Bölüm6 - Kenan Burak Ceylan Kişisel Blog

Report
OLASILIK (6BMHMAU102)
Bölüm 6
Tahmin
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-1
Güven Aralığı
Bu bölümün içeriği:
 Popülasyon (Ana Kütle) Ortalaması, μ için
Güven Aralıkları




Popülasyon Varyansı σ2 bilindiğinde
Popülasyon Varyansı σ2 bilinmediğinde
Popülasyon (Ana Kütle) orantısı, pˆ için
Güven Aralıkları (büyük örnekler)
Bir normal popülasyonun varyansı için
Güven Aralığı Tahminleri
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-2
Tanımlar

Bir ana kütle parametresinin tahmin edicisi



örneklem bilgilerine dayanan rassal bir değişkendir.
bu bilinmeyen parametreye bir yaklaşık değer
sağlamaktadır
Bu rassal değişkenin spesifik bir değeri tahmin
olarak anılmaktadır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-3
Nokta ve Aralık Tahminleri


Bir nokta tahmini tek bir sayıdır,
bir güven aralığı değişkenlik hakkında ilave
bilgi vermektedir
Üst Güven
Sınırı
Alt Güven
Sınırı
Nokta Tahmini
Güven Aralığı genişliği
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-4
Nokta Tahminleri
Bir Ana kütle (popülasyon)
Parametresini …
Bir Örneklem İstatistiği
ile tahmin ederiz
(bir Nokta Tahmini)
Ortalama
μ
x
Orantı
P
ˆ
p
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-5
Sapmasızlık

Eğer θˆ örneklem dağılımının beklenen değeri
veya ortalaması  ise θˆ  parametresinin bir
sapmasız tahmin edicisi olarak
tanımlanmaktadır,
E( θˆ )  θ

Örnekler:
 Örneklem ortalaması x μ’nün bir sapmasız tahmin edicisidir
2 σ2’ bir sapmasız tahmin edicisidir
 Örneklem varyansı s
ˆ P’nin bir sapmasız tahmin edicisidir
 Örneklem orantısı p
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-6
Sapmasızlık
(devam)

θˆ 1 sapmasız bir tahmin edicidir, θˆ 2 sapmalıdır:
θˆ 1
θˆ 2
θ
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
θˆ
Bölüm-6-7
Sapma

ˆ ’nın bir tahmin edicisi olmak üzere
θ

θˆ ‘da sapma onun ortalaması ve  arasındaki
fark olarak tanımlanmaktadır ve aşağıdaki gibi
ifade edilir
ˆ  E (θ)
ˆ θ
Sapm a(θ)

Sapmasız bir tahmin edicinin sapması 0’dır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-8
En Etkin Tahmin Edici



’nın birkaç sapmasız tahmin edicilerinin olduğunu
varsayınız.
 ‘nın en etkin tahmin edicisi veya minimum varyans
sapmasız tahmin edicisi en küçük varyanslı tahmin
edicisidir
θˆ 1 ve θˆ 2 ’nın aynı gözlem sayısına dayanan iki sapmasız
tahmin edicisi olmak üzere, bu durumda
Var( θˆ 1 )  Var( θˆ 2 )
 Eğer
ise θˆ 1 ‘in θˆ 2‘ye göre daha etkin
olduğu söylenmektedir

θˆ 1 ‘in θˆ 2 ’ye
oranıdır:
göre göreli etkinliği, onların varyanslarının
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
V ar(θˆ 2 )
G öreceli E tkinlik 
V ar(θˆ 1 )
Bölüm-6-9
Güven Aralıkları



Bir ana kütle parametresinin nokta tahmini ile
ne kadarlık bir belirsizlik ilişkilidir?
Bir aralık tahmini bir nokta tahminine göre bir
ana kütle karakteristiği hakkında daha fazla
bilgi temin etmektedir
Böyle aralık tahminleri güven aralıkları olarak
anılmaktadır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-10
Güven Aralığı Tahmini

Bir aralık bir değerler dizisi vermektedir:




Örneklem istatistiğindeki örneklemden
örnekleme varyasyonunu dikkate almaktadır
1 örneklemden olan gözleme dayanmaktadır
Bilinmeyen ana kütle parametrelerine yakın
olma hakkında bilgi vermektedir
Güven seviyesi olarak ifade edilir

asla %100 güvenli olamaz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-11
Güven Aralığı ve Güven Seviyesi


Eğer P(a <  < b) = 1 -  ise o halde aralık
a’dan b’ye ’nın %100(1 - ) güven aralığı
olarak anılmaktadır.
(1 - ) de aralığın güven seviyesi olarak
anılmaktadır ( 0 ve 1 arasındadır)


Ana kütlenin tekrarlanan örneklemlerinde, 
parametresinin gerçek değeri yolla hesaplanan
aralığında %100(1 - )’i içinde yer alabilmektedir.
Bu yolla hesaplanmış olan güven %100(1 - ) ile
a <  < b olarak yazılmaktadır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-12
Tahmin Süreci
Rastgele
Örneklem
Ana kütle
(ortalama, μ,
bilinmiyor)
Ortalama
X = 50
μ’nün 40 & 60
arasında
olduğundan
%95 eminim.
Örneklem
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-13
Güven Seviyesi, (1-)
(devam)



Güven Seviyesi = 95% olarak varsayınız
(1 - ) = 0,95 olarak da yazılabilir
Bir göreli frekans yorumu:


