Aula 02

Report
T E M A
ÂNGULOS
E
TRIÂNGULOS
CONTEÚDOS
• Ângulos
Complemento
Suplemento
Exemplos
• Triângulos
Classificações
Exemplos
Definição [ Ângulos ]
Chamamos ângulo à reunião de duas
semi-retas de mesma origem.
A
O
b
  AOB  BOA  aOb

B
a
O ponto O é o vértice do ângulo. Os lados
do ângulo são as semi-retas
OA e OB.
A
O
b

  AOB  BOA  aOb
B
a
[ Ângulos Consecutivos ]
Dois ângulos são consecutivos se, e
somente se, um lado de um deles coincide
com um lado do outro.
AOC e BOC consecutivos
A
B
O
C
OC o lado comum
[ Ângulos Adjacentes ]
Dois
ângulos
consecutivos
são
adjacentes se, e somente se, não têm
pontos internos comuns.
AOB e BOC adjacentes
A
B
O
C
[ Ângulos Complementares]
Dois ângulos são ditos complementares
quando a soma de suas medidas é 90°.
B

C
O
A
AOC
BOC
90
[ Exemplo ]
Qual o ângulo que
complemento em 76°?
excede
o
seu
[ Solução ]
Chamemos o ângulo procurado de x.
Logo, seu complemento será (90° – x).
Como o ângulo excede o complemento
em 76° temos x = (90° – x) + 76°,
encontrando 2x = 166° e logo x = 83°.
[ Ângulos Suplementares ]
Dois ângulos são ditos suplementares
quando a soma de suas medidas é 180°.
A
B
O
C
AOC  BOC  180
[ Observação ]
O ângulo de medida 90° é chamado de
ângulo reto, e o de medida 180°, de
ângulo raso.
[ Exemplo ]
Obtenha o valor de x abaixo:
35
.
x
[ Solução ]
Basta ver que 35° + 90° + x = 180°, logo
x = 180° - 125° = 55°.
[ Ângulos Opostos pelo vértice (o.p.v.) ]
Dois ângulos são o.p.v. se , e somente se,
os lados de um deles são as respectivas
semi-retas opostas aos lados do outro.
A
D
O
C
B
AOB e DOC o.p.v.
[ Observação ]
Dois ângulos o.p.v. são congruentes.
[ Exemplo ]
Encontrar o valor de
D

4x  2 y
x y
abaixo:
A
2x  y

C
B
[ Solução ]
Inicialmente temos que:
x  y  2x  y
D
x y
4x  2 y
O
A
2x  y

C
B

x  y  2x  y  0
  x  2y  0
 x  2 y i 
[ Solução ]
Por outro lado,
4 x  2 y  2 x  y  180
6x  3 y  180 ii 
Substituindo (i) em (ii), obtemos
D
D
x y
44xx22yy
AA
2x yy
2x

CC
BB
6   2 y   3 y  180

9 y  180

y  20
[ Solução ]
Por último,
  4x  2 y
   4 2y  2y
D
x y
C
4x  2 y
A
   6y
2x  y
   6  20
B
   120

Definição [ Bissetriz de um ângulo ]
Uma semi-reta Oc interna a um ângulo
aÔb é chamada bissetriz desse ângulo se,
e somente se,
aOc  bOc
   
 m aOc  m bOc
b
c
O
a
[ Exemplo ]
Vamos obter x, sabendo que a semi-reta
OP é bissetriz do ângulo AÔB:
B
y  10
2y
P
x  30
O
A
B
y  10
2y
P
x  30
O
A
[ Solução ]
Como OP é bissetriz temos
y – 10° = x + 30°, assim y – x = 40° (1)
Por outro lado sabemos que
2y + y –10° + x + 30° = 180°, assim
3y + x = 160° (2)
[ Solução ]
Por último resolvendo o sistema formado
pelas equações (1) e (2)
y – x = 40°
3y + x = 160°

