Chapter II Lesson I

Report
MATHEMATICS III
TS 4353
CLASS B
Integral Rangkap
Herlina Setiyaningsih
Civil Engineering Department
Petra Christian University
INTEGRAL RANGKAP DUA

Integral garis

  

Integrannya merupakan suatu fungsi f(x) yang
terdefinisikan untuk semua x di dalam selang a ≤
x ≤ b pada sumbu x.
 Integral rangkap dua, integrannya adalah suatu
fungsi f(x,y) yang terdefinisikan untuk semua
(x,y) di dalam suatu daerah D yang terbatas dan
tertutup pada suatu bidang xy.

Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
INTEGRAL RANGKAP DUA
Y
Q
d
Z = F(Xk, Yk)
D
A
c
ΔXk
a
ΔAk = ΔXkΔYk
B
ΔYk
P
b
X
D dibagi n daerah bagian ΔDk dengan luas ΔAk (k=1, 2,
3, …, n). Diambil titik Z misalkan (xk, yk).
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

  ,  ∆
=1

lim
→∞
  → ∞
  ,  ∆ ∆  
=1
=
 ,   

D = daerah integrasi
 D dicakup oleh pertidaksamaan:
 a ≤ x ≤ b, APB ≤ y ≤ AQB  f1(x) ≤ y ≤ f2(x)
 c ≤ y ≤ d, QBP ≤ x ≤ QAP  g1(y) ≤ x ≤ g2(y)

Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

2 ()
(, )   =

 ,   
= =1 ()
Diintegralkan terhadap y
dengan menganggap x konstan

2 ()
(, )   =

 ,   
= =1 ()
Diintegralkan terhadap x
dengan menganggap y konstan
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE 1
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE 3
1


 
Diketahui  =
a/. Hitung I dan gambarkan daerah integrasinya
b/. Ubah urutan integrasinya & hitung nilai I
y
y=x
y = x3/2
x=y
x=y2/3
1
0
 3/2
1
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
x
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE 3
1

=1
=
  =
0  3/2

=0
=
=
= 3/2
=0
1
=
 


3/2
1
 −  3/2 
 =
1 2 2 5/2
 − 
2
5
=0
1 2
1
=
− − (0 − 0)
0
2 5
1
10
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
1
2/3
 =1 = 2/3
  =
0 
 =0
=1
=

=0
=
=
 

2/3

=
1
 2/3 −  
 =
3 5/3 1 2

− 
5
2
=0
3 1
1
=
−
− (0 − 0)
0
5 2
1
10
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Diketahui:
Y
x=y
2
y=2
y=x
1
0
x=0
y =1
1
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA

Perhitungan Luas
Y
dx
dy
Elemen luas
dL = dx dy
Luas:
D
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung luas daerah yang dibatasi y=2-x2 dan y=1
Y
Titik-titik potong
y = 2-x2
2-x2 = 1
y=1
1-x2 = 0
x = -1 or x = 1
D
y=1
-1
1
y=2-x2
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = y2 dan
x+y = 2
Titik-titik potong
x = y2
y2=2-y
x= 2-y
y2+y-2 = 0
(y-1)(y+2)=0
y=1 or y=-2
Y
x = y2
1
X
-2
x + y =2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Massa
Y
ρ= ρ(x,y)
dx
dy
X
Rapat massa
(untuk pelat tipis  tidak punya ketebalan)
Elemen massa dM= ρ dx dy
Massa :
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Tentukan massa pelat tipis yang dibatasi y=2√x,
sumbu x dan garis x=4 jika rapat massanya
sebanding dengan jaraknya terhadap sumbu x.
Y
y = 2√x
y
k = konstanta kesebandingan
ρ = ky
X
x=4
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat
Y
ρ= ρ(x,y)
x
dx
dy
y
X
• Elemen momen terhadap sumbu x: dMx = y ρ dx dy
• Momen terhadap sumbu x:
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Elemen momen terhadap sumbu y: dMy = x ρ dx dy
Momen terhadap sumbu y:

