9 La complexité des activités mathématiques

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9 La complexité des activités
mathématiques
9-4
La résolution des
problèmes linéaires
9-4 Ulysse 95-112
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1.
La résolution algébrique des systèmes
linéaires au collège
A rebours de l’ordre historique nous utilisons ici les expressions
algébriques pour analyser les méthodes de l’arithmétique scolaire
• Méthode de substitution
• L’une des équations est résolue par rapport à l’une des variables et
l’expression obtenue lui est substituée dans l’autre équation
• Méthode d’égalisation
• Les deux équations sont résolues par rapport à la même variable et
les expressions obtenues sont les deux membres d’une égalité
• Méthode d’addition
• Les deux équations sont multipliées par des nombres tels que les
coefficients d’une même variable y soient opposés. L’addition
membre à membre des deux équations obtenues élimine cette
variable
• Les méthodes sont parfois dérivées de la forme générale, parfois
introduites par des cas plus réduits – i.e. d’où certains paramètres
ont disparu, annulés ou égaux à 1.
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2 Organisation didactique traditionnelle de la résolution
arithmétique des systèmes
a1 x + b 1 y = r 1
a2 x + b 2 y = r 2
Forme générale
• Traditionnellement, les résolutions arithmétiques étaient introduites
progressivement à partir de systèmes de moins en moins réduits:
Échanges,
ax + b = cx + d
ax + b = c
Partages inégaux additifs avec
des parts différentes
x + y = r1
x - y = r2
Partages proportionnels, (parts multiples)
x + y = r1
x + b2y = r 2
x + y = r1
x/a + y/b = r2
etc.
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résolution par substitution
x + b 1y = r 1
a2 x + b 2 y = r 2
par addition ou soustraction
x + b1y = r 1
x + b2y = r 2
introduction à la multiplication
par un coefficient etc.
Ensuite la résolution du cas général : la
double vente: a quantités d’un produit, b
quantités d’un autres, r prix d’un achat
x + y = r1
a2 x + b 2 y = r 2
La fausse supposition
a1 x + b 1 y = r 1
a2 x + b 2 y = r 2
Composition d’un mélange
Quelle proportion a1 de A à 18€/Kg et b1 de
B à 23€/Kg pour du mélange à 20€/Kg
a1 x + b 1 y = r 1
x + y = r1
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a1 x + b 1 y = r 1
a2 x + b 2 y = r 2
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3 La modélisation est-elle le retour de l’arithmétique?
• a) La résolution arithmétique des problèmes linéaires d’ordre
supérieur
• était traditionnellement abordée, principalement, avec les questions
financières, les placements, l’escompte etc. Par exemple la « règle
de compagnie » qui indiquait ce que chaque membre devait recevoir
en fonction du temps et du montant de ses différents apports, etc.
• Elle était – avant le développement de l’algèbre de Viète - le moyen
d’étendre et de systématiser l’usage de la « règle de trois » en
« oubliant », les grandeurs lorsque la linéarité était établie
• L’enseignement de l’algèbre formelle a conduit à délester
brutalement et radicalement les programmes d’enseignement des
mathématiques de la considération des situations ordinaires.
• Or la mise en équation des problèmes reste une phase délicate de
l’« application » du traitement mathématique aux situations
quelconques.
• Il est heureux que sous le nom plus prestigieux de modélisation, le
travail de mise en équation réapparaisse au niveau élémentaire
pour achever le contournement de l’arithmétique élémentaire
ancienne sans rien perdre de son utilité sociale
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• b) Rôle de la nature des grandeurs dans la résolution
• La complexité des énoncés et des solutions peut être représentée
plus ou moins finement par celle de son expression :
• - par exemple, grossièrement par le nombre de mots figurant dans
la solution minimale,
• - ou moins grossièrement par sa complexité syntaxique…
• - ou par celle de son graphe de situation et de résolution (Broin
2002)
• - ou enfin par la mesure1 de sa formule algébrique ou de sa
résolution.
