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直角三角形有哪些特殊的性质
角
直角三角形的两锐角互余。
边 直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方。
B
符号语言: 在Rt△ABC中
a2+b2=c2
面积 两种计算面积的方法。
A
c
b
a
C
如何判定一个三角形是直角三角形呢?
(1) 有一个内角为直角的三角形是直角三角形
(2) 两个内角互余的三角形是直角三角形
(3) 如果三角形的三边长为a、b、c满足
a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
符号语言:∵a2+b2=c2
∴∠C=90°
A
或△ABC 为Rt△ABC
B
a
c
b
C
直角三角形判定
如果一个三角形一边上的中线等于这条边
的一半,那么这个三角形是直角三角形吗?
C
A
D
B
如何判定一个三角形是直角三角形呢?
(1) 有一个内角为直角的三角形是直角三角形
(2) 两个内角互余的三角形是直角三角形
(3) 如果三角形的三边长为a、b、c满足
a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
B
符号语言: 在Rt△ABC中
a2+b2=c2
A
C
(4) 如果一个三角形一边上的中线等于这条边
的一半,那么这个三角形是直角三角形。
有四个三角形,分别满足下列条件:
①一个内角等于另两个内角之和;
②三个角之比为3:4:5;
③三边长分别为7、24、25
④三边之比为5:12:13
其中直角三角形有( C )
A、1个
B、2个 C、3个 D、4个
观察下列图形,正方形1的边长为7,则
正方形2、3、4、5的面积之和为多少?
规律:
3
2
4
S2+S3+S4+S5= S1
5
1
如图,是一种“羊头”形图案,其作法是:从
正方形1开始,以它的一边为斜边,向外作
等腰三角形,然后再以其直角边为边,分别
向外作正方形2和2′,……依此类推,若
正方形1的边长为64,则正方形7的边长
为 8 。
3′
4′
3
2′
2
1
4
△ABC三边a,b,c为边向外作正
方形,以三边为直径作半圆,
若S1+S2=S3成立,则△ABC
是直角三角形吗?
S1
C
S2 b a
B
A c
S3
C
S2b
A
S1
a
c
S3
B
△ABC三边a,b,c,以三边为边长分
别作等边三角形,若S1+S2=S3成立,
则△ABC
是直角三角形吗?
C
S
S
B
A
S
C
S2b
A
S1
a
c
S3
B
◆已知等边三角形的边长为6,求它的
面积.
A
⑴求它的高.
6 30°
⑵求它的面积.
3
3
B
6
D
6
C
1、如图,在△ABC中,AB=AC=17,
BC=16,求△ABC的面积。
(2)求腰AC上的高。
17
B
A
15
8
D
16
17
8
C
2、如图6,在△ABC中,AD⊥BC,
AB=15,AD=12,AC=13,求△ABC的
周长和面积。
A
15
B
9
12
13
D 5
C
4. 如图所示是某机械零件的平面图,尺寸
如图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单
位:毫米)
24
A
B
60
C
80
25
10、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶
点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若
AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方
形面积。
H
解:
x2+32=(9-x)2
x=4
E
D
9-x=5
A
9-x
3
5
5
10 9-x
1 F
G9
x
4
C
3
B
如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=4,将
矩形沿BD折叠,点A落在A′处,求重叠部
分△BFD的面积。
42+x2=(8-x)2
A
8
D
X=3
8-x
8-X=5
B
S△BFD=5×4÷2=10
8-x
5
A′
x
F 3
4
C
如图,将一根25cm长的细木棍放入长,宽
高分别为8cm、6cm、和 10 3 cm的长方体
无盖盒子中,求细木棍露在外面的最短长
度是多少?
25
E
20
5
10 3
C 6
B
10
D
8
A
某校A与直线公路距离为3000米,又与该公路
的某车站D的距离为5000米,现在要在公路边
建一小商店C,使之与该校A及车站D的距离相等,
求商店与车站D的距离。
4000
B4000-xC
x D
x
3000
3125
5000
A
如图,公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,
点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,
周围100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上
以18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到
噪音的影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续
多长时间?
N
E
P
M
80
30°
160
A
Q
如图,公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点
A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围
100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以
18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的
影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?
D
N
E
P
M
B
A
Q
如图,公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°,点
A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围
100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以
18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的
影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?
P
M
B
60
E 60
D
80 100
30° 100
160
N
A
Q
有一棵树(如图中的CD)的10m高处B有两只猴子
,其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A
处,另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处
,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树
多高。
D
x
解:设BD=xm
30-x
B
由题意可知,
BC+CA=BD+DA
10
∴DA=30-x
C
20
A
在Rt△ADC中,(10  x )  20  (30 - x)
2
2
2
解得x=5 ∴树高CD=BC+BD=10+5=15(m)
△ABC中,周长是24,∠C=90°,且
AB=9,则三角形的面积是多少?
解:由题意可知,
B
a  b  24  9  15
2
2
A
a  b  81
c
b
a
C
2ab  (a  b)  (a  b )  225  81  144
2
2
2
1
1
S ABC  ab  144   36
2
4
已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,
c=10cm,则Rt△ABC的面积是( A )
A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2
c=10
a2+b2=102=100
a+b=14
S
ABC
(a+b)2=142=196
2ab=(a+b)2-(a2+b2)
=196-100
=96
1
 ab  96  4  24
2
B
c
A
a
b
C
等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则
三角形的面积为( B )
A、56 B、48 C、40 D、32
A
x2+82=(16-x)2
x=6
16-x
8
BC=2x=12
B
S
ABC
1
x
  12  8  48
2
D x
C
如图所示是2002年8月北京第24届国际数学
家大会会标“弦图”,它由4个全等的直角三
角形拼合而成。如果图中大、小正方形的面
积分别为52和4,那么一个直角三角形的两
直角边的和等于 10 。
C2=52
a+b=?
a2 +b2=52
(a-b)2=4
a2 +b2 -2ab=4
52 -2ab=4
ab=24 (a+b)2=a2+b2+2ab=52+48=100
正方形面积与勾股定理中的a2、b2、c2的相互转化
在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放置
的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个
的正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则
4
S1+S2+S3+S4=
。
1
S1
3
2
S2
S3
S4
直角三角形的一条直角边为9,另两边均为自然
数,则另两条边分别是多少?
解:设所求直角三角形的斜边为x,另一直角边
为y,则 x2-y2=92
∴(x-y)(x+y)=81
∵x>y
∴ x+y>x-y,且x+y,x-y都为自然数  x  40

