Managerial Decision Modeling

Report
Managerial Decision
Modeling
Cliff Ragsdale
6. edition
Chapter 11
Time Series
Forecasting
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
1
Introduksjon til tidsserieanalyser
En tidsserie er en samling av observasjoner for en
kvantifiserbar variabel registrert i kronologisk tidsrekkefølge.
Eksempel
Børsindekser
Historiske data over salg, lager, antall kundebesøk,
rentesatser, kostnader, etc.
Bedrifter er ofte interessert i å predikere tidsserie-variabler.
Ofte finnes ikke uavhengige variabler som kan benyttes i en
regresjonsmodell for en tidsserievariabel.
I tidsserieanalyser analyserer vi den historiske utviklingen til
en variabel for å kunne predikere dens framtidige utvikling.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
2
Prediksjoner basert på tidsserieanalyse
Som å kjøre en bil ved å se på veien via speilet
bakover:
Vi ser hvor veien har svingt tidligere, og forsøker å
styre bilen deretter!
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
3
Noen tidsserieuttrykk
Stasjonære data – en tidsserievariabel som ikke viser
noen signifikant trend opp eller ned over tid.
Ikke-stasjonære data – en tidsserie-variabel som
viser en tydelig trend opp eller ned over tid.
Sesong data – en tidsserievariabel som viser et
repeterende mønster med jevne intervall over tid.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
4
Bruk av tidsserieanalyse
Det finnes veldig, veldig mange forskjellige
tidsserieanalysemetoder.
Det er vanligvis umulig å vite hvilken teknikk som vil
passe best for et bestemt datasett.
Som regel prøves flere forskjellige teknikker, for å
velge ut den som synes å passe best.
For å lage effektive tidsseriemodeller, må en ha flere
forskjellige metoder i ”verktøyboksen”.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
5
Forskjellige prediksjonsmodeller
Data
Modeller som tillater skift i nivå/trend/sesong
Stasjonære Glidende gjennomsnitt
data
Konstant nivå med
tilfeldige variasjoner
Sesong
Konstant nivå med
sykliske variasjoner
Trend
Langsiktig generell
endring i nivå
Trend &
Sesong
Veid glidende gjennomsnitt
Eksponensiell glatting
Eksponensiell glatting / additiv sesong
Eksponensiell glatting / multiplikativ sesong
Dobbelt glidende gjennomsnitt
Holt’s metode (dobbel eksponensiell glatting)
Holt-Winter med additiv sesong
Holt-Winter med multiplikativ sesong
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
6
Mål på nøyaktighet
Vi trenger et mål for å sammenligne hvordan
forskjellige tidsseriemodeller passer til dataene.
Fire av de vanligste målene er:
mean absolute deviation,
mean absolute percent error,
the mean square error,
root mean square error.
Vi vil fokusere på MSE.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
7
En kommentar til bruk av feilmål
En bør være på vakt når en sammenligner MSE verdier
for forskjellige prediksjonsteknikker.
Den minste MSE kan være resultatet av en teknikk som
passer gamle data meget godt men gjenspeiler nye data
dårlig.
Noen ganger er det klokt å beregne MSE kun for de
seneste observasjonene.
Sammenlign MSE for samme perioder.
Bør bruke blindtest !
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
8
Fornuftig bruk av feilmål
Feilmålene brukes for å se hvor godt en metode
tilpasser seg historiske data.
For å velge mellom ulike metoder, bør en foreta en
blindtest – lage prognoser for perioder der modellen
ikke får se dataene.
En velger så den metoden som har minst feil i
blindtesten.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
9
Oppdeling av dataserien
1. Initialserie.
Første del av dataserien benyttes for å beregne