Tekrarlayan örneklerden oluşturulacak tüm
güven aralıklarının %95’i bilinmeyen gerçek
parametreyi içerecektir
Bir spesifik aralık gerçek parametreyi
içerebilir veya içermeyebilir

Spesifik bir aralığa hiçbir olasılık dahil değildir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-14
Genel Formül

Tüm güven aralıkları için genel formül:
Nokta Tahmini  (Güvenilirlik Faktör)(Standart Hata)

Güvenilirlik faktörünün değeri arzu
edilen güven seviyesine bağlıdır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-15
Güven Aralıkları
Güven
Aralıkları
Ana kütle
Ortalaması
σ2 biliniyor
Ana kütle
Orantısı
Ana kütle
Varyansı
σ2 bilinmiyor
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-16
μ için Güven Aralığı
(σ2 Biliniyor)

Varsayımlar




Ana kütle varyansı σ2 biliniyor
Ana kütle normal dağılmış
Eğer ana kütle normal değilse, büyük örnekler kullanınız
Güven Aralığı tahmini:
x  z α/2
σ
n
 μ  x  z α/2
σ
n
(burada z/2 her bir kuyruktaki /2 olasılığı için normal dağılımdır)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-17
Hata Payı

Güven aralığı
x  z α/2

σ
n
 μ  x  z α/2
σ
n
x  H P olarak da yazılabilir
burada HP hata payı olarak anılmaktadır
H P  z α/2

σ
n
Aralık genişliği, w, hata payının iki katıdır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-18
Hata Payının Azaltılası
H P  z α/2
σ
n
Hata Payının azaltılması için

Ana kütle standart sapması azaltılabilir (σ↓)

Örnek büyüklüğü artırılır (n↑)

Güven seviyesi azaltılır, (1 – ) ↓
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-19
Güvenilirlik Faktörü z/2’nin
Bulunması

%95’lik bir Güven Aralığını ele alalım:
1    0 ,95
α
α
 0 , 025
2
 0 , 025
2
Z birimler:
z = -1,96
X birimler:
Alt Güven
Sınırı
0
Nokta Tahmini
z = 1,96
Üst Güven
Sınırı
 z0,025 = 1,96’i standart normal dağılım tablosundan bulunuz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-20
Yaygın Güven Seviyeleri

Yaygın olarak kullanılan güven seviyeleri
%90, %95, ve %99’dur.
Güven
Seviyesi
Güven
Katsayısı,
1 
Z/2
değeri
%80
%90
%95
%98
%99
%99.8
%99.9
0,80
0,90
0,95
0,98
0,99
0,998
0,999
1,28
1,645
1,96
2,33
2,58
3,08
3,27
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-21
Aralıklar ve Güven Seviyesi
Ortalamanın Örneklem Dağılımı
 /2
1 
 /2
Aralıklar
x
μx  μ
AG S  x  z
σ
x1
x2
n
‘den
ÜGS  x  z
σ
n
‘e
uzanmaktadır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Güven Aralıkları
Oluşturulan
%100(1-)’lık
aralıklar μ’yü
içermektedir;
%100() ise
içermez.
Bölüm-6-22
Örnek


Büyük bir ana kütleden seçilen 11 devre
2,20 ohm’luk bir ortalama dirence sahiptir.
Geçmişteki bilgilerden ana kütlenin standart
sapmasının 0,35 ohm olduğu bilinmektedir.
Ana kütlenin gerçek ortalamasını %95’lik bir
güven aralığında belirleyiniz.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-23
Örnek
(devam)

Büyük bir ana kütleden seçilen 11 devre
2,20 ohm’luk bir ortalama dirence sahiptir.
Geçmişteki bilgilerden ana kütlenin standart
sapmasının 0,35 ohm olduğu bilinmektedir.

Çözüm:
x  z
σ
n
 2,20  1,96 (0,35/
11 )
 2.20  .2068
1,9932  μ  2,4068
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-24
Yorum


Gerçek ortalama direncin 1,9932 ile
2,4068 ohm arasında olduğundan %95
eminiz
Gerçek ortalamanın bu aralıkta
olmamasının da mümkün olmasına
rağmen bu şekilde oluşturulmuş olan
%95’lik aralıklar gerçek ortalamayı
içerecektir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-25
Güven Aralıkları
Güven
Aralıkları
Ana Kütle
Ortalaması
σ2 biliniyor
Ana Kütle
Orantısı
Ana Kütle
Varyansı
σ2 bilinmiyor
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-26
Student t Dağılımı


n gözlemlik bir rassal örneklemi ele alalım
 ortalaması x ve standart sapması s olsun
 ortalaması μ olan bir normal dağılımdan seçilmiş
olsun
O halde değişken
t
x μ
s/ n
Serbestlik derecesi (n – 1) olan Student t dağılımını
takip
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-27
μ için Güven Aralığı
(σ2 Bilinmiyor)



Eğer ana kütle standart sapması σ
biliniyorsa, örneklem standart sapması,
s’i yerine koyabiliriz.
Bu durum yeni bir belirsizlik ortaya koyar,
çünkü s örnekten örneğe değişkenlik
göstermektedir
Bu yüzden normal dağılım yerine t
dağılımını kullanmaktayız
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-28
μ için Güven Aralığı
(σ2 Bilinmiyor)
(devam)

Varsayımlar





Ana kütle varyansı σ2 bilinmiyor
Ana kütle normal dağılmış
Eğer ana kütle normal değilse, büyük örnekler kullanınız
Student t Dağılımını kullanınız
Güven Aralığı Tahmini
x  t n -1, α/2
S
n
 μ  x  t n -1, α/2
S
n
burada tn-1,α/2 n – 1 serbestlik derecesine ve her bir kuyrukta α/2
alana sahip olan t dağılımının kritik değeri olarak anılmaktadır:
P(t n 1  t n 1, α/2 )  α/2
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-29
Hata Payı

Güven Aralığı,
x  t n -1, α/2

x  HP
S
n
 μ  x  t n -1, α/2
S
n
olarak da yazılabilmektedir
burada HP Hata Payı olarak da anılmaktadır:
H P  t n-1,α /2
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
σ
n
Bölüm-6-30
Student t Dağılımı


t bir dağılımlar ailesidir
t değeri serbestlik derecesine (s.d.)
bağlıdır.

