Teoremas clásicos de la geometría Euclideana.

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Geometría
o
Según su Angulo: Acutángulo
Isósceles
Equiángulo
Rectángulo
Obtusángulo
o
Tres ángulos desiguales
o
Dos ángulos iguales y otro desigual el ángulo
se llama  Angulo del vértice
o
Tres ángulos iguales, cada uno mide 60°
o
Tiene un ángulo recto, es decir que mide 90 °

Tiene un ángulo mayor a 90°
o Según
sus lados : Escaleno
Isósceles
Equilátero
o
Tres lados de medidas desiguales
o
Dos lados iguales y uno distinto  el lado
distinto se llama base
o
Tres lados iguales
o
o
o
o
o
o
o
La suma de los ángulos interiores miden 180°
La suma de los ángulos exteriores miden 360°
Un ángulo exterior es siempre igual a la suma de
los interiores no adyacentes
En un triangulo rectángulo la suma de sus lados
agudos debe dar 90°
En un mismo triangulo a mayor lado se opone
mayor ángulo
La suma de las medidas de dos lados es siempre
mayor que el tercer lado
La diferencia de las medidas de dos lados es
siempre menor que el tercer lado
oDos
o mas triángulos
son congruentes si …
o
Tienen sus tres lados respectivamente
congruentes
o
Dos lados y el ángulo comprendido
o
dos Angulo y el lado común congruente
(A.L.A)
o
o
o
o
IMPORTANTE: LA RELACION DE
CONGRUENCIA ES UNA RELACION DE
EQUIVALENCIA, esto es porque:
1º reflexiva: todo triangulo es congruente
con el mismo.
2º simétrica: si un triangulo es congruente
con otro, este ultimo es congruente con el
primero.
3ºtransitiva: si un triangulo es congruente
con un segundo, y este es a la vez
congruente con un tercero, entonces este
ultimo es congruente con el primero.
o
o
o
Aplicando la congruencia de triángulos se
pueden establecer otras relaciones métricas
en los triángulos y cuadriláteros.
1°Las alturas de un triangulo equilátero son
congruentes
2° La altura a la base de un triangulo
isósceles divide al triangulo en dos triángulos
rectángulos congruentes.
o 4.-las
tres alturas de un triangulo
equilátero divide a este en seis
triángulos rectángulos congruentes.
o 5.-los ángulos agudos de los
triángulos anteriormente
mencionados están en la razón 2:1
o
o
o
o
o
o
6.-las diagonales de un cuadrado son
congruentes. Miden cada una el lado por raíz de
dos.
7.- las diagonales de un rectángulo son
congruentes.
8.-las diagonales de un cuadrado se dimidian
perpendicularmente.
9.- las diagonales de un rectángulo solo se
dimidian.
10.-las diagonales de un rombo se cortan
perpendicularmente.
11.-cada una de las diagonales de un rombo
divide a la otra en dos trazos congruentes.
o
Además se verifica:
12.-Teorema de la mediana:
todo trazo que une los puntos medios de dos
lados en un triangulo es paralelo y equivale a la
mitad del lado opuesto.
o
o
13.- si en el triangulo anterior se traza la
altura al lado sobre el cual se ha trazado la
mediana, entonces la altura se dimidia.
o
14.-las transversales de gravedad se cortan
en la razón 2:1.
o
15.- EN TODO TRIANGULO SE VERIFICA: el área
es igual a la base por la altura a la base.
o
o
o
16.-Las simetrales se cortan o concurren a un
mismo punto denominado circunscentro.
Genera la circunferencia circunscrita. (El
circunscentro puede ser un punto interior o
exterior al triangulo)
17.- las tres bisectrices concurren o se cortan
en un mismo punto denominado incentro, que
es el centro de la circunferencia inscrita al
triangulo. (El incentro es siempre un punto
interior al triangulo)
18.-las tres transversales de gravedad se
cortan o concurren en un mismo punto siempre
interior denominado baricentro.
o
o
o
o
19.-las rectas notables trazadas a la base de
un triangulo isósceles son congruentes.
20, Las rectas notables trazadas sobre cada
uno de los lados de un triangulo equilatero
son todas congruentes.
21.-los puntos notables en el triangulo
equilátero son todos coincidentes.
22.-en todo triangulo equilátero las
circunferencias inscrita y circunscrita son
concéntricas (de centro común)
o
o
Para cualquier tipo de triangulo.
1.- teorema general de Pitágoras: el cuadrado del
lado opuesto a un Angulo agudo equivale a la suma
de los otros dos lados menos el doble de uno de
ellos por la proyección del otro sobre el.
o
Si el Angulo es obtuso la proyección se suma:

Una de las alturas
donde
y axial cada una de las otras.

3.-el área esta dada por

4.- el radio de la circunferencia inscrita esta
dada por:
5.- el radio de la circunferencia circunscrita
esta dada por:

6.-Teorema de los senos:

7.-teorema de los cosenos:


8.- el área también se puede calcular
atendiendo a la formula trigonométrica
y las otras dos variaciones de la misma.

9.- por otro lado también se puede
establecer que:

Teorema particular de Pitágoras

Teorema de Euclides

en el triangulo rectángulo:

además:

teorema de la bisectriz interior (valida para
cualquier tipo de triangulo).

Teorema de la bisectriz exterior:

Circulo de Apolonio

Teorema general
de Thales

Caso particular

en el caso particular de la figura que se indica
la proporción correcta es:

un caso especial son las diagonales de un
trapecio



Dos o mas triángulos son semejantes si se
cumple que
1º.los ángulos son respectivamente iguales
2º los lados son respectivamente
proporcionales.

Distancia entre centros



Arco: porción de circunferencia:
se mide en grados (medida angular)
Se mide en unidades de longitud (Medida
lineal).

Ángulos.

Central: mide lo mismo que el arco.

Inscrito .mide la mitad del arco subtendido

Interior. Mide el promedio de los arcos
subtendidos por los lados y las
prolongaciones del mismo

Exterior: mide la semidiferencia de los arcos
subtendidos por las intersecciones de los
lados del Angulo con la circunferencia


División de trazos en la circunferencia;
Cuerdas

Secantes.

Tangente (potencia de un punto a una
circunferencia)

División Áurea de un trazo:
Consideremos el trazo:



Se dice que P divide de modo áureo al trazo
AB. Es decir el mayor de los trazos es media
proporcional entre el trazo y el trazo menor.
De acuerdo a las medidas dadas se puede
establecer que:
si se aplica la ecuación de segundo grado se
obtiene:


Espero que esto no se le olvide, memorícelo y
discrimine correctamente cuando lo debe
aplicar.
En matemática no es recomendable aprender
cosas de memoria, lo importante es deducir y
aplicar, pero hay relaciones que por el uso
frecuente se memorizan y ayudan mucho.
ATTE. MONTOYA.-

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