در بدست آوردن عکس تبديل Z

Report
‫بسم ا‪ ...‬الرحمن الرحيم‬
‫درس کنترل ديجيتال‬
‫مهر ‪1389‬‬
‫دکتر حسين بلندي‪ -‬دکتر سید مجید اسما عیل زاده‬
‫عکس تبديل ‪z‬‬
‫روشهای عکس تبديل ‪z‬‬
‫‪ -1‬روش تقسيم مستقيم‬
‫‪ -2‬روش محاسبه ای‬
‫‪ -3‬روش گسترش کسرهای جزيی‬
‫‪ -4‬روش انتگرال معکوس سازی‬
‫تذکرمجدد ‪:‬‬
‫در بدست آوردن عکس تبديل ‪ ، Z‬فرض می کنيم که دنباله زمانی )‪ x(k‬يا‬
‫)‪ x(kT‬برای ‪ k<0‬صفر است‬
‫‪ -1‬روش تقسيم مستقيم‬
‫‪ ‬عکس تبديل ‪ Z‬با گسترش )‪ X(z‬به يک سری توانی بی پايان از‬
‫‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ ‬اين روش زمانی سودمند است که بدست آوردن صورت بسته برای عکس‬
‫تبديل ‪ z‬دشوار باشد يا تنها چند جمله اول )‪ x(k‬مورد نظر باشد‪.‬‬
‫‪ ‬اين روش از تعريف تبديل ‪ z‬حاصل می شود‪ .‬يعنی ‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪X ( z )   x( kT ) z‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪ ...‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ ...  x( kT ) z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x( 2T ) z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x(0)  x(T ) z‬‬
‫مثال ‪ :‬عکس تبديل ‪ z‬تابع زير را برای ‪ k=0,1,2,3,4‬محاسبه نماييد‬
‫‪10 z  5‬‬
‫)‪( z  1)( z  0.2‬‬
‫‪X ( z) ‬‬
‫حل ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫از تقسيم صورت بر مخرج داريم ‪:‬‬
‫‪ 5z‬‬
‫‪ 0.2 z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10 z‬‬
‫‪1  1.2 z‬‬
‫‪X ( z) ‬‬
‫مثال ‪ :‬عکس تبديل ‪ z‬تابع زير را محاسبه نماييد‬
‫‪3‬‬
‫‪ 4z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X ( z)  1  2z‬‬
‫حل ‪ :‬با مقايسه رابطه فوق با تعريف تبديل ‪ z‬داريم ‪:‬‬
‫‪ ...‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ ...  x(kT ) z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x(2T ) z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x(0)  0‬‬
‫‪x(1)  2‬‬
‫‪x( 2)  3‬‬
‫‪x(3)  4‬‬
‫‪ ‬مقادير تمام )‪ x(k‬های ديگر صفر است‪.‬‬
‫‪X ( z )  x(0)  x(T ) z‬‬
‫‪ -2‬روش محاسباتی‬
‫‪ -3‬روش گسترش کسر جزئی‬
‫حالت اول ‪ :‬اگر )‪ X(z‬دارای يک صفر در مبدا باشد )‪: (z=0‬‬
‫در اين حالت ‪ X(z)/z‬را به صورت مجموع جمالت مرتبه اول و دوم ساده گسترش می دهيم‪.‬‬
‫سپس برای بدست آوردن عکس تبديل ‪ z‬تابع )‪ X(z‬از قضيه انتقال استفاده می کنيم ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫مثال ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫حل ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1  az‬‬
‫‪1  az‬‬
‫‪X ( z) ‬‬
‫‪zX ( z )  Y ( z ) ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z [Y ( z )]  y ( k )  a‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪X ( z)  z Y ( z‬‬
y ( k  1)  a
x(k ) 
k  1,2,3,...
k 1
k 0
0
: (z=0) ‫ دارای قطبهای ساده و حداقل يک صفر در مبدا باشد‬X(z) ‫ اگر‬: ‫حالت کلی‬
1
Z [ X ( z )]  x( k )  y ( k  1)
=0
X ( z)
z

a

1
(z 
p)
a
(z 
1
a
i
 [( z 
p)
i
X ( z)
z

2
p)
2
]
z  pi
a
(z 

3
p)
3
a
(z 
n
p)
n
: ‫مثال‬
X ( z) 
X ( z)
z
10 z
( z  1)( z  0.2)