encontramos:
y = 50° e x = 10°.
[ Classificação de Um Ângulo Quanto à
Medida]
• Agudo: quando mede menos que 90°
x < 90°
x
• Obtuso: quando mede mais que 90°
x
x > 90°
Definição [ Triângulos ]
Dados três pontos A, B e C, não
colineares, chamamos triângulo ABC e
indicamos por ▲ABC, à reunião dos
segmentos AB, BC e AC.
A
b
c
B
a
C
[ Triângulos ]
Identificando seus elementos temos:
A
b
c
B
a
C
• A, B e C são vértices;
• Os segmentos AB, BC e AC de medidas
c, a, e b; são os lados;
• A , B e C são os ângulos internos.
[ Classificação dos triângulos ]
Essa classificação é feita observando-se
dois critérios:
(1°) Lados:
(2°) Ângulos:
* Escaleno
* Retângulo
* Isósceles
* Acutângulo
* Equilátero
* Obtusângulo
[ Classificação dos triângulos ]
[ Escaleno ]
Todos os
diferentes.
lados
possuem
medidas
x  y, x  z , y  z
A
z
x
B
y
C
[ Classificação dos triângulos ]
[ Isósceles ]
Possui dois lados com medidas iguais
(consequentemente, os ângulos da base
BC são iguais).
A

B
x
x


y
C
[ Exemplo ]
Se o ▲ABC é isósceles de base BC,
determine x e y.
A
2 x  40
x  45
y
B
C
[ Solução ]
Sabemos que os ângulos da base são
iguais, logo,
A
2 x  40
y
B
x  45
y
C
[ Solução ]
Assim y + x + 45° = 180° e obtemos
y + x = 135°(1)
Da mesma forma y + 2x - 40° = 180°,
obtemos então y + 2x = 220°(2)
Resolvendo o sistema formado pelas
equações (1) e (2) encontramos;
x = 85° e y = 50°
[ Classificação dos triângulos ]
[ Equilátero ]
Todos os lados possuem a mesma medida
(consequentemente, os ângulos também):
A
60
B
x
x
60
60
x
C
[ Classificação dos triângulos ]
[ Observação ]
No triângulo eqüilátero a altura divide a
base BC em duas partes iguais:
A
x
B
x
h
x
2
.
H
60
x
C
2
De fato observando o triângulo AHC e
utilizando
uma
das
relações
trigonométricas temos:
A
y
cos 60 
x
x
x
h
.
B
H
60
y
C
1 y
 
2 x
x
y
2
Podemos deduzir também a fórmula da
altura deste triângulo:
No AHC :
2
 x
h     x2
 2
A
x
B
2
x
 h2  x 2 
4
x
h
x
2
2
.
H
60
x
2
C
2
3
x
 h2 
4
x 3
h
2
[ Exemplo ]
Num triângulo isósceles, de perímetro 32
cm, a altura relativa à base vale 8 cm.
Calcule
as
medidas
dos
lados
congruentes.
A
8
.
B
H
C
A
x
x
8
.
B
H
C
[ Solução ]
Fazendo AB = AC = x, vem:
BC = 32 − 2x
Como H é o ponto médio de BC, temos:
BH = HC = 16 − x
A
x
B
No AHC :
8
8  16  x   x
.
16  x H
16  x
2
2
x
2
 32 x  320
C
Portanto, AB = AC = 10 cm.
 x  10
[ Classificação dos triângulos ]
[ Retângulo ]
Possui um ângulo reto.
A
B
.
C
[ Classificação dos triângulos ]
[ Acutângulo ]
Possui todos os ângulos agudos.
A
0   ,  ,   90


B

C
[ Classificação dos triângulos ]
[ Obtusângulo ]
Possui um ângulo obtuso.
A

B
C
90    180
[ Definições Importantes ]
Mediana de um triângulo − é um
segmento que une um vértice ao ponto
médio do lado oposto.
A
AM1 mediana do lado BC
AM1 mediana do vertice A
B
M1
C
[ Definições Importantes ]
Bissetriz interna de um triângulo − é o
segmento que une um vértice ao lado
oposto e que divide o ângulo desse vértice
em dois ângulos congruentes.
AS1 bissetriz do lado BC
A
AS1 bissetriz do vertice A
B
S1
C
BAS1  C AS1
[ Teorema Importante ]
Teorema do ângulo externo − Dado um
▲ABC um ângulo externo deste triângulo
é sempre maior que qualquer um dos
ângulos internos não adjacentes.
A

