а + b

Report
Автор: Елена Юрьевна Семёнова
МОУ СОШ №5 - «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Лемма о коллинеарных векторах
Лемма
Если векторы а и b коллинеарны и а ≠ 0,
то существует такое число k, что b = ka
Доказательство:
1 случай: a↑↑b.
Пусть k =
│b│
b
a
kа
. Т.к. k ≥ 0,
│a│
то векторы ka и b сонаправлены.
Их длины равны: │ka│= │k│∙│a│=
Поэтому b = ka.
│b│
│a│
∙│a│=│b│.
Лемма о коллинеарных векторах
Доказательство:
b
a
2 случай: a↑↓b.
Пусть k = –
│b│
kа
. Т.к. k < 0,
│a│
то векторы ka и b сонаправлены.
Их длины равны: │ka│= │k│∙│a│=
Поэтому b = ka.
Чтд.
│b│
│a│
∙│a│=│b│.
Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам
Пусть а и b – два данных вектора. Если вектор р
представлен в виде р = ха + уb, где х и у – некоторые
числа, то говорят, что вектор р разложен по
векторам а и b.
Числа х и у называют коэффициентами разложения.
Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам
Теорема
Любой вектор можно разложить по двум данным
неколлинеарным векторам, причем коэффициенты
разложения определяются единственным образом.
Доказательство:
р = ха + уb
р
уb
b
ха
a
Координаты векторa
y
р = хi + уj
A(x; y)
y
р {х; у}
р
0 = 0i + 0j
1
j
O i 1
x
0 {0; 0}
x
Действия над векторами
а {х1; у1}
b {х2; у2}
1. Каждая координата суммы двух или более
векторов равна сумме соответствующих
координат этих векторов.
а + b { х1 + x2; у1 + y2 }
2. Каждая координата разности двух векторов
равна разности соответствующих
координат этих векторов.
а – b { х1 – x2; у1 – y2 }
Действия над векторами
а {х1; у1}
3. Каждая координата произведения вектора на
число равна произведению соответствующей
координаты вектора на это число.
kа { kх1; kу1 }
Связь между координатами
вектора и координатами его
начала и конца
АВ = AO + OB = – OA + OB = ОВ – ОА
y
y2
–
В(x2; y2)
O
OA {х1; у1}
АВ {х2 – x1; у2 – y1}
АВ
y1
OВ {х2; у2}
A(x1; y1)
x2
x1
x
Связь между координатами вектора
и координатами его начала и конца
Каждая координата вектора равна
разности соответствующих координат
его конца и начала.
Примеры
А(5; 3), В(– 2; 4)
M(-3; 8), N(0; – 6)
АВ {– 2 – 5; 4 – 3}
MN {0 – (–3); – 6 – 8}
АВ {– 7; 1}
MN {3; –14}
Координаты середины отрезка
С
y
В(x2; y2)
х1 + х2
x=
2
y1 + y2
y=
2
y2
М
y1
O
A(x1; y1)
x2
x1
x
Длина вектора
y
A(x; y)
y
а
O
а = √ x2 + y2
x
x
Расстояние между двумя точками
АВ {х2 – x1; у2 – y1}
y
y2
В(x2; y2)
АВ = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
y1
O
│АВ│ = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
A(x1; y1)
x2
x1
x

similar documents