Ejemplo

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UNIVERSIDAD NACIONAL
Optaciano Vasquez
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO: FISICA I
DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS
AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García
HUARAZ - PERÚ
2010
MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Posición del centro de Masa
• Consideremos un sistema compuesto por partículas
de masa m1, m2, ….. Mn cuyas posiciones respecto a
un observador inercial son r1; r2 ; r3 ;.......ri ;.......rn
• El centro de masas se define como
rCM
m1r1  m2 r2  .....  mi ri  ...  mn rn

m1  m2  .....  mi  ....  mn
n
rCM 
m r
i 1
n
i i
m
i 1
Optaciano Vasquez
i
1

M
n
m r
i 1
i i
Ejemplo
• Localice el centro de masa para el sistema
mostrado
MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Velocidad del centro de Masa
• Si las partículas tienen velocidades
v1; v2 ; v3 ;.......vi ;.......vn
• La velocidad del centro de masa se obtiene derivando
la ecuación del centro de masa respecto del tiempo
vCM
Optaciano Vasquez
dr
d 1
 CM  
dt
dt  M
 1
m
r

i i 
i 1
 M
n
n
dri
1
m


i
dt M
i 1
n
m v
i 1
i i
MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Momento lieal de un sistema de Particulas
• Sabemos que el momento lineal es igual al producto
de la masa por la velocidad entonces el momento de
la i-ésima partícula será
pi  mi vi
• Entonces el momento lineal del sistema será
1
vCM 
M
donde
n
P
pi 
 P  M vCM

M
i 1
n
P  p1  p2  .....  pi  .....  p1   pi
i 1
Optaciano Vasquez
MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
Aceleración de un sistema de Particulas
 La aceleración del centro de masa de un sistema se
obtiene derivando la velocidad del CM, es decir
aCM
aCM
dvCM d  1

 
dt
dt  M
1 n

mi ai

M i 1
n
MaCM   mi ai
i 1
Optaciano Vasquez

mi vi 

i 1

n
Ejemplos de Movimiento de CM
Optaciano Vasquez
EJEMPLO
• Las tres partículas de un sistema se mueven
plano xy. En cierto instante las posiciones
acelereaciones de las partículas se muestran
figura. Para este instante determine:
coordenadas del centro de masa del sistema y
aceleración del centro de masa del sistema
en el
y las
en la
(a)las
(b) la
SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA
UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
• La segunda ley para una partícula será
n
Fi   fij  mi ai
j 1
n


ri  Fi   ri  f ij  ri  mi ai
j 1
Fi  fuerza externa
fij  fuerza interna
mi ai  fuerza efectiva
El sistema de fuerzas
externas e internas
actuando
sobre
un
sistema es equivalente
al sistema de fuerzas
efectivas
Optaciano Vasquez
SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA
UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
• Sumando para todas las partículas,
n 
n n 
n

F

f

m
a
 i   ij  i i
i 1
i 1 j 1
i 1
n n 
n 

 






r

F

r

f

r

m
a
 i i   i ij  i i i 
n
i 1
i 1 j 1
i 1
• De acuerdo con la tercera ley de
Newton las suma de las fuerza
internas se anulan de igual foma el
par de dichas fuerzas


 Fi   mi ai
 





r

F

r

m
a
 i i  i i i
14 - 10
Optaciano Vasquez
• El sistema de furzas externas y el
sistema de fuerzas efectivas son
equipolentes o equivalentes
Ejemplo
• Las tres partículas de un sistema se mueven en el
plano xy. En el instante que se muestra, sobre las
partículas actúan la fuerzas indicadas. Para este
instante, determine: (a) las coordenadas del centro
de masa del sistema y (b) la aceleración del centro
de masa del sistema
MOMENTUM ANGULAR DE UN
SISTEMA DE PARTÍCULAS
• Hemos definido el momento
angular como el producto
vectorial.
HO  r  mV
• Su dirección es perpendicular
al plano de r y mv
• Su magnitud está dado por
H O  rmV sin 
H O  rmv  mr 
2
Optaciano Vasquez
MOMENTUM ANGULAR DE UN
SISTEMA DE PARTÍCULAS
• Su componentes vectoriales
se
determinan
del
determinante



i
j
k

HO  x
y
z
mv x mv y mv z
• Derivando respecto del
tiempo al momento angular
d
HO 
r  mV  r  mV  r  mV
dt
 V  mV  r  ma  r   F
0
 F

