Polycopié - Pricing d`options

Report
Formation ESSEC Gestion de patrimoine
Séminaire « Placements financiers »
Pricing d’options
 François Longin
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Plan
• Modèle en temps discret
 Le modèle binomial de Cox-Ross
• Modèle en temps continu
 La formule de Black Scholes Merton
• Utilisation d’un pricer: www.longin.fr
 Calcul du prix d’une option
 Calcul de la volatilité implicite
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Evaluation d’options standards (1)
• Le problème
 La valeur d’une option est connue à maturité T. Elle est donnée par la
fonction pay-off (contrat).
 Quelle est la valeur d’une option à une date quelconque t (t  T) ?
 En particulier, quelle est la valeur de l’option à la date d’émission (t = 0)
? Quelle est la prime payée par l’acheteur de l’option au vendeur ?
• L’approche classique
 Jusque dans les années 1970, la méthode consistait à valoriser une option
en actualisant ses flux de trésorerie anticipés avec un taux d’actualisation
qui prenait en compte le risque de l’option.
 Exercice: formaliser l’approche classique pour un call.
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Evaluation d’options standards (2)
• Le raisonnement d’arbitrage
 Si deux produits financiers présentent les mêmes flux
quelque soit l’évolution du marché, alors ils ont le même
prix.
• Hypothèse implicite : absence d’opportunités d’arbitrage
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Evaluation d’options standards (3)
• L’approche par arbitrage (modèle de Black Scholes Merton)
 Sous certaines hypothèses, une position longue dans un call
(achat) est équivalente à une position longue dans l’actif
sous-jacent (achat) et une position courte dans le titre sans
risque (emprunt).
 Ce portefeuille (appelé portefeuille de couverture ou
portefeuille d’arbitrage) permet de répliquer exactement le
pay-off de l’option à maturité.
 En l’absence d’opportunités d’arbitrage, la valeur de l’option
est alors égale à la somme des valeurs de ces positions
(observables sur le marché).
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Modélisation du prix de l’actif sous-jacent
• Modèle en temps discret

Exemple : modèle à une période (deux dates)



Le prix de l’action à la date 0 est égal à 50 €.
Le prix de l’action à la date 1 est égal à 25 € avec une probabilité de 50% ou
100 € avec une probabilité de 50%.
Application : méthode binomiale (Cox Ross)
• Modèle en temps continu

Exemple : un mouvement brownien
dSt
   dt    dWt
St

Application : formule de Black Scholes Merton
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La méthode binomiale – Exemple simple (1)
• Modèle à une période (deux dates : 0 et 1)



Caractéristiques de l’actif sous-jacent (l’action) :
 Le prix de l’action à la date 0 est égal à 50 €.
 Le prix de l’action à la date 1 est égal à 25 € ou à 100 €.
Autres données de marché :
 Le taux d’intérêt sans risque est égal à 25%.
 Taux prêteur ou emprunteur.
Caractéristiques de l’option :
 Call (option d’achat)
 Prix d’exercice : 50 €
 Maturité : date 1
• Exercice : déterminer le prix de l’option à maturité.
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La méthode binomiale – Exemple simple (2)
• Problème : quel est le prix de l’option à la date 0 ?
• Etude du portefeuille suivant :




Une position courte de 3 calls (vente de 3 calls)
Une position longue de 2 actions (achat de 2 actions)
Un prêt de 40 €
Exercice: calculer la valeur de ce portefeuille à la date 1 (dans chaque
état). En déduire la valeur de ce portefeuille à la date 0. En déduire la
valeur du call à la date 0.
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La méthode binomiale – Formalisation (1)
• Modèle à une période (deux dates : 0 et 1)
• Notations







Le prix de l’actif sous-jacent (l’action) à la date 0 est noté S.
Le prix de l’actif sous-jacent à la date 1 peut prendre deux valeurs : u·S
avec une probabilité q (hausse du prix) et d·S avec une probabilité 1-q
(baisse du prix).
Le taux d’intérêt sans risque (rentabilité brute ou “gross return”) est noté r
(taux prêteur ou taux emprunteur).
Hypothèse : d < r < u.
Le marché est supposé parfait (ni taxes, ni coût de transaction, atomicité des
agents économiques, etc.)
Considérons une option sur l’actif sous-jacent avec un prix d’exercice K et
une maturité égale à 1 (l’unité de temps).
Exercice: calculer la valeur de l’option à la date 1.
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La méthode binomiale – Formalisation (2)
• Portefeuille de couverture (“hedge portfolio”)

Considérons le portefeuille suivant :



Une position longue sur l’actif sous-jacent : achat de  actions
Une position courte sur l’obligation sans-risque : prêt de B
Exercice: représenter sous la forme d’un arbre l’évolution du prix de
l’actif sous-jacent, de l’option et du portefeuille de couverture.
• Calcul de la décomposition du portefeuille de couverture

Par construction, le portefeuille de couverture doit avoir la même valeur
que l’option à la date 1 (quelque soit l’évolution du prix de l’actif sousjacent) :
uS  rB  Cu

dS  rB  C d

Système de deux équations à deux inconnues : Δ et B.
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La méthode binomiale – Formalisation (3)
• La résolution de ce système donne :
Cu  Cd

u  d S
uCd  dCu
B
u  d r
• La valeur du call est égale à :
Cu  Cd uCd  dCu
C  S  B 

u  d r
ud
rd
ur
Cu 
Cd
pCu  1  p Cd
C

ud
u d
C
r
r
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La méthode binomiale – Formalisation (4)