B
C
Em particular temos que
A

180     


B
C
Agora como
180         180
    
[ Observação ]
(1) Ao maior lado opõe-se o maior ângulo,
(2) Em todo triângulo, cada lado é menor
que
a
soma
dos
outros
dois
(desigualdade triangular), ou seja:
a bc
A
b ac
b
c
c  ab
B
a
C
[ Exemplo ]
Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo
AÔC. Se α = 40° e β = 30°, qual o valor de
γ?
O


A

.
H
r
C
O


A

.
H
r
C
[ Solução ]
Como α + β = 70°, temos AÔC=110° e,
como r é bissetriz, m(rÔC) = m(rÔA)=55°.
Por outro lado observando o ▲AOH temos
que AÔH = 50°, mas como AÔH + γ = 55°,
logo temos γ = 5°.
[Congruência de Triângulos]
A idéia de congruência: duas figuras
planas são congruentes quando têm a
mesma forma e as mesmas dimensões
(isto é, o mesmo tamanho).
Para escrever que dois triângulos ABC e
DEF são congruentes, usaremos a
notação:
 ABC   DEF
Consideremos os triângulos abaixo:
C
A
B
T
R
S
Existe congruência entre os lados:
AB e RS, BC e ST, CA e TR
e entre os ângulos:
AeR,BeS,CeT
Daí, o triângulo ABC é congruente ao
triângulo RST. Escrevemos:
 ABC   RST
Dois triângulos são congruentes, se os
seus
elementos
correspondentes
são
ordenadamente congruentes, isto é, os
lados
correspondentes
e
os
ângulos
correspondentes dos triângulos têm as
mesmas medidas.
Para verificar se dois triângulos são
congruentes, não é necessário conhecer a
medida de todos os elementos. Basta
conhecer três elementos, entre os quais
esteja presente pelo menos um lado.
[ LLL (Lado, Lado, Lado) ] Os três lados
são conhecidos.
Se dois triângulos têm, ordenadamente,
os três lados congruentes, então eles são
congruentes. Observe que os elementos
congruentes têm a mesma marca.
T
R
C
S
A
B
[ LAL (Lado, Ângulo, Lado) ] Dados dois
lados e um ângulo.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes
dois
compreendido,
congruentes.
lados
então
e
o
ângulo
eles
são
T
R
C
S
A
B
[ ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) ] Dados
dois ângulos e um lado.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes um lado e os dois ângulos a
ele
adjacentes,
congruentes.
então
eles
são
T
R
C
S A
B
[ LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto) ]:
Conhecido um lado, um ângulo e um
ângulo oposto ao lado.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes
um
lado,
um
ângulo
adjacente e o ângulo oposto a esse lado
então eles são congruentes.
T
R
C
S
A
B
[ Exemplo 1 ]:
Na figura, o triângulo ABC é congruente
ao triângulo DEC. Determine o valor de x
E
e y.
2x + 10°
5y
A
3x
y + 48°
.
.
C
B
D
[Solução]:
E
2x + 10°
5y
A
3x
y + 48°
..
D
C
B
Como os triângulos ABC e
DEC são congruentes (nessa
ordem de elementos),
Temos que 3x = 2x + 10° e
5y = y + 48°, logo,
x = 10° e y = 12°.
[Proposição 1] A soma das medidas de
quaisquer dois ângulos internos de um
triângulo é menor que 180°.
[Demonstração]
Sabemos
que
a
soma
dos
ângulos
internos de um triângulo é 180°, logo, a
soma de dois deles é menor que 180°.
[Corolário 1]
Todo triângulo possui pelo menos dois
ângulos internos agudos.
Dois triângulos que têm os mesmos
ângulos NÃO são, necessariamente
congruentes.
CONTEÚDOS
• Triângulos
Definição
Critérios de semelhança
Exemplos
Definição [ Semelhança de Triângulos ]
Dois triângulos são semelhantes se, e
somente se, possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados
correspondentes
(homólogos)
proporcionais.
A
A'
B'
c
b'
c'
a'
b
C'
B
a
C
A
A'
b
c
B'
B
C
a
ABC A ' B ' C '
b'
c'

a'
C'
 A  A'



 B  B' e a  b  c  k 


a' b' c'


 C  C'



onde k é a razão de semelhança.
[ Exemplo 1 ]
Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura
abaixo são semelhantes. Se a razão de
semelhança do 1° para o 2° é 3/2,
determine:
(1) Os lados do ▲ABC,
(2) A razão entre seus perímetros.
A
A'
b
c
B
a
12
10
C
B'
14
C'
[ Solução ]
Utilizando a razão de semelhança temos
a
b
c 3



