Guian°4_Matematica_LT_2°Medio

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LICEO TAJAMAR
PROVIDENCIA
GUÍAS DE APRENDIZAJE DE LA ETAPA 4 DE GEOMETRÍA N°4.1 - Nº4.2
Nombre de la Guía de Aprendizaje: Thales y la Circunferencia
SECTOR: Matemática
PROFESOR(A): María Cecilia Palma Valenzuela
NIVEL: 2º medio
UNIDAD TEMÁTICA: nº 4 : SEMEJANZA y nº5: CIRCUNFERENCIA
CONTENIDOS DE LA UNIDAD:
• Teorema de Thales –Teorema general de Thales - Aplicación del teorema de Thales .
 Circunferencia - Ángulos interiores y exteriores de la circunferencia – Proporcionalidad en la circunferencia – Aplicación de la
circunferencia en diversos problemas
OBJETIVO DE APRENDIZAJE:
• Reconocer teorema de Thales - Identificar diversa s aplicaciones del teorema de Thales
• Aplican el teorema de Thales en la resolución de problemas.
• Identifican elementos de la circunferencia - Ángulos en la circunferencia - Proporcionalidad en la circunferencia
e-mail DE LOS PROFESORES CON RESPONSABILIDAD EN EL NIVEL:
María Cecilia Palma V¨: [email protected] (2º A, 2ºB, 2ºG)
Carmen Quintanilla: [email protected] (2ºC, 2ºD, 2ºE, 2ºF, 2ºH)
Trabajo Individual o grupal (máx. integrantes): Máximo tres integrantes
Fecha máxima para la entrega de las respuestas de las alumnas: 5 días hábiles cada una desde la fecha en que las Guías
estén a disposición de las alumnas en la plataforma virtual.
Las guías deben ser enviadas por email. Las consultas pueden darse por email o en las tutorías. No olviden revisar el libro de 2º
medio de Matemática, y revisar los ejercicios en la Unidad nº4 y la nº5
Las pruebas deben ser entregadas PERSONALMENTE EL DÍA QUE CORRESPONDE AL CALENDARIO DADO POR UTP.
TEOREMA DE THALES
Y
SUS
APLICACIONES
MARÍA CECILIA PALMA VALENZUELA
teoremas
En la figura L // L2
1
I)
PA PB

AC BD
II) PC
PD

PA
PB
III) PC  PD
AC
BD
PA
AB
IV)

PC
CD
V)
PB
AB

PD
CD
En la figura L1 // L2
• i) AP
BP

PD
PC
• ii) AB  AP
DC
• iii)
PD
AB BP

DC PC
EJERCICIOS DESARROLLADOS
• 1. En la siguiente figura
L1//L2
a) PC = 12 cm. PB =6cm.,
BD = 2 cm., AC = ?
12 8

AC 2
24
 AC
8
3  AC
USANDO LA MISMA FIGURA SE RESUELVEN LOS
SIGUIENTES EJERCICIOS
b) CD = 8cm., PA = 3cm , AC
= 5 cm., AB = ?
PA
AB

PC
CD
3 AB

9
8
3  82
 AB
9
24  AB
c) PC = 16 cm., BD = 6 cm.,
AB = 9 cm., PD = 24 cm.
Determina CD y PA.
PB = 24 – 6 = 18cm.
16
24

18
PA
16  18
PA 
PA = 12cm 24
Con la figura se realizan los siguientes
ejercicios
• b) AP = x + 13, BP = 10
cm., PC = 4 cm., PD = x
+ 4, AP = ?
x  13
10

x4
4
• 4x + 52 = 10x + 40
52 – 40 = 10x – 4x
12 = 6x
12 / 6 = x
2= x
• AP = x + 13 = 2+13
• AP = 15
• c) BP = 16 cm., CP = 14 cm.,
DP = 12 cm. AD =?
AP
16

12
14
AP 
16  12
14
• AP =13,71 cm.
2. En la siguiente figura L1//L2.
• a) BP = 6 cm., CP = 4 cm.,
CD = 3 cm., AB = ?
AB BP