La valeur du call peut s’écrire :
pCu  1  p Cd
C
r
avec


rd
p
ud
Le paramètre p peut s’interpréter comme une probabilité :
0 ≤ p ≤ 1.
Le paramètre p correspond au cas où les agents
économiques sont neutres au risque :
puS  1  p dS  rS
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La méthode binomiale – Formalisation (5)
• Analyse du prix de l’option et du portefeuille de couverture





La probabilité p (probabilité réelle ou historique) n’apparaît pas dans le prix
du call. Deux investisseurs avec des anticipations différentes sur le prix
futur de l’actif sous-jacent seront tout de même d’accord sur le prix du call.
Le prix du call ne dépend pas de l’attitude des investisseurs face au risque
(aversion au risque). Deux investisseurs avec des niveaux d’aversion au
risque différents seront tout de même d’accord sur le prix du call.
Le prix du call peut être calculé comme si les investisseurs étaient neutres
au risque.
Le prix du call ne dépend que du prix de l’actif sous-jacent et pas d’autres
variables aléatoires.
Le call est équivalent à un portefeuille contenant une position longue dans
l’actif sous-jacent (achat d’actions) et d’une positon courte sur l’actif sans
risque (emprunt). L’acheteur d’un call a donc une position à effet de levier
sur l’actif sous-jacent.
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La méthode binomiale
• Principal avantage : la flexibilité



Possibilité de modéliser des processus de prix complexes pour l’actif sousjacent.
Possibilité de prendre en compte les dividendes (discrets ou continus)
Possibilité d’évaluer des options européennes, bermudéennes et américaines
• Inconvénients

Temps de calcul parfois long comparé aux formules fermées.
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La formule de Black Scholes Merton
• Modèle en temps continu
• Première approche : limite du cas discret

La formule de Black Scholes Merton peut être obtenue comme la limite de
la formule de la méthode binomiale quand le nombre de périodes tend vers
l’infini (passage d’un modèle à temps discret à un modèle à temps continu).
• Deuxième approche : résolution du cas continu

Résolution d’une équation aux dérivées partielles (EDP) similaire à
l’équation de diffusion de la chaleur.
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La formule de Black Scholes Merton
• Formule pour un call
 Le prix d’un call européen de prix d’exercice K et de maturité T à la date
t est donné par:
Ct = St  N d1  - K  e-rT -t   N d2 
 S   2
ln  +  r +   T - t 
2 
K 
d1 =
 T -t
d2 = d1 -  T - t
où ln représente le logarithme népérien et N la distribution cumulée de la loi
normale (loi de Gauss).
• Formule pour un put
Pt =  St  N  d1   K  e-rT t   N  d2 
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Modèle de Black Scholes Merton: valeur du call
50
Valeur du call
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Valeur du sous-jacent
Valeur minimale
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Valeur à l'émission
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Modèle de Black Scholes Merton: valeur du put
50
Valeur du put
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Valeur de l'actif sous-jacent
Valeur minimale
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Valeur à l'émission
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Modèle de Black Scholes Merton :
le portefeuille de couverture
• Décomposition du portefeuille de couverture
 A partir de la formule de Black-Scholes-Merton , le portefeuille de
couverture peut s’écrire comme suit:
Ct =   St  Bt
• Interprétation
 Cette expression montre qu’un call peut être décomposé comme une
position longue sur l’actif sous-jacent (achat de  actions) et une position
courte dans l’actif sans risque (emprunt d’un montant B).
 Cette décomposition illustre le fait qu’un call est produit à effet de levier
(utilisation d’un emprunt pour acheter des actions)
 Exercice : mettre en évidence l’effet de levier lié à un investissement
en option. On considérera deux scénarios pour le prix de l’actif sousjacent : évolution à la hausse et à la baisse.
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Définition des sensibilités (les Grecques)
• Sensibilité au prix de l’actif sous-jacent : le delta et le gamma
C

S

 2C
 2
 S
Le delta et le gamma représentent la première et la deuxième dérivée de
la valeur du call par rapport au prix de l’actif sous-jacent.
• Sensibilité au taux sans risque : le rho

C
r
• Sensibilité à la volatilité du prix de l’actif sous-jacent : le vega  
• Sensibilité au passage du temps : le theta   
• Sensibilité au taux de dividende : l’epsilon
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C

C
t

C
q
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Calcul des sensibilités (les grecques)
• Modèle de Black Scholes Merton (temps continu)
 Les sensibilités de la valeur du call aux différentes variables et
paramètres du modèle peuvent être calculées analytiquement.
• Méthode binomial et méthode de simulation de Monte Carlo (temps
discret)
 Les sensibilités de la valeur du call aux différentes variables et
paramètres du modèle sont calculées par différence finie.
 La valeur de l’option est recalculée en changeant la variable par
rapport à la quelle on calcule la sensibilité.
 Exemple: calcul du delta:
C C St     C St 


S

où  correspond à une petite variation du prix de l’actif sous-jacent.
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