trigonometriou
pravidelný n-uholník opísaný kružnici
s priemerom d má stranu dĺžky  =
°
 tan

pravidelný n-uholník vpísaný do tejto
°
kružnice má stranu dĺžky  =  sin


2
180°/
180°/

2
s rastúcou hodnotou n sa čísla  ∙ 
 ∙ 
°

°

a
stále menej líšia od 
s rastúcou hodnotou n sa čísla  ∙ 
a ∙



stále menej líšia od 


Ako presne sa dá určiť číslo
π z hodnôt sin 1° a tan 1°
 = 180 ∙ sin 1° = ,  433 158 …
 = 180 ∙ tan 1° = ,  911 687 …
Archimedes: O meraní kruhu
3. st. pred n. l.



<<


Archimedes pracoval s prevrátenými hodnotami


 =
a  =


Poznal  =


=  a  =


=
Použil vzťahy
 =  +  + 

t.j.
1
2
=
1

+ 1+
1 2

a vypočítal postupne  ,  ,  , 
Potom použil vzťahy


−  =  +


−,
t.j.
1 2
2
a vypočítal postupne  ,  ,  , 
−1=
1

+
1 2

−1

1,732 050 808
3,732 050 808

2,000 000 000
3,863 703 305
7,595 754 113 7,661 297 576
15,257 051 688 15,289 788 299
30,546 839 987 30,563 203 909
3,142 714 600 3,141 031 951
°
 ∙ 

kontrola
 ∙ 
°

Keď už poznáme tvar Archimedových vzťahov, nie je ťažké overiť ich použitím
goniometrie (t.j. po boji je každý generálom)
1
1
1
=
+ 1+
2 

dosadíme  = tan
2
označíme
180°
2
180°
,

2 = tan
180°
2
=
dostaneme
cot  = cot 2 + 1 + cot 2
2
upravíme
cot 2 + 1 + cot 2
2
cos 2
=
+
sin 2
cos 2
1+
sin 2
=
cos 2 + 1
2 cos  2
cos 
=
=
=
sin 2
2 sin  cos  sin 
2
=
cos 2
+
sin 2
1
sin 2
sin 2 2 + cos 2 2
sin 2 2
tešíme sa
2
Liu Hui – Liou Chuej (okolo 220 - 280)
劉徽
Liou Chuej vychádzal z obsahu kruhu
kruh s polomerom 1 má obsah π
obsah pravidelného 2n−uholníka vpísaného do kruhu s polomerom 

= ∙ obvod pravidelného n−uholníka vpísaného do tohto kruhu

jeho postup pri postupnom výpočte strán nuholníkov vpísaných do kruhu s polomerom 1
zodpovedá vzťahu
U
C
B

T
V
P
D

X
Z
F
Y

= − −



+

A
S
E

 = 1 ,  = 6 ,  = 12 , najprv
vypočítame  pomocou  a  ,
odtiaľ nájdeme  a napokon z  a
 vypočítame 

Poznámočka: Liou Chuejov vzťah
2
2
2

= 1− 1−
2
2

+
2
2
možno upraviť na tvar
 =
 −  − 

Ten používal pri výpočte strán vpísaných
n-uholníkov indický matematik
Bhaskara (1114-1185)
Späť k Liou Chuejovi: Odhad zhora
rozdiel medzi
obsahom vpísaného
2n-uholníka a
vpísaného nC
uholníka
U
X
2 <  < 2 + 2 − 
obsah vpísaného
pravidelného 2nuholníka
S
obsah vpísaného
pravidelného nuholníka
B
ak tento
rozdiel pridám
k obsahu
vpísaného 2nuholníka,
dostanem
obsah väčší
ako je obsah
kruhu
Zu Chongzhi - Ču Čungdži (429-501)
祖沖之

≈

Archimedes počítal obvod pravidelného 96-uholníka (96 = 3 ∙ 25 ), Ču Čungdži
obvod pravidelného 12 288-uholníka (12 288 = 3 ∙ 212 )
3,141 592 6 <  < 3,141 592 7
Rekonštrukcia objavu hodnoty


ak
a+r
, , ,  > 
a
r
a
0
 
<
 
tak
s
b
b+s
 + 
<
<
 + 
vieme, že
3<<
22
7
teda pre každé prirodzené , 
3
22
<<

7
potom aj
 + 
22
je medzi 3 a
 + 
7
chceme, aby približne platilo
 + 
= ,   
 + 
3 + 22 = 3,1415926 + 21,9911482
0,0088518 = 0,1415926
=
0,1415926
 = 15,99591 …  ≈ 
0,0088518
 +  ∙   +  ∙  
=
=
 +  ∙ 
 +  ∙ 

Džamšíd Ghijáth ad-Dín al-Káší
‫غیاث‌الدین‌جمشید‌کاشانی‬
(cca 1380-1429)
Al-Risála al-muhítíja (Traktát o obvode kruhu), 1424
Al-Káší počítal hodnotu 2π, preto jeho postup opíšeme pre kruh
s polomerom 1 (ktorého obvod je 2π).
X
 =
strana pravidelného
n-uholníka
vpísaného do kružnice =
360°
crd

