g hkl

Report
Aufbau der Atome
Das Pauliprinzip erlaubt nur je zwei Elektronen (Spin up, Spin down) in
einem Quantenzustand (n, l, ml, ms).
n Hauptquantenzahl (n = 1,2,3,4,…)
l Drehimpulsquantenzahl (l kleiner oder höchstens gleich n)
ml Magnetische Quantenzahl (Projektion des Drehimpulses auf
eine Achse) (ml läuft von -l, … -1, 0, 1, ….+l)
ms Spinquantenzahl (ms = – ½ oder + ½)
Atomorbitale werden beginnend mit der niedrigsten Energie in der
Reihenfolge
1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p
Aufgefüllt
Dabei bedeutet
S: l=0, d.h. 2 Zustände
P: l=1, d.h. 6 Zustände
D: l=2, d.h.10 Zustände
F: l=3, d.h. 14 Zustände
(ml=0)
(ml = 0,1)
(ml = 0,1,2)
(ml = 0,1,2,3)
2(2l+1) Zustände
Schematische Darstellung der Orbitale
(Aufenthaltswahrscheinlichkeiten)
Hybridisierung
Bei einer chemischen Bindung können energetisch benachbarte Orbitale zu
neuen Hybridorbitalen verschmelzen.
Hybridisierung tritt nur bei Atomen auf, die kovalente Bindungen zu anderen
Atomen aufweisen.
Hybridisierung erzeugt energetisch neue stabile Orbitale.
Nur die Valenzorbitale (auch wenn diese im Grundzustand nicht besetzt sind)
können an der Hybridisierung teilnehmen.
Hybridisierung
s-Orbital + p-Orbital
sp-Hybridorbital
s-Orbital + 2p-Orbital
sp2-Hybridorbital
s-Orbital + 3p-Orbital
sp3-Hybridorbital Quelle: Uni Ulm
Crystal Bonding
Was hält einen Kristall zusammen?
Requirements:
a)
b)
c)
d)
Positive ions as far as possible from each other
Valence electrons as far as possible from each other
Valence electrons as close as possible to positive ions
Requirements a)-c) reduce the potential energy,
these should be fulfilled without enlarging the kinetic energy to much.
In quantum mechanics confinement of electron increases their kinetic energy
Crystal Bonding
Core electrons are not affected, energy is much larger than the binding
energy of crystals
Crystal bonding results from valence electrons
Types of crystal bonding
• Ionic bonding
• Covalent bonding
• Metallic bonding
• Van der Waals bonding
• Hydrogen bonding
COVALENT BONDING
Each electron in a shared pair is attracted to both nuclei involved
in the bond. The approach, electron overlap, and attraction can
be visualized as shown in the following figure representing the
nuclei and electrons in a hydrogen molecule.
Attraction cannot be explained with classical physics: quantum mechanical effect
Calculation of exchange interaction (overlap of electron oritals)
Compare with bonding of Hydrogen molecule: spins must be antiparallel
e
e
COVALENT BONDING
Property
Explanation
Melting point
and boiling point
Very high melting points because each atom is
bound by strong covalent bonds. Many covalent
bonds must be broken if the solid is to be melted
and a large amount of thermal energy is required
for this.
Electrical
conductivity
Poor conductors because electrons are held either
on the atoms or within covalent bonds. They
cannot move through the lattice.
Hardness
Brittleness
They are hard because the atoms are strongly
bound in the lattice, and are not easily displaced.
Covalent network substances are brittle.If sufficient
force is applied to a crystal, covalent bond are
broken as the lattice is distorted. Shattering occurs
rather than deformation of a shape.
Eigenschaften von Festkörpern
Festkörper
einkristallin
polykristallin
Mikrosystemtechnik: Einkristalline Siliziumsubstrate (Wafer)
amorph
Crystalline Solid
• Crystalline Solid is the solid form of a substance in
which the atoms or molecules are arranged in a
definite, repeating pattern in three dimension.
Crystalline Solid
• Single crystal has an atomic structure that repeats
periodically across its whole volume. Even at infinite length
scales, each atom is related to every other equivalent atom
in the structure by translational symmetry
Single Pyrite
Crystal
Amorphous
Solid
Single Crystal
Polycrystalline Solid
•
Polycrystal is a material made up of an
aggregate of many small single crystals (also
called crystallites or grains).