10
( z  1)( z  0.2)

12.5
z 1

12.5
z  0.2
X ( z)

z
10
( z  1)( z  0.2)
X ( z )  12.5(
1
1 z
1
12.5

z 1


12.5
z  0.2
1
1  0.2 z
1
)
: ‫می دانيم‬
1
Z [
1
1 z
1
] 1
1
Z [
x( k )  12.5[1  (0.2) ]
k
1
1  0.2 z
]  (0.2)
1
k
k  0,1,2,...
2z  z
3
X ( z) 
)‫) قطبهای مکرر‬: ‫مثال‬
( z  2) ( z  1)
2
: ‫ رابه صورت کسرهای جزئی گسترش می دهيم‬X(z)/z : ‫روش اول‬
X ( z)
z
2z 1
2

( z  2) ( z  1)
2
X ( z) 
9z

9
( z  2)
1
1 2
(1  2 z )

2

1
1 2z
1
1
z2


3
z 1
3
1 z
1
: ‫می دانيم‬
1
Z [
z
1
1
(1  2 z )
]  k (2
2
k 1
)
1
Z [
1
1 2z
1
]2
k
1
Z [
1
1 z
1
] 1
2
x(k ) 
: ‫بنابراين‬
k 0
9k ( 2
k 1
)2 3
k  1,2,3,...
k
: ‫ ابتدا صورت را بر مخرج تقسيم می کنيم‬:‫روش دوم‬
10 z  15 z  8
2
X ( z)  2 
Xˆ ( z ) 
Xˆ ( z ) 
2
9z
( z  2)
9z
2

2
z2
1
1 2
(1  2 z )
X ( z)  2 
Xˆ ( z ) 
( z  2) ( z  1)
9z

1 2
(1  2 z )

2z

z 1
1
1 2z
1
3
1
2z

3z
1 z
1
1 2z
1
1

1
3z
1
1 z
1
10 z  15 z  8
2
( z  2) ( z  1)
2
1
Z [ 2] 
z
1
Z [
1
1 2
(1  2 z )
z
1
Z [
1
1 2z
1
Z [
z
]
1
k (2
1
k  1,2,3,...
k 1
k  1,2,3,...
)
k 0
0
2
k  1,2,3,...
k 1
k 0
0
1
1 z
x(k ) 
]
k 0
2
0
]
1
k  1,2,3,...
0
k 0
k 0
2
9k (2
k 1
)2 3
k
k  1,2,3,...
: ‫ ابتدا صورت را بر مخرج تقسيم می کنيم‬:‫روش سوم‬
Xˆ ( z ) 
18
( z  2)
Xˆ ( z )  2 
1
Z [
z
2

7
z2
18 z

1 2
(1  2 z )
1
(1  2 z )
z 1
1
1
1
3
]  Z [z
2

7z
1 2z
1
1
1
1 2
(1  2 z )
1
]