Pusat Massa

Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Tentukan pusat massa lamina (lapisan tipis
(pelat)) homogen (rapat massanya konstan) yang
dibatasi kurva y=x dan y=x2
Y
Titik-titik potong
y = x2
x2=x
y= x
x2-x = 0
x(x-1)=0
x=0 or x=1
y=x2
y=x
D
0
ρ = c (konstan)
1
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
1
 =

    = 

  
0 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
1
 =

    = 

  
0 2
Pusat massa : (1/2, 2/5)
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Momen Inersia
Y
Elemen momen inersia thd sumbu x:
dIx= y2 ρ dx dy
Momen inersia thd sb x:
ρ= ρ(x,y)
dx
r
dy
y
x
D
X
Elemen momen inersia thd sumbu y:
dIy= x2 ρ dx dy
Momen inersia thd sb y:
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Momen Inersia thd titik pusat O
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Tentukan momen inersia terhadap:
a/. Sumbu x
b/. Sumbu y
c/. Titik pusat O
yang dibatasi oleh kurva y=x dan y=x2
y=x2
Y
y=x
D
Titik-titik potong:
y=x2
x2=x
y=x
x2-x=0
ρ = c (konstan)
x(x-1)=0
x=0 or x=1
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Volume
Z
Z= f(x,y)
Elemen volume dV = z dx dy
Volume:
Y
D
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
X
Y
Z
Oktan
(ruang)
+
+
+
I
-
+
+
II
-
-
+
III
+
-
+
IV
+
+
-
V
-
+
-
VI
-
-
-
VII
+
-
-
VIII
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung volume benda yang dibatasi 2x+3y+z = 6 di oktan
pertama!
Z
6
z = 6 – 2x – 3y
3
2
Y
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
= 18 − 18 + 6 = 6
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung volume benda di oktan pertama yang dibatasi z=y,
y=x2 dan x=y2
Y
Z
y=x2
x=y2
z=y
y=x1/2
y=x2
x=0
x=1
X
Y
z=y
x=y2
X
x=y2
y=x2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
y=x2
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Luas Permukaan Kulit
Z
Z= f(x,y)
Elemen luas
permukaan/ kulit:
k=?
Luas permukaan/ kulit:
Y
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung luas permukaan bidang 3x + 2y + z = 6 di oktan I
Z
Y
3
z = 6 - 3x – 2y
Y
3x + 2y = 6
y = (6-3x)/2
2
X
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
dx
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
SISTEM KOORDINAT POLAR/ KUTUB
Y
x
r
θ
O

P(x,y) = P(r,θ)
y
X
Transformasi sistem koordinat kartesius ke sistem
koordinat polar:
x = r cos θ
y = r sin θ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
NILAI JACOBIAN
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung luas daerah yang dibatasi x2 + y2 = 4
Y
Sistem Koordinat Kartesius
2
X
-2
Sistem Koordinat Polar
b
2π
2
r
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE


Hitung momen inersia terhadap titik pusat dari lamina
homogen x2 + y2 = a2 di atas sumbu x
Sistem koordinat kartesius:
x2+y2=a2
-a
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
a
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
INTEGRAL RANGKAP TIGA
Z
∆zk
f(x,y,z)
∆yk
∆xk
Y
Diintegralkan thd z dengan
menganggap x,y konstan
X
Diintegralkan thd y dengan
menganggap x konstan
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
APLIKASI INTEGRAL LIPAT TIGA

Perhitungan Volume
Z
Elemen volume: dV = dx dy dz
Volume:
∆zk
∆yk
∆xk
V
Y
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung volume benda yang dibatasi tabung x2 + z2 = 4,
bidang XOZ, bidang y=x, bidang XOY yang terletak di
oktan I.
Z
Y
Tabung x2 + z2 =4
 z=√4-x2
Bid Y=X
y=x
Bidang XOZ  y = 0
X
X
2
Y
Bid XOY  z =0
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
2
 =
4− 2