HO   M O
Optaciano Vasquez

• La
suma
de
momentos
respecto
de O es igual a la
razón de cambio del
momento angular
MOMENTO ANGULAR DE UN
SISTEMA DE PARTÍCULAS
• Consideremos
un
sistema
formado por dos partículas y
después se generaliza
• Cada partícula está sometida a
fuerzas externas e internas
• El momento angular de cada
una de ellas será
H1  r1 x p1
y H2  r2 x p2
• El momento del sistema será
HO  H1  H2  r1 x p1  r2 x p2
Optaciano Vasquez
• Derivando
del tiempo
respecto
dH O d (r1 x p1 ) d (r2 x p2 )


dt
dt
dt
dH O
 M 1,O  M 1,O
dt
MOMENTO ANGULAR DE UN
SISTEMA DE PARTÍCULAS
• Por otro lado los momentos son
M1,O  r1 x( F1  F12 )
M 2,O  r2 x( F2  F21 )
• El momento total será
M O  r1 xF1  r1 xF12  r2 xF2  rxF21 )
M O  r1 xF1  r2 xF2  (r1  r2 ) xF12
M O  r1 xF1  r2 xF2
• Los momentos de las fuerzas
internas se cancelan. Entonces
Optaciano Vasquez
dH O
 M1,ex  M 2,ex
dt
• Generalizando para n
partículas, se tiene
n
d ( H O )tot
  M i ,ex
dt
i 1
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO
LINEAL Y ANGULAR
• Si sobre un sistema no
actúan fuerzas externas o si
la resultante de todas las
fuerzas externas es nula, se
conserva el momento lineal
del sistema. Es decir
n
P   pi  Cte
i 1
• Si sobre un sistema no
actúan fuerzas externas
o si la resultante de
todas
las
fuerzas
externas es nula, se
conserva el omento
lineal del sistema
n
d ( H O )tot
  M i ,ex  0
dt
i 1
H O  Cons tan te
Optaciano Vasquez
Ejemplo
• Un proyectil de 10 kg se está moviendo con una
velocidad de 30 m/s cuando este explota en dos
fragmentos de 2,5 kg y 7,5 kg. Inmediatamente
después de la explosión los fragmentos viajan
según las direcciones que se indica θA = 45° y θB
= 30°. Determine la velocidad de cada fragmento
Solución
• Debido a que no existen fuerzas
externas , el momentum lineal se
conserva
• Se escribe las componentes de la
ecuación de conservación del
momento lineal.



m A v A  m B v B  mv0
2.5vA  7.5vB  10v0
componente x:
2.5v A cos 45  7.5vB cos 30  1030
componente y:
y
x
14 - 18
2.5v A sin 45  7.5vB sin 30  0
• Resolviendo simultaneamente las
ecuaciones
v A  62.1 m/s
vB  29.3 m s
ENERGÍA CINÉTICA DE UN SISTEMA
• Consideremos un sistema formado por dos partículas de
masas m1 y m2 sometidas a las fuerzas mostradas y
moviéndose en la trayectorias C1 y C2
• Las ecuaciones de movimiento serán
m1a1  F1  F12
m2 a2  F2  F21
Optaciano Vasquez
ENERGÍA CINÉTICA DE UN SISTEMA
• Multiplicando las ecuaciones
correspondientes se tiene
por los
desplazamientos
m1a1.dr1  F1.dr1  F12 .dr1
m2 a2 .dr2  F2 .dr2  F21.dr2
• Sumando dichas ecuaciones y recordando que
F12  F21
m1a1.dr1  m2 a2 .dr2  F1.dr1  F2 .dr2  F12 .(dr1  dr2 )
m1v1dv1  m2 v2 dv2  F1.dr1  F2 .dr2  F12 .dr12
• Integrando desde se tiene