The grains are usually 100 nm - 100 microns in
diameter. Polycrystals with grains that are <10
nm in diameter are called nanocrystalline
Polycrystalline
Pyrite form
(Grain)
Polycrystal
Einkristalline Bereiche, von Korngrenzen getrennt, beliebig zueinander orientiert
POLYCRYSTALLINE MATERIALS
• “Nuclei” form during solidification, each of which grows into crystals
POLYCRYSTALS
• Most engineering materials are polycrystals.
Adapted from Fig. K,
color inset pages of
Callister 6e.
(Fig. K is courtesy of
Paul E. Danielson,
Teledyne Wah Chang
Albany)
1 mm
• Nb-Hf-W plate with an electron beam weld.
• Each "grain" is a single crystal.
• If crystals are randomly oriented,
overall component properties are not directional.
• Crystal sizes typ. range from 1 nm to 2 cm
(i.e., from a few to millions of atomic layers).
SINGLE VS POLYCRYSTALS
• Single Crystals
Data from Table 3.3,
Callister 6e.
(Source of data is R.W.
Hertzberg, Deformation
and Fracture Mechanics
of Engineering
Materials, 3rd ed., John
Wiley and Sons, 1989.)
-Properties vary with
direction: anisotropic.
-Example: the modulus
of elasticity (E) in BCC iron:
• Polycrystals
-Properties may/may not
vary with direction.
-If grains are randomly
oriented: isotropic.
(Epoly iron = 210 GPa)
-If grains are textured,
anisotropic.
200 mm
Adapted from Fig.
4.12(b), Callister 6e.
(Fig. 4.12(b) is courtesy
of L.C. Smith and C.
Brady, the National
Bureau of Standards,
Washington, DC [now
the National Institute of
Standards and
Technology,
Gaithersburg, MD].)
Amorphous Solid
• Amorphous (Non-crystalline) Solid is composed of
randomly orientated atoms , ions, or molecules that do
not form defined patterns or lattice structures.
Keine Fernordnung (Material ist isotrop),
nur Nahordnung (ähnlich wie in Flüssigkeiten)
AMORPHOUS MATERIALS
Crystalline materials...
• atoms pack in periodic, 3D arrays
• typical of: -metals
-many ceramics
-some polymers
crystalline SiO2
Adapted from Fig. 3.18(a),
Callister 6e.
Noncrystalline materials...
• atoms have no periodic packing
• occurs for: -complex structures
-rapid cooling
"Amorphous" = Noncrystalline
noncrystalline SiO2
Adapted from Fig. 3.18(b),
Callister 6e.
Kristallgitter
• Unendliche Anordnung von
Punkten im Raum,
• Jeder Punkte hat eine
identische Umgebung
• Anordnung
ist
streng
periodisch
y
B
C
α
b
O
a
D
A
x
E
• Gitterpunkte werden durch
Gittervektoren beschrieben.
Gittervektoren geben den kürzesten
Abstand benachbarten Gitterpunkte.
Bezeichnung: a , b und c, Winkel
zwischen den Vektoren: α, β and γ.
• Jeder Gitterpunkt kann durch eine
Kombination von Gittervektoren a, b
und c erreicht werden.
• R = ma + nb + lc
• R verbindet zwei Gitterpunkte. Das
Gitter sieht von jedem Gitterpunkt
gleich aus, es besitzt
Translationssymmetrie.
Kristallgitter
Kristallstruktur =
Kristallgitter
+ Basis
Kristallgitter
In einem Kristall können verschiedene Arten von Atomen angeordnet sein.
Von jedem Gitterpunkt aus sieht der Kristall jedoch gleich aus. Die Anordnung
der Atome wiederholt sich gleichartig. Wir ordnen jedem Gitterpunkt eine
Basis zu, die die Anordnung der Atome beschreibt.
Eine schöne Analogie ist eine gemusterte Tapete. Die Basis ist das Motiv und
das Gitter ist die periodische Anordnung von Punkten an denen das Motiv
wiederholt wird.