• Cependant on peut se rendre compte que la nature des grandeurs
intervient très fortement dans les représentations des opérations qui
guident les calculs en arithmétique, ou la mise en équation et donc
qu’il faut la prendre en considération dans le calcul de la complexité.
• Voici une petite expérience que vous pouvez faire vous-même pour
vous en convaincre.
• 1 de Kolmogorov
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c) Mise en évidence du rôle des grandeurs
• L’algèbre s’est développée en dégageant le choix des calculs de
l’influence de la nature des grandeurs et du contrôle qu’elle
exerçait sur leur conduite,. Le fait est bien connu, mais il mérite
d’être visité.
• L’expérience consiste
• - à considérer un énoncé correspondant au cas général à
attribuer aux coefficients des quantités et des mesures diverses,
• - puis à générer une famille de problèmes obtenus en permutant
les places attribuées à ces données comme dans l’exemple ciaprès (en 2).
• La formulation peut être adaptée, mais les grandeurs sont
conservées.
• On observe alors que pour une même équation, il apparaît des
modes de résolution plus faciles à concevoir que d’autres. Ces
différences se manifestent par complexité des solutions qui en
découlent
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• d) Intérêt de ce genre d’étude
• Des circonstances favorables (à déterminer) pourraient
• - permettre à des élèves de se poser des questions sur
le rapport des grandeurs avec les calculs numériques en
arithmétique dans les problèmes
• - Et les conduire ainsi à « inventer » l’algèbre.
• Il ne s’agit pas de restaurer l’enseignement de ces types
de raisonnements mais de cerner ce que l’enseignement
de l’algèbre permet:
• - d’abord d’économiser les raisonnements arithmétiques,
- puis de réintroduire par l’enseignement de la
modélisation, la connaissance des grandeurs et de leurs
relations.
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2. une expérience sur la complexité des
raisonnements
• Il s’agit de considérer une même équation et
d’interpréter ses variables et ses coefficients par la
permutation d’une famille de grandeurs différentes
• On constate que le mode de résolution arithmétique le
plus facile à concevoir ou à mettre en œuvre change.
Cette expérience montre les deux faces de la réalisation
des expressions algébriques.
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• Conditions générales
• Situation
• Sur le marché un vendeur de disques n’a que deux catégories de
prix : les disques « bon marché » et les « chers ».
• Profil. Les disques valent suivant la catégorie p(a) € et p(b) €
• Chaque achat {i,j} est représenté par une formule qui détermine le
nombre de disques q de chaque catégorie {a,b}
• Ex. Le premier achat comprend q(a,i) disques à pa euros et q(b,j)
disques à pb euros et son prix total est Ti.
• La formulation algébrique du problème général est alors
q(a,i). pa + q(b,i). pb = Ti
q(a,j). pa + q(b,j). pb = Tj
• Le choix des variables (i.e. des coefficients inconnus) détermine les
différents types de problème.
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Problème 0 les échanges
Enoncé 0: Zoé fait un échange avec Aglaé.
Elle donne 3 disques chers à 7 euros et 5 bon marché contre 2 disques
chers, 6 bon marché et 3 € . Quel est le prix d’un disque bon
marché ?
Le profil de cet énoncé de problème…: 1 naturel 1décimal mesure
q(a,i). pa + q(b,i). pb = q(a,j). pa + q(b,j). pb + S
3 . 7 + 5 . x = 2. 7 + 6. x + 3 … l’apparente à un système d’ordre 2
Solution du problème 0
• Zoé a donné 1 disque cher, elle a reçu un bon marché et 3 €. Le
disque bon marché vaut 3 € de moins que le disque cher, qui vaut
donc 7+3 = 4 €
Un profil de la solution du problème 0 est
• [q(a,i) - q(a,j)]. pa + [q(b,i) - q(b,j)]. pb = S
• [3.7 – 2.7] + [5x – 6x] = 3
•Note Cette solution peut être
• 7-x=3
décomposée en un processus
• X=4
plus détaillé
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Méthodes imprévues : L’exhaustivité, la « chance »…
• Qu’a fait une élève naïve pour résoudre ce problème ? :
• « Le disque le plus cher vaut 7 euros ». Elle choisit une valeur
arbitraire inférieure (6 euros).