v1
v10
Optaciano Vasquez
v2
m1v1dv1   m2 v2 dv2  
v20
B
A
 F .dr  F .dr   
1
1
2
2
B
A
F12 .dr12
1
1
1
1
2
2
2
2 
m
v

m
v

m
v

m
v
1 1
2 2 
1 1,0
2 2,0   U ext  U int


2
2
2
 2

T f  Ti  U ext  U int
CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA DE
UN SISTEMA
• Si las fuerzas internas son conservativas, se les puede
asociar una función potencial dependiente de la posición
de las partículas, entonces el trabajo interno se escribe
B
Uint   F12 .dr12  V12,0  V12
A
• Las cantidades V12,0 y V12, son las energías potenciales
internas inicial y final. Entonces al remplazar esta ecuación
en el principio trabajo - energía cinética se tiene
T f  Ti  Wext  V12,0  V12
(T f  V12 )  (Ti  V12,0 )  U ext
• La energía propia del sistema (ε) es la suma de las
energías cinéticas respecto a un observador inercial más la
energía interna
Optaciano Vasquez
1
1
2
  T f  V12  m1v1  m2v22  V12
2
2
CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA DE
UN SISTEMA
• Si en lugar de dos partículas tenemos n de ellas se tiene, la
energía propia se escribe
1
E  T f  V12  
mi vi2   Vij
todas las 2
Todos los
partículas
pares
• Donde
T 

todas las
partículas
V12 
1
1
1
1
1
mi vi2  m1v12  m2v22  ...  mi vi2  .....  mnvn2
2
2
2
2
2

Vij  V12  V13  .......  V23  .....
Todos los
pares
• Entonces el cambio en la energía propia es igual al trabajo
externo, esto es
E f  Ei  Uex
Optaciano Vasquez
CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA DE
UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
• Por otro lado si el sistema se encuentra aislado, el trabao
externo es nulo y como tal la energía propia permanece
constante
 final   inicial
• Por otro lado si las fuerzas externas también son
conservativas, entonces se pueden expresar también como
una función potencial, es decir
Uex  Vo,ext  Vext
• La variación de energía propia del sistema será
 f   i  Uex  Vo,ext  Vext
• La energía total permanece constante y se puede escribir
E    Vex  T  Vint  Vext
Optaciano Vasquez
EJEMPLO
01
Los bloques A y B están unidos por un cable que pasa a
través de dos poleas de masa despreciable, como se
muestra en la figura. El coeficiente de fricción cinético
entre el bloque A y el plano inclinado es 0,40. Si la velcidad
inicial de A es 8 pies/s descendiendo por el plano.
Determine el desplazamiento sA del bloque A antes que el
sistema alacance alcance el reposo.
Optaciano Vasquez
Solución 01
• Cinemática de movimiento dependiente
s A  2 sB  L
(1)
s A , i  2 s B ,i  s A , f  2 s B , f
[ s A, f  s A,i ]  2[ sB , f  sB ,i ]  0
s A  2sB  0
s A  2 sB
(2)
Derivando la ecuación (1)
v A  2vB  0 (3)
• Se aplica la segunda ley de Newton en
dirección y para determinar la reacción
normal y después la fricción
 Fy  maA, y  0  N A  W cos 20
 Fk  k N A  0, 4(10cos 20)  3, 759lb
Solución
• Se aplica el principio trabajo. Energía cinética para
un sistema de partículas
T f  Ti  (U i  f )ext  (U i  f )int
1 WA 2 WB 2 
0 
v A ,i 
vB ,i   (WA sen 20) s A  FA s A  WB sB 
2 g
g

s A 
1 
8 2 
2

10(8)  6( )   (10 sen 20) s A  3, 759 s A  6(
)

