5.1 angulos

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La trigonometría es la rama de las
matemáticas que estudia las
relaciones entre los lados y
ángulos de un triángulo.
Trigonometría es una palabra de etimología griega.
Se compone de:


Trigonon.- que significa triángulo y
Metria.- que significa medición.
Entonces Trigonometría significa etimológicamente,
medida de triángulos.
Importancia de la Trigonometría
En los trabajos topográficos y de la construcción es
necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc.,
para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los
ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en
tierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo: algún
lado, algún ángulo, podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a
Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el
momento en que su propia sombra medía tanto como su
estatura
4
SEMIRECTA
Dibujamos una recta, y señalamos en ella un punto P.
Este punto divide a la recta en dos partes. Cada una de esas partes
es una SEMIRRECTA
SEMIRRECTA
P
SEMIRRECTA
El punto P es el origen de cada una de las semirrectas.
Definimos semirrecta como:
La porción de recta limitada por un punto
Ángulo es la porción del plano limitada por dos
semirrectas que tienen el mismo origen (vértice)
ÁNGULO
Lado
Vértice
ANGULO: Es la abertura formada
por dos semirectas (lados) que
parten de un punto común llamado
vértice
Este es el ángulo
AOB
Este es el mismo ángulo AOB sin importar si se prolongan
más allá las rectas que lo forman.
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
 Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)
 Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)
 Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo
completo
Ángulo
llano
Ángulo
recto
Un
grado
Un
minuto
SEXAGESIMAL
360º
180º
90º
60’
60”
CENTESIMAL
400g
200g
100g
100m
100s
2

/2
RADIANES
12
1
GRADO :
o
MINUTO :
'
1
SEGUNDO :
"
1
EQUIVALENCIAS
1
o
 60
'
'
1  60
"
1
o
1vuelta= 3 6 0
o
 3600
"
GRADOS SEXAGESIMALES
Dividamos el perímetro de una circunferencia
en 360 partes iguales...
Hay 360 ángulos
como este entre
dos divisiones
consecutivas
Este ángulo, en particular, se dice que mide 1º (un grado), y que
corresponde a un ángulo entre los 360 que se pueden construir en la
circunferencia.
SISTEMA CENTESIMAL
(SISTEMA FRANCÉS)
GRADO :
g
1
MINUTO :
m
1
SEGUNDO :
EQUIVALENCIAS
g
1  100
m
m
1
 100
s
1vuelta= 4 0 0
g
s
1
EN ESTE SISTEMA LA
UNIDAD DE MEDIDA ES
EL RADIÁN.
UN RADIÁN ES LA
MEDIDA DEL ÁNGULO
CENTRAL
QUE
SUBTIENDE
EN
CUALQUIER
CIRCUNFERENCIA UN
ARCO DE LONGITUD
IGUAL AL RADIO.
R
..
R
)1r a d
R
1v u e lta  2  ra d
o
'
1ra d  5 7 1 7 4 5
''
A todo esto, ¿qué es el número ? ¿cuánto vale?
 = 3.141592653 (aproximadamente, faltan decimales)
0
1
2
3 
4
GRADO
60
MINUTO
60
SEGUNDO
34º 25’ 48’’
Esta medida está expresada en FORMA COMPLEJA, porque está
expresada en distintas unidades.
Estas otras medidas también están expresadas en FORMA
COMPLEJA.
14º 42’
27’ 54’’
12.543”
Esta medida está expresada en FORMA INCOMPLEJA, porque está
expresada en una sola unidad.
Estas otras medidas también están expresadas en FORMA
INCOMPLEJA.
23º
543’
PASO DE INCOMPLEJO A COMPLEJO
Vamos a expresar 425’ en forma compleja
425’
05
60
7
son minutos
425’ =
7º 5’
son grados
Vamos a expresar 64.252” en forma compleja
64252 ”
0425
052
60
1 0 7 0 60
470 17
50
64.252” =
son grados
son segundos
son minutos
17º 50’ 52”
PASO DE COMPLEJO A INCOMPLEJO
Vamos a expresar 12º 48’ 54” en incomplejo de segundos
12º a segundos
12º . 60 . 60 = 43.200 “
48’ a segundos
48’ . 60 =
54” a segundos
54” =
2.880 “
54 “
46.134 “
Luego 12º 48’ 54” = 46.134”
Equivalencia de ciertos ángulo
¿Cómo es la conversión de grados a radianes?
Sabemos que
360º = 2 radianes
360 x 1º = 2 radianes
si esta igualdad la dividimos por 360 nos queda que
2 radianes
 radianes
=
1º =
360
180
Y por supuesto
1 radián = 180 grados

