(1) A - IME-USP

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Título do slide
EXPERIMENTOS FATORIAIS
COMPLETOS SEM REPETICAO
1
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
Vimos que a avaliação quanto a significância estatística dos efeitos
principais e interações pode ser feita pela análise de variância (ANOVA).
Restrição: Na ANOVA necessitamos que o número de repetições (ou
réplicas) seja maior do que um (r >1), o que nem sempre ocorre num
planejamento fatorial. Com apenas uma réplica não sobram graus de
liberdade para estimar σ2.
Procedimentos de análise:
Estimar σ2 com base em interações de ordem alta;
Usar procedimentos gráficos para identificar possíveis efeitos ativos.
 Efeito ativo equivale a efeito do fator diferente de zero.
Quando não há réplicas, ainda assim e possível realizar a análise dos
efeitos, através de procedimentos que identifiquem efeitos inativos, e
assim considerá-los no resíduo.
2
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
I - Diagrama de Pareto
Ferramenta qualitativa útil para a identificação visual de efeitos importantes
em experimentos fatoriais com fatores em 2 níveis e 1 réplica. Ele mostra a
porcentagem (%) da SQT que está associada a cada efeito estimado no
modelo fatorial completo. Uma porcentagem alta dá indícios de fator ativo.
Gráficos de Pareto apresentam, por meio de barras, as contribuições em % à
SQT em ordem decrescente, por barras e ao mesmo tempo são marcadas as
% acumuladas.
Este método é fácil e rápido, mas pode conduzir a decisões erradas, já que
nem sempre é conclusivo, dado que é uma ferramenta descritiva
3
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
50
100
45
90
40
80
35
70
30
60
25
50
22. 5
(%)
EFEITOS
Diagrama de Pareto
20
40
15
15
30
10
20
4. 5
5
3. 5
2
1
0
4
2
1
12
14
3
10
0. 5
0
OUTROS
FATORES
Interpretação:
Efeitos que contribuem com pequena porcentagem, podem ser considerados
inativos e colocados no resíduo.
4
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
II – Dot Plot ou gráfico de pontos
O dot plot mostra as estimativas dos efeitos que são possíveis
“outliers”ou valores discrepantes.
Como o objetivo é detectar efeitos nulos ou inativos no experimento,
estimativas de fatores inativos tendem a se concentrar, no dot plot,
próximo ao “zero”, que é o centro da distribuição. Um grande desvio do
centro da distribuição sugere que o fator seja ativo.
5
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
III - Papel de Probabilidade Normal (PPN)
É um método também fácil e rápido e mais eficaz do que o de Pareto, embora
possam ocorrer situações onde ele não seja conclusivo.
Etapas da construção:
(a) ordenar os valores dos efeitos estimados em ordem crescente.
(b) calcular a probabilidade associada a cada valor, através da fórmula:
(i  0,5)
P
100%
t
sendo i = ordem (ou posto) do efeito (i =1, 2, ..., t )
t = total de efeitos (tratamentos) a serem marcados no gráfico.
Essa probabilidade é conhecida como função acumulada empírica.
(c) marcar os valores do respectivo Efeito x P no PPN
(d) verificar os pontos que se afastam do “zero”.
6
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
Papel de Probabilidade Normal
3
2.5
.99
2
.95
1.5
.85
.75
.65
.55
.45
.35
.25
.15
1
0.5
PROBABILIDADE
z
0
-0.5
-1
-1.5
.05
-2
.01
-2.5
-3
-20-15-10 -5
0
5
10 15 20 25 30
EF EIT OS
Interpretação:
Quanto mais próximo de zero, mais inativo é o correspondente efeito ou
interação. Nos dois gráficos, os dois pontos à direita corresponderiam a
efeitos ativos
7
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
Exemplo:
Num processo químico, executou-se um experimento sem repetição, num total de
16 corridas. Foi medido o rendimento da operação (Y) em função da temperatura
(A), pressão (B), concentração (C) e vazão (D), cada um em dois níveis. Os
resultados na tabela a seguir. Há algum fator ou interação significativo?
Exp.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
B
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
C
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
D
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
Y
71
61
90
82
68
61
87
80
61
50
89
83
59
51
85
78
 Experimento fatorial 24,
sem réplicas
8
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
Exemplo: Tabela de contrastes
Exp.