64, 4 
2  
2 
s A  3, 42 pies
Ejemplo 02
• Los dos collarines A y B que se muestran en la figura se
deslizan sin fricción a lo largo de dos barras que se
encuentran en el mismo plano vertical y están a 1,2 m de
separación. La rigidez del resorte es k = 100 N/m y su
longitud libre es Lo = 1,2 m. Si el sistema se suelta desde
el reposo en la posición que se muestra, donde el resorte
se ha estirado a la longitud L1 = 1,8 m. determine la
máxima velocidad alcanzada por cada uno de los collarines
Solución 02
• Se analiza el sistema formado por • Entonces se tiene
los dos collarines. Para ello se 12 vA2 , f  8 vB2 , f   1 100[0  0, 62 ]
2
2
traza el DCL en una posición 2
• Simplificando
arbitrara.
• Aplicando el principio trabajo
energía cinética se tiene
T f  Ti  (U i  f )ext  (U i  f )int
T f  0  0  (U i  f )int
• La energía cinética inicial es nula
y el trabajo interno es el de la
fuerza elástica. Entonces
1
1
1
mAvA2 , f  mB vB2 , f   k[ f2   i2 ]
2
2
2
• Las deformaciones son
 i  L1  L0  1,8  1, 2  0, 6m
 f  L f  Lo  1, 2  1, 2  0
6vA2 , f  4vB2 , f  18
(1)
Solución
• Principio I-p: En ausencia de
fuerzas externas en dirección
horizontal se conserva p
[ px ]inic  [ px ] final
mAv A,i  mB vB ,i  mAv A, f  mB vB , f
12v A, f  12vB ,. f  0
(2)
• Resolviendo simultáneamente las
ecuaciones (1) y (2), resulta
vA, f  1, 095 m / s
vB ,. f  1, 643 m / s
Ejemplo 03
• El bloque A de 12 kg de la figura se suelta desde el reposo
en la parte superior de la cuña de 2 kg (posición 1).
Determine las velocidades de A y B cuando el bloque haya
llegado a la parte inferior de la cara inclinada de la cuña,
como se muestra en la figura B. Desprecie la fricción
Solución
• En ausencia de fricción, la única
fuerza que realiza trabajo es el peso. • Resolviendo las
Por lo tanto se conserva la energía
ecuaciones
se
V1  T1  V2  T2
tiene
1
1
(v A, x ) 2  0,58m / s;
m gh  0  0  m (v ) 2  m (v ) 2
A
2
A
A, x 2
B
B,x 2
2
12
2
12(9,81)(0, 4)  (v A, x )22  (vB , x )22
2
2
6(vA, x )22  (vB , x )22  47, 09
• Movimiento relativo de A respecto a B
( v A ) 2  ( v A / B ) 2  ( vB ) 2
(v A, x ) 2 iˆ  (v A, y ) 2 ˆj  (v A / B ) 2 cos 30iˆ  (v A / B ) 2 sen30 ˆj  (vB ) 2 iˆ
Igualando componentes
(v A, x ) 2  (v A / B ) 2 cos 30  (vB ) 2
(v A, y ) 2  (v A / B ) 2 sen30
(v A, y ) 2  2,34m / s
(vB ) 2  3, 48m / s;
(v A / B ) 2  4, 69m / s
Ejemplo
• La bola B de masa mB cuelga de un hilo de longitud L
sujeto a un carro A, de masa mA que puede rodar
libremente por una pista horizontal lisa. Si la bola recibe
una velocidad horizontal v0 estando el carro en reposo.
Determine la velocidad de B cuando llega a su máxima
altura, (b) la máxima altura que h a la que sube B
• Las velocidades en la posición 1 y 2 son
v A,1  0 vB ,1  v0
vB , 2  v A, 2  vB
A, 2
 v A, 2
• Cuando la bola B llega su su altura
máxima su velocidad relativa respecto al
soporte es nula.
• Aplicando la conservación del momento
lineal en dirección +x se tiene
mAv A,1  mBvB,1  mAv A,2  mBvB,2
mB v0  mA  mB  v A, 2
• Despejando la velocidad final de A
mB
v A, 2  vB, 2 
v0
m A  mB
Solución
• Aplicando el principio de conservación de la energía
se tiene
T1  V1  T2  V2
Posición 1 - Energia
potencial
V1  m A gl
2
1
Energía cinética: T1  2 mB v0
Posición 2 - Energía
potencial:
Energía cinética:
1
2
V2  m A gl  mB gh
T2  12 m A  mB v 2A,2
mB v02  m A gl  12 m A  mB  v A2 , 2  m A gl  mB gh
2

