平差計算_觀測量的權

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第九章 觀測量的權
9.1 序言
9.2 加權平均值
9.3 權與標準誤差之間關係
9.4 加權觀測量之統計
9.5 量測角度的權
9.6 直接水準測量的權
9.7 實例
問題
9.1序言
蒐集測量資料時,常須確認是否符合一些幾何閉合條
件,若不能符合,則必須改正量測值,使之強制閉合。
對一些非相關之觀測量,變方較小即較好的觀測,也
意謂精度較高的量測值,在平差時,應給予較小的改
正量;反之,較大變方的觀測意謂誤差較大,精度較
差,應給予較多之改正。
觀測量的權也是一種量測,量測與其他觀測量之相對
價值;在平差時,權用來控制觀測量改正值的大小,
觀測越精密,權越高,換言之,變方愈小,權越重;
據此分析,權與變方成反比,因此,改正值之大小與
權成反比。
若量測為互相相關,則權與協變方矩陣,即的反矩陣
相關,如第五章所論,協變方矩陣之元素即變方與協
變方。而因權為相對的,變方與協變方通常由餘因子
所取代,與其協變方有關之餘因子公式為:
 ij
qij  2
o
(9.1)
上式中,qij為第ij個觀測值之餘因子,ij為第ij個觀測
值之協變方,o2為參考變方,可用來定比例。(9.1)式
1
以矩陣方式表示:
Q 2 
(9.2)
o
上式中,Q為餘因子矩陣, 矩陣如下所示:
σ x21 σ x1 x2  σ x1 xn 


2
σ x2 x1 σ x2  σ x2 xn 
 






2 
σ
σ

σ
xn 
 xn x1 xn x2
如前所論,權矩陣W為: W=Q-1=o2-1
(9.3)
對不相關之觀測量,協變方均為0(此即所有xiyi=0),矩
陣為對角矩陣,因此,Q矩陣亦為對角矩陣,其元素
則為: xi2/o2,而對角矩陣之反矩陣亦為對角矩陣,
其元素則為原對角矩陣對應元素之倒數,因此(9.3)式
以矩陣式表示為:  σ 02

 2 0
 σ x1

σ 02
0
σ x22
W 


0

0
0

 0
 0
 
σ 02
 2
σ xn




2 1
  σ0 





(9.4)
由上式,任一變方為i2之獨立觀測量,其權為:
wi=o2/i2
(9.5)
假設第i個觀測之權wi=1,則o2=i2;因此,o2常稱為
單位權觀測之變方,或簡稱為單位權變方,或更簡稱
為:單位變方。其平方根即為單位權標準偏差,若將
(9.5)式中之o2設為1,則 wi=1/i2
(9.6)
如前所述,由(9.6)式可見:觀測量之權與其變方成反
比。
對相關之觀測量,有可能存在協變方矩陣和其餘因子
矩陣Q,但權矩陣W卻不存在,這種情況通常在餘因子
矩陣為奇異(singular)矩陣時,因其反矩陣不存在,故
權矩陣W=Q-1亦不存在。大部分測量作業所牽涉的都是
非相關之觀測,因此後續所述,除非特別說明,僅考
慮單位權變方之非相關案例。
9.2 加權平均
若觀測一量兩次,第一次的成果是第二次的兩倍好,
兩者相對的價值應給予第一次觀測的權為2,而給第二
次觀測的權則為1;若平差這兩次觀測,計算其平均值
時,權為2之觀測應加兩次,權為1之觀測則僅加一次;
舉例來說,一段距離以尺量測得151.9m,以EDM量測
則得152.5m,假設根據經驗得知,電子測距成果是量
尺測距的兩倍好,因此,量尺測距的權為1,電子測距
的權為2,這些觀測的平均計算方式應如下:
151 .9  152 .5  152 .5
M
 152.3
3
或將之寫成:
1( 151 .9 )  2( 152 .5 )
M
 152.3
1 2
上述第二式係將權直接寫出,結果和第一式並無不同。
以上結果亦可見平均值較接近權較大之觀測值(152.5比
151.9更接近152.3) ;由加權的觀測計算所得平均值稱
為加權平均。
為推導加權平均之一般式,若對一量z有m個獨立、不
相關之觀測(z1, z2, …, zm),每個觀測都有標準偏差,
m
則觀測之平均值為:
z
z
i 1
i
( 9.7 )
m
若m個觀測量分為兩組,一組有ma個量,另一組有mb個
量,而ma+mb=m,此兩組之平均值分別為:
m
z
a
za 
zb 
i 1
i
( 9.8 )
m
ma
z
i  ma 1
m
i
( 9.9 )
所有觀測(z1, z2, …, zm)之平均值可合併上述兩組平均得:
ma
z
ma
m
m
z  z z  z
i 1
i
i  ma 1
m
i