Kristallgitter
• Don't mix up atoms with
lattice points
• Lattice
points
are
infinitesimal points in space
• Lattice points do not
necessarily lie at the centre
of atoms
Crystal Structure = Crystal Lattice
+ Basis
Lattice Vectors – 2D
b`
a
• The two vectors a and b form
a set of lattice vectors for the
lattice.
• The choice of lattice
vectors is not unique. Thus
one could equally well take
the vectors a and b’ as a
lattice vectors.
• The lattice vectors define the
unit cell.
Crystal Structure
24
Primitive Unit Cell
• The primitive unit cell must have only one lattice point.
• There can be different choices for lattice vectors , but the
volumes of these primitive cells are all the same.
a1
P = Primitive Unit Cell
NP = Non-Primitive Unit Cell
Crystal Structure
25
Kristallstruktur
Drei häufig vorkommende Strukturen und ihre konventionellen Einheitszellen
Einfach kubisch: sc
Kubisch flächenzentriert: fcc
Kubisch innenzentriert: bcc
Kristallstruktur
• Die Einheitszelle baut durch Wiederholung das Gitter auf.
• Die primitive Zelle ist der kleinstmögliche Teil eines Gitters, der
durch Wiederholung das gesamte Gitter aufbaut. Die konventionelle
Einheitszelle muss keine primitive Zelle sein.
Konventionelle und primitive Einheitszelle des fcc-Gitters
Kristallstruktur
Konventionelle und primitive Einheitszelle des bcc-Gitters
Primitive Translation Vectors:
1
a1  ( xˆ  yˆ  zˆ )
2
1
a2  ( xˆ  yˆ  zˆ )
2
1
a3  ( xˆ  yˆ  zˆ )
2
Wigner-Seitz Method
A simply way to find the primitive
cell which is called Wigner-Seitz
cell can be done as follows;
1. Choose a lattice point.
2. Draw lines to connect these
lattice point to its neighbours.
3. At the mid-point and normal
to these lines draw new lines.
The volume enclosed is called as a
Wigner-Seitz cell.
Crystal Structure
29
Wigner-Seitz Cell - 3D
Crystal Structure
30
Kristallgitter
Wie viele verschiedene Kristallgitter gibt es?
• Unendlich viele, denn es gibt unendlich viele
Gitterkonstanten und Gitterwinkel
• Aber: Kristallgitter lassen sich entsprechend ihrer
Symmetrie einteilen.
• Es gibt nur 7 verschiedene Formen von Einheitszellen,
die den gesamten Raum ausfüllen (7 Kristallsysteme)
• Entsprechend ihrer Symmetrie ergeben sich daraus 14
Gittertypen
• Diese Gitter nennt man Bravais-Gitter.
Kristallgitter
Kristallstrukturen
Andere Kristallstrukturen
Basis mehr als ein Atom enthält
•
•
•
•
Natriumchloridstruktur Na+Cl- (Kochsalz)
Cäsiumchloridstruktur Cs+ClDiamantstruktur
Zinkblendestruktur
Natriumchlorid Structur
• Natriumchlorid kristallisiert in einer
kubischen Struktur.
• Die NaCl-Struktur hat abwechselnd Na+ bzw. Cl- auf den Ecken
eines Würfels.
• Jedes Ion hat 6 nächste Nachbarn,
von der jeweils anderen Sorte.
• Beschreibung als zwei gegeneinander verschobene fcc-Gitter
• Na+ : 000, ½½0, ½0½ , 0½½
• Cl-: ½ ½ ½, 00½ ,0½0, ½00
LiF, NaBr, KCl, LiJ
Gitterkonstanten 0,4 – 0,7 nm.
Cäsiumchloridstruktur
• Cäsiumchlorid
kristallisiert
in
einer
kubischen Struktur.
• Cäsiumchlorid besteht aus gleich vielen
Cs+ und Cl- Ionen, die auf den Plätzen
eines bcc-Struktur angeordnet sind.
• Jedes Ion hat 8 nächste Nachbarn von der
jeweils anderen Sorte.
• Beschreibung durch eine einfach kubische
Einheitszelle mit mit einem Cs+-Ion in einer
Ecke (000) und einem Cl--Ion in der
Würfelmitte (½ ½ ½)
Achtung: Das ist keine bcc-Struktur, da die Würfelecken
und die Würfelmitten von Atomen verschiedener
Sorte besetzt sind!
