A = -Fs

Report
Mehanika
Sile v naravi
• delovanje telesa na telo
• ob dotiku ali na daljavo
• privlačne ali odbojne
• enake sile povzročajo enake učinke
• enota: 1 N = 1 kg·m/s2
• teža: Fg= m·g, g = 9,8 m/s2 na površini Zemlje
Sile v naravi
•
•
•
•
gravitacijska sila
elektromagnetna sila
močna sila
šibka sila
•
•


sila je vektor,
določena je, ko povemo
velikost sile
smer sile
Sila

F
• učinek sile na telo je določen, ko povemo še, kje je
prijemališče sile
• sila na točkasto telo prijemlje tam, kjer je telo:
prijemališče je določeno s krajevnim vektorjem
telesa

F
y

r
točkasto telo
x

r
Sila
sile na točkasto telo seštejemo v rezultanto:
• učinek sil F1 in F2 je enak učinku rezultante R
• vektor F2 vzporedno prenesemo tako, da začetek vektorja F2 sovpada s koncem
vektorja F1 (ker so vektorji določeni le z velikostjo in smerjo)
• rezultanta je vektor, ki ima začetek na začetku vektorja F1 in konec na koncu
vektorja F2
• (ali: vektor F1 vzporedno prenesemo tako, da začetek vektorja F1 sovpada s
koncem vektorja F2, rezultanta je vektor, ki ima začetek na začetku vektorja F2
in konec na koncu vektorja F1)

F2
 

F1  F2  R
=

F1

F2

F1

R
Razstavljanje sil v ravnini
silo lahko razstavimo na komponente:
• učinek sile F na točkasto telo je enak, kot je skupni učinek komponent Fx in Fy
• skozi začetek in konec vektorja F potegnemo vzporednice koordinatnima
osema x in y
• vektorja, ki jih s tem odrežemo v smereh koordinatnih osi, sta komponenti
vektorja Fx in Fy
• v treh dimenzijah postopamo enako, le da določimo tri komponente: Fx, Fy in
Fz
y

Fy

F
 j
F
Fx = F·cos(j)
Fy = F·sin(j)

Fx
x
Seštevanje sil
največkrat sile seštevamo tako, da:
• vsako silo Fi razstavimo na komponente Fix, Fiy in Fiz
• seštejemo istovrstne komponente v ustrezno komponento rezultante
• komponente rezultante seštejemo v rezultanto


R   Fi
  
R  F1  F2
Fy1+Fy2
Fy2
.
Rx   Fix
Ry   Fiy
Rz   Fiz

F2
Fy1

F1
Fx2
Fx1 Fx1 + Fx2
x
Teža na klancu
• sila teže kaže navpično navzdol
• na klancu jo običajno razstavimo na:
 komponeto, ki kaže v smeri pravokotno na klanec (smer y): ta komponenta
ne povzroča gibanja (ker je klanec trden) = statična komponenta teže
 komponento, ki kaže v smeri klanca (smer x), ta komponenta lahko
povzroča gibanje = dinamična komponenta teže
y
dinamična komponenta teže:
Fd = Fg·sin(j)


Fx  Fd


Fy  Fs
statična komponenta teže:
j
j

Fg
x
Fs = Fg·cos(j)
Teža na klancu
• na vodoravni podlagi je statična komponenta enaka celotni teži, dinamična
komponenta je enaka nič
• z rastočim nagibom klanca velikost statične komponenta pada, velikost
dinamične komponente pa raste
• pri navpični podlagi je statična komponenta enaka nič, dinamična komponenta
Fs = 0
je enaka celotni teži
Fd =0
Fd
Fs
Fg
Fs
Fg = Fs
Fd
Fg = Fd
Fg
statična komponenta teže:
dinamična komponenta teže:
Fs = Fg·cos(j)
Fd = Fg·sin(j)
Zunanje / notranje sile
Zunanje sile na sistem
od teles iz okolice: teža (zaradi
Zemlje), sila vrvice, tal...
Notranje sile v sistemu
od drugih teles v sistemu
Newtonovi zakoni
3. Newtonov zakon (zakon akcije in reakcije):
Če prvo telo deluje na drugo telo z neko silo, drugo telo deluje na prvo z
nasprotno enako silo.