startverdier for parameterne i modellen.
2. Tilpassingsserie.
Andre del av dataserien benyttes for å tilpasse gode
verdier for parameterne – slik at feilene blir minst mulig.
3. Testserie.
Siste del av dataserien benyttes til blindtest, der man
tester hvor god modellen er.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
10
Ekstrapoleringsmodeller
Ekstrapoleringsmodeller forsøker å ta hensyn til
tidligere utvikling i en tidsserievariabel i et forsøk på å
predikere den framtidige utviklingen av den samme
variabelen.
Vi skal først ta for oss forskjellige
ekstrapoleringsteknikker som passer for stasjonære
data.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
11
TIDSSERIE
Periode
t
Variabel
Yt
1
2
…..
t-1
t
t+1
Tid
t+2
t
Y1
Y2
Yt-1
Yt
Yt+1?
O B S E R V A S J O N S E R
Yt+2 ?
PREDIKSJONER
Nå
Basert på de historiske observasjonene skal vi forsøke
å framskrive et datamønster for å lage prognoser for
framtiden.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
12
Stasjonær data
140
Stasjonær serie med skift i nivå
130
120
110
100
90
80
70
60
50
0
BØK350 OPERASJONSANALYSE
4
8
12
16
20
24
Rasmus Rasmussen
13
Variabel
Yt
Et
KONSTANTMODELLEN
Nå
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Tid
t
Rasmus Rasmussen
14
KONSTANTMODELLEN
Yt  Observert verdi
Yt
Et
Yˆt  Predikert verdi
Et  Anslag på nivå
ut  Tilfeldig støy
Tid
t
Data-modell:
Prognose-modell:
Yt 1  E t 1  ut 1
Yˆt  k  E t
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
15
ANSLAG PÅ NIVÅ – Naiv metode
Naiv metode:
Yt
Et
Et  Yt
Prognose-modell:
Yˆt  k  E t
Tid
t
Bruker kun siste observasjon som anslag på
nivået.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
16
ANSLAG PÅ NIVÅ – Glidende gjennomsnitt
Glidende gjennomsnitt:
Yt  Yt 1  ....  Yt  n 1
Et 
n
Det finnes ingen generell metode for å bestemme n.
Vi må forsøke med forskjellige verdier for n for å se
hvilken som virker best.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
17
ANSLAG PÅ NIVÅ – Veid glidende gj.sn
Glidende gjennomsnitt veier alle tidligere
observasjoner likt :
1
1
Et  Yt  Yt -1 
n
n
1
 Yt  n 1
n
Veid glidende gjennomsnitt tillater at tidligere
observasjoner vektlegges forskjellig.
Et  w1Yt  w2Yt -1  ...  wnYt  n 1
0  wi  1 og
w 1
i
Vi må bestemme verdier for n og alle wi
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
18
ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting
a. Eksponentiell glattet gjennomsnitt:
Et    1    Yt  j
j
0  1
j 0
Et   Yt   (1   )Yt 1   (1   ) 2 Yt  2 
  (1   ) n Yt  n 
Prognose-modell: Yˆt  k  Et
Kan betrakte eksponentiell glatting som et veid
gjennomsnitt av alle observasjoner, der siste
observasjon har størst vekt.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
19
ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting
b. Eksponentiell glattet gjennomsnitt:
Et    Yt  1    Et 1
   Yt  1      Yt 1  1    Et  2  
Et    1    Yt  j
j
j 0
Kan betrakte eksponentiell glatting som en veid sum
av siste observasjon og forrige estimat.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
20
ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting
c. Eksponentiell glattet gjennomsnitt:
Et    Yt  1    Et 1
 = sannsynlighet for at siste observasjon viser korrekt nivå
1    = sannsynlighet for at forrige estimat viser korrekt nivå
Gir samme funksjon som b (og a).
Kan betrakte eksponentiell glatting som en forventet
verdi, gitt siste observasjon.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
21
ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting
d. Eksponentiell glattet gjennomsnitt:
Et  Et 1   Yt  Et 1 

