自然對數函數

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Tan
微積分
7
超越函數
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7.1




自然對數函數
自然對數函數
本節用微積分基本定理的第一部分定義一個重要
的函數:自然對數函數。
此舉允許用簡單且不失嚴謹的方法來建立該函數
的所有特性。
回顧微積分基本定理的第一部分,若f 在開區間I
連續且a 為I 內任意點,則一個可微分函數F 定義
為
x
F ( x)   f (t )dt
a
Tan/微積分-Ch7.1-p329
xI
2
自然對數函數

現在考慮定義在(0,∞) 區間的函數f (t) = 1/t(圖
7.1) 。
圖7.1 函數f(t) = 1/t 在(0, ∞) 是連續
Tan/微積分-Ch7.1-p329
3
自然對數函數

因為f 在(0, ∞) 連續,則微積分基本定理的第一部
分保證在(0, ∞),一個可微分函數定義如下。
定義 自然對數函數
自然對數函數(natural logarithmic function),記作ln,
是定義為
x1
ln x   dt
(1)
1 t
的函數,其中x > 0。

式子ln x ,唸作“ell-en of x”,因它具備對數函數
的所有特性(後面會看到),所以稱它為x 的自
然對數(natural logarithm of x)。
Tan/微積分-Ch7.1-p329~330
4
自然對數函數

若x > 1,ln x 可解釋為圖形y = 1/t 下面在[1, x] 區
間的區域面積(圖7.2)。
(a) 若x  1, ln x  
x
1
Tan/微積分-Ch7.1-p330
x1
1
dt
(b) 若0  x  1, ln x    dt
1 t
t
圖7.2 ln x 解釋為面積
5
自然對數函數

當x = 1,
1
ln1   dt  0
1 t
1
若0 < x < 1,則
ln x  
x
1
x1
1
dt    dt  0
1 t
t
所以ln x 可以解釋為圖形y = 1/t下面在[x, 1] 區間之
區域的負(negative)面積(圖7.2b)。
Tan/微積分-Ch7.1-p330
6
ln x 的導數

回顧微積分基本定理的第一部分,若f 在開區間I
連續且函數F 定義為
x
F ( x)   f (t )dt
a

aI
則F'(x) = f (x)。
應用此定理到函數f (t) = 1/t,可得
d
d x1
1
ln x 
dt 

1
dx
dx t
x
Tan/微積分-Ch7.1-p330
x0
(2)
7
ln x 的導數

接著使用連鎖規則得知,若u 是x 的可微分函數,
則
d
1 du
ln u 
dx
u dx
Tan/微積分-Ch7.1-p330
u0
(3)
8
對數法則

對數函數的微分法則可用來證明下列熟悉的對數
法則。
定理1 對數法則
令x 與y 為正數且令r 為有理數,則
a. ln1  0
b. ln xy  ln x  ln y
x
c. ln  ln x  ln y d. ln x r  r ln x
y
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9
例題 1

展開下列各式:
x 1
a. ln
x
2
x cos  x
3
b. ln
2
x 1
2
解:
x2  1
x2  1
a. ln
 ln 1/ 2
x
x
2
1/ 2
 ln( x  1)  ln x
1
2
 ln( x  1)  ln x
2
Tan/微積分-Ch7.1-p332
使用定理1c
使用定理1d
10
例題 1-解
b. ln
x3 cos2  x
x3 (cos  x)2
 ln
2
1/ 2
2
( x  1)
x 1
 ln x  ln(cos  x)  ln( x  1)
3
2
2
1/ 2
使用定理1b
1
2
 3ln x  2 ln cos  x  ln( x  1)
2
Tan/微積分-Ch7.1-p332
11
自然對數函數的圖形

要繪畫自然對數函數的圖形,首先要知道f (x) = ln
x 具備下列特性:
1. 根據定義,f 的定義域為(0, ∞)。
2. 因為f 在(0, ∞) 可微分,所以它在那裡連續。
3. 因為在(0,∞), f '( x)  1x  0,所以在(0, ∞),f 遞
增。
1
f
''(
x
)


 0,所以在(0, ∞),f
4. 因為在(0, ∞),
x2
圖形凹面向下。
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12
自然對數函數的圖形

