Galois e il concetto di gruppo

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Galois e il concetto
di gruppo
Pristem, Padova 12 aprile 2013
Évariste Galois (1811-1832)
Renato Betti – Politecnico di Milano
Risolubilità per radicali delle
equazioni algebriche:
n
n 1
x  a1 x
   an  0
Pregherai pubblicamente Jacobi o
Gauss di dare il loro parere, non sulla
verità ma sull’importanza dei teoremi.
Dopo questo ci sarà, spero, qualcuno
che troverà il suo profitto a decifrare
tutto questo guazzabuglio.
Renato Betti – Politecnico di Milano
… le frecce intere
rappresentano
generalizzazioni di varie
costruzioni o risultati,
mentre quelle tratteggiate
rappresentano
“ispirazioni”…
Renato Betti – Politecnico di Milano
XVI secolo: Tartaglia, Cardano, Ferrari
F (x)  x  a1 x
n
n 1
   an  0
a 1 , a 2 ,..., a n  Q
a  a 4b
2
x  a x b0
2
x  px  q  0
3
x
2
x 
2
x  px qx  r 0
4
2
3
q

p
3

27
q
2
4

3
q
2
……………………………………
……………………………………………………………………………………………………...
Renato Betti – Politecnico di Milano

p
3
27

q
2
4
XVI - XVII secolo: Viète, Girard, …
x  a1 x
n
n 1
   a n  ( x  r1 )( x  r2 )  ( x  rn )
a 1   ( r1  r2    rn )
a 2  r1 r2  r1 r3    rn 1 rn

a n  (  1) r1 r2  rn
n
x  bx  c  0
2
 r1  r2   b

 r1 r2  c
Renato Betti – Politecnico di Milano
Newton: Arithmetica Universalis (1707)
s k  r1  r2  ....  rn
k
k
k
s1   a 1
s 2   s1 a 1  2 a 2
s3   s 2 a1  s 1 a 2  3a 3

s k   s k 1 a 1  s k  2 a 2    (  1) ka k
k
Renato Betti – Politecnico di Milano
Teorema fondamentale delle funzioni simmetriche
 1  x1  x 2    x n
 2  x 1 x 2  x 1 x 3    x n 1 x n
.......... .......
 n  x 1x 2  x n
Ogni polinomio simmetrico si può esprimere univocamente
come un polinomio nei polinomi simmetrici elementari.
( r1  r2 )  ( r1  r2 )  4 r1 r 2  b  4 c
2
2
2
( r1  r2 ) ( r1  r3 ) ( r2  r3 )   4 ( r1 r2  r1 r3  r2 r3 )  27 r1 r2 r3 
2
2
2
3
  4 p  27 q
3
2
Renato Betti – Politecnico di Milano
Joseph Louis Lagrange
Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)
t  r1  r2
r1 
1
2

( r1  r2 )  ( r1  r 2 )
t = r 1 + α r2 + α 2 r3

t
t 3 = ( +  +   )3
u3 = ( +   +  )3
1 
r1 
1
3

2
0
( r1  r2  r3 )  ( r1   r2   r3 )  ( r1   r2   r3 )
2

Renato Betti – Politecnico di Milano
2


Joseph Louis Lagrange
Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)
t =  −  +  − 
t  = ( − +  −  )
u = ( + −  −  )
v  = ( −  −  + )
 =


 +  +  +  +
+ −  +  −  +
+ +  −  −  +
+ −  −  + 
t
u
v
t =  +  +   +   +  
Renato Betti – Politecnico di Milano
Joseph Louis Lagrange
Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)
Teorema. Se è una funzione razionale in n indeterminate, a
coefficienti noti, l’ordine del gruppo di isotropia I() di  è
un divisore di n! Inoltre  è radice di un’equazione di grado
n!/ |I( )| a coefficienti noti.
Teorema (di Lagrange). In un gruppo finito, l'ordine di un
sottogruppo è un divisore dell'ordine del gruppo.
Esempio:   r1 r2  r3 r4