 Yˆt 1  Yˆt   Yt  Yˆt

 Yˆt 1  Et    Yt  1    Et 1
Kan betrakte eksponentiell glatting som en
oppdatering basert på korreksjon av prediksjonsfeil.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
22
ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting
Eksponentiell glattet gjennomsnitt:
Et  Et 1   Yt  Et 1 

Et  Yˆt   Yt  Yˆt

Et    Yt  1    Et 1
Ulike måter å tolke eksponentiell glatting, men
samme matematiske konklusjon!
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
23
Prediksjonsprosessen
1. Del inn tidsserien:
1.
2.
3.
Initialserie
Tilpassingsserie
Testserie (blindtest)
2. Beregn startverdier i initialserien.
3. Foreta tilpassinger i tilpassingsserien
1.
Finn gode verdier på modellparameterne
4. Foreta prognoser i testserien. (Test ulike modeller.)
5. Velg den prognosemetode som er best i blindtesten:
1.
2.
3.
Oppdater modellen (Tilpassingsserien inkluderer nå også det som var
testserien.)
Finn nye gode verdier på modellparameterne.
Lag prognose for den ukjente framtiden.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
24
Et eksempel
Electra-City er en detaljist som selger audio og video
utstyr for hjem og bil.
Lederen må hver måned bestille varer fra et lager
langt unna.
Nå skal lederen forsøke å estimere hvor mange VCR’er
forretningen vil komme til å selge neste måned.
Han har samlet data for de siste 24 månedene.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
25
Data
Stasjonær dataserie:
- Ingen trend
- Ingen repeterende
sesong
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
26
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
27
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
28
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
29
Eksempel med to
eksponensielle glattingsfunksjoner
42
40
Units Sold
38
36
34
32
Number of VCRs Sold
Exp. Smoothing alpha=0.1
30
Exp. Smoothing alpha=0.9
28
1
2
3
4
5
BØK350 OPERASJONSANALYSE
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Time Period
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Rasmus Rasmussen
24
25
30
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
31
Startverdier
Isteden for å bruke en formel for å beregne en
startverdi, kan vi la Solver finne en ”optimal”
startverdi.
Da kan vi beholde hele datasettet (fordi vi slipper å
bruke noen av dataene til estimering av startverdier).
Vi får også en bedre tilpasning til de historiske
dataene.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
32
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
33
1. Del inn tidsserien
Initialserie
Tilpassingserie
Blindtest
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
34
2. Beregn startverdier
Beregn startverdier
Merk:
Istedenfor formler,
kan en la Solver velge
startverdier.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
35
3. Foreta tilpassigner
Lag en-periodiske
prognoser,
og oppdater
modellparametrene.
Bruk Solver til å
minimere MSE i
tilpassingsperioden,
ved å velge verdier på
modellparametrene.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
36
4. Lag prognoser i testserien
Lag prognoser for
hele
blindtestperioden,
med utgangspunkt i
siste periode i
tilpassingsserien.
Beregn MSE for blindtestperioden.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
37
5. Lag prognoser for fremtiden
Lag en-periodiske
prognoser for hele
datasettet, også det
som tidligere var
brukt til blindtest.
Minimer MSE for hele den nye
tilpassingsserien.
Lag prognoser for
framtiden, basert på
siste periode med
data.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
38
Valg av prognosemodell
Metode
MSE
Glidende gj.snitt 2 perioder
6,67
Glidende gj.snitt 4 perioder
1,92
Veid glidende gjennomsnitt 2 perioder
4,73
Eksponensiell glatting (formel initialverdier)
4,14
Eksponensiell glatting (Solver velger initialverdier)
1,47
Velg den prognosemetode som gir lavest
prediksjonsfeil (MSE) i blindtesten.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
39
Sesongvariasjoner
Sesongvariasjoner er et jevnt, repeterende mønster
rundt en nivålinje, og er veldig vanlig i økonomiske
data.
Kan være av additiv eller multiplikativ art...
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
40
Stasjonære sesongeffekter
Additive Seasonal Effects
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
18
19
20
21
22
23
24
25
Time Period
Multiplicative Seasonal Effects
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Time Period
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
41
Stasjonære data med additive sesongeffekter
Yˆt  k  Et  St  k  p
Anslag
nytt nivå
Et   Yt  St  p   1    Et 1
Forrige
nivå
St   Yt  Et   1    St  p
Anslag
ny
sesong
0  1
Forrige
sesong
0   1
p angir antall sesonger i et år
Et er forventet nivå for periode t.
St er sesongfaktoren for periode t.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
42
Stasjonære data med additive sesongeffekter
Initialverdier:
Gjennomsnitt
p
1
Et   Yt for t  1,..., p
p t 1
St  Yt  Et for t  1,..., p
p angir antall sesonger i et år
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
43
1. Formler beregner
startverdiene.
2. Solver minimerer MSE
i tilpassingsserien.
3. Bereger MSE for
blindtesten.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
44
1. Solver beregner
startverdiene.
2. Solver minimerer MSE
i tilpassingsserien.
3. Bereger MSE for
blindtesten.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
45
2. Solver minimerer MSE
i tilpassingsserien.
1. Oppdaterer
tilpassingsserien helt til
slutten av datasettet.
3. Lager prognoser for
framtiden.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
46
Predikere ved modell med additive sesongvariasjoner
Prediksjon gjort på tidspunkt 24 for periodene 25 - 28:
Yˆ24 k  E24  S 24 k  4
Yˆ25  E24  S 21  354, 44  8, 45  363, 00
Yˆ26  E24  S 22  354, 44  17,82  336, 73
Yˆ27  E24  S 23  354, 44  46,58  401,13
Yˆ28  E24  S 24  354, 44  31, 73  322,82
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
47
Stasjonære data med multiplikative sesongeffekter
Yˆt  k  Et  St  k  p
Anslag
nytt nivå
Anslag
ny
sesong
 Yt

