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Utilisation
des fonctions « densité de
circuit » Na pour le calcul direct
de paramètres circuit.
L’utilisation des « densité de circuit » Na permet de relier
les grandeurs « champ» aux grandeurs « circuit».
Dans certains cas, il est possible d’utiliser cette notion
pour calculer des paramètres « circuit » sans effectuer
explicitement le calcul des champs, ce que nous n’avons
pu faire jusqu’ici que dans des cas très simples (loi de
Pouillet…).
Lien entre résistivité et résistance
Si la relation entre E et J est linéaire, soit en référentiel
propre (pour un observateur attaché au matériau)
E=rJ
ou, plus généralement,
Ei = Sj rij Jj
la correspondance entre les grandeurs « champ » et les
grandeurs « circuit » conduit à une relation linéaire entre e
et j (donc entre u et i en quasistatique galvanique, c’est-àdire en l’absence d’effet inductif ou capacitif)
u=Ri
avec
R =  r N2 dV ou, si anisotrope,
R  
 N
i
j
i
rij N j dV
S’il y a plusieurs circuits repérés par des indices a, b …
R ab  

i
 Na rij Nb dV
i
j
j
avec comme cas particulier la résistance propre Raa de
chaque circuit.
Note : pour être systématique, la résistance propre
d’un circuit « a » devrait être notée Raa . L’habitude est
cependant d’écrire Ra au lieu de Raa !
Voici quelques valeurs de r à 20°C
Argent
15.5 10-9 Wm
Cuivre
17.0 10-9 Wm
Aluminium
27. 10-9 Wm
Fer
89. 10-9 Wm
Attention ! Il faut utiliser des définitions cohérentes des Na et
de la conductivité électrique : le modèle détaillé pour les deux ou
le modèle macroscopique pour les deux.
Exemple : résistance d’un faisceau de conducteurs de longueur L,
de section S, de coefficient de remplissage a et comportant n
spires. On obtient dans les deux cas la valeur fournie aussi par la
loi de Pouillet.
Modèle détaillé : Sfil = a S / n donc N = n/(aS)
V = a L S donc
R   rCu N 2dV  rCu (
n 2
Ln
) aLS rCu
aS
aS/ n
Modèle macroscopique : N = n/S
R   rN 2dV 
r = rcu / a
1
n
Ln
rCu ( ) 2 LS rCu
a
S
aS/ n
Note importante : la résistivité et donc la résistance dépendent
de la température.
Pour les métaux, la résistance est à peu près proportionnelle à la
température absolue T , soit, si q est la température centigrade et R0 la
résistance à une température de référence exprimée en °C ,
R (q)  R ref
q  273.15
qref  273.15
Ainsi, pour cuivre, on a aux températures usuelles
R Cu (q)  R Cu ref
q  235
qref  235
On voit qu’un échauffement de 100°C a un effet important !
Si on écrit, en linéarisant autour d’une température
R(q)  R ref [1 a (q  qref )]
le coefficient de température a dépend du choix de qref , ce n’est pas le même
selon qu’on choisit la référence à 0°C ou à 20°C !
Les coefficients de température de R et r sont voisins, mais non identiques à
cause de la dilatation. Qui me calculera la différence ?
L’idée de définir des « densités de circuit » est aussi
utilisable pour le calcul des circuits magnétiques et
thermiques.
En utilisant Nth , on peut définir les résistances
thermiques propres et mutuelles par la formule
R th ab  
1
N th a   N th b dV  


N th a  ij  N th b dV
i
j
i, j
Avec  = 1/ = la résistivité thermique du milieu
Nous allons décrire un exemple d’utilisation de cette
formule !
Soit une plaque d’épaisseur e et de
dimension parallèle h telle que h
>> e . On considère une dimension
L dans la direction  au plan de la
figure.
On peut considérer le problème
comme un problème à 1D.
En nous inspirant des solutions exactes obtenues dans des cas
particuliers (un seul côté non isolé thermiquement), prenons un
modèle à deux éléments de circuit, à savoir
1 ex
N th gauche  
ex
hL e
1 x
N th droit 
ex
hL e
Le « nœud » de ce circuit correspond à la répartition
M = div N = 1/ (hLe) uniforme et d’intégrale unité.
On peut alors écrire les deux résistances propres et la
résistance mutuelle. On a ainsi :
1
1 1 2 ex 2
2
R th gauche  
N th gauche dV  
( ) (
) Lhdx