Örneklem ortalamasından sonra değişme serbestisi
olan gözlem sayısı aşağıdaki hesaplanmaktadır
s.d. = n - 1
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-31
Student t Dağılımı
Dikkat ediniz: t
Z (n arttıkça)
Standart
Normal
(sd= ∞ olan t)
t (sd = 13)
t-dağılmları çan eğrisi
sergilerler ve simetriktirler,
fakat ‘daha geniş’
kuyruklara sahiptir
t (sd = 5)
0
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
t
Bölüm-6-32
Student t Tablosu
Üst Kuyruk Alanı
sd
.10
.05
.025
1 3.078 6.314 12.706
Örnek: n = 3
sd = n - 1 = 2
 = 0,10
/2 =0,05
2 1.886 2.920 4.303
/2 = 0,05
3 1.638 2.353 3.182
Tablo içeriği t
değerlerini içerir olasılık
değerlerini içermez
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
0
2,920 t
Bölüm-6-33
t dağılım değerleri
Z değeri ile karşılaştırıldığında
Güven
Seviyesi
t
(10 s.d.)
t
(20 s.d.)
t
(30 s.d.)
Z
____
0,80
1,372
1,325
1,310
1,282
0,90
1,812
1,725
1,697
1,645
0,95
2,228
2,086
2,042
1,960
0,99
3,169
2,845
2,750
2,576
Dikkat: t
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Z (n arttıkça)
Bölüm-6-34
Örnek
n = 25 olan bir rastgele örnek x = 50 ve
s = 8 değerlerine sahiptir. μ için %95’lik bir
güven aralığı oluşturunuz

s.d.= n – 1 = 24, bu yüzden t n 1, α/2  t 24,.025  2.0639
Güven Aralığı
x  t n -1 ,α /2
S
50  (2,0639)
8
n
 μ  x  t n -1 ,α /2
S
n
 μ  50  (2,0639)
25
8
25
46,698  μ  53,302
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-35
Güven Aralıkları
Güven
Aralıkları
Ana kütle
Ortalama
σ2 Biliniyor
Ana kütle
Orantısı
Ana kütle
Varyansı
σ2 Bilinmiyor
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-36
Ana kütle Orantısı için Güven
Aralığı

Ana kütle orantısı (P) için bir aralık
tahmini örneklem orantısı (pˆ )’nin
belirsizliği için bir tolerans payı
ekleyerek hesaplanabilmektedir.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-37
Ana kütle Orantısı P için Güven
Aralığı
(devam)

Eğer örneklem büyüklüğü yeterince büyükse
örneklem orantısının aşağıdaki standart sapma
ile yaklaşık olarak normal olduğunu hatırlayınız
σP 

P(1  P)
n
Bunu bu örneklem verileri ile tahmin edeceğiz:
pˆ (1  pˆ )
n
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-38
Güven Aralığı Uç Noktaları

Popülasyon orantısı için üst ve alt güven sınırları
aşağıdaki formül ile hesaplanmaktadır
pˆ  z α/2

pˆ (1  pˆ )
n
 P  pˆ  z α/2
pˆ (1  pˆ )
n
burada




z/2 ; istenilen güven seviyesi için standart normal değeridir
pˆ ; örneklem orantısı
n; örneklem büyüklüğü
nP(1−P) > 5
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-39
Örnek


100 kişilik rastgele bir örneklem 25’inin
solak olduğunu göstermektedir.
Solakların gerçek orantısı için %95’lik
bir güven aralığı oluşturunuz.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-40
Örnek
(devam)

100 kişilik rastgele bir örneklem 25’inin
solak olduğunu göstermektedir. Solakların
gerçek orantısı için %95’lik bir güven
aralığı oluşturunuz.
ˆp  z α /2
25
100
 1,96
ˆp(1  ˆp)
n
0,25(0,75)
100
 P  ˆp  z α /2
 P 
25
ˆp(1  ˆp)
 1,96
100
n
0,25(0,75)
100
0,1651  P  0,3349
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-41
Yorum


Ana kütledeki solakların yüzdesinin %16,51
ile %33,49 arasında olduğundan %95
eminiz.
0,1651 ile 0,3349 arasındaki aralığın
gerçek orantıyı içermeyebilmesine rağmen
büyüklüğü 100 olan örneklerden oluşturulan
aralıkların %95’i gerçek orantıyı içerecektir.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-42
Güven Aralıkları
Güven
Aralıklar
Ana Kütle
Ortalaması
σ2 Biliniyor
Ana Kütle
Orantısı
Ana Kütle
Varyansı
σ2
Bilinmiyor
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-43
Ana Kütle Varyansı için Güven
Aralığı
 Amaç: Ana kütle varyansı, σ2 için bir güven
aralığı oluşturmak