Diamantstruktur
Zwei ineinander verschachtelte fcc-Gitter
fcc-Gitter
Positionen der Atome:
Diamantgitter:
fcc-Gitter (blau) + um ¼ der
Raumdiagonale verschobenes fccGitter (grün)
000, 0 ½ ½ , ½ 0 ½ , ½ ½ 0 ,
¼¼¼,¼¾¾,¾¼¾,¾¾¼
Silizium und Germanium besitzen Diamantstruktur
Zinkblendestruktur
•
•
•
•
•
Zinkblende hat die gleiche Anzahl von Zink und
Schwefel Ionen, die auf ein Diamantgitter verteilt
sind, so dass jedes Ion jeweils 4 nächste
Nachbarn der anderen Sorte besitzt.
Die konventionelle Einheitszelle enthält vier
Moleküle ZnS
Zn: 000, 0 ½ ½ , ½ 0 ½ , ½ ½ 0
S: ¼ ¼ ¼ , ¼ ¾ ¾ , ¾ ¼ ¾ , ¾ ¾ ¼
AgI, GaAs, GaSb, InAs kristallisieren in der
Zinkblendestruktur
Gitterstrukturen
Si
Ga
Si
Si
Si
Ga
Si
Si
Si
Ga
As
As
Si
Ga
Si
Ga
Si
Ga
Ga
Si
Si
As
Si
Si
Si
Silicon, a = 5.43 Å
(diamond structure)
As
Ga
Si
Si
Ga
Ga
Si
Ga
Ga
Ga
GaAs, a = 5.65 Å
(zincblende structure)
Ga
Richtungen im Kristall
Benutze das Triplett mit
den kleinsten möglichen
ganzen Zahlen
• In real space, a crystal is made of a periodic lattice. A unit cell in a real
lattice is defined by three unit cell vectors: a, b, c, which should be
non-coplanar.
• Any lattice point in real space can be represented by a lattice vector, r
= ua + vb + wc, where u, v and w are the components of the direction
index [uvw]. Beachte: Eckige Klammern für Kristallrichtungen
Examples
X =-1 , Y = 1 , Z =0
[-1 1 0]
[110]
X =-1 , Y = 2/3 , Z = -1/3
[-1 2/3 -1/3]
[3 2 1]
y
Die zu [n1n2n3] entgegengesetzte Richtung wird geschrieben als [n1n2n3 ]
n1, n2 und n3 sind die kleinstmöglichen ganzen Zahlen.
Crystal Structure
R = n1 a + n2 b + n3c
41
CRYSTALLOGRAPHIC PLANES
• Crystallographic planes specified by 3 Miller indices as (hkl)
• Procedure for determining h,k and l: (ein Beispiel)
Z
– If plane passes through origin, translate
plane or choose new origin
– Determine intercepts of planes on each
of the axes in terms of unit cell edge lengths
(lattice parameters) (½ ¼ ½).
Note: if plane has no intercept to an axis (i.e., it is
parallel to that axis), intercept is infinity
– Determine reciprocal of the three intercepts (2 4 2)
– If necessary, multiply these three numbers by a
common factor which converts all the reciprocals to small integers (1 2 1)
– The three indices are not separated by commas and are enclosed in curved
brackets: (hkl) (121)
– If any of the indices is negative, a bar is placed in top of that index
1/2
1/4
1/2
X
(1 2 1)
Y
Crystal Planes: Miller indices
Miller Indices are a symbolic vector representation for the orientation of an atomic plane in a
crystal lattice and are defined as the reciprocals of the fractional intercepts which the plane
makes with the crystallographic axes.
