Variable aleatoria contínua

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6. Variable aleatoria continua
Un diálogo entre C3PO y Han
Solo, en El Imperio
Contraataca, cuando el Halcón
Milenario se dispone a entrar en
un campo de asteroides:
- C3PO: Señor, la probabilidad
de sobrevivir al paso por el
campo de asteroides es,
aproximadamente, de una entre
3721.
- HAN SOLO: ¡No me hables de
probabilidades!
1
Variable aleatoria continua versus discreta.
Considera el siguiente ejemplo:
•
Tenemos dos dados: el primero es un dado convencional que tiene
6 caras, todas ellas equiprobables.
•
El segundo, es un dado ‘continuo’, es decir, al tirar el dado
podemos obtener cualquier número real comprendido en el
intervalo [0,6]. Todos los números son equiprobables.
- Por Laplace, sabemos que en el primer caso, P(X=x)=1/6
- En el segundo caso, P(X=x)=1/∞ = 0!!
En general, para toda v.a. continua X, la probabilidad de que tome un
determinado valor, p(X = x), es simpre igual a cero.
Este hecho es, junto al uso de la integral en lugar de sumatorios, la
diferencia fundamental entre ambos tipos de variables.
¿Cómo calcular entonces probabilidades?
Función de densidad de probabilidad
La función de
densidad per se
NO ES UNA
PROBABILIDAD
Es decir, NO es
verdad que
f(x) = P(X = x)
Recuerda que
P(X=x) es
siempre igual a
cero si X es una
v.a. continua.
La probabilidad de que X esté entre a y b
se puede calcular como el área que queda debajo de la curva f(x)
f(x)
El área
delimitada por
la curva f(x) en
el intervalor
[a,b] se calcula
como la integral
de la función en
dicho intervalo.
a
b
X
Al igual que la
función de masa de
probabilidad, la
función de densidad
siempre toma valores
positivos. Pero, dado
que no es una
probabilidad, PUEDE
TOMAR VALORES
SUPERIORES A 1.
Imaginemos una ruleta de la fortuna con un perímetro circular
de longitud 1. Como la flecha puede señalar infinitos valores
no numerables, todo resultado tiene probabilidad 0. ¿Cómo
podemos definir entonces probabilidades?
Podemos hacerlo asignando probabilidades a intervalos, p. ej.:
la probabilidad de que el resultado esté entre 0 y 0,5 es 1/2,
puesto que se trata de la mitad del círculo.
¿Cómo podemos representarlo mediante una gráfica?
p( x)


p( x)  
b

1
Área = 1
x
0
1
0
1
a
0
x0
0  x 1
x 1
4
p( x)
p( x)
1
1
0
a
x
1
El área sobre un punto como a,
es cero.
0
a
b
x
1
La probabilidad de que
obtengamos un valor
entre a y b es b - a.
5
Función de distribución de
una variable aleatoria continua
Para una variable aleatoria continua disponemos
de un conjunto no numerable de valores. No es posible
definir una probabilidad para cada uno. Por eso
definimos previamente la función de distribución de
probabilidad, que sí tiene un significado inmediato y
semejante al caso discreto:
F :   [ 0 , 1]
x  F ( x)  P ( X  x)
6
Definimos la función de distribución para la variable
aleatoria continua como:
x
F ( x) 
 p ( t ) dt
x  

Donde p(x) se llama función densidad de probabilidad
de la distribución F(x), es continua y definida no negativa.
Diferenciando tenemos:
dF ( x )
 p( x)
dx
para cada x donde p(x) es continua.
7
Función de densidad de probabilidad
Es una función no
negativa de integral 1.
Se puede pensar como la
generalización de un
histograma de frecuencias
relativas para variable
continua.
0.25
0.20
0.15
P (a  x  b) 
0.10
F (b )  F ( a ) 
0.05
b
a
a
15
14
13
12
11
9
8
7
6
5
4
3
10
p ( x ) dx
2

1

0.00
b
8
Observa que:

 p ( v ) dv
1

A partir de la definición es fácil ver que:
b
P ( a  X  b )  F (b )  F ( a ) 
 p ( v ) dv
a
De modo que la probabilidad es el área bajo la curva
densidad p(x) entre x = a y x = b.
Nota: para cualquier par de valores a y b, en el caso de una variable
aleatoria continua, las probabilidades correspondientes a los
intervalos a < X  b, a < X < b, a  X < b y a  X  b son la misma.
No así en variable discreta.
9
Un cartero llega cada mañana entre las 8 y las 10. Definimos X = tiempo
transcurrido (medido en horas) hasta que llega el cartero. Por tanto, X está
entre 0 y 2. Si la función de densidad de X es
k Si X está entre 0 y 2
f (x)  
0 En caso contrario
(a) Calcula el valor de k
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el cartero llegue entre las 9 y las 10?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a las 9 en punto?