v02 m A  mB v A,2 v02 m A  mB  mB

h



v0 
2g
mB
2g 2g
2 g mB  m A  mB 
v02
mB
v02
h

2 g mA  mB 2 g
2
mA v02
h
mA  mB 2 g
Ejemplo
• En una jugada de billar americano, la bola A se mueve
con una velocidad inicial v0 = v0 i cuando golpea a las
bolas B y C, que están en reposo una junto a la otra.
Suponiendo las superficies lisas y el choque
perfectamente elástico. Halle la velocidad final de cada
bola suponiendo que el trayecto de A (a) está
perfectamente centrado y que golpea a B y C
simultáneamente y (b) no esté perfectamente centrado y
golpee a B un poco antes que a C
Solución
Ejemplo
• El par de bloques representado en la figura están
conectados mediante un hilo inextensible y sin peso. El
resorte tiene una constante k = 1200 N/m y una longitud
natural L0 = 30 cm. El rozamiento es despreciable. Si se
suelta el sistema a partir del reposo cuando x = 0,
determine: (a) la celeridad de los bloques cuando x = 10
cm y (b) El máximo desplazamiento xmax que alcanzará en
el ulterior movimiento
Ejemplo
Los dos bloques representados en la figura están unidos
mediante un hilo inextensible y sin peso. Se sueltan,
partiendo del reposo, cuando el resorte está sin deformar.
Los coeficientes de rozamiento estático y cinético valen s
= 0,20 y k = 0,10, respectivamente, determine: (a) la
máxima velocidad de los bloques y el alargamiento que en
esa condición, sufre el resorte, (b) la máxima caída del
bloque de 25 N.
Ejemplo
• Los bloques A y B están
unidos por un cable que
tiene una longitud de 6,5
m y pasa por una pequeña
polea lisa C. Si el sistema
se suelta desde el reposo
cuando xA = 4 m,
determine la velocidad de
A cuando B llega a la
posición que se muestra
por medio de líneas
interrumpidas. Desprecie
la fricción.
Ejemplo
Los dos bloques mostrados en la figura están unidos
mediante un hilo inextensible y sin peso. La superficie
horizontal y el poste vertical carecen de rozamiento.
En la posición representada, el bloque de 10 N tiene
una velocidad de 1,5 m/s hacia la derecha. Determine
para el ulterior movimiento, la máxima distancia a la
cual asciende el bloque de 25 N
Ejemplo
Una caja que tiene un peo W1 = 40 lb desliza hacia abajo
partiendo del reposo por una rampa lisa y después sobre la
superficie de un carrito de peso W2 = 20 lb. Determine la
rapidez del vagón en el instante en que la caja deje de
deslizar sobre el carro. Si alguien ata al carro a la rampa B
determine el impulso horizontal que ejercerá en C para
parar su movimiento. Desprecie la fricción y considere h =
15 pies
Ejemplo
La chalana B tiene una masa de 15 Mg y soporta a un
automóvil que tiene una masa de 2 Mg. Si la chalana no
está unida al muelle P y alguien conduce el automóvil
d = 60 m hasta el otro lado para su desembarque.
Determine cuanto se aleja la chalana del muelle
justamente después que el auto se para. Desprecie la
resistencia del agua.
Solución
• Sea v la velocidad del carro respecto a la chalana y vB la velocidad de
la chalana respecto a un observador fijo en la tierra (muelle).
Entonces en ausencia de fuerzas externas e la dirección x ya que se
deprecia el rozamiento del agua, considerando el sistema chalana +
auto como un sistema cerrado, se conserva el momentum lineal es
decir
m v  m (v  v )  0
B B
vB  
A
B
mA
v
mA  mB
• Por otro lado el movimiento del auto es uniforme
d
x A / B  v A / B t  d  vt  v 
t
• El movimiento de la chalana será