Güven aralığı örneklem varyansı s2’na
dayanmaktadır
Varsayılan: ana kütle normal olarak
dağılmıştır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 8-44
Ana Kütle Varyansı için Güven
Aralığı
(devam)
Rassal değişken

2
n 1

(n  1)s
σ
2
2
(n – 1) serbestlik derecesi olan bir ki-kare
dağılımı izlemektedir
Burada ki-kare değeri  n  1 ,  aşağıdaki olasılık değerini temsil
etmektedir
2
2
P( χ n  1  χ n 1 , α )  α
2
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 8-45
Ana Kütle Varyansı için Güven
Aralığı
(devam)
Ana kütle varyansı için %(1 - ) güven
aralığı aşağıdaki gibidir
(n  1)s
χ
2
n  1 , α /2
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2
σ 
2
(n  1)s
χ
2
2
n  1 , 1 - α /2
Bölüm 8-46
Örnek
Üretilen bir bilgisayar işlemcileri partisi test
edilmektedir. Aşağıdaki veriler (MHz olarak) toplanıyor:
Örneklem Büyüklüğü
17
Örneklem Ort.
3004
Örneklem std sap
74
Ana kütlenin normal olduğunu varsayınız.
σx2 için %95 güven aralığını belirleyiniz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 8-47
Ki-kare Değerlerinin Bulunması


n = 17 ve ki-kare dağılımı(n – 1) = 16 serbestlik
derecesine sahiptir
 = 0,05, o halde her bir kuyruktaki ki-kare değeri
0,025’tir:
χ n  1 , α /2  χ 16 , 0.025  28.85
2
2
χ n  1 , 1 - α /2  χ 16 , 0.975  6.91
2
2
Olasılık
Olasılık
α/2 = 0,025
α/2 = 0,025
216 = 6,91
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
216 = 28,85
216
Bölüm 8-48
Güven Sınırlarının Hesaplanması

%95 güven aralığı aşağıdaki gibidir:
(n  1)s
2
σ 
2
2
χ n  1 , α /2
(17  1)(74)
2
σ 
2
28,85
(n  1)s
2
2
χ n  1 , 1 - α /2
(17  1)(74)
2
6,91
3037  σ  12683
2
Standart sapmayı dönüştürürken, CPU hızının
55,1 ile 12,6 MHz arasında olduğundan %95
eminiz.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm 8-49
Sonlu Ana kütleler

Eğer örneklem büyüklüğü ana kütle
büyüklüğünün %5’i büyüklüğünde ise (ve
örnekleme yerine koymaksızın oluyorsa) o
halde standart hata hesaplanırken sonlu
ana kütle düzeltme faktörü kullanılmak
zorundadır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-50
Sonlu Ana kütle Düzeltme
Faktörü



Örneklemin yerine koymaksızın yapıldığını ve
örneklem büyüklüğünün ana kütle büyüklüğüne
göre büyük olduğunu varsayınız
Ana kütle büyüklüğünün merkezi limit teoremini
uygulamak üzere yeterince büyük olduğunu
varsayınız
Ana kütle varyansını tahmin ederken sonlu Ana
kütle Düzeltme Faktörünü uygulayınız
sonlu ana kütle düzeltm e faktörü 
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
N n
N 1
Bölüm17-51
Ana kütle ortalamasının
Tahmin Edilmesi



Büyüklüğü n olan bir basit rassal örneklem
ortalaması μ olan bir N üyeli ana kütleden
alınmış olsun
Örneklem ortalaması, μ ana kütle
ortalamasının sapmasız tahmin edicisidir
Nokta tahmin edicisi aşağıdaki gibidir:
x
1
n
x

n
i
i 1
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm17-52
Sonlu ana kütleler: Ortalamalar

Eğer örneklem büyüklüğü ana kütle büyüklüğünün
%5’inden daha büyük ise, örneklem ortalamasının
varyansı için sapmasız bir tahmin edici aşağıdaki
gibidir
2
2
σˆ x 

s Nn


n  N 1
O halde ana kütle ortalaması için güven aralığı
%100(1-α)’dır
x - t n -1, α/2 σˆ x  μ  x  t n -1, α/2 σˆ x
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-53
Ana kütle Toplamının Tahmin
Edilmesi



Büyüklüğü N olan bir ana kütleden
büyüklüğü n olan bir basit rassal örneklemi
ele alınız
Tahmin edilecek olan miktar Nμ
popülasyon toplamıdır
Nμ ana kütle toplamı için sapmasız bir
tahmin edicinin tahmin prosedürü Nx
nokta tahmini ile sonuçlanmaktadır.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm17-54
Ana kütle Toplamının Tahmin
Edilmesi

Ana kütle toplamının varyansının sapmasız bir tahmin
edicisi aşağıdaki gibidir:
s (N  n)
2
2 2
ˆ x  N2
Nσ

n
N -1
Ana kütle toplamı için bir %100(1 - )’lık güven aralığı
aşağıdaki gibidir:
ˆ x  Nμ  Nx  t n-1,α/2Nσ
ˆx
Nx  t n-1,α/2Nσ
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm17-55
Ana Kütle Toplamı için Güven
Aralığı: Örnek
Bir firma 1000 hesaplık bir ana kütleye sahiptir
ve toplam ana kütle değerini tahmin etmek
istemektedir
Ortalaması 87,6 $ ve standart sapması 22,3$
olan 80 hesaplık bir örnek seçildi.
Find the Toplam dengenin %95’lik güven
aralığı tahminini bulunuz.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm17-56
Örnek Çözüm
N  1000,
N σˆ  N
2
2
x
N σˆ x 
2
s
2
n
n  80,
(N  n )
x  87,6,
s  22,3
2
 (1 0 0 0 )
N -1
2
(2 2 .3 ) 9 2 0
80
 5 7 2 4 5 5 9 ,6
999
5 7 2 4 5 5 9 ,6  2 3 9 2 ,6
N x  t79,0.025 N σˆ x  (1000)(87,6)  (1,9905)(2392,6)
82837,53  N μ  92362,47
Ana kütle toplam dengesi için %95 güven aralığı
82.837,53$ ile 92.362,47$ arasında idi.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm17-57
Ana Kütle Orantısının Tahmin
Edilmesi

