啊哈!妳的外心世界

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啊哈!妳的外心世界
這是藍星上的藍星島,島上的三個大城市
為了籌辦藍星運動大會,正打算建造一座
大型體育館。為公平起見,有人建議:
P
Q
這一座體育中心應與該縣的三大城市中心
P、Q、R 的距離相等!!!
R
與三個城市 P、Q、R距離
都相等的地點存在嗎?
那要怎麼找到這個點呢?
啊哈!我懂妳的心
啊哈!妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
如果你能懂我的外心世界,你
就能解決這個問題喔!
射穿外心的中垂線
在學習外心之前,我們要先來複習“中垂線”
※有關中垂線的找法,除了可以利用摺紙,摺出來,
也可以用我們學過的尺規作圖來畫。
※在這小節裡,我們還要利用GeoGebra稍微檢驗一下:
我們曾學過的 “中垂線性質”。
外心
啊哈!我懂妳的心
啊哈!妳的外心世界
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
射穿外心的中垂線
中垂線性質
中垂線逆性質
GeoGebra畫畫看
請至左方『操作區』
尋尋覓覓妳的外心
在這一節裡,妳將學會的有:
摺紙的方式,找外心!
利用
尺規作圖,找外心!
利用
操弄
GeoGebra,玩外心!
啊哈!我懂妳的心
啊哈!妳的外心世界
射穿外心的中垂線
明明白白妳的外心
尋尋覓覓妳的外心
童趣十足的摺紙
尺規作圖大工程
GeoGebra畫畫看
請至左方『操作區』
明 明 白 白 妳 的 外 心
• 透過趣味的摺紙與尺規作圖找出了外心後,
接下來,我們要進一步地:
1. 確認外心的存在
2. 理解與外心有關的長度與角度問題
3. 應用外心的觀念,簡化或解決問題
啊哈!我懂妳的心
啊哈!妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪?
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
證明:三中垂線交於一點
已知:△ABC 中,L1、L2、L3 分別是
L3
AB 、 BC 、 CA 的中垂線
求證:三中垂線 L1、L2、L3 交於同一點
證明:∵P
在 AB
AB 、
、 BC
BC 的中垂線
的中垂線
L11、L
、L22 上
上
證明:∵P
在
L
分析:如右圖,設其中兩邊
AB 、 BC
根據中垂線性質可知:
根據中垂線性質可知:
的中垂線 L1、L2 交於 P 點。
PB =
= PA
PA 、
、 PB
PB =
= PC
PC
PB
想一想:
P點會在AC的中垂線L
∴
PA =
= PC
PC
3 上嗎?
∴
PA
啊哈!我懂妳的心
啊哈!妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
由中垂線的逆性質可知:
由中垂線的逆性質可知:
P 點也會在
點也會在 AC
AC 的中垂線
的中垂線 L
L33 上。
上。
P
故三中垂線 L
L11、L
、L22、L
、L33 交於同一點
交於同一點
故三中垂線
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪?
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
銳角△外心角度的問題
題型:設O是△ABC的外心,
∠BOC與∠BAC的關係。
分 析:
如圖,作△ABC的外接圓。
想一想:
同弧所對圓周角與圓心角有何關係?
說 明:
︵
∵圓心角∠BOC= BC
且圓周角∠BAC= 1 ︵
BC
2
啊哈!我懂妳的心
啊哈!妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
∴∠BOC=2∠BAC
同理,∠BOA=2∠BCA
∠AOC=2∠ABC
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪?
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
鈍角△外心角度的問題
注意: 若△ABC為鈍角△時,
∠BOC與∠BAC的關係與
△ABC為銳角△時不同喔!
說 明:
︵
∵圓心角∠BOC= BAC
︵
=360°- BDC
=360°-2× ∠A
亦即,∠BOC=360°-2∠A
啊哈!我懂妳的心
啊哈!妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
不過,由於∠C與∠B為都是銳角,
∴ ∠BOA=2∠C;∠AOC=2∠B
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪?
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
A
30°-60°-90°△的邊長比
說明:
∵直角△的外心D在斜邊中點
30°
2
∴ DA = DB = DC
D
∵△ACD為等腰△→∠1=∠A=30°
→△BCD中,∠2=∠B=60°
3
故△ACD為正△→ BC = BD = DC
30°
12 60°
C
60°
1
啊哈!我懂妳的心
啊哈!妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
B 亦即 BC = BD = DC = DA
由勾股定理可知:
AB : BC : AC =2:1: 3
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪?
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
藍星島體育館蓋哪?
P
Q
R
藍星島的問題:
位於藍星的藍星島主要由三個大城市所組成。
由於今年度星際運動大會將於藍星島上舉行,
所以,三大城市的代表們同聚一堂討論著興建大
型體育館的相關事宜。團結的藍星代長一致同意
:這間體育館興建的地點應符合公平原則,即:
體育館應分別與三大城市中心P、Q、R
的距離都要相等!
啊哈!我懂妳的心
啊哈!妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
答:
體育館與三個城市即為一地點,則與
△PQR三頂點等距的點,必須是外心
故作△PQR的三邊中垂線,交點即外心
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪?
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
〈外心學習之小試身手〉
外心的學習到此,暫時告一段落了。
在進入內心課程結束之前,我們要來測試一下:
妳對三角形的外心的理解程度如何?
接下來,有幾題小小的測驗,請點選你認為正確的選項。
每答對一題,就能得到一顆愛心,
收集的愛心愈多,表示你愈懂三角形的心喔!
測驗開始
啊哈!我懂妳的心
啊哈!妳的外心世界
射穿外心的中垂線
尋尋覓覓妳的外心
明明白白妳的外心
1. 三中垂線的交會
3. 30°-60°-90°的 △
2. 銳角△的外心角度問題
4. 藍星島體育館蓋哪?
鈍角△的外心角度問題
5. 外心學習之小試身手
1. 三角形的外心是下列何種直線
的交點呢,請將它點選出來。
3 .設O為△ABC的外心,若∠A:∠B:∠C=
4:5:11,請選出下列敘述中正確的。
(A) 三角形三邊中線的交點
(A) ∠AOB=162°
(B) 三角形三內角平分線的交點
(B) ∠BOC=72°
(C) 三角形三邊中垂線的交點
(C) △ABC為直角△
(D) 三角形三邊上的高的交點
(D) ∠AOC=90°
2. 假設△DEF的外心O在線段DF上,
試從下敘述中,選出正確的敘述。
(D) O與△DEF三邊垂直距離相等
(B) 外接圓直徑=線段DF的長
(C) ∠DOF=90°+∠E的一半
測驗結束,我要交卷
成績計算:數一數,你總共得到了幾顆紅
心,踩了幾次地雷呢?
※每踩爆地雷一次,就要誠實地扣掉一顆
紅心喔!
若妳拿到的紅心少於4顆,建議你回到三心
世界再加強喔!(也可以與同學們或老師討
論,一起澄清自己的觀念!!)
(D) △DEF為直角△
啊哈!我懂妳的心
特殊△的三心課程
其它『心』的線上測驗

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