A
B
C
D
AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
2
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
-1
3
-1
1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
1
-1
1
4
1
1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
5
-1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
6
1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
7
-1
1
1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
-1
1
1
-1
8
1
1
1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
-1
9
-1
-1
-1
1
1
1
-1
1
-1
-1
-1
1
1
1
10
1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
11
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
12
1
1
-1
1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
13
-1
-1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
14
1
-1
1
1
-1
1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
-1
15
-1
1
1
1
-1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
-1
1
16
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
S"-"/8 76,25 60,25 73,38 75,00 71,75 71,88 72,25 72,88 70,00 72,13 72,63 72,00 72,38 72,63
S"+"/8 68,25 84,25 71,13 69,50 72,75 72,63 72,25 71,63 74,50 72,38 71,88 72,50 72,13 71,88
Efeito -8,00 24,00 -2,25 -5,50 1,00 0,75 0,00 -1,25 4,50 0,25 -0,75 0,50 -0,25 -0,75
ABCD
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
72,38
72,13
-0,25
Y
71,00
61,00
90,00
82,00
68,00
61,00
87,00
80,00
61,00
50,00
89,00
83,00
59,00
51,00
85,00
78,00
9
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO
Exemplo:Tabela de efeitos ordenados
Fator
A
D
C
BC
ABC
BCD
ACD
ABCD
AD
CD
ABD
AC
AB
BD
B
Efeito
-8
-5,5
-2,25
-1,25
-0,75
-0,75
-0,25
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
4,5
24
P(%)
3,3
10,0
16,7
23,3
30,0
36,7
43,3
50,0
56,7
63,3
70,0
76,7
83,3
90,0
96,7
B
BD
A:
B:
C:
D:
A
B
C
D
1
z
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
-1
D
A
0
10
20
Efeito
Interpretação: todos os efeitos de 3ª. ordem e o
de 4ª. são inativos e seriam considerados como
resíduos na ANOVA
10
REDUÇÃO DA VARIABILIDADE
Nos experimentos vistos, o objetivo é identificar fatores que tem influência sobre
a média da resposta. Entretanto, muitas vezes, o que se busca é uma
combinação de fatores que minimize a variabilidade da resposta, ou seja, como
devem ser ajustadas as diversas variáveis/fatores, de modo a reduzir a variação
do produto ou processo.
Isto também pode ser feito com o auxílio do papel de probabilidade normal (PPN),
porém de um modo ligeiramente diferente daquele feito anteriormente:
• Realizar o experimento com pelo menos duas réplicas;
• Calcular o desvio-padrão para cada experiência;
• Calcular o logaritmo de cada desvio-padrão e considerar este como resposta
a ser analisada;
• Calcular os efeitos principais e interações com os logaritmos dos desviospadrão e;
• Analisar os resultados mediante o papel de probabilidade normal.
11
REDUÇÃO DA VARIABILIDADE
Exemplo:
A pesagem de um certo tipo de produto tem apresentado variação excessiva,
causando problemas à empresa no mercado, já que por diversas vezes esta foi
multada. Desconfia-se que três fatores possam ser os responsáveis pela variação
no peso:
• balança (A): digital (-1) ou mecânica (+1)
• turno (B): manhã (-1) ou tarde (+1)
• embalagem (C): plástica (-1) ou metálica (+1)
O experimento foi feito com 3 repetições (r=3) e os resultados estão a seguir.
Exp.
1
2
3
4
5
6
7
8
A
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
B
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
C
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
AB
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
AC
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
BC ABC
s
+1
-1 1,08
+1 +1 2,02
-1
+1 1,18
-1
-1 1,51
-1
+1 0,50
-1
-1 2,85
+1
-1 1,16
+1 +1 1,83
12
REDUÇÃO DA VARIABILIDADE
Calcular logaritmo dos desvios-padrão e completar as três últimas linhas:
Exp.