i
i 1
i  ma 1
i
( 9.10 )
ma  mb
但由(9.8)與(9.9)兩式,得:
ma
za ma   zi 與 zb mb 
i 1
因此:
za ma  zb mb
z
ma  mb
m
z
i ma 1
i
( 9.11)
( 9.12 )
上式與前述加權平均之公式很類似,比較兩者,明顯
的, ma與mb分別對應權wa與wb,因此,式(9.12)可改寫
成:
wa za  wb zb  wz
z

wa  wb
w
( 9.13 )
wa za  wb zb  wz
z

wa  wb
w
( 9.13 )
(9.13)式可用來計算一群不等權、非相關觀測量之加權
平均;第十章將證明加權平均為一組加權觀測之最或
是值。
例9.1 假設一段距離d量測三次,得下列結果:92.61, 權
為3、92.60, 權為2、92.62, 權為1;試計算其權平均。
解:利用(9.13)式:
3( 92.61 )  2( 92.60 )  1( 92.62 )
d
 92.608
3 21
若忽略權,則三個量測之簡單平均為:92.61。
9.3 權與標準誤差之間關係
引用變方傳播特別定律(special law of propagation of
variances, (5.16)式)至(9.8)式,(9.8)式之變方 za 為:
  za
  za  2   za  2
  
   
 



 zm

z

z
 1
 2
 a
2

2
za
2
2
 2



( 9.14 )
與觀測量有關之偏導數代入上式後,得:
2

2
za
2
2
 1  2  1  2
 1  2
             
 ma 
 ma 
 ma 
2
 1  2
1 2


 ma    

ma
 ma 
( 9.15 )
類似上述過程,求得 zb 之變方為:

2
zb
1 2


mb
( 9.16 )
(9.15)與(9.16)二式中,為常數,由(9.13)式, za 與 zb 之
權分別為ma與mb,而因權為相對的,故由(9.15)與(9.16)
二式,可得:
wa 
1

2
za
與
wb 
1

2
zb
( 9.17 )
由上可得結論:對非相關之觀測量,權與量測之變方
成反比。
9.4 加權觀測量之統計
9.4.1 標準偏差
根據定義,在觀測量的精密度等於w個單位權觀測量
之平均的精密度時,這個觀測的權為w;設o為某個
權為1或單位權之觀測的標準誤差,若y1, y2, …, yn等
觀測量之標準誤差為1, 2, …, n,而其權分別為w1,
w2, …, wn,則根據(9.5)式:
1 
o
, 2 
w1
o
,, n 
w2
o
wn
2.7節曾將等權觀測量之標準誤差定義為:
 
若觀測量不等權,則上式應改為:
w1 12  w2 22    wn n2
 

n
( 9.18 )
n
2

i
i 1
n
n
2
w

 i i /n
i 1
(9.19)
(9.19)式適用於標準誤差,類似(2.7)式,標準偏差之
定義則為:
n
2
w


i i
w1 12  w2 22    wn n2
i 1
S 

n 1
n 1
(9.20)
9.4.2 權為w之標準誤差,加權平均之標準誤差
由(9.18)式可見標準誤差與權為w標準誤差之間關係,
將之與(9.19)式合併,並將加總界限去掉後,可得與
o有關之權為w之標準誤差公式如下:
1 
2 
o
w1
o
w2


