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Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
TENSIONI E DEFORMAZIONI NEL TERRENO
PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI
► Il terreno è un mezzo polifasico in cui: 1) la fase solida è
costituita da granuli che formano uno scheletro solido continuo,
e 2) la fase fluida da acqua e/o aria che ne riempiono i vuoti.
► Indipendentemente da questa
natura discontinua, il terreno in
Geotecnica viene assimilato a un
mezzo ideale continuo, le cui
caratteristiche sono indipendenti
dalle dimensioni dell’elemento
considerato.
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
► Per capire cosa vuol dire questa analogia, prendiamo un
elemento di terreno asciutto (= gli interstizi sono vuoti)
costituito da granuli sferici. Sia b il lato dell’elemento e su esso
agisca un sistema di forze N, Tzx e Tzy
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► Noi definiamo, sul piano orizzontale passante per i punti di
contatto tra le sfere, la “tensione normale” e le “tensioni
tangenziali” come:
N

 zy 
A =
A
Tzy
A
con A = b2
 zx 
Tzx
A
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► E’ chiaro che se considerassi la situazione “vera”, al posto di A nelle
formule dovrei mettere l’area As di contatto tra le particelle (molto molto
piccola, As << A) :otterrei così delle tensioni
N
s
 zy 
s
Tzy
As
A = b
As
 zx 
s
Tzx
As
molto maggiori delle precedenti.
In Geotecnica questa cosa non si fa, e si
fa invece sempre riferimento alle tensioni
definite come rapporto tra forza ed
AREA TOTALE (vuoti più pieni), come
abbiamo visto nel lucido precedente.
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Abbiamo visto cosa succede nel caso di terreno incoerente asciutto.
Nei terreni al di sotto della
superficie libera della falda
i pori sono totalmente
occupati da acqua, che ha una
pressione maggiore di quella
atmosferica (e quindi ha una
pressione neutra u > 0).
Si intuisce quindi che il comportamento
meccanico di un terreno dipenda in
qualche misura dal valore delle tensioni
presenti nelle singole fasi (scheletro
solido e acqua)...
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
… e infatti, nel 1936, Terzaghi, basandosi su osservazioni sperimentali,
stabilisce il principio delle tensioni efficaci.
Il principio delle tensioni efficaci rappresenta l’equazione fondamentale di
tutta la Geotecnica.
► Quello che faccio è studiare il
comportamento meccanico del terreno
saturo (costituito da granuli solidi e da
acqua che riempie l’intera porosità del
terreno) adottando due modelli.
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Nel primo modello vedo il terreno
come un mezzo continuo unico,
indifferenziato (non esiste lo
scheletro solido e non esiste
l’acqua di porosità);
Nel secondo
modello considero
separatamente
granuli solidi e
acqua, come due
mezzi continui,
fisicamente
sovrapposti tra
loro;
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z
zy
zx
xz
x
yx
xy
y
Andiamo a considerare un punto
nel primo modello;
le tensioni che agiscono in un
punto del mezzo continuo
INDIFFERENZIATO si dicono
TENSIONI TOTALI
yz
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’z
zy
Che succede per il
secondo modello?
zx
xz
’x
yx
xy
’y
yz
Le tensioni che
agiscono in un punto
dello “scheletro solido”
(che abbiamo
assimilato a un mezzo
continuo) si dicono
TENSIONI
EFFICACI (e sono
quelle in figura; uso
l’apice per indicarle)
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
Che succede per il
secondo modello?
Le tensioni che
agiscono in un punto
del continuo “acqua”
si dicono
PRESSIONI
NEUTRE
u
u
u
NB: l’acqua è un
liquido, e quindi non
trasmette sforzi di
taglio: gli sforzi di
taglio vanno quindi a
agire unicamente sul
continuo “scheletro
solido”.
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u
’3
3
2
u
’1
1
’2
u
…Allora: il principio delle tensioni efficaci (che è stato dedotto da osservazioni
sperimentali ed è relativo a tensioni principali 1 2 3) dice due cose: LA
PRIMA COSA E’ CHE
UNA SOLLECITAZIONE APPLICATA A UN TERRENO È PER UNA
PARTE SUPPORTATA DALLO SCHELETRO SOLIDO E PER UN’ALTRA
DALL’ACQUA DI POROSITÀ:
σ  σ'  u
(il principio rappresenta quindi una legge di interazione tra le fasi).
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σ  σ'  u
Le tensioni totali  e le pressioni neutre u possono essere calcolate oppure
misurate sperimentalmente.
Le tensioni efficaci ’ possono essere unicamente ricavate per differenza
dai valori delle tensioni totali e quelli delle pressioni neutre: ’ =
-u
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►LA SECONDA COSA AFFERMATA DAL PRINCIPIO DI
TERZAGHI E’ CHE
tutti gli effetti misurabili prodotti da una variazione dello stato di
tensione (ad esempio la compressione, la distorsione, la
variazione della resistenza al taglio*, etc.) sono dovuti
ESCLUSIVAMENTE a variazioni dello stato di tensione
EFFICACE (’ =  – u).
(* quest’ultimo aspetto, la variazione della resistenza al taglio, sarà più chiaro in seguito,
quando verranno introdotti i concetti di resistenza a volume costante e resistenza residua)
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ORA: il principio lo posso scrivere anche in termini di variazione
delle grandezze che vi compaiono:
D’ = D – Du
Da questa espressione mi rendo conto che le tensioni efficaci
variano sia se variano le tensioni totali
(se D
≠ 0, Du = 0 → ho che D’ = D
che se variano le pressioni neutre
(se D
= 0, Du ≠ 0 → ho che D’ = Du .
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►FACCIAMO UN PASSO AVANTI E VEDIAMO COME SI
USA IL PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI.
Lo stato di tensione agente su un elemento di volume in un
terreno è noto quando sono note le tensioni principali 1 , 2 , 3
e l’orientamento delle tre direzioni principali.
I problemi che affronta la Geotecnica sono in genere assimilabili a problemi
piani, e lo stato di tensione è descritto dalla tensione principale massima (che
per convenzione viene indicata con 1) e da quella minima (indicata con 3).
Per rappresentare uno stato di tensione piano è possibile costruire il cerchio di
Mohr. Esso rappresenta l’insieme delle tensioni normali e tangenziali agenti su
piani inclinati di un angolo qualsiasi rispetto ad una delle direzioni principali.
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►Convenzionalmente in geotecnica si assumono come positive
le tensioni normali di compressione.
Se sono note le tensioni principali, è possibile calcolare
graficamente (tramite il cerchio di Mohr) la tensione normale e
quella tangenziale agente su un piano inclinato di un angolo q
qualsiasi rispetto all’orizzontale.