CD PC
AB
6

3
4
AB 
18
4
A B  4,5cm
MUNICIPALIDAD DE PROVIDENCIA
CORPORACION DE DESARROLLO SOCIAL
LICEO “TAJAMAR”
SANTIAGO
Depto Matemática/ MCPV
GUÍA Nº4.1 TEOREMA DE THALES
Nombre(S):_______________________
Curso: 2º _____
Fecha :_______
Nota:_________
Ptje. Real ________
Instrucciones:
 Las guías debe ser enviada por email o entregada personalmente o
durante las tutorías, en la fecha estipulada por UTP y avisada con
anterioridad en el correo del Liceo www.cdstajamar.cl
 Puede ser resuelta por una o tres personas como máximo
1. En la siguiente figura L1//L2
• a) PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2
cm., AC = ?
• b) CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5
cm., AB = ?
• c) PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5
cm., BD = 1 cm. Determina PA, PB y
PD.
• d) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9
cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.
• e) PA = 18 cm., AC = 14 cm., PD = 16 cm., BD =
?
• f) BD = 2 cm., AB = 8 cm., PD = 12 cm., CD = ?
• g) PC = 20 cm., PA = 15 cm., PD = 40 cm., BD =
?
• h) PA = 3x, AB = 3x - 2, AC = x + 2, CD = 4x - 1.
Determina PC y CD.
• i) AC = 4,5 cm., PA = 2 cm., PD =
2. En la siguiente figura L1//L2.
• a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d
=?
• b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4)
cm., d = 7 cm. Determina las medidas
de a y c.
• c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm.
Determina la medida de b.
• d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18
cm., d = ?
3. En la siguiente figura L1//L2.
• a) BP = 6 cm., CP = 4 cm.,
• CD = 3 cm., AB = ?
• b) AP = x + 13, BP = 10 cm.,
• PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?
• c) BP = 16 cm., CP = 14 cm.,
• DP = 12 cm., AD = ?
• d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y +
2) cm., DP = (x+5) cm.,
• CD = 4 cm. Determina las medidas de BC, AP, BP, CP,
DP y AD.
OBJETIVOS DE LA UNIDAD de LA
CIRCUNFERENCIA
 Conocer y aplicar a la resolución de
problemas el teorema que relaciona las
medidas de los ángulos del centro y de los
ángulos inscritos de una circunferencia
 Conocer y distinguir entre un ángulo del
centro y un ángulo inscrito en una
circunferencia.
 Aplicar la noción de semejanza en las
relaciones entre segmentos de cuerdas,
secantes y tangentes en la circunferencia
CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto
de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en
el centro
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
Flecha o
sagita
Q
Cuerda PQ
Recta
secante
P
Radio
A
B
Centro
Arco BQ
Diámetro
( AB )
T
Punto de tangencia
Recta
tangente
PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de
tangencia es
perpendicular a la
recta tangente.
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca
(divide en dos segmentos congruentes).
P
N
M
R
RL
R  PQ PM  MQ
Q
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos
congruentes entre las paralelas.
A
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
B

A
C

C
D
Cuerdas
congruentes
Arcos congruentes
B
Si : AB // CD  mAC  mBD
POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
D
Las cuerdas
equidistan del
centro
Si : AB  CD  mAB  mCD
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.
R
r
r
Distancia entre
los centros (d)
d>R+r
d = Cero ; d : distancia
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
punto común que es la de tangencia.
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
punto en común que es la de tangencia.
Punto de tangencia
Punto de
tangencia
R
r
r
R
Distancia entre
los centros (d)
d = R + r
05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
Distancia entre
los centros (d)
(R–r)<d<(R+r)
d
d=R-r
d: Distancia entre los centros
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son
perpendiculares en el punto de intersección.
Distancia entre
los centros (d)
d2 = R2 + r2
06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
D
A

C
d
B
d<R-r
d: Distancia entre los centros
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

mAB  mCD
2
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
del arco opuesto.
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
B
A
C
C