F12   F21
• sili ležita na isti premici
• imata enako velikost
• imata nasprotno smer
primeri:
• sila, s katero deluje telo na podlago in sila, s katero deluje podlaga na telo
• sila, s katero deluje Zemlja na klado in sila, s katero deluje klada na Zemljo
• sila, s katero deluje roka na vrvico in sila, s katero deluje vrvica na roko
Newtonovi zakoni
1. Newtonov zakon:
Če je vsota vseh sil, ki delujejo na točkasto telo, enaka nič,
telo miruje ali pa se giblje premo in enakomerno.
Če točkasto telo miruje ali pa se giblje premo in enakomerno,
je vsota vseh sil, ki delujejo nanj, enaka nič.


 Fi  0  v  konst
1. Newtonov zakon definira
nepospešeni (inercialni)
opazovalni sistem.
Newtonovi zakoni
1. Newtonov zakon:
Če je vsota vseh sil, ki delujejo na točkasto telo, enaka nič,
telo miruje ali pa se giblje premo in enakomerno =
= ne spreminja svoje hitrosti ne po velikosti, ne po smeri =
= ves čas miruje ali pa se ves čas giblje v isti smeri z enako hitrostjo =
= ne zavija, ne pospešuje, ne zavira
i
Če točkasto telo miruje ali pa se giblje premo in enakomerno,
je vsota vseh sil, ki delujejo nanj, enaka nič =
= na telo ne deluje nobena sila ali pa so sile uravnovešene


 F  0  v  konst
primeri:
• biljardna kroglica spremeni smer gibanja, ko trči ob drugo kroglico
• astronavt se lahko premakne le, če nanj deluje zunanja sila (npr. sila vrvi)
• avtomobil lahko zavija le, če nanj deluje dovolj velika sila podlage v smeri
proti središču ovinka
Zaboj miruje na gladkem klancu
S kolikšno silo uravnovesimo klado z maso 20 kg na gladkem klancu z nagibom 25º?
• izbira sistema teles: klada

FN +y

F
• izbira koordinatnega sistema: x, y

Fd
• sile na sistem: teža, sila podlage, sila vrvi

Fs j
j

Fg

FN

F
85 N

Fs
180 N
+x
• razstavitev sil v koord. smereh: Fd in Fs
• 1. Newtonov zakon:
180 N

Fd
85 N
F
F
F

 Fi  0
ix
 0 → Fd = F
iy
 0 → Fs = FN
iz
0 → 0=0
Dva zaboja mirujeta na gladkem
klancu
S kolikšno silo uravnovesimo
povezani kladi na gladkem klancu?

F
2

F

F2v
1
2

Fv1

FN 1

Fv1
1

Fs1
180 N

F2v

Fd 1
85 N
vrv
F = Fd1+ Fd2

Fv 2
2

F1v

Fs 2

Fd 2
1

Fd 2

FN 2

F

Fv 2
85 N
180 N
Vsota vseh sil na vsako telo sistema je enaka nič,
torej je tudi vsota vseh sil na vsa telesa enaka
nič.

Fd 1

F1v
Notranje sile v sistemu
delujejo v parih (npr. prvo
telo na drugo in drugo na
prvo), zato se po 3.
Newtonovem zakonu
notranje sile seštejejo v nič.
Dva zaboja mirujeta na gladkem
klancu

F
2
1
Sistem točkastih teles je v ravnovesju (= miruje ali pa se giblje premo in
enakomerno), če je vsota vseh zunanjih sil na sistem enaka nič, saj je po
3. Newtonovem zakonu vsota vseh notranjih sil na sistem enaka nič.

 Fiz  0
F
ixz
 0,
F
iyz
 0 ,  Fiyz  0
Sila trenja

v
Ft = kt FN
• deluje na telo, ki se giblje po podlagi

FN

Ft

Fg
• deluje v nasprotno smer gibanja (= hitrosti)
• velikost sile trenja je odvisna od
- pravokotne sile, s katero telo pritiska na podlago (= sile podlage FN po 3.
Newtonovem zakonu)
- kakovosti obeh stičnih ploskev (vrste materiala, hrapavosti…) – opišemo s
koeficientom trenja (kt)
• (ni odvisna od velikosti stične ploskve itd.)
Sila lepenja

F

F

FN

FN

Fg

Fl

Fg

FN

Fl

F

F

Fg
...