 hL
e
1
 2 2 2  (e 2  2ex  x 2 )Lhdx
h L e
1
1 3
3
3

(e  e  e )
2
h Le
3
e

3 h L
On obtient de la même façon
e
R th gauche 
3 h L
et
1
1 1 2 ex x
N th gauche N th droitedV  
( ) (
) Lhdx

 hL
e e
1
  2 2 2  (ex  x 2 )L h dx
h L e
R th gauchedroite  

1
1 3 1 3
(
e  e )
2
h Le 2
3

e
6 h L
On a donc le circuit thermique suivant (S est la
densité de production de chaleur) :
La température T représente la température
moyenne dans le domaine de calcul !
La présence d’une résistance mutuelle peut être
évitée en effectuant la transformation en un circuit
étoilé.
On obtient
En fait, dans le cas statique à 1 dimension, le
schéma ci-dessus fournit la valeur exacte de la
température moyenne.
Ce circuit s’étend facilement au cas d’un calcul à
deux ou trois dimensions. A deux dimensions,
considérons la même structure rectangulaire que
précédemment mais en admettant une flux de
chaleur vers le haut et vers le bas.
La partie du modèle
correspondant aux flux
verticaux se calcule comme
précédemment mais en
permutant e et h .
On obtient
Ce circuit est utilisé pour calculer de façon approchée la température
moyenne d’un enroulement dans une encoche rectangulaire. Il a été
introduit par une autre méthode dans le livre
Thomas A. Lipo, Introduction to AC machine design, Wisconsin
Power Electronics Research Center, University of Wisconsin, 2004
Il est facile d’introduire dans ce circuit équivalent
une capacité thermique pour pouvoir étudier les
transitoires
La capacité thermique peut se calculer à partir de la
densité « de nœud » :
1
1 2
 
