Ravni

Report
GEOMETRIJA U RAVNI
OSNOVNI I IZVEDENI POJMOVI I STAVOVI U GEOMETRIJI
Osnovni pojmovi u geometriji su: tačka, prava i ravan.
Osnovni relacije su: izmeđ i podudarno .
Tačke označavamo velikim slovima:A,B,C,.....P,Q,....
Prave označavamo malim slovima: a,b,c,.......p,q,....
Ravni označavamo sagrčkim slovima: λ, β, γ,δ
Podudarno označavamo: ≅
Između označavamo : A-B-C ( tačka A je između tačaka B i C )
Nove pojmove uvodimo definicijama koristećise osnovnim pojmovima i
pojmovima koje smo već definisali.
AKSIOME PRAVE:
A1: Svake dvije različite tačke određuju samo jednu pravu
( Kroz dvije tačke prolazi uvijek jedna i samo jedna prava)
A2: Svaka prava sadrži najmanje dvije različite tačke
A3: Postoje tri tačke koje ne pripadaju jednoj pravoj.
(Postoji bar jedna tačka koja ne pripada datoj pravoj )
Definišimo sada neke pojmove koje ćemo koristiti u daljem izlaganju:
Def: Za dvije prave koje imaju jednu zajedničku tačku kažemo da
se sijeku.
Def: Za tačke koje pripadaju istoj pravoj kažemo da su
kolinearne, a za tačke koje ne pripadaju istoj pravoj kažemo da
su nekolinearne.
PRIMJER: Koliko različitih pravi određuju četiri različite
tačke A,B,C,D
Rješenje: Posmatraćemo nekoliko slučajeva:
a) Sve tačke su kolinearne – imamo samo jednu pravu
b) Tri tačke kolinearne (A,C,D) – imamo 4 različite prave
kroz tačke ACD; BA; BC ; BD:
c) Sve četiri tačke nekolinearne: imamo 6 različitih pravih
AB; AC; AD; BC; BD; CD
PRIMJER 2: Dato nam je n tačaka od kojih nikoje tri nisu
kolinearne. Koliko pravih one određuju?
Rješenje: uzmemo prvu tačku ( recimo A ) tada ona sa
svakom od preostalih tačaka određuje najviše po jednu
pravu , dakle (n-1) pravih.
Sada uzmemo drugu tačku i izvedemo isti zaključak, i tako do
posljednje tačke.
U ovom postupku primjetićemo da ćemo imati između svake
dvije tačke po dvije prave ( recimo AB i BA ) ali to su prave
koje se poklapaju, pa možemo reči da će broj pravih ukupno
biti n(n-1) podijeljeno sa 2. Dakle formula po kojoj ćemo
izračunati broj pravih koje obrazuje n tačaka je :
n ( n  1)
2
AKSIOME RAVNI
A4: Svake tri nekolinearne tačke određuju samo jednu ravan.
( Kroz tri nekolinearne tačke prolazi jedna i samo jedna ravan. )
A5: Svaka ravan sadrži bar tri nekolinearne tačke.
A6: Postoje bar četiri tačke koje ne pripadaju istoj ravni.
Def: Za tačke koje leže u jednoj ravni kažemo da su
komplanarne. Za četiri tačke koje ne leže u istoj ravni kažemo
da su nekomplanarne.
AKSIOME PRAVE I RAVNI
A7: Ako dvije tačke jedne prave pripadaju ravni α tada sve
tačke te pravepripadaju ravni α.
Def: Ako sve tačke prave p pripadaju ravni α , kažemo da
prava p leži u ravni α i zapisujemo p⊂α.
Teorema : Ravan i prava koja nije sadržana u toj ravni mogu
imati najviše jednu zajedničku tačku.
Iz svega navedenog zaključujemo da mogu postojati tri
međusobna odnosa između prave i ravnia.
p ∩ α =p
p∩α=∅
p∩α={A}
p ∩ α =p
p∩α=∅
p∩α={A}
Ako prava i ravan imaju jednu zajedničku tačku tada kažemo da
prava probada ravan, ako nemaju zajedničkih tačaka kažemo da
su paralelne , i ako imaju dvije zajedničke tačke tada prava leži u
ravni.
ODREĐENOST RAVNI
Teorema1: Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži dvije prave koje se
sijeku.
( Ravan je određena sa dvije prave koje se sijeku. )
Teorema2: Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži datu pravu i datu
tačku koja ne pripada toj pravoj .
( Ravan je određena sa pravom i tačkom van te prave. )
AKSIOMA O DVIJE RAVNI
A8: Ako dvije ravni imaju jednu zajedničku tačku onda one
imaju još jednu zajedničku tačku.
Odavde zaključujemo da ako dvije ravni imaju jednu zajedničku
tačku onda one imaju zajedničku pravu.
Iz ove aksiome slijedi da su moguća svega tri uzajamna
položaja dvije ravni.
a) Ako ravni α i β imaju tri zajedničke nekolinearne tačke
tada je α = β
b) Ako α i β imaju zajedničku tačku tada je α ∩ β = p i kažemo
da se ravni α i β sijeku po pravoj p
c) Ako ravni α i β nemaju nemaju zajedničkih tačaka tj ako je
α ∩ β =∅ , tada su α i β paralelne što označavamo sa α ∥ β .
AKSIOMA PARALELNOSTI DVIJE RAVNI
Def:Za dvije prave p q koje leže u istoj ravni kažemo da su
paralelne i zapisujemo p ∥ q ako je p=q ili p ∩ q = ∅.
A9: Ako tačka A i prava p pripadaju istoj ravni α , onda tačkom A
prolazi tačno jedna prava koj pripada ravni α iparalelna je
sa pravom p.
Teorema: Postoji tačno jedna ravan koja sadrži dvije date
paralelne prave.
( Ravan je određena sa dvije različite paralelne prave )
Tore ma : Ako prave p q i r leže u jednoj ravni α i ako su prave p i q
paralelne i ako prava r siječe pravu p tada ona siječe i pravu q.

similar documents