2
w


n
2
w


n
1

w1
1

w2
2
w


nw1
2
w


nw2
(9.21 )

n 
o
wn

2
w


n
1

wn
2
w


( 9.21)
nwn
類似(9.20)式,適用於標準偏差者改為:
S1 
2
w


w1 ( n  1 )
, S2 
2
w


w2 ( n  1 )
, , S n 
2
w


wn ( n  1 )
(9.22)
若將上式中之w設定為1,可得加權觀測集合之單位
權標準偏差So。此外,加權平均之參考標準誤差及標
2
準偏差分別為:
w


M 
 wn
 w
 w( n  1 )
(9.23)
2
SM 
(9.24)
9.5 量測角度的權
若利用相同儀器、在相同條件下,量測平面三角形的
三個角1, 2, 3各n1, n2, n3次,這些角度相對的權為若
干?
為分析權與角度觀測次數之間關係,設S為角度單一觀
測之標準偏差,三個角度之平均值如下:
1



, 
1
n1



,
2
2
n2
3



3
n3
引用(5.16)式,得各平均值之變方為:
S21 
1 2
1
1
S , S22  S 2, S23  S 2
n1
n2
n3
又因觀測的權與變方成反比且為相對性者,故三個角
度之權分別為:
w1 
n3
1
n1
1
n2
1

,
w


,
w


2
3
S21 S 2
S22 S 2
S23 S 2
上列各式中,每個權中之S為常數,又因觀測的權為相
對者,故S可略去,而各角之權可改為:
w1  n1, w2  n2, w3  n3
總而言之,可證得:對角度觀測而言,若除了觀測次
數以外,其他條件都相同時,角度的權與其觀測次數
成正比。
9.6 直接水準測量的權
若有水準網如圖9.1所示,水準線(1), (2), (3)之線長分別
為2, 3, 4公里,因為線長之不同,可預期各段高程差之
誤差應有所不同,設定各段高程差的權亦應有所變化;
各段之相對權到底應如何?分析水準線長與權之關係
時,回顧(8.21)式,高程差h之估計變方為:
 2h  D2 2 N(  r2/ D   2 ) 
(a)
式中,D為各次照準之視線長,N為該段線儀器擺設之
次數,r/D為讀尺之估計誤差,為每
次照準時之視準估計誤差,設li為水準
點間第i段線長,則 N= li/2D
(b)
將(b)式代入(a)式得:
 2h  li D(  r2/ D   2 )
(c)
(c)式中,D, r/D, 都是常數,故可設 k  D(  r2/ D   2 )
,(c)式亦可改成:  2h  li k
(d)
故對此例而言,三條水準線之權分別為:
w1 
1
,
l1k
w2 
1
,
l2 k
w3 
1
l3 k
(e)
又因k為常數,權為相對者,故(e)式可簡化為:
w1 
1 1
 ,
l1 2
w2 
1 1
 ,
l2 3
w3 
1 1