M dV
C th
cp
Ici aussi, il convient de définir cp et M de façon
cohérente. D’un point de vue macroscopique, cp macr
est une moyenne des cp des composants (cuivre,
isolants) pondérée par la proportion de chacun.
Dans l’exemple considéré, on a ainsi
Cth = cp macr h L e
Exemples de valeurs de cp
Cuivre
385
J/kg/K
Fer
440
J/kg/K
Aluminium
900
J/kg/K
Pour passer de ces valeurs à une valeur volumique, il faut
connaître la masse volumique du matériau, soit
kg/m3
Cuivre
8960
Fer
7870 kg/m3
Aluminium
2698
kg/m3
Les valeurs ci-dessus sont tirées de http://www.matweb.be
Elles sont sans doute relevées à 20°C.
Les modèles circuits ci-dessous permettent de
calculer la température moyenne. Savoir s’il est
possible de s’en servir pour calculer la température
du point le plus chaud est un sujet de recherche.
Si vous avez une idée ….
• à une dimension
• à deux dimensions
• à trois dimensions
Caractérisation générale
des matériaux
Rappel : les
équations
d ’évolution forment
deux volets
complètement
disjoints. On a en
électromagnétisme :
Ces équations d ’évolution sont les mêmes quel que soit le
milieu (matériau ou vide) considéré.
Donc, elles ne peuvent pas tenir compte des caractéristiques
des matériaux.
Les équations d ’évolution ne forment pas un système complet
(il y a plus de degrés de liberté que d ’équations).
Donc, il faut y ajouter des relations qui tiennent compte du
milieu. Ces relations sont appelées « relations constitutives ».
Premières hypothèses sur les
relations constitutives
Fixées par la nature du matériau (principe de Copernic !) :
cuivre, fer, air… du moins dans le repère propre du
milieu (repère dans lequel le milieu est immobile et ses
relations constitutives plus simples). En pratique, le
repère propre est orthonormé.
Ergodicité : un matériau peut revenir à son état originel. Faire
plusieurs expériences successivement sur un même échantillon
équivaut à faire plusieurs expériences simultanées sur plusieurs
échantillons.
Absence d ’action à distance ou différée : relations entre valeurs
prises en chaque point de l ’espace-temps séparément.
Premières hypothèses sur les
relations constitutives (suite)
Séparation des relations électriques et magnétiques
D’  E’
H’  B’
cas particulier :
B’ = 0 et E’ = 0 dans les supraconducteurs
(de type I)
H’ = 0 dans les ferromagnétiques parfaits
Autres relations nécessaires pour fixer J ’
En l’absence d ’effet Hall J’  E’
Dans un isolant, J ’ = 0
Parfois, on considère comme relations constitutives des
relations qui proviennent du « régime de fonctionnement »
considéré.
Cas quasistatique électrique
B
sans effet
t
est remplacé par B = 0 car connaître la vraie
valeur de B a peu d ’importance dans ce cas.
Cas quasistatique magnétique
D
sans effet
t
est remplacé par D = 0 car connaître la vraie
valeur de D a peu d ’importance dans ce cas.
Cas quasistatique galvanique : combinaison des deux, donc
D = 0 et B = 0
Formalisme général invariant
Dans un référentiel « fixe »ou « du laboratoire », on aura
DE+vxB
BH-vxD
J-rvE+vxB
DE+vxB
BH-vxD
Les relations constitutives dépendent du référentiel choisi :en
général, elles ne sont pas invariantes sous une transformation
de Galilée.
Il y a des exceptions intéressantes.
Si nous définissons les « milieux quasistatiques électriques »
par B = 0 , la propriété d ’être un milieu quasistatique
électrique est invariante sous l ’effet des changements de
référentiel galiléens (puisque B = B ’).
On peut répéter la même chose pour les « milieux
quasistatiques magnétiques » définis par D = 0.
Et donc aussi pour les « milieux quasistatiques galvaniques ».
J-rvE+vxB
N ’est pas invariante, même dans les cas quasistatiques
autres que galvanique.
Il faut bien distinguer E et E ’= E + v x B
Compte tenu de cette relation, on peut décomposer la force
électromotrice
e =  N . (E + va x B) dV en deux termes
e = e’ +  N . (va - v ) x B dV
où e’ =  N . E’ dV est la force électromotrice intrinsèque
(due aux propriétés du matériau, r ..)
Le terme  N . (va - v ) x B dV est un terme de glissement
(cfr. roue de Faraday…). On a vu en semaine 2 son analogue
« circuit ».
Utilisation d ’un facteur d ’échelle
Pour l ’instant, nous n ’avons pas imposé les relations
constitutives, mais seulement leur forme. On suppose que ces
relations ( exprimées dans un référentiel orthonormé) ne
dépendent que de la nature du matériau.
Cela suffit déjà pour comprendre ce qui peut arriver lorsque
l ’on augmente toutes les dimensions d ’un dispositif dans un
même rapport.
Étant donné un régime de fonctionnement du dispositif initial
qui vérifie toutes les équations, on a automatiquement un régime
de fonctionnement du dispositif dilaté qui vérifie toutes les
équations (il suffit de garder la même valeur des champs). Donc,
pas besoin de refaire le calcul des champs une seconde fois !
Exercice : on dilate toutes les dimensions en gardant