14 12 10 2





a 3

 a  21
14 2
b 3

 b  18
12 2
c 3
 c  15

10 2
[ Solução ]
Dessa forma o perímetro do ▲ABC é
54 u.c. Verificando a razão entre os
perímetros desses triângulos temos:
2 p  ABC 
54 3


2 p  A ' B ' C ' 36 2
A razão entre os perímetros é igual à razão
de semelhança entre eles.
[ Teorema Fundamental ]
Se uma reta é paralela a um dos lados de
um triângulo e intercepta os outros dois
em pontos distintos, então o triângulo que
ela determina é semelhante ao primeiro.
A
DE // BC  ADE
D
B
E
C
ABC
[ Exemplo 2 ]
Se as retas DE e BC são paralelas,
determine o valor de x.
A
6
D
3
B
E
8
x
C
[ Solução ]
Já sabemos (pelo teorema anterior) que
os triângulos ABC e ADE são
semelhantes. Vamos então:
(1) separar as figuras
(2) escrever a proporção entre os lados
conhecidos.
A
[ Solução ]
6
D
3
B
E
8
C
x
A
A
9
6
B
x
C
D
8
E
[ Solução ]
A
A
9
6
B
x
C
D
8
E
Escrevendo a proporção entre os lados
correspondentes temos
6 8

9 x
 6 x  72

x  12
[ Critérios de Semelhança ]
Em resposta à pergunta anterior temos:
[1º caso] Dois triângulos com dois ângulos
ordenadamente congruentes são
semelhantes.
BD
A e´ angulo comum
A
D
B

E
C
ADE
ABC
[ Critérios de Semelhança ]
[2º caso] Dois triângulos que possuem
dois lados proporcionais e com ângulos
compreendidos
congruentes
são
semelhantes.
A  A'
A
A'
c
c'
b
B'
B
C
b'
C'
b
c
 k
b' c'

ABC A ' B ' C '
[ Critérios de Semelhança ]
[3º caso] Dois triângulos que possuem os
lados correspondentes proporcionais são
semelhantes.
a
b
c


k
a' b' c'
A
c
c'
B
A'
B'
b
a
b'
a'
C'
C

ABC A ' B ' C '
[ Exemplo 3 ]
Na figura abaixo, obtenha x:
A
.
15
8
E
x
B
5
.
D
17
C
[ Solução ]
Inicialmente separamos os triângulos e
verificamos em qual caso de semelhança
eles se enquadram
A
.
15
E
8
B
17
x
C
B
5
.D
A
.
15
E
8
x
B
17
C
B
5
.D
[ Solução ]
Estão
envolvidos
dois
triângulos
retângulos com o ângulo do vértice B
comum aos dois. Portanto se enquadram
no 1° caso.
A
.
15
E
8
x
B
C
17
B
[ Solução ]
Portanto
8 15

x 5
 15 x  40


40
x
15
8
x
3
.D
5
[ Exemplo 4 ]
Determine a medida do lado do quadrado
na figura abaixo:
C
E.

4

A .
.D
.
B
6
[ Solução ]
Observamos que os triângulos EDC e
ABC são semelhantes pelo 1° caso.
Chamemos o lado do quadrado de x,
assim
4 x
C
E.

4
x
A .
D
.
x
x
.
x
B
6
[ Solução ]
4 x
C
E.

4
x
A .
D
.
x
x
.
x
B
6
Portanto: 4  x
4
x

6



4 x  24  6 x
10 x  24
x  2, 4
[ Referências ]
• Iezzi, Gelson.
Matemática:
Ciência
e
aplicações. São Paulo: Editora Atual, 2004.
• Giovanni, José Ruy. Matemática: Conjuntos,
Funções
FTD,1992.
e
Progressões.
São
Paulo:
Crescer é
Ser cada dia um pouco mais nós mesmos.
Dar espontaneamente sem cobrar
inconscientemente. ...
Aprender a ser feliz de dentro para fora. ...
Sentir a vida na natureza. ...
Reconhecer nossos erros e valorizar
nossas virtudes. ...
Entender que temos o espaço de uma vida
inteira para crescer. ...
Assumir que nunca seremos grandes, que
o importante é estar sempre crescendo.

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