Et   
 1    Et 1

 St  p 
Yt 

St   
 1    St  p

 Et 
0  1
0   1
Forrige
nivå
Forrige
sesong
p angir antall sesonger i et år
Et er forventet nivå for periode t.
St er sesongfaktoren for periode t.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
48
Stasjonære data med multiplikative sesongeffekter
Initialverdier:
Gjennomsnitt
p
1
Et   Yt for t  1,..., p
p t 1
Yt
St 
for t  1,..., p
Et
p angir antall sesonger i et år
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
49
Stasjonære data og multiplikative sesongvariasjoner
1. Formler beregner
startverdiene.
2. Solver minimerer MSE
i tilpassingsserien.
3. Bereger MSE for
blindtesten.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
50
Stasjonære data og multiplikative sesongvariasjoner
1. Solver beregner
startverdiene.
2. Solver minimerer MSE
i tilpassingsserien.
3. Bereger MSE for
blindtesten.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
51
Stasjonære data og multiplikative sesongvariasjoner
2. Solver minimerer MSE
i tilpassingsserien.
1. Oppdaterer
tilpassingsserien helt til
slutten av datasettet.
3. Lager prognoser for
framtiden.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
52
Predikere modell med multiplikative sesongvariasjoner
Prediksjon gjort på tidspunkt 24 for periodene 25 - 28:
Yˆ24 k  E24  S 24 k  4
Yˆ25  E24  S 21  353,95 1, 015  359,13
Yˆ26  E24  S 22  353,95  0,946  334,94
Yˆ27  E24  S 23  353,95 1,133  400,99
Yˆ28  E24  S 24  353,95  0,912  322,95
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
53
Valg av prognosemodell
Metode
MSE
Eksponensiell glatting og additiv sesong (formel initialverdier)
418,76
Eksponensiell glatting og additiv sesong (Solver velger initialverdier)
365,90
Eksponensiell glatting og multiplikativ sesong (formel initialverdier)
485,49
Eksponensiell glatting om multiplikativ sesong (Solver velger intialverdier)
409,14
Velg den prognosemetode som gir lavest
prediksjonsfeil (MSE) i blindtesten.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
54
Trend-modeller
Trend er en langsiktig bevegelse eller utvikling i en
generell retning for en tidsserie.
Vi skal nå se på noen ikke-stasjonære
tidsserieteknikker som kan passe for data som
inneholder en stigende eller synkende trend.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
55
Et eksempel med trend
WaterCraft Inc. er en produsent av water crafts
(såkalte sjøscootere).
Selskapet har gledet seg over en rimelig stabil vekst i
salget av sine produkter.
Selskapets ledelse forbereder salgs- og
produksjonsplaner for kommende år.
Prognoser behøves for salgsnivået selskapet forventer
å oppnå hvert kvartal.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
56
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
57
Dobbelt glidende gjennomsnitt
Yˆt  k  Et  k  Tt
Et  2M t  Dt
Tt  2  M t  Dt   n  1
Gjennomsnitt
M t  Yt  Yt 1  ...  Yt  n 1  n
Gjennomsnitt
av
gjennomsnittet
Dt   M t  M t 1  ...  M t  n 1  n
Et er forventet nivå for periode t.
Tt er forventet trend for periode t.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
58
Modell med dobbelt glidende gjennomsnitt
Foreta en blindtest.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
59
Modell med dobbelt glidende gjennomsnitt
Oppdater modellen t.o.m. siste periode
Lag prognoser for framtiden
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
60
Prediksjoner ved dobbelt glidende gjennomsnitt
Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20:
Yˆ20 k  E20  k  T20
Yˆ21  E20  1 T20  2.385,33  1138,9  2.525, 23
Yˆ22  E20  2  T20  2.385,33  2 138,9  2.665,13