les mêmes valeurs du champ magnétique et des
fréquences. Que deviennent J, i , y , u , wr , les
pertes magnétiques et les pertes ohmiques. Sous
quelle hypothèse le champ de température restera-t-il
inchangé ?
Attention !
L’exercice ci-dessus montre qu’il n’est ordinairement
pas possible d’appliquer un facteur d’échelle qui
maintient simultanément la valeur du champ
magnétique et du champ de température.
Attention aux mauvais usages des
changements d ’échelle !
Si un régime de fonctionnement est acceptable techniquement, il n ’est
pas dit que le régime correspondant du dispositif dilaté est acceptable !
Exemple: si j’ai calculé les efforts subis par le squelette d’une souris
normale, je peux en déduire la valeur de ces efforts pour une souris de la
taille d’un éléphant MAIS une souris de la taille d ’un éléphant briserait
ses pattes sous l ’effet de son propre poids, parce que le poids augmente
comme le cube des dimensions alors que la section des os n ’augmente
que comme le carré !
Le facteur d ’échelle permet donc de transposer une analyse complète
(faite pour tous les régimes de fonctionnement) en une autre analyse
complète, mais les contraintes doivent être réexaminées.
Il existe un autre type de facteurs d’échelle que ceux examinés ici. Ils
relient les dimensions et les caractéristiques d’une machine à sa
puissance nominale. Ces facteurs, plus empiriques, ne sont jamais
valables que pour une structure de machine et une technique particulière.
Milieux magnétiques généraux
Note : on se place par la suite en référentiel propre ( «’ » omis)
La relation B  H peut être très complexe. Souvent, on la
définit de façon purement empirique.
Comme toutes les évolutions possibles ne peuvent pas être
étudiées, on se limite à un ensemble suffisamment caractéristique.
Exemple : direction fixée,
variation sinusoïdale de B
dans le temps. On a alors des
graphes comme celui cicontre.
Cycles toujours parcourus
dans le sens antihorlogique !
Réduction de l ’information :
Exemple : on souhaite des relations univoques pour le calcul.
On ne garde que les sommets des cycles.
Autres façons, autres graphes.
Exemple : ne garder que les valeurs efficaces.
Quoi qu’il en soit, ces graphes sont établis pour une forme d’onde
imposée d’une des deux grandeurs (souvent B sinusoïdal).
Méthode des harmoniques
temporels
Dans le cas où l’on étudie les évolutions périodiques des champs,
une méthode souvent utilisée est celle des harmoniques temporels :
on décompose les champs en série de Fourier et on décrit chaque
composante par un nombre complexe.
Dans le cas linéaire, il n’y a pas de mélange entre les harmoniques.
Le milieu est décrit par la donnée d’une valeur complexe de m pour
chaque harmonique. La partie imaginaire des m correspond à des
pertes.
Dans le cas général non linéaire, la méthode des
harmoniques temporels reste en principe applicable, mais
les valeurs des m dépendent de l’amplitude et de la phase de
toutes les harmoniques !
Cela conduit à une situation inextricable, même si on ne
considère qu’un petit nombre d’harmoniques.
Certains chercheurs ont proposé de conserver les champs
sous la forme d’harmoniques temporels, mais de modéliser
les relations constitutives par une routine de calcul à
l’intérieur de laquelle on repasse à des grandeurs fonctions
du temps.
Polarisation magnétique et magnétisation
(définitions générales)
Soit un milieu qui sert de référence et où la relation constitutive peut s ’écrire
R0 (H , B ) = 0
On peut appliquer la même relation à n ’importe quel milieu R (H , B ) = 0
à condition de définir dans cet autre milieu une magnétisation M telle que
R0 (H + M , B) = 0 soit équivalente à R (H , B ) = 0 .
On peut aussi définir la polarisation magnétique J (rien à voir avec le courant !)
telle que
R0 (H , B - J ) = 0 soit équivalente à R (H , B ) = 0 .
Polarisation magnétique et magnétisation
(cas particulier du vide pris comme référence)
Dans le vide, on a
B = µo H
Donc, en prenant le vide comme référence, on a pour
n ’importe quel matériau.
M = B / µo - H
et
J = B - µo H
Utilité : pour certaines méthodes de calcul de champ
pour exprimer la relation constitutive
Exemple de modèle : M ou J supposés être fonction d ’un
« champ local » Bloc combinaison linéaire de B et m0 H .
C’est ainsi que, dans l’étude des matériaux paramagnétiques,
on pose souvent, en plus de B = m0 H + J ,
1
2
J  J( B  m 0 H)
3
3
Le partage 1/3 pour 2/3 ne convient cependant pas pour tous les
matériaux magnétiques.
Exercice : définissant la susceptibilité a d’un corps
paramagnétique en supposant que J = a Bloc , comment m
dépend-t-il de a ?
Comportement asymptotique
Lorsque H tend vers l’infini, il en est de même de B . Donc,
la notion de « champ Bsat » est illusoire !
Par contre, J tend vers une valeur Jsat caractéristique du
matériau, et m tend vers m0 .
Milieux magnétiques linéaires