Identify the intercepts on the x- , y- and z- axes
x = a (at the point (a,0,0) )
parallel to the y- and z-axes
Intercepts : a , , 
Specify the intercepts in fractional co-ordinates
In the case of a cubic unit cell each co-ordinate will
simply be divided by the cubic cell constant a
a/a , /a, /a i.e. 1 ,  , 
Take the reciprocals of the fractional intercepts
yielding
Miller Indices : (100)
Miller Indices
(0,0,1)
(0,1,0)
(0,1,0)
(1,0,0)
(1,0,0)
(1,0,0)
Axis
X
Y
Z
Axis
X
Y
Z
Axis
X
Y
Z
Intercept
points
1
∞
∞
Intercept
points
1
1
∞
Intercept
points
1
1
1
Reciprocals
1/1
1/ ∞
1/ ∞
Reciprocals
1/1
1/ 1
1/ ∞
Reciprocals
1/1
1/ 1
1/ 1
Smallest
Ratio
1
0
0
Smallest
Ratio
1
1
0
Smallest
Ratio
1
1
1
Miller İndices
(100)
Miller İndices
(110)
Miller İndices
(111)
Das reziproke Gitter
The reciprocal space lattice is a set of imaginary points
constructed in such a way that the direction of a vector
from one point to another coincides with the direction of a
normal to the real space planes and the separation of those
points (absolute value of the vector) is equal to the
reciprocal of the real interplanar distance multiplied by 2p.
ghkl = 2p / dhkl
Physikalischer Hintergrund
Bei elastischer Streuung an einer Kristallebene (hkl)
beträgt der Impulsübertrag auf die gestreuten Teichen
genau ghkl, wobei ghkl der reziproke Gittervektor
ghkl = hg1 + kg2 + lg3
senkrecht zur (hkl)-Ebene ist.
Definition of the reciprocal Lattice
Note:
a1 (a2 x a3) = Vc
Dabei sind a1, a2 und a3 die Vektoren, die die Einheitszelle
im realen Raum aufspannen.
Vc ist das Volumen der Einheitszelle.
Reciprocal Lattice
2D example
Reciprocal Lattice
K’: wavevector of refracted X ray
Real
lattice
K: wavevector of Incident X ray
Beugung tritt nur auf, wenn gilt:
DKK’-K=ghkl = reziproker Gittervektor
(Betrag und Richtung!)
• The X-ray diffraction pattern
of a crystal is a map of the
reciprocal lattice.
• It is a Fourier transform of
the lattice in real space
• It is a representation of the
lattice in the K space
Diffraction
pattern or
reciprocal
lattice
2D: Reales Gitter und reziprokes Gitter
Jeder Netzebene (hkl) ist der reziproke Gittervektor ghkl zugeordnet
3-D lattice and reciprocal lattice
Orthorhombic unit cell
•
ghkl  plane (hkl)
•
dimension of ghkl is [length -1]
Lattice in 3D
• Cubic lattice in 3D
• Lattice constants
• ax = ay = az = L
For the clarity of the diagram
only two dimensions are shown.
This gives us automatically
a view of a surface.
y
L
L
x
Reciprocal Lattice in 3D
2p
2p
2p
kx=
nx ; k y =
ny ; k z =
nz
L
L
L
where nx, ny, and nz = +/- 1,2,3…
ky
Each dot represents a point of
the reciprocal lattice
Each reciprocal lattice point
represents a crystal plane in
real space
The volume of the unit cell
of the reciprocal lattice is
(2p/L)3 = 8p3/V
2p/L
2p/L
kx
Reciprocal Lattice (Zusammenfassung)
The reciprocal lattice vector is given by:
ghkl = ha* + kb* + lc*
where h, k, l are integer numbers and correspond to the Miller
indices of the plane (hkl).
Physical meaning of the reciprocal space vector:
- The direction of ghkl is perpendicular to the set of atomic
planes that intercept the real space lattice at (a/h, b/k, c/l).
- The magnitude of ghkl is 2p/dhkl, where dhkl is the spacing
between lattice planes with the Miller indices (hkl).
The components h, k and l of the reciprocal vector ghkl in reciprocal
space give the plane index (hkl).
The reciprocal vector ghkl in the reciprocal lattice is always perpendicular
to the plane (hkl) in the real lattice.
Brillouin Zone
a
Real lattice
x
p/a
-p/a
Reciprocal lattice
-6p/a -4p/a -2p/a
0
2p/a 4p/a
k
The 1st Brillouin zone:
Weigner-Seitz primitive cell in the reciprocal lattice
Wigner-Seitz Cell and Brillouin Zone
Real lattice
Reciprocal lattice
bcc Wigner-Seitz cell
fcc Brillouin zone
fcc Wigner-Seitz cell
bcc Brillouin zone
fcc and bcc lattices are reciprocal to each other.