Yˆ23  E20  3  T20  2.385,33  3 138,9  2.805, 03
Yˆ24  E20  4  T20  2.385,33  4 138,9  2.944,94
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
61
Dobbel eksponensiell glatting:
Yˆt  k  Et  k  Tt
Tilsynelatende
nivå
Et   Yt  1    Et 1  Tt 1 
Tt    Et  Et 1   1    Tt 1
Tilsynelatende
trend
0  1
0   1
Et er forventet nivå i periode t.
Tt er forventet trend for periode t.
Forrige anslag på nivå
Forrige anslag på trend
Hvis nytt nivå Et er større enn
forrige anslag på nivået, Et-1 , så
er trenden positiv.
I motsatt fall har vi synkende
trend.
Initialverdier: E1 = Y1 og T1 = 0
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
62
Modellen med Holt’s metode
1. Beregn startverdier
2. Lag en-periodisk prognose og
oppdater parametrene i hele
tilpassingsserien
3. Bruk Solver til å
minimere MSE for
tilpassingsserien
BØK350 OPERASJONSANALYSE
4. Lag prognose i
blindtestperioden,
og beregn MSE.
Rasmus Rasmussen
63
1. La Solver velge startverdier
2. Lag en-periodisk prognose og
oppdater parametrene i hele
tilpassingsserien
3. Bruk Solver til å
minimere MSE for
tilpassingsserien
4. Lag prognose i
blindtestperioden,
og beregn MSE.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
64
2. Bruk Solver til å
minimere MSE for den
nye tilpassingsserien.
1. Oppdater modellen for
hele dataserien, helt
fram til siste periode.
3. Lag prognoser for den
ukjente framtiden.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
65
Prediksjoner basert på Holt’s modell
Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20:
Yˆ20 k  E20  k  T20
Yˆ21  E20  1 T20  2.336,8  1152,1  2.488,9
Yˆ22  E20  2  T20  2.336,8  2 152,1  2.641, 0
Yˆ23  E20  3  T20  2.336,8  3 152,1  2.793,1
Yˆ24  E20  4  T20  2.336,8  4 152,1  2.945, 2
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
66
Holt-Winter’s metode for Additive sesongvariasjoner
Yˆt  k  Et  k  Tt  St  k  p
Et   Yt  St  p   1    Et 1  Tt 1 
Tt    Et  Et 1   1    Tt 1
St   Yt  Et   1    St  p
Anslag på nivå,
trend og sesong
0  1
0   1
Forrige verdi nivå,
trend og sesong
0   1
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
67
Holt-Winter’s metode for Additive sesongvariasjoner
Initialverdier:
Gjennomsnitt
1 p 
St  Yt    Yt  for t  1,..., p
 p t 1 
E p  Yp  S p
Tp  0
Når observert verdi Yt er større enn
gjennomsnittet, så blir sesongfaktoren St > 0,
dvs. høysesong.
I motsatt fall får vi en negativ sesongfaktor,
dvs. en lavsesong.
p angir antall sesonger i et år
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
68
1. La Solver velge startverdier
2. Lag en-periodisk prognose og
oppdater parametrene i hele
tilpassingsserien
3. Bruk Solver til å
minimere MSE for
tilpassingsserien
BØK350 OPERASJONSANALYSE
4. Lag prognoser i
blindtestperioden,
og beregn MSE.
Rasmus Rasmussen
69
2. Bruk Solver til å
minimere MSE for den
nye tilpassingsserien.
1. Oppdater modellen for
hele dataserien, helt
fram til siste periode.
3. Lag prognoser for den
ukjente framtiden.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
70
Holt-Winter’s modell Additive sesongeffekter
Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20:
Yˆ20 k  E20  k  T20  S 20 k  4
Yˆ21  E20  1 T20  S17  2.253,3  1154,3  262, 66  2.670,3
Yˆ22  E20  2  T20  S18  2.253,3  2 154,3  312,59  2.249,3
Yˆ23  E20  3  T20  S19  2.253,3  3 154,3  205, 40  2.921, 6
Yˆ24  E20  4  T20  S 20  2.253,3  4 154,3  386,12  3.256, 6
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
71
Holt-Winter’s metode – Multiplikative
sesongvariasjoner
Yˆt  k   Et  k  Tt   St  k  p
Anslag på nivå,
trend og sesong
Forrige verdi nivå,
trend og sesong
 Yt