Ana Kütlenin gerçek orantısı P olsun

pˆ

n gözlemden olan bir basit rassal
örneklemin örneklem orantısı olsun
Örneklem orantısı pˆ , P ana kütle orantısının
sapmasız bir tahmin edicisidir
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm17-58
Sonlu Ana kütleler:Orantı

Eğer örneklem büyüklüğü ana kütle büyüklüğünün
%5’inden daha büyük ise, örneklem orantısının
varyansı için sapmasız bir tahmin edici aşağıdaki
gibidir
σˆ

2
pˆ
pˆ (1- pˆ )  N  n 



n
 N 1
O halde, Ana kütle orantısı için bir %100(1 - )’lık
güven aralığı aşağıdaki gibidir:
pˆ - z α/2 σˆ pˆ  P  pˆ  z α/2 σˆ pˆ
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-59
Tahmin: İlave Konular
Bölüm Konuları
Güven Aralıkları
Ana Kütle
Ortalamaları
Bağımlı
Örneklemler
Ana Kütle
Ortalamaları
Bağımsız
Örneklemler
Ana Kütle
Orantıları
Örnekler:
İşlem öncesine
karşın
sonrasındaki
aynı grup
1. Gruba karşın
bağımsız 2.
Grup
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
1. Orantıya
karşın 2. Orantı
Örneklem
Büyüklüğünün
Tayin Edilmesi
Büyük Ana
Kütleler
Sonlu Ana
Kütleler
Bölüm-6-60
Bağımlı Örneklemler
İki ilişkili ana kütlenin ortalamalarının testleri
Bağımlı
Örneklemler



Eşli veya eşlenmiş örneklemler
Tekrarlanmış ölçütler (önce/sonra)
Eşli değerler arasındaki farkı kullanınız:
di = xi - yi


Denekler arasındaki varyasyonu ortadan kaldırır
Varsayımlar:
 Her iki ana kütle normal olarak dağılmaktadır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-61
Ortalama Farkı
Bağımlı
Örneklemler
i’inci eşli fark di’dir , burada fark aşağıdaki
gibidir
di = x i - yi
Ana kültle eşli
ortalama eşli
farklının nokta
tahmini d’ dir:
Örneklem
standart
sapması:
n
d
i
d
i 1
n
n
Sd 
 (di  d)
2
i 1
n 1
n örneklemdeki eşleşmiş çiftlerin sayısı
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-62
Ortalama Farkı için Güven Aralığı
Bağımlı
Örneklemler
Ana kütle ortalamaları arasındaki fark
μd için güven aralığı aşağıdaki gibidir
d  t n 1, α/2
Sd
n
 μ d  d  t n 1, α/2
Sd
n
Burada
n = örneklem büyüklüğü
(eşleşmiş örneklemlerdeki eşleşmiş çiftlerin sayısı)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-63
Ortalama Farkı için Güven Aralığı
(devam)
Bağımlı
Örneklemler

Hata payı;
H P  t n  1,α/2

sd
n
tn-1,/2 (n – 1) serbestlik derecesi Student’s t
dağılımından gelen değerdir aşağıdaki
olasılık değerine sahiptir
P(t n  1  t n  1, α/2 ) 
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
α
2
Bölüm-6-64
Eşli Örneklemler: Örnek
Altı kişi bir kilo verme
programına kaydolmaktadırlar.
Aşağıdaki veriler toplanmıştır

Bağımlı
Örneklemler
Kişi
1
2
3
4
5
6
Ağırlık:
Önce (x)
Sonra (y)
136
205
157
138
175
166
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
125
195
150
140
165
160
Farkı, di
11
10
7
-2
10
6
42

di
d =
n
= 7,0
 (di  d )
2
Sd 
n 1
 4,82
Bölüm-6-65
Eşli Örneklemler: Örnek
(devam)
Bağımlı
Örneklemler


%95’lık bir güven seviyesi için, uygun t değeri
tn-1,/2 = t5,0,025 = 2,571
Ortalamalar arasındaki fark μd için %95 güven aralığı
aşağıdaki gibidir
d  t n  1,α /2
7  (2,571)
Sd
n
4,82
6
 μ d  d  t n  1,α /2
Sd
 μ d  7  (2,571)
4,82
n
6
 1,94  μ d  12,06
Bu aralık sıfır içerdiğinden dolayı bu sınırlı verilerle kilo verme
programının kişilere yardım ettiğine dair %95 emin olamamaktayız
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-66
İki Ortalama Arasındaki Fark:
Bağımsız Örneklemler
Ana Kütle
Ortalamaları,
Bağımsız örneklemler