mA
mA
d
S B   vB t    
v t  [
v]
mA  mB v
 mA  mB 
mA d
2 Mg (60m) 120
SB 


m  7, 07m
mA  mB 2Mg  15Mg 17
• Los bloque A y B de 40 kg y 60 kg de masa
respectivamente, se encuentran localizados sobre una
superficie horizontal lisa y conectado entre ellos
mediante un resorte de constante K = 180 N/m, el cual
se encuentra deformado 2 m. Si el sistema se libera
desde el reposo, determine las velocidades de los
bloques cuando el resorte no está deformado
Ejemplo
• Dos semiesferas se encuentran unidas mediante una
cuerda que mantiene a un muelle bajo compresión(el
muelle no esta sujeto a las semiesferas). La energía
potencial del muelle comprimido es 120 J y el conjunto
posee una velocidad vo de módulo vo = 8 m/s. sabiendo
que la cuerda se corta cuando θ = 30° haciendo que las
semiesferas se separen, hallar la subsiguiente velcoidad
de cada semiesfera
• Dos automóviles chocan en el cruce, según se indica
en la figura. El auto A tiene una masa de 1000 kg y
una celeridad inicial vA = 25 km/h, mientras que el
auto B tiene una masa de 1500 kg. Si los autos
quedan enganchados y se mueven conjuntamente en
la dirección dada por el ángulo θ = 30º después del
choque, determine la celeridad vB que llevaba el auto
B antes de chocar.
Ejemplo
• Un bloque de madera de 0,30 kg está unido a un
resorte de k = 7500 N/m como se muestra en la
figura. El bloque está en reposo sobre una superficie
horizontal rugosa (μk = 0,40) y recibe el impacto de
una bala de 0,030 kg que lleva una velocidad inicial
vi = 150 m/s. En el choque, la bala queda incrustada
en la madera. Determine: (a) la celeridad del
conjunto bloque-bala inmediatamente después del
choque, (b) la distancia que recorrerá el bloque antes
de detenerse.
Ejemplo
• La esfera de a figura pesa 25 N, se suelta a partir del
reposo cuando θA = 60º , baja y choca contra la caja
B que pesa 50 N. Si la distancia del techo al centro de
la esfera es de 0,9 m, el coeficiente de restitución
vale 0,8 en este choque y el coeficiente de
rozamiento entre caja y suelo vale 0,3, determine: (a)
la velocidad de la caja inmediatamente después del
choque, (b) la distancia que recorre la caja antes de
detenerse.
Ejemplo
• Una bala de 20 g disparada sobre un bloque de
madera de 4 kg suspendido de las cuerdas AC y BD
penetra en el bloque por el punto E, equidistante de
de C y D, sin tocar la cuerda BD. Determine: (a) la
máxima altura a la que subirá el bloque con la bala
incrustada después dl impacto, (b) el impulso total
que durante éste ejercen ambas cuerdas sobre el
bloque.
Ejemplo
• Al seleccionar el mazo de un martinete
se desea que en cada golpe el mazo
ceda toda su energía cinética. Es decir,
la velocidad del mazo inmediatamente
después del choque debe ser nula. Los
pilotes que trabajan son de 300 kg cada
uno y la experiencia indica que el
coeficiente de restitución será 0,3
aproximadamente. ¿Cuál debería ser la
masa del mazo?. Calcular la velocidad v
del pilote inmediatamente después del
choque si cae el mazo sobre el pilote
desde una altura de 4 m. Calcular
también la pérdida de energía Δ E en
cada golpe.
Ejemplo
• La bola se suelta en la posición Ay cae sobre el plano
inclinado desde una altura de 0,75 m. Si en el choque
el coeficiente de restitución es e = 0,85. Determine el
alcance medido plano abajo
Ejemplo
Ejemplo

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