Actividad No. 3

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°HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL
°TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
CALCULO
°DEFINICION LA INTEGRAL DEFINIDA E
INDEFINIDA
°SUMA DE RIEMANN
°PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
DEFINIDA E °INDEFINIDA
°TEOREMA DE EXISTENCIA
°FUNCION PRIMITIVA
°METODOS DE INTEGRACION
 La
integración se puede trazar en el
pasado hasta el antiguo Egipto, circa
1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde
se demuestra que ya se conocía una
fórmula para calcular el volumen de un
tronco piramidal. La primera técnica
sistemática documentada capaz de
determinar integrales es el método de
exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.),
que trataba de encontrar áreas y
volúmenes a base de partirlos en un
número infinito de formas para las cuales
se conocieran el área o el volumen.
 Este
método fue desarrollado y usado más
adelante por Arquímedes, que lo empleó
para calcular áreas de parábolas y una
aproximación al área del círculo. Métodos
similares fueron desarrollados de forma
independiente en China alrededor del siglo
III por Liu Hui, que los usó para encontrar el
área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó
este método para encontrar el volumen de
una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un
libro de astronomía del siglo XII del
matemático indio Bhaskara II, se encuentran
algunas ideas de cálculo integral.
 Hasta
el siglo XVI no empezaron a aparecer
adelantos significativos sobre el método de
exhausción. En esta época, por un lado, con
el trabajo de Cavalieri con su método de los
indivisibles y, por otro lado, con los trabajos
de Fermat, se empezó a desarrollar los
fundamentos del cálculo moderno. A
comienzos del siglo XVII, se produjeron
nuevos adelantos con las aportaciones de
Barrow y Torricelli, que presentaron los
primeros indicios de una conexión entre la
integración y la derivación.
 Newton
y Leibniz
Los principales adelantos en integración
vinieron en el siglo XVII con el
descubrimiento del teorema fundamental
del cálculo, realizado de manera
independiente por Newton y Leibniz. El
teorema demuestra una conexión entre la
integración y la derivación.
 La integración fue rigurosamente
formalizada por primera vez por
Riemann, empleando límites.
 El
teorema fundamental del
cálculo consiste (intuitivamente) en la
afirmación de que
la derivación e integración de
una función son operaciones inversas.
Esto significa que toda función continua
integrable verifica que la derivada de su
integral es igual a ella misma. Este
teorema es central en la rama de
las matemáticas denominada análisis
matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta
entonces el cálculo aproximado de áreas integrales- en el que se venía trabajando desde
Arquímedes, era una rama de las matemáticas
que se seguía por separado al cálculo diferencial
que se venía desarrollando por Isaac
Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en
el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de
las derivadas. Las integrales eran investigadas
como formas de estudiar áreas y volúmenes,
hasta que en ese punto de la historia ambas
ramas convergieron, al demostrarse que el
estudio del "área bajo una función" estaba
íntimamente vinculado al cálculo diferencial,
resultando la integración, la operación inversa a
la derivación.
 INTEGRAL
INDEFINIDA: es la funcion
F(x) de la cual proviene f(x). Se le conoce
como antiderivada o funcion primitiva y
se obtiene al aplicar la regla de
derivacion al reves (al final se le agrega
una constante C de integracion)
 INTEGRAL
DEFINIDA: La integral definida
es un concepto utilizado para determinar el
valor de las áreas limitadas por curvas y
rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que,
para cada uno de sus puntos x, se define
una función f (x) que es mayor o igual que 0
en [a, b], se llama integral definida de la
función entre los puntos a y b al área de la
porción del plano que está limitada por la
función, el eje horizontal OX y las rectas
verticales de ecuaciones x = a y x = b.
 La integral definida de la función entre los
extremos del intervalo [a, b] se denota
como:
 es
un método de integración numérica que
nos sirve para calcular el valor de una
integral definida, es decir, el área bajo una
curva, este método es muy útil cuando no es
posible utilizar el Teorema fundamental del
cálculo. Estas sumas toman su nombre del
matemático alemán Bernhard Riemann.
 La suma de Riemann consiste básicamente
en trazar un número finito de rectángulos
dentro de un área irregular, calcular el área
de cada uno de los rectángulos y sumarlos.
El problema de este método de integración
numérica es que al sumar las áreas se
obtiene un margen de error muy grande.
 Propiedades
de la integral definida
 1. El valor de la integral
definida cambia de signo si se permutan
los límites de integración.
 2. Si
los límites que integración
coinciden, la integral
definida vale cero.
 3. Si
c es un punto interior del intervalo
[a, b], la integral definida se
descompone como una suma de dos
integrales extendidas a los intervalos [a,
c] y [c, b].
 4. La
integral definida de una suma de
funciones es igual a la suma de
integrales·
 5. La
integral del producto de una
constante por una función es igual a la
constante por la integral de la función.
 Propiedades
de la integral indefinida
 1. La
integral de una suma de funciones
es igual a la suma de las integrales de
esas funciones.
 2. La
integral del producto de una
constante por una función es igual a
la constante por la integral de la
función.
 Es
un teorema con un enunciado que
comienza 'existe(n)...', o más generalmente
'para todo x, y, ...existe(n) ...'. Esto es, en
términos más formales de lógica simbólica,
es un teorema con un enunciado
involucrando el cuantificador existencial.
Muchos teoremas no lo hacen
explícitamente, como es usual en el
lenguaje matemático estándar, por ejemplo,
el enunciado de que la función seno es una
continua, o cualquier teorema escrito en la
notación O.
 Función
primitiva o antiderivada de
una función dada f(x), es otra función F(x)
cuya derivada es la función dada.
 Si
una función f(x) tiene primitiva,
tiene infinitas primitivas,
diferenciándose todas ellas en
una constante.
 Método
de integración por sustitución
 El método de integración por
sustitución o por cambio de
variable se basa en realizar un
reemplazo de variables adecuado que
permita convertir el integrando en algo
sencillo con una integral o anti derivada
simple.
 Método
de integración por partes
 s el que resulta de aplicar el siguiente
teorema:
 Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca
menos flaca(menos integral) Vestida De
Uniforme".
 Eligiendo adecuadamente los valores
de y , puede simplificarse mucho la
resolución de la integral.
 Método
de integración por cambio de
variables
 El cambio de variables es uno de los
métodos más usados en la integración.
Permite expresar la integral inicial
mediante un nuevo integrando y un
nuevo dominio siendo la integral
equivalente a la primera. Para integrales
simples de una sola variable si es la
variable original y es una función
invertible, se tiene:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%
C3%A1lculo

http://matematica.wikia.com/wiki/Teorema_fundamental_d
el_c%C3%A1lculo_integral

http://www.hiru.com/matematicas/la-integral-definida

http://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemann

http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_defini
da.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_existencia

http://www.ditutor.com/indefinidas/funcion_primitiva.html

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