Estimación de Parámetros en tiempo real

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Estimación de
Parámetros en tiempo
real
Estimación de Parámetros en
tiempo real

La estimación de parámetros de un proceso
es un elemento clave en el Control
Adaptativo.
César Martínez
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Estructuras presentes en el
Control Adaptativo

Una forma de estructura de estimación de parámetros se realiza
implícitamente, típicamente encontrado en los modelos de
referencia de sistemas adaptativos (MRAS).
Éstos
intentan
alcanzar para una
señal de entrada
definida,
un
comportamiento en
lazo cerrado dado
por un modelo de
referencia.
César Martínez
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Estructuras presentes en el
Control Adaptativo

La otra forma de estructura de estimación de parámetros de un
proceso es un bloque explícito (bloque de estimación), típicamente
encontrado en los reguladores auto-entonados (STR).
Éstos tratan de
alcanzar un control
óptimo, sujeto a un
tipo de controlador
y
a
obtener
información
del
proceso
y
sus
señales.
César Martínez
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Elementos para la
Identificación de Sistemas

Los elementos clave para la identificación de
los parámetros de un sistema son:





Estudio experimental (adquisición de datos).
Formulación de un criterio.
Seleccionar la estructura del modelo.
La estimación de parámetros.
La validación de estos parámetros estimados.
César Martínez
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Estimación de Parámetros en
tiempo real

Seleccionar una señal de entrada requiere
experiencia y conocimiento del tipo de
proceso a controlar.

En el Control Adaptativo los parámetros del
proceso cambian continuamente, por ello es
necesario que los métodos de estimación
actualicen los parámetros recursivamente.
César Martínez
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Método de Mínimos Cuadrados
para la Estimación de Parámetros

Este método es particularmente sencillo si el
modelo posee la propiedad de ser “lineal en los
parámetros”.

Formulado por Karl Friedrich Gauss a finales del
siglo XVIII. Su principio se basaba en que los
parámetros de un modelo matemático deben ser
escogidos de manera tal que la suma de los
cuadrados de las diferencias entre los valores
actuales observados y calculados del modelo,
multiplicados por coeficientes que miden el grado de
precisión, sea un mínimo.
César Martínez
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Método de Mínimos Cuadrados
para la Estimación de Parámetros

La forma general del modelo matemático (modelo
de regresión) en tiempo discreto al cual se le
aplicará el método de mínimos cuadrados es:
yˆ (i)  1 (i)10  2 (i) 20  3 (i)30    n (i) n0   T (i) 0

yˆ : Variable de salida calculada según el modelo de regresión.

10 , 20 , n0 : Parámetros del modelo a ser estimados.

1 , 2 , n : Funciones conocidas, que también a su vez pueden
depender de otras variables conocidas, denominadas variables de
regresión o regresores.

i : Típicamente denota tiempo.
César Martínez
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Método de Mínimos Cuadrados
para la Estimación de Parámetros

Esta ecuación puede verse también como el
producto escalar de dos vectores, de la forma:
 (i)  1 (i) 2 (i)  n (i)
T
  
0
0
1

0
2
César Martínez
 

0 T
n
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Método de Mínimos Cuadrados
para la Estimación de Parámetros

A través de un experimento se pueden obtener
pares ordenados de la variable observada y de
regresores, de la forma:
y(i), (i)

para
i  1,2,3,, t
El objetivo es determinar los parámetros del vector  0
de manera que las salidas calculadas en el modelo
de regresión concuerden lo más cerca posible con
las variables de salida medidas y(i) y así minimizar
la función de mínimos cuadrados.
César Martínez
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Método de Mínimos Cuadrados
para la Estimación de Parámetros

La función de Mínimos Cuadrados se puede
expresar de la forma:

1 t
1 t 2
1 t
2
V ( , t )    y(i)  yˆ (i)    (i)   y(i)   T (i) 0
2 i 1
2 i 1
2 i 1


2
Introduciendo las notaciones:
  T (1) 
 T 
 ( 2) 
 (t )  
  
 T 
  (t ) 
Y (t )  y(1)
César Martínez
y(2)  y(t )
T
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Método de Mínimos Cuadrados
para la Estimación de Parámetros

Según el Teorema de estimación de los mínimos
cuadrados, la función de mínimos cuadrados V ( , t ) ,
es mínima para los parámetros  si se cumple que:
    Y
T

T
Si la matriz  T  es no-singular, el mínimo es único
está dado por la ecuación:
      Y
T
1
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T
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Interpretación geométrica del
Método de Mínimos Cuadrados



Los vectores 1, 2 ,, n generan un
subespacio de dimensión p , un
hiperplano en  p
La salida predecida Yˆ se encuentra
en este hiperplano formado por los
vectores 1, 2 ,, n
Entonces el error E  Y  Yˆ es el más
pequeño cuando E es ortogonal a
este hiperplano.
César Martínez
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Ejemplo de aplicación del
Método de Mínimos Cuadrados

Considerando el sistema: y(i)  b0  b1u(i)  b2u (i)  e(i)