O
D
A

B


mAB
2
5.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
A

mAB - mCD
2
B
mACB - mAB
2

C

C
B
O
 + mAB = 180
A

mAB - mBC
2
O
EJERCICIOS RESUELTOS
Problema Nº 01
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.
RESOLUCIÓN
Por ángulo semi-inscrito PQS
PSQ = x
mPQS 
Se traza la cuerda SQ
Q
70º+x
50
2X
P
mQRS
2
Problema Nº 3
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC
y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida
del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
RESOLUCIÓN
Reemplazando:
130  mBC
 90
2
140º 2x
mPQS 
 70º  x
2
En el triángulo PQS:
R
B
130
Resolviendo la ecuación:
50
140
x
P
Resolviendo:
C
D
mBC = 50
Medida del ángulo exterior
X + (X+70) + 50 = 180
X
S
Medida del ángulo interior
APD = x
A
X = 40
X = 30
Problema Nº 4
Problema Nº 02
Calcule la medida del ángulo “X”.
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco
QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular
a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.
RESOLUCIÓN
PSQ = x
Por ángulo inscrito
140
R
X
P
140º + x = 180º
X
mQR = 140
Es propiedad, que:
P
140 + X = 180
Resolviendo:
X = 40
Resolviendo:
B
m  S = 70º
mQR
70 º 
2
20
70
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
En el triángulo rectángulo RHS
Q
S 70
A
Resolución:
Medida del
ángulo inscrito:
70 º 
mAB
2
mAB=140º
X = 40º
5) Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la
secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide
80º, calcular mQPR .
RESOLUCIÓN
Q
a
80º
P
X
R
En la circunferencia:
S
a
2a + 80º = 360º
a = 140º
Medida del ángulo exterior:
X
a  80º
140º 80º