La linéarité n ’est jamais acceptable dans les milieux
magnétiques que pour des champs suffisamment faibles !
La perméabilité magnétique et la réluctivité sont des tenseurs.
Bi   m ij H j
En composantes :
j
ou H i    ij B j
j
Dans le cas d ’un milieu isotrope et en référentiel orthonormé, on
peut considérer la perméabilité et son inverse comme des scalaires
B = µ H et H =  B
« harmoniques temporels » (phaseurs dans le jargon du calcul des
champs)  les composantes de la perméabilité sont des nombres
complexes. Refusé par des logiciels commerciaux.
Pourquoi ? Pour ne pas perturber le client !
Milieux composites
Structures stratifiées
(empilements de tôles
magnétiques, succession de
dents et d ’encoches,
conducteurs plats…)
SI cas linéaire :
S ’il y a des courants de Foucault dans le milieu 1,
approche possible en harmoniques temporels, du moins dans
la direction // .
On remplace µ1 par le nombre complexe µ1 (th e ) / e
où
e = ( 1 + j ) a  / (2 d)
j = racine de -1
a épaisseur des feuilles du milieu 1 (tôles)
2
d
w m1 1
Donc
est la profondeur de peau.
µ// = a µ1 (th e )/e + (1-a) µ2
Faisceaux
(bobinages…)
Les formules de droite sont approchées (approximation
cylindrique : la cellule d’homogénéisation est supposée
cylindrique).
Remarque utile, surtout pour le calcul thermique
On peut itérer ces équations si on a une structure
formées de cylindres concentriques (conducteur
rond, émail, résine d’imprégnation).
S ’il y a des courants de Foucault dans le milieu 1,
approche possible en harmoniques temporels.
Pour un champ perpendiculaire au faisceau, on remplace µ1
par le nombre complexe
m1e  m1
J (e )  J 2 ( e )
2
J1 (e)
 m1 0
e J 0 ( e)  J 2 (e )
J 0 ( e)  J 2 ( e)
où e est donné par l’équation
e  j3 / 2
2
r1
d
, d étant la profondeur de peau définie
précédemment, et J0 , J1 et J2 des
fonctions de Bessel.
La résistivité aussi change
A cause de l’espace existant entre les conducteurs, le champ local n’est pas uniforme et
les courants alternatifs ne se répartissent pas uniformément sur la section du
conducteur. La résistance apparente du faisceau devient complexe (la résistance DC est
à remplacer par une résistance AC plus grande et une inductance en série). On peut
calculer la résistance en courant alternatif en calculant une résistivité macroscopique
(complexe), qui vaut à l’approximation cylindrique
et en utilisant la formule
R   N r // N dV
Cet effet est ordinairement plus faible qui celui qui affecte la perméabilité, et est
ignoré par la plupart des auteurs (bien que déjà décrit par Maxwell au premier
ordre, ce qui correspond à l’apparition d’une inductance supplémentaire).
Avertissement
Les formules établies pour « l’effet de peau »
dans le cas d’un conducteur seul entouré de
vide ne sont absolument pas utilisables dans
le cas d’un faisceau, contrairement à ce que
beaucoup croient.
Lien entre résistivité et résistance
Si la relation entre E et J est linéaire, soit en référentiel
propre
E=rJ
ou, plus généralement,
Ei = Sj rij Jj
la correspondance entre les grandeurs « champ » et les
grandeurs « circuit » conduit à une relation linéaire entre e
et j (donc entre u et i en quasistatique galvanique)
u=Ri
avec
R =  r N2 dV ou, si anisotrope, R  
ou encore, plus généralement
 N
R ab  
i
i
rij N j dV
j
 N
i
j
i
a
rij N b dV
j
Conséquences de l ’utilisation de paramètres
complexes sur les paramètres circuit
Les résistances et les inductances deviennent complexes.
Exemple : au lieu
d ’avoir, pour un
transformateur, le
schéma ci-contre
(inductance couplée +
résistance ohmique),
on déduit du calcul des champs le circuit ci-dessous.
A fréquence fixée, on revient
au schéma classique par des
transformations de circuit.
Note : le fait d’homogénéiser un milieu fait
apparaître des effets de surface au bord des milieux
homogénéisés (analogie avec la tension superficielle
dans les liquides).
Réluctance de surface due à
l’encochage
On remplace
l’ensemble dentsencoche par un
volume plein, mais
en ajoutant une
réluctance de
surface R0 .
Interprétation de la réluctance de
surface
On peut écrire la réluctance de surface sous la forme
Dg
R0 
m entrefer
où Dg a la dimension d’une longueur.
Intuitivement, l’effet de R0 est analogue à celui d’une couche
d’air d’épaisseur Dg . C’est souvent sous cette forme que le
phénomène est présenté.
Réluctance de surface due à
l’encochage
Que vaut la réluctance Ro où, ce qui revient
au même, l’épaisseur Dg ?
Cas général : Gibbs (utilise des fonctions
spéciales)
Deux cas limites :
- Entrefer très mince : Carter (1905)
- Entrefer très grand : Matagne (1991)
Attention ! L’épaisseur des aimants terresrares montés en surface est à compter dans g
car la perméabilité magnétique de ces
aimants est proche de celle du vide.
Ligne de démarcation entre les
deux méthodes et erreur le long de
cette ligne
Méthode de Carter (entrefer petit)
s
Dg 
g
s
Autre méthode (entrefer grand)