• Effectue les calculs
• Elle constate que la valeur arbitraire ne convient pas, elle corrige et
vérifie que 4 convient »
• Elle n’a utilisé aucune des méthodes envisagées
• La méthode d’exhaustivité est valide aussi.
• Le professeur lui donne un autre problème similaire mais avec un
plus grand nombre de possibilités pour décourager les
tâtonnements
• L’élève se met alors à remarquer qu’elle peut simplifier l’échange
• Une autre élève donne directement la solution : « Je ne sais pas, j’ai
essayé et ça a marché ! » Ce n’est pas ce qu’attendait le professeur
mais la réponse est valide
• En mathématique c’est seule la solution qui compte, en
enseignement non!
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Problème 1 La double vente: 1. 1 La recherche du prix unitaire
Énoncé 1.1:
Zoé achète 3 disques chers et 5 disques bon marché pour 41 euros
• Aglaé achète 2 disques chers et 6 disques bon marché et les paie 38 €
• Quel est le prix d’un disque bon marché et celui d’un disque cher ?
Profil de l’énoncé:
q(a,i). pa + q(b,i). pb = PZ inconnues: pa et pb
q(a,j). pa + q(b,j). pb = PA
Solution arithmétique du problème 1.1: les combinaisons linéaires
• Si Zoé avait fait 2 achats identiques et si Aglaé en avait fait 3 elles auraient
chacune 6 disques chers
• Deux achats comme celui de Zoé coûtent (41x2 = 82), 82 € et ils
comprennent (2.3 = 6), 6 disques chers et (2.5 = 10), 10 disques bon marché.
• Trois achats comme celui d’Aglaé coûtent (3. 38 = 114) 114 € et
comprennent 6 disques chers et 18 disques bon marché.
• La différence est (114 – 82 = 32), 32€
• C’est le prix des (18 – 10 = 8) 8 disques bon marché supplémentaires
• 1 disque bon marché coûte donc (32/8 = 4) 4€
• 6 disques bon marché coûtent à Aglaé (6.4=24) 24 euros. Ses deux disques
chers lui coûtent (38 – 24 = 34) 14 euros
• 1 disque cher coûte (14 :2=7) 7 euros
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•
•
•
•
1 .2 La recherche des quantités
Enoncé 1- 2
Les disques « bon marché » sont à 4 € et les « chers » à 7 euros.
Zoé achète 8 disques pour 41 €
Quel est le nombre de disques bon marché et de disques chers achetés
par Zoé?
•
Profil de l’énoncé q(a,i). pa + q(b,i). pb = pz
q(a,i). + q(b,i)
= qz
•
•
•
•
Solution arithmétique du problème 1.2 la fausse supposition
Si Zoé n’avait acheté que des disques à 4€ elle aurait payé (4 x 8 = 32) 32€
Chaque fois qu’elle remplace un disque à 4€ par un disque à 7€ sa facture
augmente de 3€. Elle doit donc augmenter de (41- 32 = 9), 9€
Elle a donc acheté (9/3 = 3) 3 disques chers et 5 disques bon marché.
•
Profil de la solution arithmétique
•
•
•
•
•
•
4.x + 7.y = 41
4 (x+y) = 32
4(x + 1) + 7( y - 1) = 4x + 4 + 7y - 7 = 4x + 7y - (7-4) = 41 – 3
remplacement
4 ( x+y) = 32
41 – [4x + 7y – 3] = 3
Solution algébrique
41-32/ 3 = 9/3 =3
4 (x+y) = 4 x + 4 y = 32

x=8–3=5
(4x + 7y) – (4x - 4y) = 41 - 32 = 3y
y=8–5=3
inconnues: q(a,i) et q(b,i)
(1) 4.x + 7.y = 41
(2) x + y = 8
 y = (41 – 32)/3 = 3 x = 8-3 = 5
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Enoncé 4 : L’abaque des mélanges
• Aïdée a acheté 15 disques au prix moyen de 10 € par disque. Mais
certains disques coûtent 8 euros, d’autres 13 €. Combien a-t-elle
acheté de disque de chaque sorte ?