(a)

f ( x ) dx  1


2
2
 f ( x ) dx   k dx  kx ] 0  2 k  0  1;

0
2
(b)
 1 / 2 dx  1 / 2 x ]
1
1
(c)
2
0
k  1/ 2
 1 / 2 ( 2  1)  1 / 2
Supongamos que X tiene como función densidad a p(x) = 0.75(1-x2)
si -1 x 1 y cero en otro caso. Encuentra la función de distribución
y las probabilidades P(-1/2  X  1/2) y P(1/4  X  2). Y x tal que
P(X  x) = 0.95
F(x) = 0 si x  -1
x
F ( x )  0 . 75  (1  v ) dv  0 . 50  0 . 75 x  0 . 25 x
2
3
si - 1  x  1
1
F(x) = 1 si x >1.
1
2
P (
1
2
 X  12 )  F ( 12 )  F (  12 )  0 . 75
 (1  v ) dv  0 .6875
2
 12
1
2
1 





P(
X 2) F (2) F ( 4 ) 0.75 (1 v )dv  0.3164
1
4
1
4
P ( X  x )  F ( x )  0 . 5  0 . 75 x  0 . 25 x  0 . 95  x  0 . 73
3
Esperanza matemática o media
μ 
x
j
p(x j )
(Distribuc
ión discreta)
(Distribuc
ión continua)
j

μ 
 xp ( x ) dx

Decimos que una distribución es simétrica si existe un valor c
tal que para cada real x:
p (c + x) = p(c - x).
Observa que si una distribución es simétrica con respecto a c,
entonces su media  es  = c.
15
Varianza y desviación típica
σ 
2

( x j  μ) p ( x j )
2
(Distribuc
ión discreta)
(Distribuc
ión continua)
j

σ 
2
 ( x  μ) p ( x ) dx
2

La desviación típica o estándar es el valor positivo de la raíz
cuadrada de 2. Ambas miden la dispersión de la distribución.
Observa que la varianza siempre es 2 > 0, excepto para una
distribución con p(x) = 1 en un punto y p(x) = 0 en el resto
(una delta de Dirac), en cuyo caso 2 = 0.
16
Distribución de probabilidad uniforme U(a,b)
Función de densidad de probabilidad:
 1

p ( x)  U (a, b)   b  a
 0
1
p( x)
en otro caso
Recordemos que la función de
distribución se define como:
x
F ( x) 
ba
si a  x  b
 p ( t ) dt
Área = 1
a
x
b
x  

Entonces:
0
xa
F (x)  
b  a
1
xa
a xb
xb
17
Igualmente, partiendo de la función de distribución:
0
xa
F (x)  
b  a
1
xa
a xb
xb
Podemos calcular la función de densidad de probabilidad:
dF ( x )
dx
 p( x)
 1

p(x)   b  a
 0
si a  x  b
en otro caso
18
Ejemplo:
 1
 47  41


p( x) 

 0
para
41  x  47
para el resto de valores
45  42
p( x)
Calcula la
probabilidad
1
47  41

47  41
6
ba
2
Area
= 0.5
41
P(x 1  x  x 2 ) 
1
1
P ( 42  x  45 )
x1  x 2

45
42
P ( 42  x  45 ) 
47
x
45  42
47  41

1
2
19
Calcula la media, la varianza y la desviación típica de
la distribución de probabilidad uniforme.
b
μ 

a
b
2
2


x
b a
ab
dx  

 
ba
2 (b  a )
2
 2 (b  a )  a
2
x
2
b
ab
1
(b  a)
ba

2
σ  x 
dx 
; σ 

2  ba
12
12
a 
1
1
p(x)
(2=1/12)
p(x)
0
2
x
1
-1
0
(2=3/4)
1
2 x
Nota: Observa que estas distribuciones tienen la misma media pero distinta
varianza. Mayor varianza implica mayor dispersión alrededor de la media. 20
Momentos de orden k centrados
en el origen y en la media.
E (T ( X )) 
 T (x
j
) p(x j )
(Distribuc
ión discreta)
j
E(X ) 
k

Momentos de orden k
k
x j p(x j )
j
E (( X  μ) ) 
k

k
( x j - μ) p ( x j )
j

E (T ( X )) 
 T ( x ) p ( x ) dx
(Distribuc
ión continua)


E(X ) 
k

k
x p ( x ) dx
Observa que para k = 2:

2 = E((X - )2)

E (( X  μ) ) 
k
 ( x  μ) p ( x ) dx
k

22
Otras medidas de la anchura de la distribución:
− Desviación absoluta media, Δx:
x 
1
N

N

xi  x
o
i 1
x 

x  x p ( x ) dx

− Intervalo R ≡ xmax − xmin,
b
− Nivel de confianza al 68.3% [a,b] tal que:

a
 p ( x ) dx

 0 . 683
a
y el intervalo [a,b] es mínimo.
− Cuartiles [a,b] tal que
 p ( x ) dx
 0 . 25
y
 p ( x ) dx
 0 . 25
b
25
Otros valores típicos o medidas del valor central son:
mediana
x med
si N es impar
 x ( N 1) / 2

si N es par
1 / 2 ( x N / 2  x ( N  1 ) / 2 )
F ( x med )  P ( X  x )  P ( X  x )  0 . 5
Discr.
Cont.
moda xmod: es el valor para el cuál la distribución toma su
máximo absoluto.
Siguen un orden alfabético
p( x) 
dF ( x )
dx
x
F ( x) 
 p ( t ) dt

26
Los momentos de orden superior son menos robustos y, por lo tanto, menos
utilizados
3er momento: describe la asimetría de la distribución.
Asimetría (skewness)
m3 
1

N
i 1
( xi  x )

N
3
3

m3 
 ( x  x ) p ( x ) dx
3

4o momento: describe el aplanamiento de la distribución.
Kurtosis
m4 
1
N

N
i 1
( xi  x )

4
Se suele medir en una escala que
toma 3 como su cero, ya que éste
es el valor de la kurtosis de una
distribución normal estándar

4
m4 
 ( x  x ) p ( x ) dx
4

(Figs. © Press et al., “Numerical Recipes”)
27
28
29
30
31
33
53

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