   =

 =0  =0 =0
2 
=
2 

0 0
4 −  2   =
0
2
4 − 2
=
0
1
= −
2
=−
  


 =
0
4 −  2  
0 0
2

4 −  2 
0
2
4 − 2  4 − 2
0
= −
1 2
2
. (4 −  2 )3/2
0
2 3
1
8
0−8 =
3
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Massa
Z
ρ = ∫(x, y, z)
= rapat massa
Elemen massa: dM= ρ dx dy dz
Massa:
dz
dy
M=

   
dx
Y
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat
 Momen terhadap bidang:
Titik Berat:

 →  →
    

 →  →
    

 →  →
    


=
=



=
=



=
=


Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra



    
   
    
   
    
   
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung titik berat benda homogen yang dibatasi z=1-x2, bid
XOY, bid YOZ, bid XOZ dan bid y=2 yang terletak di oktan
I!
Z
   
M=

1 2 1− 2
z = 1-x2
=
Bidang
XOZ
y=0
0 0 0
1 2
y=2
1
2
   
Y
=
=
X
Bidang
XOY
z=0
2
1
−


 
0
2
1
0 0
(1 −  2 )  
0 0
1
1 2
=   − 3

0 0
3
1
4
= 1−
2−0 = 
3
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
 =
    

1
2 1− 2
= 
2
    = 
0
0
1
0
0
2
 −  3   = 
= 
0
0
1
1
−
2
4
= 
 =
2−0
=
0
2
 1 −   
0
1 2
1
 − 4
2
4
1
2

0
0
1

2
    

1 2 1− 2
=
1 2
    = 
0 0
1 2
0
0 0
0 0
2
 1 −   
0
1 2 2
1 3
 1 −    =  
− 
0
2
3
2
=
=
1

4−0
2
1−
1
0
1
4
= 
3
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
 =
    

1 2 1− 2
=
=

2
1 2
0 0
0
2
1
−


 
0
2
    = 
0 0
=
1 2
0 0
 2
2
1
1 − 2 2 +  4   = 
 − 3 + 5
2 0
3
5

2−0
2
1
0
2 1
8
1− +
=

3 5
15
1
 3

2
=
=
=
4

8

3
4


3
=
=
=1
4

3
=


8
 2
15
=
=
4
5

3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Perhitungan Momen Inersia
Z
ρ = ∫(x, y, z)
= rapat
massa
dz
dy
dx
Y
Momen inersia thd sb x:
 2 +  2    
 =

Momen inersia thd sb y:
 2 +  2    
 =

Momen inersia thd sb z:
X
 2 +  2    
 =

Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung momen inersia thd sb x dari balok homogen dgn
panjang p, lebar l dan tinggi t, jika ρ = 2!


 2 +  2     =
 =

 2 +  2 2   
=0 =0 =0
 
=2
0 0
= 2
=

1
2 + 3
3
1
 1 3
  + 3
0 2
3

  = 2
0
 
0 0

= 2 −0
0
1
 2  +  3  
3
1 3
1
  + 3
3
3
2 2
( +  2 )
3
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
SISTEM KOORDINAT TABUNG
Z
P(x,y,z)= P(r,θ,z)
Y
Transformasi
Koordinat:
x = r cos θ
y = r sin θ
z=z
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
NILAI JACOBIAN



=



 
 
cos 
 
=  sin 
 
0
 
 
− sin 
 cos 
0
0
0 =
1
Dengan demikian
 , ,     =

(, , )    

=

 , ,     
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2
EXAMPLE

Hitung momen inersia terhadap sb z dari tabung
homogen x2 + y2 = 4 dan tingginya 3.
Z
 2 +  2    
 =

2
4− 2
3
 2 +  2    
=
 =−2  = 4− 2  =0
Y
x2 + y2 = 4
X
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

Sistem koordinat polar
2
2
3
2
 =
 3   
      = 

 =0  =0  =0
2 2
3 
=
0
0
3
  = 
0
2
3 3 
0
2

0
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra
Matematika III (TS 4353)
Bab 2

similar documents