cours7_IUP2

Report
Synthèse d’un asservissement continu
par la méthode du lieu d’EVANS
Introduction :
Les propriétés caractéristiques d'un système asservi sont
directement liées à la position des pôles et des zéros de la
fonction de transfert en boucle fermée dans le plan complexe.
La technique du lieu d'Evans permet de voir l'influence d'un gain
K intervenant dans la chaîne directe sur l'évolution de la position
des pôles dans le plan complexe.
Schéma fonctionnel
m
e
yc +
-
K
u
G(s)
(sz )
i 1
n
i
y
(sp )
i 1
i
Où m : nombre de zéros et n : nombre de pôles,
La fonction de transfert en boucle fermée est donnée par
l'expression suivante :
KG (s)
KN (s)
F(s)

1KG (s) D(s)KN (s)
Les pôles de F(s) sont les racines de D(s)+ KN(s) =0.
La méthode du lieu d'Evans nous permet de voir l'évolution des
racines quand K varie.
Exemple
s1
(s2)(s3)
s1
FT BF
(s2)(s3)k(s1)
P(s) (s2)(s3)k(s1)0
2
s (5k)s6k 0
G(s)
k2 6k10
(5k) k 6k 1
s1,2 
2
2
Règles de synthèse du lieu d'Evans
1) Le lieu d'Evans est symétrique par rapport à l'axe réel.
Le dénominateur de la fonction de transfert est un polynôme à
coefficients réels. Par conséquent, les racines sont réelles où
complexes conjuguées.
2) Le nombre de branches du lieu est égal à l'ordre du
système.
3)
Lieu K>O : Les points du lieu qui appartiennent à l'axe
réel sont tels qu'ils ont un nombre impair de pôles et de zéros
réels de la FTBO à leur droite.
Règles de synthèse du lieu d'Evans
Lieu K <O : Les points du lieu qui appartiennent à l'axe
réel sont tels qu'ils ont un nombre pair de pôles et zéros réels
de la FTBO.
4) Les points de départ des branches sont les pôles de la
FTBO. Quand K=0 les pôles de F(s) sont les pôles de G(s).
5) Les points d'arrivée à distance finie des branches sont
les zéros de la FTBO.
Quand k tend vers ±  ,les pôles de F(s) sont les racines de
N(s) =0 ( zéros de G(s)).
Règles de synthèse du lieu d'Evans
6) Il y a (n-m) asymptotes.
Pour n points de départ et m points d'arrivée. par conséquent,
on aura (n-m) asymptotes.
7) Arguments des asymptotes
Signe de K
Arguments des
asymptotes
Positif
(2 1)
(n  m )
Négatif
2
(n m)
0,1,2,,nm1
8) Les asymptotes obliques se coupent en un point unique sur l' axe
réel :
p j z j
pj = nombre de pôles en boucle ouverte
j
j
0 
zj = nombre de zéros en boucle ouverte
n m
 
Règles de synthèse du lieu d'Evans
9) La tangente en un point de départ pk a pour argument :
m
n
i 1
i 1
(21)arg(pk zi)arg(pk pi)
ik
10) La tangente en un point d'arrivée zk a pour argument :
n
m
i 1
i 1
(21)arg(zk pi)arg(zk zi)
ik
11) L'intersection du lieu avec l'axe imaginaire :
Utiliser le critère de Routh
Règles de synthèse du lieu d'Evans
12) Les points de rupture sont les racines multiples de l'équation
caractéristique. La condition nécessaire que doivent vérifier les points
de rupture est :
)s(Gd
0 kd
0

,
sd
sd
La condition n' est pas suffisante car les solutions doivent vérifier
l'équation caractéristique.
13) La recherche des points de rupture peut être conduite de la façon
suivante :
- Détermination de la portion de lieu où doit se trouver un point
de rupture .
- Recherche de la position du point de rupture par dichotomie
(signe d'un polynôme).
Applications
G(s)
s2
(s1)(s3)
G(s)
Applications
s3
s(s5)(s6)
Applications
G(s)
1
(s1)(s2)(s6)

similar documents