s
s
s
s
Dg 
[(1  ) ln(1  )  (1  ) ln(1  )]
2




On remarque que, dans ce cas, Dg ne dépend pas de g,
alors que le rapport G/g en dépend.
Saturation magnétique
Pour étudier la saturation, on suppose en général
que la relation B-H ne dépend pas de la vitesse (
donc pas de la fréquence) avec laquelle les
champs évoluent.
On peut modéliser la saturation à l ’aide de
caractéristiques univoques (pas d ’hystérésis).
Alors, on distingue
- les matériaux doux (a)
- les matériaux durs (b)
La distinction est claire au niveau du
modèle …. pas forcément dans la réalité.
Certains matériaux sont utilisés pour les
deux rôles.
Perméabilité magnétique des milieux saturables
On peut définir la perméabilité de plusieurs façons
- perméabilité et réluctivité différentielle (incrémentale)
µ = dB / dH
et
 = dH / dB
et
ij =  Hi /  Bj
plus généralement
µij =  Bi /  Hj
- perméabilité et réluctivité totales (ambigu si non isotrope)
B
m
H

H
B
Bien que limitées aux milieux isotropes, ces notions sont très utilisées en calcul
des champs car on réduit la quantité de calculs nécessaire pour passer d’un
champ à l’autre en tenant compte de sa direction si on caractérise le matériau par
une fonction
2
2
  (B ) ou m  m(H )
Caractérisation des matériaux
Matériaux doux :
Jsat : polarisation magnétique à saturation
µi (à l ’origine)
µmax
mmax
Exemple de caractéristique subjective : µ en un point situé
« un peu avant l ’entrée en saturation »
Matériaux durs
Hc est parfois désigné par HcB pour le distinguer de HcJ
1 T = 10000 gauss
1 A/m = 4  10-3 oersted
1 T x A/m = 1 J / m3 = 40  gauss x oersted
Cas particulier des aimants terres-rares
Comparaison entre aimants
Hystérésis
Le graphe ne décrit pas tout : B et H pas forcément parallèles.
Le rapport entre Js et Br dépend de la structure cristalline.
Modélisation complète de l ’hystérésis :
nombreuses variantes du modèle de Preisach
F. Preisach, « Uber die magnetische Nachwirkung »,
Z. Phys., vol. 94, pp. 227-302, 1935
N. Janssens, thèse UCL, 1981
Note sur le passage à une fonction univoque
Il peut y en avoir plusieurs pour le même matériau.
Le choix dépend de ce que l ’on veut calculer.
Les valeurs de Br et de Hc ne sont pas les mêmes selon que
l’on considère la courbe de désaimantation ou la droite de
recul !

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