• Solution arithmétique : la Croix des mélanges (Autre illustration).
• Le prix moyen d’un disque est 10 €
• La vente à 10 € d’un disque à 13 € est une perte de 3 € ; (13-10) = 3
au total 3 fois le nombre de disques chers
• Le gain sur la vente d’un disque à 8 € est 2€
• Le gain sur les disque à 8 € est (10 -8) = 2
• La perte doit être compensée par les gains donc 3 fois le nombre de
disques chers est égal à 2 fois le nombre de disques bon marché.
• Le nombre de disques bon marché est le 3/2 du nombre de disques
chers.
• Sur 5 disques vendus, 3 sont à 10 € et 2 à 13 €
• Pour 15 disques, il y en aura 9 à 8 € et 6 à 13
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Traduction algébrique des solutions arithmétiques
Ex. La croix des mélanges
4x +7y = 41
•
x + y= 8
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(1)
(2)
(4x +7y)/x+y = 41/8
(3)
41/8 x + 41/8 y = 4x + 7 y
(41/8 – 4) x = (7 – 41/8) y
x/y = (7 – 41/8) /(41/8 – 4)
x/y = [(56 – 41)/8]/[(41 – 32)/8]
x/y = 15 / 9
x+y=8
x = 15/9 y
(15/9 +1) y = 24/9 y = 8
y = 8 . 9/24 = 3
x=5
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• Une mesure de
complexité de
Kolmogorov d’une
telle solution
consiste à attribuer
un poids aux
symboles d’égalité,
un autre aux
opérations et un aux
symboles
numériques… Ces
poids peuvent être
inférés du résultats
d’expériences
•La mesure de Mc
Cabe est similaire à
celle de Kolmogorov
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Que donnerait l’application à E3 de la méthode de La
croix des mélanges
• Le prix moyen des disques achetés par Zoé est 41/8
• Chaque fois qu’elle paie 41/8 € pour un disque bon marché
elle perd 9/8 € car (41/8 – 4) = 41/8 – 32/8 = 9/8
• Mais chaque fois qu’elle paie 41/8 € pour un disque cher, elle
gagne
• 7 – 41/8 € soit 7 – 41/8 = 56/8 – 41/8 = 15/8€. Cette perte
doit être compensée par le gain. Il faut 9/8 disques chers
d’une quantité totale de disques pour équilibrer 15/8 disques
bon marchés. Le rapport entre les quantités des deux disques
(chers / bon marché) est donc (9/8) / (15/8) = 9/15 = 3/5 Par
rapport à la quantité totale 8 disques il y a donc 3 disques
chers pour 5 bon marché.
• Il est clair que la difficulté varie suivant la nature des mesures
à manipuler : considérer un achat comme un mélange n’est
pas aisé.
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Conclusions
Sans entrer dans le détail, les calculs montrent (ce que le
bon sens indique) :
• Que les solutions arithmétiques (S.AR.) mobilisent une
beaucoup plus grande variété de concepts que les
algébriques (L’algèbre économise des apprentissages),
• Que l’algorithme algébrique (A.AL) le plus général est
parmi les plus complexes… (désavantage à A.AL, à
l’algèbre)
• Et qu’il est insensible aux nombres et à leur
interprétation comme grandeurs, (avantage à S.AL)
• Que les solutions arithmétiques les moins complexes
correspondent aux cas algébriques dégénérés.
(L’économie liée à l’usage des S.AR est modérée)
• Les variations importantes de complexité des solutions
arithmétiques constituent des sauts informationnels
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Fin du diaporama 9
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