∵ 81=1×81=3×27=9×9
 y  41
或
x

y

3

x  y  1
x

15


或 


x

y

27
x

y

81


 y  12
如图,∠B=∠C=∠D=∠E=90°,且AB=CD=3,
BC=4,DE=EF=2,则求AF的长。
A
3
B
3
4
C
3
D
10
E
2
2
4
2
2
F
如图,一条河同一侧的两村庄A、B,其中A、B
到河岸最短距离分别为AC=1km,BD=2km,
CD=4cm,现欲在河岸上建一个水泵站向A、B
两村送水,当建在河岸上何处时,使到A、B两
村铺设水管总长度最短,并求出最短距离。
B
A
1
5
P
2
D
C 1
4
A′
4
1
E
如图所示,正方形ABCD的对角线相交于点O,
OE、EF、FG、GH、HM、MN都是垂线,若
△AMN的面积等于1cm2,那么,正方形AB
CD的边长等于
D
E
G
F
M H
A N
。
C
O
B
如图是一个长8m,宽6m,高5m的仓库,在
其内壁的A处(长的四等分点)处有一只壁虎,
B(宽的三等分)处有一只蚊子,则壁虎抓到蚊
子的最短距离的平方为
m2
AB  10  5  125
2
B
5
A
5
6
2
B
A
6
8
8
4
AB  6  9  36  81  117
2
2
2
4
B
6
6
2
A
8
6
5
如图是一个长8m,宽6m,高5m的仓库,在
其内壁的A处(长的四等分点)处有一只壁虎,
B(宽的三等分)处有一只蚊子,则壁虎抓到蚊
子的最短距离的平方为
m2
B
5
A
6
5
A
6
8
8
AB  11  4  121  16  137
2
2
2
5
4
6
B
甲乙两人在沙漠进行探险,某日早晨8:00甲先
出发,他以6千米/时速度向东南方向行走,1小时
后乙出发,他以5千米/时速度向西南方向行走,
上午10:00时,甲乙两人相距多远?
北
解:甲走的路程:
6×(10-8)=12 (千米)
乙走的路程:
西
东
5×(10-9)=5 (千米)
乙
甲、乙两人之间的距离:
12  5  13
2
2
甲
南
如图,已知:等腰直角△ABC中,P为斜边BC
上的任一点.
求证:PB2+PC2=2PA2 .
A
B
P
D
C

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