應用f (x) = ln x 的特性,由上表的樣本值推出
lim ln x  
x 0

和
lim ln x  
x 
它們將在本節的最
後出現,f (x) = ln x
的圖形展示於圖7.3。
圖7.3 自然對數函數y = ln x 的圖形
Tan/微積分-Ch7.1-p333
13
對數函數的導數


之前已經建立自然對數函數的微分規則(式(2) 和
式(3))。
更廣義的情形,此規則仍然成立,如下面定理所
述。
定理2 自然對數函數的導數
令u 為x 的可微分函數,則
a.
d
1
ln x 
dx
x
Tan/微積分-Ch7.1-p333
x0
b.
d
1 du
ln u  
dx
u dx
u0
14
例題 3

求下列各式的導數。
a. f(x) = ln(2x2 + 1) b. g(x) = x2 ln 2x
c. y = ln |cos x|
解:
d
2
a. f '( x)  ln(2 x  1)
dx
1
d
4x
2
 2
(2 x  1)  2
2 x  1 dx
2x 1
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例題 3-解
d 2
b. g '( x)  ( x ln 2 x)
dx
d 2
2 d
x
(ln 2 x)  (ln 2 x) ( x )
dx
dx
使用乘法規則
 1 
 x   (2)  (ln 2 x)(2 x)  x(1  2ln 2 x)
 2x 
2
dy d
c.
 ln cos x
dx dx
1 d
sin x

(cos x)  
  tan x
cos x dx
cos x
Tan/微積分-Ch7.1-p334
16
對數函數的導數

若式子中有自然對數,則在微分之前(before)先
使用對數法則簡化此式子。
Tan/微積分-Ch7.1-p334
17
對數微分


看過對數的法則如何簡化與微分對數相關的式子
後,現在來看此過程,它是怎樣利用這些對數法
則來微分一些乍看之下似乎與對數無關的函數。
此方法稱為對數微分(logarithmic
differentiation),它對含乘積、商且/或冪之函
數的微分特別有用,可以利用對數將它們簡化。
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例題 6

(2 x  1)3
求 y
的導數。
3x  1
解:
首先對等號兩邊同時取對數,可得
(2 x  1)
ln y  ln
(3x  1)1/ 2
3
即
1
ln y  3ln(2 x  1)  ln(3x  1)
2
Tan/微積分-Ch7.1-p335
應用對數法則
19
例題 6-解

接著等號兩邊同時對x 隱微分,可得
1
3
1
( y ') 
(2) 
(3)
y
2x 1
2(3x  1)
6
3


2 x  1 2(3x  1)
6(2)(3x  1)  3(2 x  1)

2(2 x  1)(3x  1)
15(2 x  1)

2(2 x  1)(3x  1)
Tan/微積分-Ch7.1-p335
20
例題 6-解

最後等號兩邊同乘y,即得
15(2 x  1)
y' 
y
2(2 x  1)(3x  1)
3
15(2 x  1)
(2 x  1)


2(2 x  1)(3x  1) 3x  1
15(2 x  1)(2 x  1)

3/ 2
2(3x  1)
Tan/微積分-Ch7.1-p335
代換y
2
21
對數微分

下面有此過程的總結。
應用對數微分求dy/dx
已知式子y = f (x)。計算dy/dx 的步驟如下:
1. 對等號兩邊同時取對數,並應用對數法則簡化最後的式子。
2. 等號兩邊同時對x 隱微分。
3. 由步驟2 所得的式子解dy/dx。
4. 代換y。
Tan/微積分-Ch7.1-p335~336
22
含對數函數的積分

將此規則倒轉
d
1 du
ln u 
dx
u dx
可得下列積分規則。
1
u
定理3 積分 的規則
令u = g(x),其中g 為可微分且g(x)≠0,則
1
 u du  ln u  C
Tan/微積分-Ch7.1-p336
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例題 7
1
dx。
 求
2x 1
解:
1
dx

du 。將這些式子代
令u = 2x + 1, du = 2 dx 即
2
入積分式,可得
1
1 1
 2 x  1dx  2  u du
1
1
 ln u  C  ln 2 x  1  C
2
2
Tan/微積分-Ch7.1-p336
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含對數函數的積分
定理4 三角函數的積分
a.  tan udu  ln sec u  C
b.  cot udu  ln sin u  C
c.  sec udu  ln sec u  tan u  C
d.  csc udu  ln csc u  cot u  C
定理5
a. lim ln x  
x 
Tan/微積分-Ch7.1-p337.339
b. lim ln x  
x 0
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