Farklı veri kaynakları
 İlişkili olmayan
 Bağımsız


Amaç: İki ana kütle ortalaması
arasındaki fark için bir güven
aralığı oluşturunuz, μx – μy
Tek bir ana kütleden seçilen örneklemler başka bir ana
kütleden seçilen örneklem üzerinde hiçbir etkiye sahip değildir
Nokta tahmini iki örneklem ortalaması arasındaki farktır:
x–y
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-67
İki Ortalama Arasındaki Fark:
Bağımsız Örneklemler
(devam)
Ana Kütle
Ortalamaları,
Bağımsız örneklemler
σx2 ve σy2 biliniyor
Güven aralığı z/2’yi kullanır
σx2 ve σy2 bilinmiyor
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilir
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilmez
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Güven aralığı Student t
dağılımından olan bir değeri
kullanmaktadır
Bölüm-6-68
σx2 ve σy2 Biliniyor
Varsayımlar:
Ana Kütle
Ortalamaları,
Bağımsız örneklemler
σx2 ve σy2 biliniyor
σx2 ve σy2 bilinmiyor
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
 Örneklemler rastgele ve
bağımsız olarak seçilmiştir
*
 Her iki ana kütle dağılımı
normaldir
 Ana kütle varyansları
bilinmektedir
Bölüm-6-69
σx2 ve σy2 Biliniyor
(devam)
σx ve σy bilindiğinde ve her ikisi de
normal olarak dağıldığında,
X – Y’nin varyansı
Ana Kütle
Ortalamaları,
Bağımsız örneklemler
σx2
ve
σy2
biliniyor
*
σ XY 
2
σx
2

nx
σy
2
ny
…ve rassal değişken
σx2 ve σy2 bilinmiyor
Z
( x  y )  (μ X  μ Y )
σ
2
x
nX
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2

σy
nY
standart bir normal dağılıma
sahiptir
Bölüm-6-70
Güven Aralığı
σx2 ve σy2 Biliniyor
Ana Kütle
Ortalamaları,
Bağımsız örneklemler
*
σx2 ve σy2 biliniyor
μx – μy için güven aralığı:
σx2 ve σy2 bilinmiyor
2
( x  y )  z α/2
σX
nx
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2

σY
ny
2
 μ X  μ Y  ( x  y )  z α/2
σX
nx
2

σY
ny
Bölüm-6-71
σx2 ve σy2 Bilinmiyor,
Eşit Kabul Ediliyor
Ana Kütle
Ortalamaları,
Bağımsız örneklemler
σx2 ve σy2 biliniyor
σx2
ve
σy2
bilinmiyor
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilir
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilmez
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Varsayımlar:
 Örneklemler rastgele ve
bağımsız olarak ve
seçilmektedir
 Ana kütleler normal olarak
dağılmaktadır
*  Ana kütle varyansları
ilinmemektedir fakat eşit
oldukları varsayılmaktadır
Bölüm-6-72
σx2 ve σy2 Bilinmiyor,
Eşit Kabul Ediliyor
(devam)
Aralık tahminlerini
oluştururken:
Ana Kütle
Ortalamaları,
Bağımsız örneklemler
σx2 ve σy2 biliniyor
σx2 ve σy2 bilinmiyor
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilir
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilmez
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
*
 Ana kütle varyanslarının eşit
olduğu varsayılmaktadır, o
halde iki standart sapmayı
kullanmak ve σ’yı tahmin
etmek üzere onları havuzda
toplamak gerekir getirmek
 (nx + ny – 2) serbestlik
derecesinde bir t değeri
kullanınız
Bölüm-6-73
σx2 ve σy2 Bilinmiyor,
Eşit Kabul Ediliyor
(devam)
Ana Kütle
Ortalamaları,
Bağımsız örneklemler
Toplanmış varyans
σx2 ve σy2 biliniyor
σx2 ve σy2 bilinmiyor
sp 
2
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilir
*
(n x  1)s
2
x
 (n y  1)s
2
y
nx  ny  2
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilmez
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-74
Güven Aralığı,
σx2 ve σy2 Bilinmiyor, Eşit
σx2 ve σy2 bilinmiyor
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilir
*
μ1 – μ2 için güven aralığı:
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilmez
2
( x  y )  t n x  n y  2, α/2
sp 
2
Burada
sp
nx
2

sp
ny
(n x  1)s
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2
x
2
 μ X  μ Y  ( x  y )  t n x  n y  2, α/2
 (n y  1)s
sp
nx
2

sp
ny
2
y
nx  ny  2
Bölüm-6-75
Toplanmış Varyans: Örnek
İki bilgisayar işlemcisini hız yönünden test edilmektedir.
CPU hızlarındaki fark için bir güven aralığı oluşturunuz.
Aşağıdaki hız (MHz) verileri toplanmıştır:
CPUx
Test Edilen Sayı 17
Örneklem Ort.
3004
Örneklem std s
74
CPUy
14
2538
56
Her iki ana kütlenin eşit
varyanslı olduğunu
varsayınız ve %95 güven
aralığını kullanınız
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-76
Toplanmış Varyansı hesaplarken
Toplanmış varyans:
Sp 
2
 nx  1 S x2   n y
 1 S y
(n x  1 )  ( n y  1)
2

 17  1  74 2   14  1  56 2
(17-1)  ( 14  1)
 4427,03
%95’lik bir güven aralığı için t değeri:
t n x  n y  2 , α /2  t 29 , 0.025  2 ,0 4 5
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-77
Güven Sınırlarını Hesaplarken