A
B
C
AB
AC
BC
1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
2
+1
-1
-1
-1
-1
+1
3
-1
+1
-1
-1
+1
-1
4
+1
+1
-1
+1
-1
-1
5
-1
-1
+1
+1
-1
-1
6
+1
-1
+1
-1
+1
-1
7
-1
+1
+1
-1
-1
+1
8
+1
+1
+1
+1
+1
+1
S “-”/4 -0,05 0,12 0,13 0,21 0,06 0,09
S “+”/4 0,30 0,13 0,12 0,05 0,19 0,17
efeito 0,35 0,01 -0,01 -0,17 0,13 0,08
ABC
-1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
0,18
0,07
-0,11
s
1,08
2,02
1,18
1,51
0,50
2,85
1,16
1,83
log s
0,0334
0,3054
0,0172
0,1790
-0,3010
0,4548
0,0645
0,2625
13
REDUÇÃO DA VARIABILIDADE
Emprega-se o Papel de Probabilidade Normal (PPN) e, para tanto,
é necessário antes ordenar os efeitos:
P
7,14
21,43
35,71
50,00
64,29
78,57
92,86
2,0
0,95
1,5
A
0,85
1,0
0,75
0,5
0,65
0,55
0,45
0,35
0
-0,5
0,25
-1,0
0,15
-1,5
-2,0
-0,5
PROBABILIDADE
Efeito
-0,17
-0,11
-0,01
0,01
0,08
0,13
0,35
z
i
1
2
3
4
5
6
7
0,05
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
 O efeito associado ao fator A é o mais afastado de zero!!!
14
EXERCÍCIOS
1) Os efeitos de sexo (fator A), gordura corporal, em % (fator B) e histórico de
fumante (fator C) sobre a tolerância a exercícios foram estudados numa
investigação em pequena escala com pessoas de 25 a 35 anos. A tolerância a
exercícios foi medida, em minutos, até a fadiga enquanto um indivíduo estava
pedalando uma bicicleta. Três indivíduos foram selecionados de cada grupo
formado pelos cruzamentos dos níveis de cada fator e submetidos a um teste de
“stress”.
Observe que cada fator tem 2 níveis:
A – sexo: masc, fem
B – gordura corporal (%): baixa, alta
C – fumo: pouco, muito
Qual é a variável resposta?
Quantos tratamentos/experiências são possíveis?
Qual é o número total de observações?
15
EXERCÍCIO 1
Dados:
FUMO (C)
% GORDURA (B)
SEXO (A)
Pouco (-1)
Muito (1)
Masc (-1)
24,1
29,2
24,6
17,6
18,8
23,2
Fem (1)
20,0
21,9
17,6
14,8
10,3
11,3
Masc (-1)
14,6
15,3
12,3
14,9
20,4
12,8
Fem (1)
16,1
9,3
10,8
10,1
14,4
6,1
Baixa (-1)
Alta (1)
16
EXERCÍCIO 1
Tabela de contrastes e estimativas dos efeitos:
17
EXERCÍCIO 2
2) Uma empresa deseja caracterizar os efeitos da temperatura de
processamento (fator A), de um agente antimicrobiano (fator B), do nível de
umidade (fator C) e da acidez (fator D) sobre o crescimento de micróbios numa
barra de frutas. O crescimento microbiano é avaliado por meio da contagem de
micróbios numa amostra do produto, após 3 meses de estocagem. Os quatro
fatores foram estudados nos seguintes níveis :
Fator
Nível baixo (-1)
Nível alto (1)
A - Temperatura de processo
152
178
B - Agente (conservante)
0,0
0,1
C - Umidade
0,65
0,85
D - Acidez
4,8
6,8
Variável resposta:
18
EXERCÍCIO 2
Dados:
A0
A1
B0
(1)
C0
D0
5,55
(5)
C1
10,54
D1
(13)
C1
5,19
5,08
10,73
6,18
(14)
6,53
B1
(4)
4,47
(6)
(11)
5,12
B0
(2)
(7)
(9)
C0
B1
(3)
5,32
A - Temperatura de processo
5,45
B - Agente (conservante)
(8)
11,56
(10)
5,63
(15)
11,33
Fatores:
(12)
5,24
(16)
C - Umidade
D - Acidez
4,93
 Uma réplica por tratamento
19
EXERCÍCIO 2
Micróbios
Tabela de contrastes
Tratamento
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Y
y0000
y1000
y0100
y1100
y0010
y1010
y0110
y1110
y0001
y1001
y0101
y1101
y0011
y1011
y0111
y1111
Resp
5,55
4,47
5,19
5,32
10,54
11,56
5,08
5,45
5,12
5,63
6,18
5,24
10,73
10,33
6,53
4,93
A
