Decomposição em frações parciais

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Caso 2 – O polinômio do denominador possui fatores lineares repetidos
Considere   =
 
 
uma função racional própria onde
Q(x) possui fatores lineares repetidos. Se ( −  ) possuir “r”
cópias, então  −   produzirá uma soma na forma:
1
2
+
 − 
 − 

+⋯
2
 − 

Para os fatores lineares que não repetem usamos o que foi discutido no Caso 1.
2
.  − 3
2



= +
+
 −3
−3
4 − 3
−2 2 +5
3
=
2


+
−2
−2
2 2 + 5 + 7
+1 −1 +3
2
+
2


+
+5
+5
+
2




=
+
+
+
+1 −1 +3
+3
2

+5
3
2
.  − 3
2
=



+
+
 −3
−3
2
Qual o significado das
estrelas?
Precisamos encontrar os valores das constantes A, B
e C.
2
2
=
=
 − 3 2 =0 9
Ao clicar nas interrogações (?) você
terá a oportunidade de ver uma
explicação detalhada. Use se
2
2
precisar.
=
=
 =3 3
Para encontrar a outra constante não podemos usar o mesmo método que usamos
para encontrar os valores de A e C. Para isso, partiremos do princípio que a igualdade
seguinte
2
.  − 3
2



= +
+
 −3
−3
2
Deve valer para TODOS os valores de “” que não anulam o denominador. Assim,
exceto  = 0 e  = 3 poderá fazer com que “” assuma qualquer outros valores. Por
exemplo: podemos fazer com que  = 4 na igualdade acima (poderia ser outro valor
qualquer – que não torne o denominador nulo. Ficará assim
2
4. 4 − 3
2
=



+
+
4 4−3
4−3
2
Hmmm... E por que será que não posso usar o mesmo método
aqui?
2
4. 4 − 3
2



= +
+
4 4−3
4−3
2
De onde virá o seguinte:
1 1
= . +  + 
2 4
2
2
Como  = 9 e  = 3 então, substituindo, ficaremos com:
1 1 2
2
= . ++
2 4 9
3
2
9
Não terá dificuldade em perceber que  = − . Desse modo
2
.  − 3
2
2/9 −2/9
2/3
=
+
+

−3
−3
2
Comandos do
MAXIMA
f : expressão
(atribui à letra “f” a expressão a ser
decomposta).
partfrac(f, variável)
(comando para decomposição em
frações parciais).
Prof. Luís Cláudio LA
As estrelas estão sendo usadas para mostrar a você quais constantes
podemos encontrar pelo método rápido.
As que não têm estrela são aquelas que irá encontrar o valor dela
atribuindo um valor qualquer (que não anule o denominador) para a
variável “x”, estabelecendo uma relação entre todos os parâmetros que
se encontram nos numeradores. Daí, usando os valores já conhecidos,
você descobrirá o valor das constantes sem a estrela. Isso ficará claro
com os exemplos.
Voltar.
..
Na igualdade
2
.  − 3
2



= +
+
 −3
−3
2
Multiplicando ambos os membros por “  − 3 2 ” ficaremos com
2.  − 3
.  − 3
2
2
.  − 3
=

2
.  − 3
+
−3
2
.  − 3 2
+
−3 2
Depois de simplificar ficará assim:
2 .  − 3
=


2
+ . ( − 3) + 
Essa relação deve ser válida para todos os valores de “x” que não anulem o denominador.
Em particular, se  = 3 a primeira e a segunda parcela do segundo membro serão
anuladas e ficaremos com
2
2
=
=

3
Voltar...
=3
Na igualdade
2
.  − 3
2
=



+
+
 −3
−3
2
Multiplicando ambos os membros por “” ficaremos com
2. 
.  − 3
2
=
. 
. 
. 
+
+

−3
−3
2
Depois de simplificar ficará assim:
2
−3
2
=+
. 
. 
+
−3
−3
2
Essa relação deve ser válida para todos os valores de “x” que não anulem o
denominador. Em particular, se  = 0 a segunda e a terceira parcela do segundo
membro se anularão e ficaremos com
2
2
=
=
 − 3 2 =0 9
Voltar...
Na igualdade
2
.  − 3
2



= +
+
 −3
−3
2
Multiplicando ambos os membros por “  − 3 ” ficaremos com
2.  − 3
.  − 3
.  − 3
.  − 3
=
+
+
.  − 3 2

−3
−3 2
Depois de simplificar ficará assim:
2
.  − 3

=
++
.  − 3

−3
O natural aqui era fazer  = 3, mas não podemos pois esse valor anula o denominador.
Por isso não é possível encontrar o valor de B diretamente.
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