%95’lik güven aralığı
2
( x  y )  t n x  n y  2, α/2
(3004  2538)  (2,054)
2
sp

nx
4427,03
17
sp
ny

2
 μ X  μ Y  ( x  y )  t n x  n y  2, α/2
4427,03
14
 μ X  μ Y  (3004  2538)  (2,054)
sp
2

nx
4427,03
17
sp
ny

4427,03
14
416,69  μ X  μY  515,31
CPU hızındaki ortalama farkın 416,69 ile 515,31
MHz arasında olduğundan %95 eminiz.
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-78
σx2 ve σy2 Bilinmiyor,
Eşit olmadıkları Varsayılıyor
Varsayımlar:
Ana Kütle
Ortalamaları,
Bağımsız örneklemler
 Örneklemler rastgele ve
bağımsız olarak ve
seçilmektedir
σx2 ve σy2 biliniyor
σx2
ve
σy2
 Ana kütleler normal olarak
dağılmaktadır
bilinmiyor
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilir
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilmez
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
*
 Ana kütle varyansları
bilinmemektedir ve eşit
olmadıkları varsayılmaktadır
Bölüm-6-79
σx2 ve σy2 Bilinmiyor,
Eşit olmadıkları Varsayılıyor
(devam)
Aralık tahminlerini oluştururken:
Ana Kütle
Ortalamaları,
Bağımsız örneklemler
 Ana kütle varyanslarının eşit
olmadığı varsayılmaktadır, bu
yüzden toplanmış varyans uygun
değildir.
  serbestlik derecesi ile bir t
değerini kullanınız,
σx2 ve σy2 biliniyor
σx2 ve σy2 bilinmiyor
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilir
σx2 ve σy2 eşit kabul
edilmez
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2
 s2
s
y
x
( )  (
ny
 n x
v
*
s

 nx
2
x
2

 /(n

x

)

 s 2y
 1)  
n
 y
2
2

 /(n


y
 1)
Bölüm-6-80
Güven Aralığı,
σx2 ve σy2 Bilinmiyor, Eşit Değil
σx2 ve σy2 bilinmiyor
σx2 ve σy2 eşit
kabul edilir
μ1 – μ2 için güven aralığı:
σx2 ve σy2 eşit kabul
edilmez
*
2
2
( x  y )  t ,α/2
sx
nx

sy
ny
 μ X  μ Y  ( x  y )  t ,α/2
Burada
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
2
2
sx
2
 s2
sy 
x
( )  ( ) 
n y 
 n x
v
 s 2x

 nx
2

 /(n

x
 s 2y
 1)  
n
 y
nx

sy
ny
2
2

 /(n


y
 1)
Bölüm-6-81
İki Ana Kütle Orantısı
Ana kütle
orantıları
Amaç: İki ana kütle orantısı
arasındaki Px – Py farkı için bir
güven aralığı oluşturmaktır.
Varsayımlar:
Her iki örneklem büyüklüğü büyüktür
(genellikle her bir örneklemde 40
gözlem)
Fark için nokta
tahmini
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
pˆ x  pˆ y
Bölüm-6-82
İki Ana Kütle Orantısı
(devam)
Ana kütle
orantıları

Rassal değişken
Z
( pˆ x  pˆ y )  (p x  p y )
pˆ x (1  pˆ x )
nx

pˆ y (1  pˆ y )
ny
yaklaşık olarak normal dağılmıştır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-83
İki Ana Kütle Orantısı için
Güven Aralığı
Ana kütle
orantıları
Px – Py için güven sınırları:
( pˆ x  pˆ y )  Z  / 2
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
pˆ x (1  pˆ x )
nx

pˆ y (1  pˆ y )
ny
Bölüm-6-84
Örnek:
İki Ana Kütle Orantısı
Kolej diploması olan erkeklerin orantısı
ve kadınların orantısı arasındaki fark
için %90’lık bir güven aralığı
oluşturunuz.

Bir rassal örneklemde 50 erkeğin 26’sı
40 kadının 28’si kolej diploması almıştır
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-85
Örnek:
İki Ana Kütle Orantısı
(devam)
Erkekler:
Kadınlar:
ˆp x (1  ˆp x )
ˆp x 
26
ˆp y 
28

 0,52
50
 0,70
40
ˆp y (1  ˆp y )
nx
ny

0,52(0,48)
50

0,70(0,30)
 0,1012
40
%90’lık güven aralığı için, Z/2 = 1,645
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-86
Örnek:
İki Ana Kütle Orantısı
(devam)
Güven sınırları:
ˆ x  ˆp y )  Z α /2
(p
ˆp x (1  ˆp x )

nx
ˆp y (1  ˆp y )
ny
 (0,52  0 ,70)  1,645 (0,1012)
o halde güven aralığı aşağıdaki gibidir
-0,3465 < Px – Py < -0,0135
Aralık sıfır içermediği için iki orantının eşit olmadığından %90 eminiz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-87
Örneklem Büyüklüğünün Tespit Edilmesi
Örneklem
Büyüklüğünün
Belirlenmesi
Büyük ana
kütleler
Ortalama
için
Orantı için
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Sonlu ana
kütleler
Ortalama
için
Orantı için
Bölüm-6-88
Hata Payı


Gereken örneklem büyüklüğü tanımlanmış olan
bir güven seviyesi (1 - ) olan istenen bir hata
payına (HP) ulaşılarak bulunabilmektedir
Hata payı örnekleme hatası olarak da
anılmaktadır


ana kütle parametresinin tahminindeki hatalı ölçü
miktarı
güven aralığını oluşturmak üzere nokta tahminine
eklenen veya çıkarılan miktar
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-89
Örneklem Büyüklüğünün Tespit
Edilmesi
Büyük
ana kütleler
Ortalama
için
Hata Payı
(örneklem hatası)
x  z α/2
σ
n
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
H P  z α/2
σ
n
Bölüm-6-90
Örneklem Büyüklüğünün Tespit
Edilmesi
(devam)
Büyük
ana kütleler
Ortalama
için
H P  z α/2
σ
n
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Şimdi n için
çözünüz
n
z
2
α/2
σ
HP
2
2
Bölüm-6-91
Örneklem Büyüklüğünün Tespit
Edilmesi
(devam)