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
B
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
C
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
D
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
20
EXERCÍCIO 2
Micróbios
Trat
Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
y0000
y1000
y0100
y1100
y0010
y1010
y0110
y1110
y0001
y1001
y0101
y1101
y0011
y1011
y0111
y1111
Resp
A
B
C
D
AB
AC
AD
BC
BD
CD
ABC
ABD
ACD
BCD ABCD
5,55
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
4,47
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
5,19
-1
1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
1
-1
1
-1
5,32
1
1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
1
10,54
-1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
-1
11,56
1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1
5,08
-1
1
1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
-1
1
1
-1
1
5,45
1
1
1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-1
5,12
-1
-1
-1
1
1
1
-1
1
-1
-1
-1
1
1
1
-1
5,63
1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
6,18
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
5,24
1
1
-1
1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
-1
10,73
-1
-1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
1
10,33
1
-1
1
1
-1
1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
6,53
-1
1
1
1
-1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
-1
1
-1
4,93
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Soma
"-"/23
Soma
"+"/23
Efeitos -0,2488 -2,5013 2,8063 0,1913 -0,2613 0,0963 -0,3588 -2,7913 0,2688 -0,2187 -0,2013 -0,4013 -0,4888 0,2238 0,2638
21
EXERCÍCIO 2
Factorial Fit: Resp versus A; B; C; D
Micróbios
Estimated Effects and Coefficients for Resp (coded units)
Effect
MINITAB  Stat DOE Factorial Term
Constant
 Analyze factorial design
A
B
C
D
A*B
A*C
A*D
B*C
B*D
C*D
A*B*C
A*B*D
A*C*D
-0,249
-2,501
2,806
0,191
-0,261
0,096
-0,359
-2,791
0,269
-0,219
-0,201
-0,401
-0,489
Coef
6,741
-0,124
-1,251
1,403
0,096
-0,131
0,048
-0,179
-1,396
0,134
-0,109
-0,101
-0,201
-0,244
 Detectar possíveis interações inativas (ou nulas) para compor resíduo na ANOVA.
22
EXERCÍCIO 2
Micróbios – Gráfico de Pareto
 Estimativas dos efeitos B, C e BC são muito maiores do que as dos demais
23
EXERCÍCIO 2
Micróbios - PPN
 Confirmando conclusão pelo gráfico de Pareto.
24
EXERCÍCIO 2
Micróbios - Tabela de ANOVA
Fonte de Variação
Teste F
g.l.
SQ
QM
Fator A
1
SQA =22 r(efeito A)2
QMA= SQA =SA2
Fator B
Fator C
Fator D
Interação AxB
Interação AxC
Interação AxD
Interação BxC
Interação BxD
Interação CxD
Erro
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7
SQB=22r(efeito B)2
SQC=22r(efeito C)2
SQD=22r(efeito D)2
SQAB= 22r(efeito AB)2
SQAC= 22r(efeito AC)2
SQAD= 22r(efeito AD)2
SQBC= 22r(efeito BC)2
SQBD= 22r(efeito BD)2
SQCD= 22r(efeito CD)2
SQEr
QMB= SQB =SB2
QMC= SQC =SC2
QMD= SQD=SD2
QMAB= SQAB =SAB2
QMAC= SQAC =SAC2
QMAD= SQAD =SAD2
QMBC= SQBC =SBC2
QMBD= SQBD=SBD2
QMCD= SQCD =SCD2
QMEr = SQEr/7= SE2
Total
15
SQT
FA=QMA/QMEr
FB=QMB/QMEr
FC=QMC/QMEr
FD=QMD/QMEr
FAB=QMAB/QMEr
FAC=QMAC/QMEr
FAD=QMAD/QMEr
FBC=QMBC/QMEr
FBD=QMBD/QMEr
FCD=QMCD/QMEr
estimativa
de 2
25
Título do slide
F1 F2 F3
26

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