2
2
X = 30º
MUNICIPALIDAD DE PROVIDENCIA
CORPORACIÓN DE DESARROLLO SOCIAL
LICEO “TAJAMAR” S A N T I A G O
Subsector Matematica
Profesora : María C. Palma V.
GUÍA Nº 4.2 de ángulos en la circunferencia
Nombre:_______________ Curso: 2º____
Fecha:______Ptje:____ Nota:_________
La guía consta de dos ítems, las respuestas deben
ser enviadas a sus respectivas docentes
1) x = ?
A
4) <CAO = 20º;
30
<AOB = 100°;¿x=
O
B
x
O
x
C
B
2) x = ?
5) <BOC = 140º;
<ABC = 80°;
< OAB =?
40
O
x
O
C
A
6) < OCB = 55°;
x =?
3) < ABC = 60°,
C
x
C
AB es diámetro
A
x
O
A
B
O
B
7) AB//CD;
<COE = 30º;
< EOD = 70° ;
< DOB =?
O
A
C
10) Los arcos MN, NP,
y PQ son iguales;
<MOP = 100º;
<POQ = ?
B
x
D
E
R
O
Q
P
M
N
8) Recta AB tangente;
<AOC = 110º; < x =?
O
C
B
x
A
R
11) Los arcos MN,
PQ y NP son
Iguales a 120º;
<MOQ ;?
<MRP = ?
O
Q
N
Q
9) <CAB = 50º;
<ABO = 30º;
OB bisectriz
A
< x=?
12)OS//QP;
PQR = 30º ;
< SOP=?
C
x
O
B
P
M
O
P
R
S
13) z = 100º;
x+y=?
A
x
z O
16) <MPQ = 20º;
MN : diámetro
< X =?
C
y
B
14) x = ?
O
x
Q
M
O
x
N
P
B
17) ¿Qué parte del circulo
representa el sector OBA?
40
A
O 20
15) <SOD = 110º;
<LSD = 80º; x = ?
L
D
x
O
S
B
II)
Resuelve los siguientes ejercicios, considerando siempre el
punto O como centro de la circunferencia:
1) x = ?
a) 60º
c) 120º
b) 30º
d) 100º
2) Recta AB tangente;
<AOC = 110º; x = ?
a) 110º
b) 90º
c)200º
d)160º
30
O
B
C
o
x
x
A
3) x = ?
a) 80º
b) 40º
c) 20º
d) N.A.
40
O
X
4) <CAB = 50º; <ABO = 30º; x = ?
a) 30º
C
b) 60º
x
c) 120º
d) 50º
O
A
B
5) <ABC =60º, AB diámetro; x = ?
C
a) 60º
b) 120º
x
O
B
A
c) 30º
d) 45º
6) AB tangente; <AOB = 70º
a) 20º
b) 70º
B
O
x
c) 160º
d) 110º
A
7) <CAO = 20º; <AOB = 100º; x = ?
a)
20º
A
b) 50º
c) 30º
d) 100º
B
x
9) z = 100º; x + y = ?
a)40º
b)25º
c) 18º
d) N.A
A
x
z
O
O
y
B
C
8) Los arcos AB, BC y CA son iguales ; x + 2z = ?
a) 160º
b)170º
c)180º
d)90º
10)
a) 50º
b) 65º
c) 130º
d) 240º
C
z
O
x
A
x+y=?
B
65
X
y
o
60
C
11)<OCB = 55º; x = ?
a) 90º
b)110º
c) 55º
d) 35º
C
x
A
O
B
12)¿Qué parte del circulo
representa el sector OBA?
a) 30%
b) 20%
c) 5,5%
d) N.A.
A
O 20
B
13) AB//CD; <COE = 30º; <EOD =
70º; <DOB = ?
O
a) 40º
A
B
x
C
b) 80º
D
E
c) 70º
d) 30º
14) x = ?
a) 54º
b) 18º
c) 108º
d) 56º
B
3a
6a
A
O
x
C
a
D
15) <SOD = 140º; <LSD = 80º; x = ?
a) 140º
L
D
b) 60º
x
O
c) 80º
d) 70º
S
18) AB tangente; <AOB = aº ; x = ?
a)45º + a
b)90 + a
B
O
C
x
c)360 – a
d)N.A.
A
16) <MPQ = 20º; x = ?
a)140º
Q
M
b)40º
c)20º
x
O
d)N.A.
P
17) ABC triángulo equilátero; rectas
DA y DC tangentes, x = ?
a) 120º
C
D
x
b) 60º
O
c) 30º
B
d) 40º
A
N
19) x = ?
a) 40º
b) 80º
c) 70º
d) 160º
20) El arco AB es el 15%
de la circunferencia;
<AOB = ?
A
O
x
B
40
a)38%
b)55%
c)54%
d)28%
O
B
MUNICIPALIDAD DE PROVIDENCIA
CORPORACIÓN DE DESARROLLO SOCIAL
LICEO “TAJAMAR” S A N T I A G O
Prof: María C. Palma V
Planilla de respuestas de la guía nº4.2
Nombre:______________________
Curso:____________
Puntaje :___________
Nota:________
1)
8)
15)
2)
9)
16)
3)
10)
17)
4)
11)
5)
12)
6)
13)
7)
14)
Fecha:_________
Nº
PGTA.
A
B
C
D
Nº
PGTA
1
11
2
12
3
13
4
5
6
7
8
9
10
14
15
16
17
18
19
20
A
B
C
D
PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
Teoremas
1)
2)
3)
EJERCICIOS RESUELTOS
2)
1)
BP  AP  DP  CP
2
AP  CP  BP
15 · 6 = 8 ·
AP 2  20  5
AP 
PD 
100
PD
90
8
PD  11,25
AP  10
3)
AE  EB  CE  ED
AE  2 AE  10  5
2
50
AE

2
AE 
25  5
MUNICIPALIDAD DE PROVIDENCIA
CORPORACIÓN DE DESARROLLO SOCIAL
LICEO “TAJAMAR” S A N T I A G O
Prof: María C. Palma V
Planilla de respuestas sobre proporcionalidad en la circunferencia
Nombre:______________________ Fecha:_________
Curso:____________ Puntaje :___________ Nota:________
1)
5)
9)
2)
6)
10)
3)
7)
11)
4)
8)
12)

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