 =
360°
crd 180° −

A
360°
180° −

S
 =
360°

1
 − 

B
Al-Káší odvodil vzťah medzi „doplnkovými“
tetivami  a 2
 =
 + 
crd 180° −
360°
2
2 + crd 180° −
360°

t.j.
6 = 3
48 =
12 =
=
24 =
2+ 3
2+ 2+ 2+ 3
96 =
2+ 2+ 3
2+ 2+ 2+ 2+ 3
Aj teraz môžeme robiť múdrych pomocou goniometrie:
do
crd 180° −
dosadíme
2 sin
dostaneme
upravíme
označíme  =
2 cos  =
crd  = 2 sin
180° −
2
2 sin 90° −
2 cos
180°
2
2 1 + cos 2 ,
360°
=
2
180°
=
2
360°
2 =
180°
2
=
2 + crd 180° −
360°


2
2 + 2 sin
180° −
2
360°

2 1 + sin 90° −
2 1 + cos
180°

180°

a máme
t.j.
cos  =
1+cos 2
2
šťastní zomierame
Al-Káší
• začal s „doplnkovou“ tetivou k strane
pravidelného 6-uholníka 6 = 3
• opakovaným použitím svojho vzťahu našiel
dĺžku „doplnkovej“ tetivy k strane
pravidelného 3 ∙ 228 = 805 306 368uholníka
• vypočítal pomocou Pytagorovej vety dĺžku
strany vpísaného pravidelného 3 ∙ 228 uholníka
• tú vynásobil číslom 3 ∙ 228
Tak (spolu s odhadom zhora pomocou obvodu opísaného
pravidelného 3 ∙ 228 -uholníka) našiel prvých 15 cifier za desatinnou
čiarkou v zápise čísla 2π.

počet strán
vpísaného
-uholníka
6
24
96
384
1 536
6 144
24 576
98 304
393 216
1 572 864
6 291 456
25 165 824
100 663 296
402 653 184
805 306 368

dĺžka „doplnkovej“ tetivy
1,732 050 807 568 877 293 5
1,982 889 722 747 620 822 3
1,998 929 174 952 731 288 9
1,999 933 067 834 802 206 9
1,999 995 816 717 800 362 1
1,999 999 738 544 777 074 1
1,999 999 983 659 048 233 3
1,999 999 998 978 690 513 3
1,999 999 999 936 168 157 1
1,999 999 999 996 010 509 8
1,999 999 999 999 750 656 9
1,999 999 999 999 984 416 1
1,999 999 999 999 999 026 0
1,999 999 999 999 999 939 1
1,999 999 999 999 999 984 8
 ∙   ∙ 4 −  2
=
2
2
polovica obvodu vpísaného uholníka (dolný odhad čísla π)
3,000 000 000 000 000 000 0
3,132 628 613 281 238 197 2
3,141 031 950 890 509 638 1
3,141 557 607 911 857 645 5
3,141 590 463 228 050 095 7
3,141 592 516 692 157 447 6
3,141 592 645 033 690 896 7
3,141 592 653 055 036 841 7
3,141 592 653 556 370 963 7
3,141 592 653 587 704 346 3
3,141 592 653 589 662 682 7
3,141 592 653 589 785 078 7
3,141 592 653 589 792 728 5
3,141 592 653 589 793 206 6
3,141 592 653 589 793 230 5
Ludolph van Ceulen
(1540-1610)
z obvodu vpísaného a opísaného
pravidelného 262 -uholníka (teda
4 611 686 018 427 387 904uholníka) našiel π s presnosťou na
35 desatinných miest (podľa neho
sa π niekedy nazýva Ludolfovo
číslo).
Willebrord Snell
(1580 - 1626)
Christiaan Huygens
(1629-1695)
nebolo treba až tak sa namáhať
1621 ukázal van Ceulenov žiak
Willebrord Snell, že rovnakú
presnosť možno dosiahnuť
s podstatne menším množstvom
výpočtov.
Jeho úvahy doplnil a precízne dokázal
v r. 1654 Christiaan Huygens.
Nerovnosti
 <  < 
možno nahradiť presnejšími odhadmi



 +  − / <  <  + 



Dokážete priradiť k textu vzorec?

 +  − / < 



 <  + 


Christiaan Huygens: De circuli magnitudine inventa (1654)



4
1
 − /2
3
3
2
1
 + 
3
3
6
3,000 000 000 00
3,464 101 615 14
12
3,105 828 541 23
3,215 390 309 17
3,141 104 721 640 332
3,142 349 130 544 657
24
3,132 628 613 28
3,159 659 942 10
3,141 561 970 631 568
3,141 639 056 219 993
48
3,139 350 203 05
3,146 086 215 13
3,141 590 732 968 744
3,141 595 540 408 390
96
3,141 031 950 89
3,142 714 599 65
3,141 592 533 505 057
3,141 592 833 808 796
192
3,141 452 472 29
3,141 873 049 98
3,141 592 646 083 780
3,141 592 664 850 249
384
3,141 557 607 91
3,141 662 747 06
3,141 592 653 120 656
3,141 592 654 293 521
768
3,141 583 892 15
3,141 610 176 60
3,141 592 653 560 472
3,141 592 653 633 775
1 536
3,141 590 463 23
3,141 597 034 32
3,141 592 653 587 961
3,141 592 653 592 542
3 072
3,141 592 106 00
3,141 593 748 77
3,141 592 653 589 679
3,141 592 653 589 965
6 144
3,141 592 516 69
3,141 592 927 39
3,141 592 653 589 786
3,141 592 653 589 804

similar documents