Et   
 1    Et 1  Tt 1 

 St  p 
Tt    Et  Et 1   1    Tt 1
Yt 

St   
 1    St  p

 Et 
0  1 0   1 0   1
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
72
Holt-Winter’s metode – Multiplikative
sesongvariasjoner
Initialverdier:
St 
Yt
1

  Yt 
 p t 1 
Yp
Ep 
Sp
Tp  0
p
for t  1,..., p
Gjennomsnitt
Når observert verdi Yt er større enn
gjennomsnittet, så blir sesongfaktoren St > 1,
dvs. høysesong.
I motsatt fall får vi en sesongfaktor mindre enn
1, dvs. en lavsesong.
p angir antall sesonger i et år
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
73
1. La Solver velge startverdier
2. Lag en-periodisk prognose og
oppdater parametrene i hele
tilpassingsserien
3. Bruk Solver til å
minimere MSE for
tilpassingsserien
BØK350 OPERASJONSANALYSE
4. Lag prognoser i
blindtestperioden,
og beregn MSE.
Rasmus Rasmussen
74
2. Bruk Solver til å
minimere MSE for den
nye tilpassingsserien.
1. Oppdater modellen for
hele dataserien, helt
fram til siste periode.
3. Lag prognoser for den
ukjente framtiden.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
75
Holt-Winter’s modell Multiplikativ sesongeffekt
Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20:
Yˆ20 k   E20  k  T20   S 20 k  4
Yˆ21   E20  1 T20   S17   2.217, 6  1137,3 1,152  2.713, 7
Yˆ22   E20  2  T20   S18   2.217, 6  2 137,3  0,849  2.114,9
Yˆ23   E20  3  T20   S19   2.217, 6  3 137,3 1,103  2.900,5
Yˆ24   E20  4  T20   S 20   2.217, 6  4 137,3 1,190  3.293,9
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
76
Holt-Winter og endringer
400
450
Additiv sesong
350
400
300
350
Multiplikativ sesong
300
250
250
200
200
150
150
100
100
50
50
0
4
300
8
12
16
20
0
24
4
250
Skifta i nivå
250
8
12
16
20
24
16
20
24
Skift i trend
200
200
150
150
100
100
50
50
0
4
8
12
BØK350 OPERASJONSANALYSE
16
20
24
0
4
8
12
Rasmus Rasmussen
77
Tidsserier og REGRESJON
Data
Modeller som IKKE tillater skift i
nivå/trend/sesong
Trend
Lineær trend
Langsiktig generell
endring i nivå
Kvadratisk trend
Trend &
Sesong
Trend (lineær eller kvadratisk), additiv
eller multiplikativ sesongjustering.
Langsiktig generell
endring i nivå og
repeterte
variasjoner rundt
trendlinjen
Regresjon med trend (lineær eller
kvadratisk) og additiv sesong
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
78
Modell med lineær trend
Yˆt  b0  b1 X 1t
X 1t  t
Dvs.
X 11  1,
X 12  2,
X 13  3,...
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
79
Spesialtilfelle av
Holt’s modell.
Tilpassingsserien
Blindtest
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
80
Spesialtilfelle av
Holt’s modell.
Tilpassingsserien gjelder nå
hele datasettet.
Prognose for framtiden
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
81
Prediksjoner basert på lineær trend
Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20:
Yˆt  b0  b1 X 1t
Yˆ21  b0  b1 X 121  375,1  92, 6255  21  2.310,3
Yˆ22  b0  b1 X 122  375,1  92, 6255  22  2.412,9
Yˆ23  b0  b1 X 123  375,1  92, 6255  23  2.505, 6