 radianes = 0,01745 radianes
1º =
180
Por lo tanto si un ángulo mide 37º su conversión a radianes es de:
37º = 37 x 0.001745 radianes = 0,6457 radianes
1 radián =
180 grados= 57,295 grados

Por lo tanto si un ángulo mide 1,5 radianes su conversión a
grados es
1,5 radianes = 1,5 x 57,295 = 85.94 grados = 85,94º
S.sexagesimal
60 º
210º
50g
S. centesimal
Radianes
S.sexagesimal
S. centesimal
Radianes
60g
100g
2π/3
5π/6
140º
240º
350g
90g
7π/8
25g
3
27
S.sexagesimal
60 º
45º
120º
54º
210º
90º
150º
66g 66m
66s
50g
133g 33m
33s
60g
233g 33m
33s
100g
166g 66m
66s

3

4
3
10
7
6

2
5
6
S.sexagesimal
140º
315º
157º 30’
81º
240º
22º 30’
171º
53’14”
S. centesimal
155g
55m 55s
350g
175g
90g
266g 66m
66s
25g
190g 98m
59s
Radianes
14
18
7
4
7
8
9
20
4
3

8
3
S. centesimal
Radianes
2
3
28
CLASIFICACIÓN
DE LOS
ÁNGULOS
EL ÁNGULO
TRIGONOMÉTRICO
SE OBTIENE
GIRANDO UN RAYO
ALREDEDOR DE SU
ORIGEN.
B
O
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
)
 POSITIVO
SENTIDO DE GIRO HORARIO
)
A
OA : LADO INICIAL
OB : LADO FINAL
O: VÉRTICE

) NEGATIVO
ÁNGULO AGUDO
Mide más de 0º y menos de 90º
ÁNGULO RECTO
Ángulo que mide 90º. Se simboliza, en
la figura, con un pequeño cuadrado
donde están ubicados los 90º
Se dice que
perpendiculares.
las
líneas
son
ÁNGULO OBTUSO
Mide más de 90º y menos de 180º
ÁNGULO LLANO
Ángulo llano es el formado por dos semirrectas que
tienen el mismo origen y sentidos opuestos
El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dos
rectos.
ÁNGULO COMPLETO
Mide 360º
RELACIONES
ENTRE
ÁNGULOS
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Son los que suma 90º
a + b = 90º
b
a
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Son los que suma 180º
a + b = 180º
b
a
ÁNGULOS CONSECUTIVOS
Son los que tienen el vértice y un lado comunes.
2
1
El ángulo 1 y el ángulo 2 son consecutivos
ÁNGULOS ADYACENTES
Son aquellos que son consecutivos y que el lado no
común está en la misma recta.
2
1
El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes. Y Suman 180º
ÁNGULOS ADYACENTES
Son los que tienen un lado común y el otro
lado sobre una misma recta
Suman 180º
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Los ángulos opuestos por el vértice
miden lo mismo
a=b
a
b
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
L // M
1
3
5
7
2
4
L
6
8
M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Ángulos Correspondientes
<1 y <5
1
<2 y <6
3
2
4
L
<3 y <7
<4 y <8
L // M
5
7
6
8
M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Ángulos Alternos Internos
1
<3 y <6
3
<4 y <5
2
4
L
L // M
5
7
6
8
M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Ángulos Alternos Externos
1
<1 y <8
3
<2 y <7
2
4
L
L // M
5
7
6
8
M
Suma de ángulos
AOB + BOC = 180º
COB +
BOA =
90º
DOA =
DOB =
AOC
BOC
Resolver
120º
?
?
?
?
?
?
?
?
Si  = b/2 ¿cuánto valen
los otros ángulos?
?
?
?
?
?
b


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