Renato Betti – Politecnico di Milano




(
(
(
(








)
)
)
)
Joseph Louis Lagrange
Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)
Teorema. Se  e ψ sono espressioni razionali in m
indeterminate, e ψ assume n valori distinti sotto l'azione
delle permutazioni di I ( ) , allora ψ è radice di
un'equazione di grado n, i cui coefficienti si esprimono
razionalmente mediante  .
  r1 r2  r3 r4
 =  +  − ( +  )












Renato Betti – Politecnico di Milano




(
(
(
(








)
)
)
)
Teorema (Ruffini, 1799, Abel, 1826)
L’equazione generale di grado superiore al quarto non è
risolubile per radicali.
L’idea di Galois
3
Esempio: x  3 x  4  0
r 
3
2
3 
3
2
3
 −  −  = ( − )( +  +  )
Renato Betti – Politecnico di Milano
Il gruppo di Galois
 1 ,  2 ,  2 , id 
 1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  1 ,  2 ,  3 , id 
 1 , id 
{ id }
Renato Betti – Politecnico di Milano
Évariste Galois
Mémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux
(1832-46)
  GK (P )
 ( r1 , r2 ,  , rn )  K

 1  r1  r2  r3  r4
 ( r (1 ) , r  ( 2 ) ,  , r ( n ) )  K
| S 4 | 24
 2  r1 r2  r3 r4
 3  ( r1  r2 )  ( r3  r4 )
 4  r3  r4
 5  r4
Renato Betti – Politecnico di Milano
La connessione di Galois
Mémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux
(1832-46)
Q

Q (v )
Gal Q ( P )  Gal Q ( v ) ( P )
Q
Gal Q ( P )


Q ( v1 )
Gal Q ( v 1 ) ( P )


Q (v1 , v 2 )




Gal Q ( v 1 , v 2 ) ( P )






K
id 
Renato Betti – Politecnico di Milano
Évariste Galois
Mémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux
(1832-46)
Teorema. P ( X )  0 è risolubile per radicali se e solo se,
ampliando progressivamente il campo dei coefficienti con termini
ausiliari v tali v p (con p primo) appartenga al precedente campo
dei coefficienti, il gruppo Gal K ( P ) si riduce all’identità.
Definizione
Un gruppo finito G si dice risolubile se esiste una catena di
sottogruppi
tale che:
Renato Betti – Politecnico di Milano
Évariste Galois
 ⊃  ⊃

⊃…⊃
{id}
2 +  +  = 0
3
+ + q = 0  ⊂
( ∆ )
 ⊃ ,  , 
⊂ ( ∆,


+

⊃ 
Teorema (Ruffini, Abel)
Il gruppo simmetrico S5 non è risolubile. Quindi l’equazione
generale di quinto grado non è risolubile per radicali.
Renato Betti – Politecnico di Milano
∆)
… Jordan, Kronecker, Dedekind …
Esistenza dei “campi di spezzamento” delle equazioni:
K ( r1 , r2 ,  , rn )
GalK(P) = AutK K ( r1 , r2 ,  , rn )

K ( r1 , r2 ,  , rn )     K ( r1 , r2 ,  , rn )

K

    

id
Renato Betti – Politecnico di Milano
K
Teoria di Galois di Artin
Q  K estensione finita di Galois:
 K

Gal
Q
 M  K
Q  M  K
K
H
|


( )
 
( )
K
Gal
K
H
 Gal
K
(Q )

( M )   : K  K |  ( a )  a ,  a  M 
   K |  ( )   ,    H 

Renato Betti – Politecnico di Milano
|
H
Teorema fondamentale della teoria di Galois
Se Q  K è un’estensione finita di campi, la connessione di
Galois
 K

Gal
Q
 M  K

( )
 
( )
K
H
 Gal
K
(Q )

stabilisce una corrispondenza biunivoca, che inverte l’ordine,
fra il preordine dei campi intermedi Q  M  K e il
preordine dei sottogruppi di Gal K (Q ) .
Renato Betti – Politecnico di Milano
Il gruppo fondamentale
U 
 Y
p
~

U 
 U
ricoprimento di X
ricoprimento universale di X
~

Q  K
U 
 U
____________________________________________________________
~

U 
 U
Q  M  K

Y
____________________________________________________________
Gal
K
 (U )
(Q )
Renato Betti – Politecnico di Milano
Grazie per l’attenzione
Renato Betti – Politecnico di Milano

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