z

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►Nel caso di piano campagna orizzontale, nell’ipotesi di mezzo indefinito ed
omogeneo, sono verificate contemporaneamente:
-l’uniformità tensionale in direzione orizzontale;
-la simmetria radiale rispetto a un qualsiasi asse verticale;
conseguentemente le tensioni tangenziali su piani orizzontali e verticali sono
nulle, e quindi
le direzioni orizzontale e verticale sono direzioni principali.

Ho quindi i due punti di
intersezione del cerchio
di Mohr con l’asse delle
sigma
1
3
z
3
1

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Ho quindi i due punti di
intersezione del cerchio
di Mohr con l’asse delle
sigma.

Posso quindi
disegnare il cerchio di
Mohr.
1
3
z
3
1

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Adesso andiamo a considerare un elementino di forma triangolare come
in figura.
Il cerchio di Mohr mi permette di conoscere la tensione normale e quella
tangenziale agente sulla faccia inferiore del triangolino, inclinata di un
angolo q rispetto all’orizzontale.

3
1
q
q
q
z
3
1

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Il punto K, di coordinate (3,0) nel piano di Mohr, è il polo
delle giaciture.
Esso è quel punto dal quale, se si traccia una retta per il punto che
corrisponde alle tensioni q e q, si individua proprio una ratta
parallela a quella dove agiscono le tensioni e q e q .

3
1
q
q
q
K
z
3
q
1

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►In base a considerazioni geometriche si ha:

q 
2q
max
q
q
K
3
q
1
q 
1   3  1   3 
2
1  3 

2

2
cos 2q
sen 2q
C
C = ascissa del centro del cerchio di Mohr = (1+3)/2
max = raggio del cerchio di Mohr = (1-3)/2
► Stesse considerazioni possono essere svolte per le tensioni efficaci.
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►Vediamo adesso come si studiano le DEFORMAZIONI dei
terreni. Anche per le deformazioni si adotta l’ipotesi di mezzo
continuo.
►La deformazione di un elemento di volume di terreno sotto
l’azione del sistema di forze ad esso applicato è dovuta a due
cause:
1) Deformazioni elastiche e plastiche dei singoli granuli per
effetto delle tensioni di contatto; in genere sono molto
piccole e conseguentemente trascurabili (si adotta l’ipotesi
di incomprimibilità dei granuli solidi).
2) Spostamenti relativi dei granuli (scorrimenti, rotazioni e
scavalcamenti) con variazione dell’indice dei vuoti
(variazione del volume dei pori).
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Risulta pertanto immediato che le deformazioni nei terreni sono
per la massima parte deformazioni irreversibili.
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►In tutti i problemi geotecnici è necessario conoscere lo stato di
tensione iniziale che si ha nel terreno (stato tensionale geostatico).
Tale stato tensionale è determinato dal peso proprio del terreno e dalla
storia degli stati tensionali passati.
Consideriamo un
caso generale; il
piano campagna
sia orizzontale, il
terreno si
stratificato e sia
presente una
falda idrica a
partire dalla
profondità D.
D
g1
g2
g3
zw
z
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►Vediamo di determinare l’andamento, lungo la verticale z, della
tensione normale verticale totale, efficace, e delle pressioni neutre.
►Consideriamo una colonna
di terreno di altezza z, la cui
base si trovi all’interno del
terreno di peso dell’unità di
volume g3.
Siano z1 e z2 gli spessori dei
due strati più superficiali.
Sia z3 l’altezza del tratto di
colonna nel terreno con peso
dell’unità di volume
g3.
D
z1
z2
g1
z3
g3
z
g2
zw
zw
z
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►La tensione normale verticale totale agente alla base della colonna
sarà (per equilibrio alla traslazione verticale della colonna) pari al
rapporto tra il peso W della colonna e la sua area di base A.
W = A v
 v = W/A
D
z1
z2
g1
g2
z3
g3
z
zw
W
v
A
zw z
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►W lo conosciamo: W = g1 (Az1)+ g2 (Az2)+ g3 (Az3)