l3 4
由上可證得:直接水準測量的權與其線長成反比。而
因任一段線長與其擺設儀器次數成正比,故權與儀器
擺設次數成反比。
9.7 實例
例9.2 若三角形ABC之三個角由同一個人,利用相同儀
器觀測,觀測所得與重複觀測次數為:A=45º15´25",
n=4, B=83º37´22", n=8, C=51º07´39", n=6;試平差改
正這些角度。
解:如表9.1所示,根據觀測次數來給定權,改正數則
與權成反比;三個角度量測值的和為180º00´26 “,
故閉合差為26”;在第三欄之改正因子裡,為計算方
便且避開分數,採用24之倍數,而因權為相對者,
故此並不影響改正。最後一列各項總和可用來重複
檢核。
表9.1 例9.2之平差改正
角 n (權) 改正因子
改正數
改正值
A
45°15'13"
4 (1/4)×24=6 (6/13)×26"=12"
B
83°37'16"
8 (1/8)×24=3 (3/13)×26"= 6"
C
51°07'31"
6 (1/6)×24 =4 (4/13)×26"= 8"
Σ =13
Σ =26" Σ =180°00'00"
例9.3 類似圖9.1之水準網,水準線(1), (2), (3)之線長分
別為2, 3, 4公里,若三段線之觀測高差分別為:
±21.20m, ±21.23m, ±21.29m,求各段高差之加權平均,
與水準點BMX之高程(每一段均自BMA測至BMX)。
解:水準線(1), (2), (3)之權分別為1/2, 1/3, 1/4,又因權
為相對者,上列權可乘上任意數12而得:6, 4, 3,再
應用(9.13)式,高差之加權平均為:
6  21.20  4  21.23  3  21.29
 21.230 m
6 43
故BMX之高程=100.000+21.230=121.230m;
平均高差 
若不考慮加權平均,僅求簡單平均,
則平均高差變為21.240m。
例9.4 利用布卷尺量得一段距離為190.741m,權設為1;
又用鋼卷尺量得為190.716m,權設為2;再用EDM量
得為190.710m,權設為4。試求線長之最或是值(即加
權平均)與加權平均值之標準偏差。
解:根據(9.13)式,加權平均為:
190 .741  2  190 .716  4  190 .710
M
 190 .716 m
1 2  4
而根據(9.24)式,加權平均之標準偏差為:
SM 
上式中,
2
wv

 w( n  1 )
v1=190.716190.741=0.025
v2=190.716190.716= 0.000
v3=190.716190.710=+0.006

0.000769
 0.0074m
72
w1v12=1(0.025)2=0.000625
w2v22=2( 0.000)2=0.000000
w3v32=4(+0.006)2=0.000144
wv2=0.000769
例9.5 若自水準點A測至B,共四條不同之路線,資料如
表9.2所示,為計算方便,權計算成18/li,試求高差
之最或是值(加權平均)、加權平均之標準偏差、與加
權觀測之標準偏差。
解:應用(9.13)式,高差之加權平均為:
18  7.727  9  7.745  6  7.736  3  7.711
平均高差 
 7.7315 m
18  9  6  3
若僅求簡單平均,則平均高差變為7.730m。
表9.2 例9.5水準路線資料
路線 線長(km) 高差(m) 權w
7.727
1
1
18
7.745
2
2
9
7.736
3
3
6
7.711
4
6
3
v
0.005
-0.013
-0.004
0.020
v2
wv 2
0.000023
0.000181
0.000019
0.000403
2
Σ wv =
0.000419
0.001631
0.000112
0.001208
0.00337
標準偏差
0.008
0.011
0.014
0.019
求標準偏差,應用(9.20)式:
S
wv 2
n 1

0.00337
 0.0335m
3
應用(9.24)式,求加權平均之標準偏差:
wv 2
0.00337
S

 0.0056m
( w )( n  1 )
36  3
應用(9.22)式,各加權觀測之標準偏差為:
S1 
wv 2
0.00337
0.00337

 0.0079m,S 2 
 0.0112m,
w1 ( n  1 )
18  3
93
0.00337
S3 
 0.0137m,
6 3
0.00337
S4 
 0.0194m
3 3
表9.2 例9.5水準路線資料
路線 線長(km) 高差(m) 權w
7.727
1
1
18
7.745
2
2
9
7.736
3
3
6
7.711
4
6
3
v
0.005
-0.013
-0.004
0.020
v2
wv 2
0.000023
0.000181
0.000019
0.000403
2
Σ wv =
0.000419
0.001631
0.000112
0.001208
0.00337
標準偏差
0.0079
0.0112
0.0137
0.0194
問題
第9.1、9.2、9.4、9.8、9.9題,各題中單位更改為公制。
檔名:Adjlab9_姓名.doc,請標明原題號。

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