Donde e(i ) es un ruido Gaussiano con desviación estándar de 0.1

El sistema se puede escribir de la forma:
2
 T (i)  1 u(i) u 2 (i)
 T  b0 b1 b2 

La salida se mide 4 veces para 7 diferentes entradas y se obtienen:
César Martínez
14
Ejemplo de aplicación del
Método de Mínimos Cuadrados
César Martínez
15
Ejemplo de aplicación del
Método de Mínimos Cuadrados

El usuario debe decidir el modelo apropiado a utilizar:
Modelo1 :
y (i )  b0
Modelo2 :
y (i )  b0  b1u
Modelo3 :
y (i )  b0  b1u  b2u 2
Modelo4 :
y (i )  b0  b1u  b2u 2  b3u 3
César Martínez
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Ejemplo de aplicación del
Método de Mínimos Cuadrados

Se obtuvieron los siguiente resultados:

En conclusión, con pocos parámetros en el modelo no es
posible obtener un buen ajuste de los datos. Si por el
contrario, se usan demasiados parámetros el ajuste será muy
bueno pero para otro conjunto de datos puede ser muy pobre,
es lo que se denomina “Sobreajuste”.
César Martínez
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Método de Mínimos Cuadrados
en tiempo continuo




En muchas aplicaciones es necesario realizar observaciones en
tiempo continuo.
La ecuación del modelo de regresión nuevamente se utiliza pero
ahora asumiendo una variable real continua.
La novedad se presenta al introducir en la nueva función de
Mínimos Cuadrados en tiempo continuo un factor exponencial con
un “parámetro de olvido”.
La ecuación es de la forma:
t
V ( )   
0
 t  
y( )  
César Martínez
T

( ) d
2
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Método de Mínimos Cuadrados
en tiempo continuo

Se utiliza el mismo principio, es decir, determinar los parámetros
del vector de manera que las salidas calculadas en el modelo de
regresión concuerden lo más cerca posible con las variables de
salida medidas y ( ) y así minimizar la función de mínimos
cuadrados.

El estimado en único si la matriz R(t ) es invertible, con:
t
R(t )   
0
 t  
 ( ) ( )d
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T
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Método de Mínimos Cuadrados
en tiempo continuo

Según el Teorema de estimación de los mínimos cuadrados,
asumiendo que la matriz R(t ) es invertible para todo t, se debe
satisfacer:
dP (t )
dt

 P(t )  P(t ) (t ) (t )P(t )
T
Con la matriz:
R(t )  P(t )
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1
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Estimación de Parámetros en
tiempo real usando Matlab

El Toolbox de Identificación de Sistemas de Matlab posee una
interfaz gráfica que contiene la mayoría de las funciones de esta
Toolbox, tipeando “ident” se inicia esta interfaz.
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Estimación de Parámetros en
tiempo real usando Matlab

El comando de estimación general en Matlab es:
MODEL = PEM(DATA,MODELSTRUCTURE)
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Estimación de Parámetros en
tiempo real usando Matlab

DATA: Es la información o datos estimados en el formato de
objeto IDDATA.
DATA = IDDATA(Outputs,Inputs,SamplingInterval)


Se pueden seleccionar porciones de esta DATA, por ejemplo:
DATA(1:200).
Outputs e Inputs son matrices de NxNy, con N siendo el
número de datos y Ny el número de canales de salida.
César Martínez
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Estimación de Parámetros en
tiempo real usando Matlab

MODELSTRUCTURE:
estructura del modelo.

IOBB: Para modelos entrada/salida discretos de una sola
salida.
SSBB: Para modelos en espacio de estados multisalida en
tiempo discreto.
SSCT: Para modelos en tiempo continuo.
SSSTRUC: Para modelos en espacio de estados con
estructura interna definida por el usuario, tanto en tiempo
discreto como tiempo continuo.



Es
una
César Martínez
variable
que
define
la
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Estimación de Parámetros en
tiempo real usando Matlab





Los modelos estimados son evaluados con el comando:
 COMPARE(DATA,MODEL)
Este comando compara la salida del modelo medido en
DATA con la respuesta del modelo.
STEP(MODEL), IMPULSE(MODEL): Grafican la respuesta
ante un escalón o un impulso del modelo.
BODE(MODEL), NYQUIST(MODEL): Grafican el diagrama de
Bode o de Nyquist.
PZMAP(MODEL): Grafica los polos y ceros del modelo.
César Martínez
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Estimación de Parámetros en
tiempo real usando Matlab



present (MODEL): Muestra detalles del modelo.
get (MODEL): Muestra una lista completa de las propiedades del
modelo.
MODEL = arx(Data,[na nb nk]): Estima los parámetros a i y bi del
modelo ARX, el cual es de la forma:
A(q) y(t )  B(q)u(t  nk)  e(t )

Más explícitamente:
y(t )  a1 y(t  1)    ana y(t  na) 
b1u(t  nk)  b2u(t  nk  1)    bnbu(t  nk  nb  1)  e(t )
César Martínez
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Estimación de Parámetros en
tiempo real usando Matlab

Donde na, nb, nk, corresponden a los órdenes y retardos que
definen la estructura exacta del modelo.
A(q)  1  a1q1   ana qna

B(q)  b1  b2q1   bnb qnb1
MODEL = ar(t,na): Estima los parámetros
es de la forma:
a i del modelo AR, el cual
A(q) y(t )  e(t )

El cual se utiliza para una señal de salida sencilla y (t )
César Martínez
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