Metáforas en Didáctica de la Matemática

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Metáforas en la cultura humana
• La red de Indra: Antigua Metáfora budista de la interconexión e
interdependencia de todos los objetos del universo…
• Metáforas, Analogías y Símiles : tropos retóricos
• Metáfora = transporte.
• “Mi abogado es un tiburón”
• “Un profesor es un jardinero”
• “Un professeur est un comédien” (Guy Brousseau)
• “Un profesor es un funámbulo”
• Potentes herramientas cognitivas para
- aprehender o construir nuevos concepto
(rol poiético de las metáforas)
- resolver problemas de manera eficaz y amigable.
• George Lakoff & Rafael Núñez (2000)
Metaforización y Modelización:
dos caras de la misma moneda…
Jorge Soto Andrade
Depto. Matemáticas, Facultad de Ciencias
Centro de Investigación Avanzada en Educación
Universidad de Chile
Seminario sobre Modelación en las nuevas Bases
Curriculares
Santiago, 11 Enero 2013
La red de Indra
Una red infinita de perlas, cada una reflejando todas las otras, en un proceso sin fín de
reflexiones de reflexiones…
Muy apreciada por matemáticos (Mumford et al. 2002) y físicos (Capra, 1982)
Indra’s Pearls: The vision of Felix Klein
David Mumford & Caroline Series
There is no religion
in our book but we
were amazed at
how well our
constructions
reflected the
ancient Buddhist
metaphor of Indra's
net.
Aristóteles
• Aristóteles, en su Poética:
“La metáfora consiste en darle a una cosa un nombre
que pertenece a otra…”
• metáfora = meta (trans) + pherein (portar)
=transporte
• metáfora = transferencia de significado
• “Metaforizar es mirar una cosa y ver otra”
• “Lo más grande, lejos, es ser un maestro de la
metáfora. Es lo que no puede ser aprendido de otros;
también es un signo de genio, porque una buena
metáfora implica tener buen ojo para la semejanza”
Un mapa metafórico
Dominio “blanco”, más
elevado y abstracto.
Dominio “fuente”, más
concreto y aterrizado.
Analogía
Analogía
Dominio “blanco”, más
elevado y abstracto.
Dominio “fuente”, más
concreto y aterrizado.
Metáforas conceptuales
• Lakoff & Núñez, 2000:
Transformaciones o “mapeos” de un dominio
“fuente” a un dominio “blanco”, que transportan
la estructura inferencial del primero en la del
segundo y nos permiten entender el segundo,
usualmente más abstracto y opaco, en términos
del primero, más “aterrizado” y transparente.
Yuri Manin: La matemática como metáfora
• Teoría de
Números y Física
Teórica: mutuas
metáforas…
• Hay varios
géneros en
matemáticas.
El axiomatico,
deductivo, es sólo
uno…
Metáforas, metafóricamente…
• Las metáforas necesitan un suelo fértil para
crecer.
• Compost: Experiencias sensoriomotrices y
lúdicas de la primera infancia.
• D. Tall (2005): “Metaphors are met-afores”
“Metaphors are metbefores”
(Las metáforas son algo que encontramos antes).
 “Las metáforas son muletas que nos ayudan
aasecender la montaña abstracta (Bruner, 1986)
Metáforas en la enseñanza
• Metáfora itinerante : Aprender es un viaje
• Metáforas topográficas: Hay diferentes
caminos para llegar a la solución
• Metáfora gastronómica: Enseñar es entregar
al aprendiz un sandwich, que éste debe tomar,
comer, y digerir (se espera…).
“el objetivo del curso es entregar técnicas y
métodos para …”
Metáforas para objetos matemáticos
Metáforas para la multiplicación
• El producto es área
¡Conmutatividad!
Metáforas para la multiplicación
• Multiplicar es injertar (ramificaciones)
¿Conmutatividad?
Los ángulos exteriores de un polígono
• ¿Qué ocurre con su suma?
• Tradicionalmente: se investiga primero la
suma de los ángulos interiores.
• Metafóricamente: ¿Qué metáforas tiene Ud.
para un polígono?