Brillouin Zone
•
Points of symmetry on the Brillouin zone are given particular importance
especially when determining the bandstructure of the material.
•
Points of high-symmetry on the Brillouin zone have specific importance.
Perhaps the most important, at least for optoelectronic devices, is at k = 0
which is known as the gamma point. As you might expect, it is given the
symbol, Γ .
Brillouin zone of a fcc lattice
Symmetry Point
k
Γ
kx= 0, ky= 0, kz= 0
X
{ki= ±2π /a, kj= 0, kk= 0}
L
{kx= ±π/a, ky= ±π/a, kz=
±π/a}
Kristalldefekte
•
•
•
•
•
Punktdefekte:
Verunreinigungen auf Gitterplätzen
Verunreinigungen auf Zwischengitterplätzen
Zusätzliches Atom auf einem Zwischengitterplatz
Leerstelle (Schottky-Defekt)
Frenkel-Defekt: Leerstelle + Atom auf einem
Zwischengitterplatz (Atom quasi verschoben)
Kristalldefekte
Physikalische Auswirkungen von Punktdefekten:
• Oxidationsrate von Silizium kann von der Leerstellenkonzentration
abhängen
• Diffusion von Verunreinigungen hängt häufig von der
Leerstellenkonzentration ab (Dotierverhalten)
• Donator- und Akzeptoratome sind häufig nur auf substitutionellen
Gitterplätzen elektrisch aktiv
• Verunreinigungen erzeugen Energieniveaus in der Bandlücke
• Dotieratome (Donator- und Akzeptoratome) haben flache
Energieniveaus nahe den Bandkanten; Niveaus in Mitte der
Bandlücke sind Zentren für die Rekombination von Ladungsträgern
in das Leitungsband und aus dem Valenzband
Kristalldefekte
Liniendefekte, Versetzungen:
Stufenversetzungen: Einfügen
einer zusätzlichen Gitterebene
Versetzungen werden durch
den Burgers-Vektor
beschrieben
Schraubenversetzungen
Kristalldefekte
Versetzungen sind dynamische Defekte:
• Bewegung durch das Gitter ist möglich (z.B. bei Spannung im
Kristalls)
• Disozioation in zwei oder mehrere Versetzungen ist möglich
• Versetzungsreaktionen mehrerer Versetzungen sind möglich
• Versetzungen können Spannungen im Kristall abbauen
• Versetzungen können erhöhte Konzentrationen von Verunreinigen
aufweisen
• Versetzungen können als „Diffusionskanäle“ dienen
Kristalldefekte
Flächendefekte:
Zwillingsbildung
REM-Aufnahme der
Zwillingsbildung in
Kupfer
Kristalldefekte
Flächendefekte:
Korngrenzen
Kristalldefekte
Darstellung von Korngrenzen und Korngrenzenversetzungen
Korngrenzen wirken als Quellen und Senken für Gitterversetzungen
Kristalldefekte
Volumendefekte:
• Ausscheidungen (Präzipitate) von Verunreinigungen oder Dotanten.
• Entstehen, wenn die Konzentration des Fremdmaterials dessen
Löslichkeit übersteigt.
• Bei Abkühlen eines Materials sinkt die Löslichkeit, wird die maximal
lösliche Konzentration überschritten, erreicht das System sein
thermisches Gleichgewicht, indem sich Ausscheidungen (meist an
Korngrenzen) bilden.
• Präzipitate können Spannungen im Kristall hervorrufen und eine
Quelle von Versetzungen darstellen.
• Silizium: Überwiegend entstehen Präzipitate von Bor, Sauerstoff und
metallischen Verunreinigungen.
Kristalldefekte
Anforderungen an Siliziumwafer:
• Kristalle für die Halbleitertechnologie müssen versetzungsfrei sein
• Große flächenhafte Defekte dürfen in elektrisch aktiven Bereichen
von Halbleiterbauelementen nicht auftreten
• Große Volumenartige Defekte, wie Präzipitate dürfen in den
elektrisch aktiven Bereichen von Halbleiterbauelementen nicht
auftreten.

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