Yˆ24  b0  b1 X 124  375,1  92, 6255  24  2.598, 2
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
82
TREND() funksjonen
TREND(Y-område; X-område; X-verdi for prediksjon)
der:
Y-område er området i regnearket som inneholder verdiene for den
avhengige Y variabelen,
X-område er området i regnearket som inneholder verdiene for de(n)
uavhengige X variablene,
X-verdi for prediksjon er en celle (eller celler) som inneholder verdier
for X variabelen(e) som vi ønsker å estimerte Y verdier til.
Merk: TREND( ) funksjonen blir dynamisk oppdatert hver gang
dataene til funksjonen endres. Imidlertid gir den ikke den
statistiske informasjonen som regresjonsanalysen gir.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
83
Modell med kvadratisk trend
Yˆt  b0  b1 X 1t  b2 X 2t
X 1t  t
X 2t  t
BØK350 OPERASJONSANALYSE
2
Rasmus Rasmussen
84
Tilpassingsserien
Blindtest
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
85
Tilpassingsserien gjelder nå
hele datasettet.
Prognose for framtiden
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
86
Prediksjoner basert på kvadratisk trend
Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20:
Yˆt  b0  b1 X 1t  b2 X 2t
Yˆ21  b0  b1 X 121  b2 X 221  653, 67  16, 671 21  3, 617  212  2.598,8
Yˆ22  b0  b1 X 122  b2 X 222  653, 67  16, 671 22  3, 617  22 2  2.770, 0
Yˆ23  b0  b1 X 123  b2 X 223  653, 67  16, 671 23  3, 617  232  2.950, 4
Yˆ24  b0  b1 X 124  b2 X 224  653, 67  16, 671 24  3, 617  24 2  3.137,1
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
87
Sesongvariasjoner
Sesong er et jevnt, repeterende mønster rundt en
trendlinje, og er veldig vanlig i økonomiske data.
$3,500
$3,000
Salg
$2,500
$2,000
Vår prognose fanger
ikke opp
sesongvariasjonene.
$1,500
$1,000
Faktisk Salg Y
$500
Prognose Ŷ
$0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
Tid
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
88
Sesongjusteringsindekser
Vi kan beregne sesongjusteringsindekser for sesong p
slik:
Yt
i Yˆ
t
Sp 
np
for alle i som inntrer i sesong p
Justert prediksjon for periode i er da
Yˆi justert  Yˆi  S p for enhver i som inntrer i sesong p
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
89
1. Beregn kvadratisk trend,
basert på tilpassingsperioden.
2. Beregn multiplikativ sesong,
i tilpassingsperioden.
3. Beregn gjennomsnittlige
sesongfaktorer i tilpassingsserien.
4. Lag prognoser, basert på
kvadratisk trend og gjennomsnittlige
sesongfaktorer.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
90
1. Beregn kvadratisk trend,
basert på hele datasettet.
2. Beregn multiplikativ sesong,
for hele datasettet.
3. Beregn gjennomsnittlige
sesongfaktorer for hele datasettet.
4. Lag prognoser, basert på
kvadratisk trend og gjennomsnittlige
sesongfaktorer.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
91
Sesongjustert prediksjon og kvadratisk trend
Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20:


Yˆt  b0  b1 X 1t  b2 X 2t  S p








Yˆ21  b0  b1 X 121  b2 X 221  S1  2.598,8 105, 7%  2.747,8
Yˆ22  b0  b1 X 122  b2 X 222  S 2  2.770, 0  80,1%  2.219, 6
Yˆ23  b0  b1 X 123  b2 X 223  S3  2.950, 4 103,1%  3.041, 4
Yˆ24  b0  b1 X 124  b2 X 224  S 4  3.137,1111,1%  3.486,1
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
92
Sammendrag av trend og bruk av sesongvekter
1. Lag en trend modell og beregn prediksjoner for hver
observasjon.
2. For hver observasjon beregnes forholdet mellom
faktisk og predikert trend verdi.
3. For hver sesong, beregn gjennomsnittet av hver brøk
fra trinn 2. Dette er sesongvektene.
4. Multipliser enhver prediksjon fra trendmodellen med
tilhørende sesongvekt beregnet i trinn 3.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
93
Raffinere modellen med sesongindekser
Merk at Solver kan brukes til å beregne optimale
verdier for sesongindeksene og parametrene i trend
modellen simultant.
Det finnes ingen garanti for at dette vil gi bedre
prediksjoner, men det vil gi en modell som passer
bedre til de historiske data ut fra MSE.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
94
Solver beregner trend-parametre og sesongindekser
2. Beregn prognose, basert på
kvadratisk trend og sesongfaktorer
Solver kan velge.
1. Beregn kvadratisk trend,
basert på koeffisienter Solver kan velge.
3. La Solver minimere MSE
for tilpassingsserien, ved å
velge trend-koeffisientene og
sesongfaktorene.
4. Beregn MSE i blindtesten.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
95
Solver beregner trend-parametre og sesongindekser
2. Beregn prognose, basert på
kvadratisk trend og sesongfaktorer
Solver kan velge.
1. Beregn kvadratisk trend,
basert på koeffisienter Solver kan velge.
3. La Solver minimere MSE
for hele datasettet, ved å
velge trend-koeffisientene og
sesongfaktorene.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
96
Trend & additiv sesong
Vi kan selvsagt benytte additiv sesong istedenfor
multiplikativ sesong.
Estimert sesongeffekt blir da:
Si  Yi  Ti
Tilsvarende blir prognosen endret til:
Yˆt  Tt  S p
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
97
Regresjonsmodeller med sesong
Indikatorvariabler kan brukes i regresjonsmodeller for å
representere sesongeffekter.
Hvis det er p sesonger, trengs p  1 indikatorvariabler.
Vårt eksempel har kvartalsvise data, så p = 4 og vi definerer
følgende indikatorvariabler:
1, hvis Yt er en observasjon for kvartal 1
X 3t  
0, ellers
1, hvis Yt er en observasjon for kvartal 2
X 4t  
0, ellers
Hvis alle
indikatorvariablene
er lik 0, så er det
kvartal 4.
1, hvis Yt er en observasjon for kvartal 3
X 5t  
0, ellers
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
98
Implementere modellen
Regresjonsfunksjonen er:
Yˆt  b0  b1 X 1t  b2 X 2t  b3 X 3t  b4 X 4t  b5 X 5t
X1t  t
X 2t  t 2
X 3t  1 hvis 1. kvartal, ellers 0
X 4t  1 hvis 2. kvartal, ellers 0
Merk: I kvartal 4 er
X3, X4 og X5 lik 0.
X 5t  1 hvis 3. kvartal, ellers 0
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
99
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
100
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
101
Sesongjustert prediksjon og kvadratisk trend
Prediksjoner for periodene 21 til 24 ved tidspunkt 20:
Yˆt  b0  b1 X1t  b2 X 2t  b3 X 3t  b4 X 4t  b5 X 5t
2
Yˆ21  824, 471  17,319  21  3, 485  21  86,805 1  427, 736  0   123, 453  0   2638,5
2
Yˆ22  824, 471  17,319  22   3, 485  22   86,805  0   427, 736 1  123, 453  0   2467, 7
2
Yˆ23  824, 471  17,319  23  3, 485  23  86,805  0   427, 736  0   123, 453 1  2943, 2
2
Yˆ24  824, 471  17,319  24   3, 485  24   86,805  0   427, 736  0   123, 453  0   3247,8
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
102
Kombinere prediksjoner
Det er også mulig å kombinere prediksjoner for å lage
en ”kompositt” prognose.
Anta at vi har brukt tre forskjellige
prediksjonsmetoder på et gitt sett av data.
Benevn predikert verdi i periode t ved bruk av hver
metode slik:
F1t , F2t , F3t
Vi kan lage en komposittprognose slik:
Yˆt  b0  b1 F1t  b2 F2t  b3 F3t
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
103
Mer om sesongfaktorer
For å unngå systematiske prediksjonsfeil bør
sesongfaktorene normaliseres:
Gjennomsnittlig Faktorsum:
1
Ft   St  p  j
p j 1
St  p  j 
Normalisering Multiplikativ:
Normalisering Additiv:
p
St  p  j
Ft
St  p  j  St  p  j  Ft
Vi justerer de p siste sesongfaktorene.
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
104
Normalisering av sesongfaktorer
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
105
Slutt på kapittel 11
BØK350 OPERASJONSANALYSE
Rasmus Rasmussen
106

similar documents