Wykład01

Report
PLAN WYKŁADÓW
1. Podstawy kinematyki
2. Ruch postępowy i obrotowy bryły
3. Podstawy dynamiki punktu materialnego
4. Ruch harmoniczny
5. Praca, moc, sprawność, zasady zachowania
6. Dynamika układu punktów materialnych
7. Masowe momenty bezwładności
8. Pojęcia podstawowe, rozciąganie proste
9. Zginanie proste
10.Naprężenia złożone
11. Ścinanie i skręcanie
12. Obliczenia zbiorników cienkościennych
13. Hipotezy wytężeniowe
14. Pełzanie, relaksacja, zmęczenie materiału
LITERATURA
SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna,
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa
1985.
2. ZAWADZKI JERZY, SIUTA WŁADYSŁAW,
Mechanika Ogólna, PWN 1970, Warszawa 1985 .
3. MISIAK JAN, Mechanika Ogólna, WNT, Warszawa
1998 .
4. HUBER M. T. Mechanika Ogólna i Techniczna. PAN
Warszawa 1956.
5. ŻUCHOWSKI R., Wytrzymałość materiałów, Oficyna
Wydawnicza PWr., Wrocław 1998.
1.
Wykład 1
Podstawy kinematyki
WPROWADZENIE

KINEMATYKA – (kineo z greckiego poruszam)
jest to dział mechaniki opisujący ruch punktu
lub bryły, bez uwzględniania masy i przyczyn
wywołujących zmianę ruchu (geometria ruchu).

RUCH – określamy jako zmianę położenia ciała
materialnego względem układu odniesienia (tj.
względem innego ciała lub zbioru ciał
uważanych za pozostające w spoczynku) w
jednostce czasu.
WPROWADZENIE
W związku z tym że ciała rzeczywiste zastępujemy
pojęciem punkt materialny lub ciało doskonale
sztywne, kinematykę możemy podzielić na:


Kinematykę punktu materialnego
Kinematykę ciała sztywnego.
Tor punktu
Jest to linia ciągła l utworzona przez kolejne
położenia poruszającego się punktu.
Tor punktu może być linią prostą lub dowolną krzywą.
y
l
Tor krzywoliniowy
l
x
Rys. 1
Podział ruchu
Ruch prostoliniowy jednostajny
 Ruch prostoliniowy zmienny
 Ruch krzywoliniowy jednostajny
 Ruch krzywoliniowy zmienny

OPIS PORUSZAJĄCEGO SIĘ PUNKTU
Położenie poruszającego się punktu P w przyjętym
układzie współrzędnych można określić przez x, y, z.
Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej t
(czasu), to otrzymujemy:
Kinematyczne równania
ruchu punktu
x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t).
Rys. 2
Równania ruchu w postaci wektorowej


r  r(t)
Jeżeli początek promienia r
pokrywa się z początkiem
układu współrzędnych to
składowe wektora są równe
współrzędnym punktu P
Rys. 3
rx = x(t), ry = y(t), rz = z(t)
Po uwzględnieniu powyższej zależności promień wektora
r możemy zapisać w postaci sumy geometrycznej:
Prędkość punktu materialnego
Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu t = t2 - t1, w
którym punkt przebył drogę s = P1P2 .
Przyrost wektora promienia wynosi r
zatem”
Rys. 4
Prędkość średnia

v
Prędkość średnia punktu jest ilorazem
przyrostu wektora r do czasu t w
którym ten przyrost nastąpił.
Prędkość chwilowa

v
Prędkość chwilową określa
granica przy t dążącym do zera
Przyrost r ma składowe x, y, z stąd
Prędkość chwilowa
Wektor prędkości można zapisać w postaci:




v  xi  y j  zk
którego moduł wynosi:
v
x  y  z
2
2
2
Przyspieszenie punktu materialnego
W czasie t = t2 - t1, wektor prędkości zmienia się z v1 na v2 .
Przyrost wektora prędkości
wynosi v, zatem
Przyspieszenie średnie punktu
Przyspieszenie średnie punktu wyraża się jako iloraz
przyrostu prędkości v przez przyrost czasu t.
Przyspieszenie chwilowe punktu