• Un polígono es…
Un polígono es…
Un polígono y sus ángulos
Un polígono y sus ángulos
¿Qué es modelar?
• Metafóricamente: modelar es “traducir” del mundo
real hacia la matemática (Blum, 2012).
• Para resolver problemas del mundo real con ayuda de
la matemática…
• Muchas traducciones posibles.
Modelos: altamente no únicos.
• Modelos estocásticos de sistemas deterministas.
Modelos deterministas de sistemas estocásticos.
• Sistémicamente: tránsito cíclico útil entre un sistema
natural y un sistema formal
104
El ciclo cognitivo de la modelización
Author's personal copy
R. Borromeo Ferri
(Borromeo-Ferri, 2010)
Fig. 1 Modeling cycle under a cognitive perspective
of modeling cycle has an important role as an instrument for analyzing both the
modeling tasks used in my study and individual modeling processes. This kind of
Metáforas para objetos y procesos matemáticos
PROBLEMA: El paseo al azar de una pulga.
Una pulga salta a azar por un polígono regular,
saltando de cada vértice a cualquiera de sus dos
vecinos con igual probabilidad 1/2.
Si parte de un cierto vértice, ¿dónde estará despues
de m saltos?
Abordajes metafóricos al problema
• Metáfora salomónica: En lugar de saltar, la pulga se
parte en mitades, que van a parar a los vértices
vecinos
• Paseo al azar = repartición reiterada
• Metáfora pedestre: Un enjambre de pulgas se va
repartiendo por mitades iguales, por los vértices.
Un sistema económico:
la lucha por el mercado
• Tres productores se disputan sin piedad un
mercado
• ¿Cómo se repartirá el mercado a la larga?
• Estadisticas mensuales de trasvase de
consumidores de uno a otro. ¿Estacionarias?
• Modelo determinista recursivo (cadena de
Markov lineal)
• Modelo estocástico (simulable)
¿Tengo cáncer de mama, Dr.?
(Gigerenzer, 2011)
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Prevalencia: 1%
Sensibilidad: 90%
Falsos positivos: 9%
¿Cuán probable es que una mujer con test
positivo tenga cáncer de mama?
160 ginecólogos alemanes:
60%: entre 80% y 90%
19%: 1%
Respuesta correcta: 9% o 10% aprox.
¿Tengo cáncer de mama, Dr.?
Metáfora pedestre para los falsos
positivos
1000
990
10
1
9 + 90
900
Modelos matemáticos de los sistemas
metabólicos
• Metáfora: Uroboros
Modelos matemáticos de los sistemas
metabólicos
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Sistema formal: Ecuación de Uroboros
f(f) = f
Autoreferencia – Circularidad organizacional
Sistemas (M,R) de Robert Rosen
Sistemas autopoiéticos de Maturana y Varela
Red de reacciones bioquímicas catalizadas por
enzimas producidas por la misma red.
• Desafío: Modelos guagua para la escuela…
• Juegos autopoiéticos…
Referencias
• Gigerenzer, G. (2011). What are natural frequencies? BMJ, 343: d6386.
• Lakoff, G., & Nuñez, F. (2000). Where Mathematics comes from, New
York: Basic Books.
• English L (Ed) (1997) Mathematical reasoning: Analogies, metaphors, and
images, Lawrence Erlbaum Associates, London.
• Borromeo-Ferri (2010). On the influence of mathematical thinking styles
on learner’s modelling behaviour, J. Math, Didakt., 31, 99-118.
• Soto-Andrade J. (2012). Metaphors in Mathematics Education. In: Lerman
S. (Ed.) Encyclopedia of Mathematics Education: SpringerReference
(www.springerreference.com). Springer- Verlag, Berlin – Heidelberg.
• J. Soto-Andrade, S. Jaramillo, C. Gutiérrez, J.-C. Letelier (2011), Ouroboros
avatars: a mathematical exploration of self-reference and metabolic
closure, in Advances in Artificial Life, ECAL 2011: Proceedings of the
Eleventh European Conference on the Synthesis and Simulation of Living
Systems, The MIT Press, Cambridge MA, p. 763-770.

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