Ortalama için gereken örneklem büyüklüğünü
belirlemek üzere, aşağıdakileri bilmeniz
gerekmelidir:

z/2 değerini belirleyen istenen güven seviyesi (1 - ),

Kabul edilebilir hata payı (örneklem hatası), HP

Ana kütle standart sapması, σ
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-92
Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü,
Örnek
Eğer  = 45 ise, ortalamayı %90 güven
aralığında ± 5 içerisinde tahmin etmek için
gereken örneklem büyüklüğü nedir?
n
z
2
α/2
σ
HP
2
2
2

(1,645) (45)
5
2
2
 219,19
O halde gereken örneklem büyüklüğü n = 220
(Daima yuvarlayınız)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-93
Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi:
Ana kütle Orantısı
Büyük
ana kütleler
Orantı için
pˆ  z α/2
pˆ (1  pˆ )
n
H P  z α /2
ˆp (1  ˆp )
n
Hata Payı
(örneklem hatası)
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-94
Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi:
Ana kütle Orantısı
(devam)
Büyük
ana kütleler
Orantı için
H P  z α /2
ˆp (1  ˆp )
n
ˆp(1  ˆp)= 0,5 zaman
pˆ 0,25’den daha
büyük olamaz
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
pˆ (1  pˆ )
yerine 0,25’i
koyunuz ve n
için çözünüz
n
2
α/2
2
0.25 z
HP
Bölüm-6-95
Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi:
Ana kütle Orantısı
(devam)



Örneklem ve ana kütle orantıları, pˆ ve P, genellikle
bilinmemektedir (çünkü daha henüz hiçbir örneklem
alınmadı)
P(1 – P) = 0,25 mümkün olan en büyük hata payını
meydana getirmektedir (böylece bulunan örneklem
büyüklüğü istenen güven seviyesini garantilemiş
olacaktır)
Orantı için gerek olan örneklem büyüklüğünü
belirlemek üzere, aşağıdakileri bilmek zorundasınız:

kritik z/2 değerini belirleyen (1 - ) istenen güven seviyesini

kabul edilebilir örneklem hatası (hata payı), HP

P(1 – P) = 0,25’yi sağlayan P’nin tahmini
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-96
Gerekli Olan Örneklem Büyüklüğü-Örnek:
Ana kütle Orantısı
%±3 içerisinde, %95 güven aralığı ile bir
büyük ana kütledeki gerçek orantıyı
tahmin etmek üzere ne büyüklükte bir
örneklem gerekli olacaktır?
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-97
Gerekli Olan Örneklem BüyüklüğüÖrnek
(devam)
Çözüm:
%95 güven aralığı için, z0,025 = 1,96’yi
kullanınız
HP = 0,03
P(1 – P) = 0,25 olarak tahmin ediniz
2
2
0.25 z α /2
(0,25)(1,96)
n

 1067,11
2
2
HP
(0,03)
O halde n = 1068’i kullanınız
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-98
Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi :
Sonlu Ana kütleler
Sonlu Ana
kütleler
Ortalama
için
1. Gerekli olan örneklem
büyüklüğü n0’ı ön
formülü kullanarak
hesaplayınız:
2
Bir sonlu ana kütle düzeltme
faktörü ilave edilmektedir:
Nn
Var( X ) 


n  N 1
σ
2
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
n0 
z α/2 σ
HP
2
2
2. Daha sonra sonlu ana
kütle için ayarlayınız:
n
n 0N
n 0  (N - 1)
Bölüm-6-99
Örneklem Büyüklüğünün Belirlenmesi :
Sonlu Ana kütleler
Sonlu Ana
kütleler
Orantı
için
Bir sonlu ana kütle düzeltme
faktörü ilave edilmektedir:
Var( pˆ ) 
P(1- P)  N  n 


n
 N 1
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
1. n için çözünüz:
n
NP(1  P)
(N  1) σ pˆ  P(1  P)
2
2. Bu ifade için mümkün olan
en büyük değer
(Eğer P = 0,25 ise):
n
0.25(1  P)
(N  1) σ pˆ  0.25
2
3. Aynı örneklem orantısından
%95’lik bir güven aralığı
±1.96 σ pˆ olarak yer
almaktadır
Bölüm-6-100
Örnek: Ana Kütle Orantısını tahmin
etmek üzere Örneklem Büyüklüğü
(devam)
σ pˆ
850 kişiden oluşan bir ana kütledeki kolej
mezunlarının gerçek orantısını ±%5
içerisinde %95 güven aralığı ile tahmin
etmek üzere gerekli olan bir örneklem ne
büyüklükte olmalıdır?
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-101
Gerekli Olan Örneklem BüyüklüğüÖrnek
(devam)
Çözüm:
 %95 güven aralığı için, z0.025 = 1,96’yı kullanınız
 HP = 0,05
1,96 σ ˆp  0,05
n m ax 
0,25N
(N  1)σ  0,25
2
ˆp


σ ˆp  0,02551
(0,25)(850)
(849)(0,02551)  0.25
2
 264,8
O halde n = 265’i kullanınız
Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER
Bölüm-6-102

similar documents