a
Wiedząc, że przyrost prędkości v ma składowe vx, vy, vz,
stąd składowe wektora przyśpieszenia mają postać
Przyspieszenie chwilowe punktu
Wektor przyśpieszenia można zapisać w postaci :
a jego moduł
Ruch prostoliniowy jednostajny
Ruchem prostoliniowym jednostajnym
jest ruch punktu po torze prostoliniowym, który
odbywa się w taki sposób, że w jednakowych
przedziałach czasu t punkt przebywa takie same
odcinki drogi.
Równania ruchu prostoliniowego jednostajnego
Droga
s jest liniową funkcją czasu, zatem
czyli
Stąd po scałkowaniu otrzymujemy
Wykres ruchu prostoliniowego jednostajnego
Rys. 6
czyli
Ruch prostoliniowy zmienny
Jest to ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki
sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa różne
odcinki drogi.
Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny
Jeżeli prędkość jest liniową funkcją czasu, to ruch punktu jest
jednostajnie zmienny.
Równania ruchu
zmiennego
prostoliniowego
jednostajnie
Przyśpieszenie
Prędkość
Droga
a > 0 ruch jednostajnie przyspieszony
a < 0 ruch jednostajnie opóźniony
Ruch krzywoliniowy jednostajny
Jest ruch punktu po torze krzywoliniowym l, w którym
wektor prędkości w każdej chwili jest styczny do toru, a
jego wartość nie zmienia się z czasem (zmienia się tylko jego
kierunek).
Ruch krzywoliniowy zmienny
Jest to ruch punktu po torze krzywoliniowym, w którym wektor
prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek.
W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu
tworzy z wektorem prędkości tego punktu pewien kąt  (ostry lub
rozwarty).
Przyśpieszenie normalne
Z rysunku wynika, że wartość przyspieszenia składowego an
prostopadłego do prędkości ma postać:
Składowa ta nosi nazwę przyspieszenia normalnego, a
związana jest ze zmianą kierunku wektora prędkości.
Przyśpieszenie styczne
Składowa
przyspieszenia
w
kierunku
wektora
prędkości nazywana jest przyspieszeniem stycznym i
związana jest ze zmianą wartości wektora prędkości.
Wartość at jest określona w postaci:
Wektor przyśpieszenia
jest sumą przyspieszenia normalnego i stycznego
a wartość tego wektora obliczamy z zależności
Na podstawie tych wiadomości można ustalić z jakim ruchem
punktu materialnego mamy do czynienia:
an0, at 0 - Przyspieszenie całkowite jest nachylone
pod pewnym kątem (ostrym lub rozwartym) do
prędkości. Rozważany ruch jest ruchem
krzywoliniowym zmiennym, zmienia się wartość i
kierunek prędkości.
an=0, at 0 - Całkowite przyspieszenie jest styczne do
toru. Prędkość w takim ruchu może zmienić swoją
wartość ale jej kierunek pozostaje bez zmian. Jest to
ruch prostoliniowy zmienny.
an0, at =0 - Całkowite przyspieszenie ma kierunek
prostopadły do toru. Prędkość w tym ruchu może zmieniać
jedynie swój kierunek, a wartość pozostaje stała. Rozważany
ruch będzie ruchem jednostajnym krzywoliniowym.
an=0, at =0 - Całkowite przyspieszenie jest równe zeru.
Wektor prędkości w takim ruchu nie może zmienić ani
swojego kierunku ani wartości. Jest to więc ruch jednostajnie
prostoliniowy.
Ruch jednostajny po okręgu
W ruchu jednostajnym punkt materialny porusza się ruchem
jednostajnym po okręgu o promieniu r, przebywając w równych
odstępach czasu t równe odcinki drogi (łuki P1P2, P2P3, P3P4,).
P1
an
r
v
P1

Prędkość średnia punktu wyraża się
jako
P2
P2
r
v
P3
P
v 3
P4
v
P4
Jednak w tym przypadku droga
jest łukiem, więc jak wiadomo z
geometrii
czyli
Rys. 13
Prędkość kątowa
Stosunek kąta  wyrażonego w radianach do
czasu t, w którym ten kąt został zatoczony,
nazywamy prędkością kątową.
Tak więc wartość prędkości liniowej otrzymamy z wyrażenia
Prędkość obrotowa
Prędkością obrotową punktu po okręgu nazywamy
liczbę pełnych obiegów w ciągu jednej minuty
Pomiędzy prędkością kątową [rad/s] i prędkością
obrotową [obr/min] zachodzi zależność
Przyśpieszenie
Przyśpieszenie kątowe (składowa styczna at
oznaczana przez e ) określa zmianę wektora
prędkości kątowej.
W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu składowa styczna
przyśpieszenia kątowego jest równa zeru. Występuje tylko
składowa normalna, której wartość określona jest wzorem:
Przykład 1. Tarcza o średnicy d=2r=20cm zaczyna obracać się
ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem kątowym
e=5 rad/s2. Obliczyć przyspieszenie styczne i normalne punktów
leżących na obwodzie tarczy w dziesiątej sekundzie ruchu.
at
an
v
a
w
r
Rozwiązanie:
Dane: e=5 rad/s2; r=0,1m
Obliczyć : at i an po 10 sek. ruchu
Prędkość kątowa po 10 s ruchu wynosi:
Przyśpieszenie normalne i styczne
Przykład 2. Ruch punktu po płaszczyźnie określony jest
równaniami: x=40t, y=5t2. Obliczyć wartości przyspieszenia
stycznego i normalnego w chwili t=3s.
Rozwiązanie:
Składowe prędkości:
Składowe przyśpieszenia
Moduł wektora prędkości wynosi:
dla t=3s
Moduł wektora przyśpieszenia:
Pierwsza pochodna prędkości określa przyspieszenie styczne
dla t=3s
Przyspieszenie normalne obliczamy z zależności
dla t=3s

similar documents