3z
1
1 z
1
( k  1) 2
k 2
k 0
0
x(k ) 
18( k  1) 2
0
k 2
 7( 2
k 1
)3
k  1,2,3,...
k  1,2,3,...
k 0
k  1,2,3,... ‫ برای‬x(k )
x( k )  18k ( 2
k 2
)  18( 2
 9k ( 2
k 1
)  2( 2
 9k ( 2
k 1
)2
x(k ) 
k 2
k 1
k 1
)  7( 2
k 1
)3
)3
3
k 0
2
9k (2
k 1
)2 3
k
k  1,2,3,...
‫تابع تبديل پالس ی و دنباله وزنی‬
‫در اين بخش‪ ،‬نخست تابع تبديل پالس ی و دنباله وزنی را تعريف کرده‪ ،‬سپس در مورد اينکه‬
‫روش تبديل ‪ z‬در حل اين معادالت تفاضلی چگونه بکار می رود بحث خواهيم کرد‪.‬‬
‫تابع تبديل پالس ی و دنباله وزنی‪ :‬سيستم زمان – گسسته خطی تغيير ناپذير با زمان زير را درنظر‬
‫می گيريم ‪:‬‬
‫)‪x( k )  a1 x( k  1)  ...  an x(k  n‬‬
‫)‪ bo u ( k )  b1u ( k  1)  ...  an u ( k  n‬‬
‫تبديل ‪ Z‬معادله فوق عبارتست از‪:‬‬
‫)‪X ( z‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X ( z )  a1 z X ( z )  ...  an z‬‬
‫) ‪ boU ( z )  b1 z U ( z )  ...  bn z U ( z‬‬
: ‫معادله فوق را به صورت زير بازنويس ی می کنيم‬
(1  a1 z
1
 ...  an z
n
) X ( z) 
(bo  b1 z
1
 ...  bn z
n
)U ( z )
: ‫معادله فوق را به صورت زير بازنويس ی می کنيم‬
X ( z) 
bo  b1 z
1  a1 z
1
1
 ...  bn z
 ...  an z
n
n
U ( z)
: ‫تعريف می کنيم‬
G( z) 
bo  b1 z
1  a1 z
1
1
 ...  bn z
 ...  an z
n
n
 o (kT ) 
1
k 0
0
k 0
: ‫تابع دلتای کرونر‬
U ( z )  Z [ o ( kT )]  1
Z [ o ( kT )]  1
: ‫پاسخ سيستم به ورودی تابع دلتای کرونر‬
X ( z) 
bo  b1 z
1  a1 z
1
1
 ...  bn z
 ...  an z
n
n
 G( z)
: ‫دنباله وزنی‬
1
g ( k )  Z [G ( z )]
‫مثال‪ :‬معادله تفاضلی زير را درنظر بگيريد و تابع تبديل پالس ی را برای اين سيستم محاسبه نماييد‪.‬‬
‫) ‪x( k  2)  a1 x( k  1)  a2 x( k )  bo u ( k  2)  b1u ( k  1)  b2u ( k‬‬
‫تابع تبديل پالس ی را برای اين سيستم محاسبه نماييد‪ .‬با فرض اينکه سيستم در ابتدا در حالت‬
‫استراحت بوده و ‪u (k )  0‬برای ‪k . 0‬‬
‫حل‪ :‬تبديل ‪ z‬معادله فوق را بدست می آوريم ‪:‬‬
‫) ‪[ z X ( z )  z x(0)  zx (1)]  a1[ zx ( z )  zx (0)]  a2 X ( z‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ bo [ z U ( z )  z u (0)  zu (1)]  b1[ zU ( z )  zu (0)]  b2U ( z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫اکنون بايد شرايط اوليه )‪ x(0‬و )‪ x(1‬را از معادله اصلی محاسبه نماييم‪:‬‬
‫‪k  2‬‬
‫)‪x(0)  a1 x( 1)  a2 x( 2)  bo u (0)  b1u ( 1)  b2u ( 2‬‬
‫)‪x(0)  bo u (0‬‬
‫‪k  1‬‬
‫)‪x(1)  a1 x(0)  a2 x( 1)  bo u (1)  b1u (0)  b2u ( 1‬‬
‫)‪x(1)   a1 x(0)  bo u (1)  b1u (0‬‬
‫با فرض آنکه سيستم در حالت سکون بوده‪ ،‬معادله فوق را بصورت زير ساده می نماييم ‪:‬‬
‫) ‪( z  a1 z  a2 ) X ( z )  (bo z  b1 z  b2 )U ( z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(bo z  b1 z  b2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪U ( z‬‬
‫‪z  a1 z  a2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪X ( z) ‬‬
(bo z  b1 z  b2 )
2
X ( z) 
G( z) 
X ( z)
U ( z)
z  a1 z  a2
2
bo z  b1 z  b2
U ( z)
2

z  a1 z  a2
2

bo  b1 z
1  a1 z
1
1
 b2 z
 a2 z
2
2
:‫ دنباله وزنی سيستم زمان – گسسته زير را به دست آوريد‬:‫مثال‬
x(k )  ax(k  1)  u (k )
:‫حل‬
1
X ( z )  az X ( z )  U ( z )
X ( z) 
1
1  az
1
G( z) 
U ( z)
U ( z)
a
1
g ( k )  Z [G ( z )] 
X ( z)
0
k
k  0,1,2,...
k 0

1
1  az
1

similar documents