Распределение тепла в пластине. Смешанные краевые условия

Report
Распространение тепла в тонкой, однородной
пластине. Метод Фурье. Краевая задача с
граничными условиями смешанного типа.
Сергей Мацкевич
ИФО 3-2
Дифференциальное уравнение
теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности дает
зависимость между температурой, временем и координатами.

Коэффициент
- - коэффициент температуропроводности
Краевые условия

Начальные условия.
Граничные условия.
1-го рода:
2-го рода:
Смешанного типа:

Краевые условия. Совокупность граничных и начальных условий
называется краевыми условиями. Дифференциальное уравнение
вместе с краевыми условиями образуют краевую задачу.
Прямоугольная пластина

Рассмотрим тонкую, однородную, прямоугольную пластину. Здесь
температура u зависит от двух координат – x,y. Найти температуру в
любой точке пластины в любой момент времени.

Рассмотрим два случая:
1. Пластина, контур которой поддерживается при нулевой температуре
2. Пластина, два противоположных края которой поддерживаются при
нулевой температуре, а два других теплоизолированы
Первая начально-краевая задача
Контур пластины поддерживается при
нулевой температуре, а тепловой обмен
между боковой поверхностью пластины с
окружающей средой отсутствует.
Решение
 Задача сводится к отысканию решения
уравнения
при начальном условии
при граничных условиях
Решение уравнения ищем методом Фурье
где
С учетом граничных условий получим решения:
Тогда решение данной задачи имеет вид
где
Тогда окончательный вид решения будет:
Краевая задача с граничными
условиями смешанного типа
Рассмотрим тонкую однородную
прямоугольную пластинку размера axb, два
противоположных края которой x=0 и x=a
поддерживаются при нулевой температуре,
а два других края y=0 и y=b
теплоизолированы.
Решение
 Задача сводится к отысканию решения
уравнения
при начальном условии
при граничных условиях
Решение уравнения ищем методом Фурье
где
С учетом граничных условий получим решения:
Тогда решение данной задачи имеет вид
где
Тогда окончательный вид решения будет:
Курсовая задача
Решить краевую задачу с граничными условиями смешанного
типа, если в начальный момент времени температура равна
Решение данной задачи имеет вид:
где
Тогда окончательный вид решения будет:
График задачи
Для иллюстрации поведения температуры покажем график
значений u(x,y,t) в момент времени t=60 и при T =10, размер
пластины 5х5:
0
Заключение
В курсовой работе были рассмотрены
следующие задачи:
1.
2.
3.
4.
5.
Первая начально-краевая задача
Краевая задача смешанного типа
Получено решение 1-ой начально-краевой задачи
и с граничными условиями смешанного типа в
общем виде
Рассмотрена и решена неоднородная краевая
задача со смешанными краевыми условиями
Качественно решение продемонстрировано на
графике

similar documents