v = g1z1+ g2z2+ g3z3
In questa espressione
metterò il valore di gsat
laddove il terreno è
saturo (quando non noto
si utilizza il valore di g
commettendo un errore
trascurabile ai fini
pratici), e il valore di gd
laddove il terreno è
asciutto.
D
z1
z2
g1
g2
z3
g3
z
zw
W
v
A
zw z
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►La pressione neutra alla base della colonna sarà (cono analogo
ragionamento) pari al rapporto tra il peso Ww della colonna e la sua
area di base A.
u = Ww/A
Ww= gw(zwA)
 u = gwzw
Al di sopra della superficie libera
della falda le pressioni neutre sono
ovunque nulle (terreno asciutto) .
A distanza zw dalla superficie
libera, al di sotto di essa, per
considerazioni analoghe a quelle
svolte per la fase solida, il valore
della pressione neutra u sarà pari
a gwzw.
D
z1
z2
g1
g2
z3
g3
z
zw
Ww
u
A
zw z
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►Le tensioni normali verticali efficaci ’v si ottengono per
differenza.

’v = g1z1+ g2z2+ g3z3  gwzw
D
z1
z2
g1
g2
z3
g3
z
zw
W
’v
A
zw z
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►Considerando colonne di altezza diversa, posso ottenere quindi per
ogni profondità z il valore della tensione normale verticale totale, delle
pressioni neutre e della tensione nomale verticale efficace.
I risultati possono essere poi espressi in forma grafica.
D
z1
z2
v , u , ’v
g1
g2
v
g3
u
zw
z
z
’v
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►Nei terreni naturali si introduce il “coefficiente di tensione laterale
(di spinta) a riposo” K0 = ’h / ’v .
Esso:
-è espresso in funzione delle tensioni
efficaci;
-dipende dalla natura e composizione
del terreno e dalla storia degli stati
tensionali. Che significa? Allora:
’v
’h
zw
z
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
Nei terreni normalmente consolidati
(che sono terreni che nella loro storia
non sono stati mai sottoposti a
tensioni verticali efficaci maggiori
delle attuali) i dati sperimentali
indicano che 0,4 < K0 < 0,7.
Nei terreni sovraconsolidati (che sono
terreni che nella loro storia sono stati
sottoposti a tensioni verticali efficaci
maggiori delle attuali) K0 > 1.
’v
’h
zw
z
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►Noto il valore di K0, lo stato tensionale di un terreno può essere
determinato in toto. Andrà determinato per ogni profondità,
nell’ordine, il valore:
1)della tensione normale verticale totale,
2)delle pressioni neutre,
3)della tensione normale verticale efficace,
4)della tensione normale orizzontale efficace
ed infine quello
5)della tensione normale orizzontale totale.
= Si gi zi
u = gw zw
’v = v - u
v
’h = K0 ’v
h = ’h + u
’v
’h
zw
z
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►I risultati vengono usualmente espressi in forma di grafici e di tabelle.
g1
g2
v
g3
u
zw z
z
'h h
Si noti che, per un terreno stratificato, mentre l’andamento delle tensioni normali
verticali totale e efficace è continuo, non è continuo l’andamento delle tensioni
normali orizzontali efficaci e totali: al passaggio tra due strati aventi differente
valore di K0 si ha infatti un “salto” nel valore della tensione normale orizzontale
efficace.
’v
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STATI DI TENSIONE NEL TERRENO
ESERCITAZIONE
 u ' '  (kPa)
v,
0
0
5
gd=16,5 kN/m3
sabbia limosa
g=18,2 kN/m3
Ko=0.43
100
200
,
v,
h,
300
h
400
500
600
v
Il sottosuolo di un’area pianeggiante
è costituito dei
u
terreni riportati in figura.
'
v
Profondità (m)
10
limo con argilla
15
20
g=18,3 kN/m3
Ko=0.59
sabbia con limo
g=18,2 kN/m3
Ko=0.41
25
argilla con limo
g=17,3 kN/m3
Ko=0.65
30
h
Determinare l’andamento con la profondità
della
tensione normale verticale e orizzontale
sia totale che
'h
efficace e delle pressioni neutre.
Determinare alla profondità di 30 m la tensione
normale e di taglio agenti su un piano inclinato di 45°
(rispetto all’orizzontale/alla verticale).

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