FN

FN


Fl max Fg

v

Ft

Fg
• telo miruje na vodoravni podlagi: na telo delujeta le sila teže in sila podlage, obe
v navpični smeri; sili sta uravnovešeni
• telo vlečemo v vodoravni smeri z majhno silo, zaradi hrapavih tal se telo ne
premakne: vlečno silo uravnovesi komponenta sile podlage v vodoravni smeri =
sila lepenja (telo se “lepi” na podlago)
• vlečno silo povečamo, telo ne zdrsne: sila lepenja se poveča in uravnovesi
vlečno silo
• ko vlečna sila preseže mejno vrednost, telo zdrsne
Sila lepenja
0  Fl  Flmax

F

FN

FN

Fg

F

Fl

Fg
Flmax = kl · FN

F

FN

Fl

Fg
...

F

FN

FN


Fl max Fg

v

Ft

Fg
• deluje na telo, ki miruje na podlagi
• deluje v nasprotno smer od smeri, kamor bi telo zdrsnilo, če bi bila podlaga
povsem gladka
• velikost sile lepenja je odvisna od sil, ki skušajo telo premakniti
• največja možna sila lepenja je odvisna od sile, s katero telo pritiska na podlago,
in lastnosti stičnih ploskev (= normalne sile podlage in koeficienta lepenja)
• koeficient lepenja je večji od koeficient trenja, vendar istega velikostnega reda

F
Trenje - lepenje
Fl = Flmax
klada miruje:
Fv = Fl

F

FN

FN

Fg

Fl

Fg

FN

Fl

F

F
...

Fg

FN

FN


Fl max Fg

v

Ft
povprečna sila trenja
klada drsi enakomerno:
Fv = Ft
zdrs
• klada na začetku miruje
• nato jo vlečemo v vodoravni smeri in merimo vlečno silo
• vlečno silo povečujemo, dokler klada ne zdrsne; nato vlečemo tako, da se klada
giblje enakomerno

Fg
Ravnovesje togega telesa
• vse sile na točkastno telo prijemljejo v isti točki (tam, kjer je telo)
• sile na razsežno telo lahko prijemljejo v različnih točkah telesa
• togo telo je razsežno telo, ki se ne deformira (= razdalje med poljubnimi točkami
telesa se ne spreminjajo, telo se lahko premika le kot celota)
• če je vsota vseh sil na togo telo enaka nič, telo miruje (leva slika) ali pa ne (se
vrti; desna slika)
• za ravnovesje togega telesa mora biti vsota vseh sil na telo enaka nič, to je
potreben pogoj, vendar pa to ni zadosten pogoj: pomembno je tudi, kje sile
prijemljejo, kar opišemo z navori (= vrtilnimi momenti)
Ravnovesje togega telesa
• kolo v obliki valja je vrtljivo okoli vodoravne geometrijske osi
• obremenimo ga s silo F1
• telo uravnovesimo s silo F2 na različne načine:

Fo

Fo

F2

F2

F1

Fg

F1

Fg

Fo

Fo

F2

F1

Fg
b
j

F2
a

Fg

F1
Navor (= vrtilni moment)
O
O

r
j

F

F
||
M

r
 
 r F

F
j

F

F - sila (vektor)
 - ročica sile = vektor od osi vrtenja do prijemališča sile
r
M - navor sile okoli osi O (je vektor = določata ga velikost in smer)
j
Navor (ravninski primeri)
O

r
  
M  r F

r

F||
j

F
j

F

F
smer (predznak) navora:
- pozitivna: sila bi telo zavrtela okoli osi v nasprotni
smeri urnega kazalca
+
- negativna: sila bi telo zavrtela okoli osi v smeri
urnega kazalca
Navor (ravninski primeri)
  
M  r F
velikost navora:
M = rFsin(j)
=
r F

r

r

F||

F
j

F
produkt velikosti sile,
ročice in sinusa kota med
njima

r
O
O
j
r  F
=

F
produkt velikosti ročice in
= komponente sile, ki je
pravokotna na smer ročice

r
O

r
j ||
j

F
produkt velikosti sile in
= komponente ročice, ki je
pravokotna na smer sile
Navor (ravninski primeri)
M = rFsin(j)
=
r F

r

r

F||

F
j

F

r
O
O
j
r  F
=

F

r
O

j r||
j

F
• sila v smeri ročice: M = 0
• pri dani velikosti sile in ročice je navor največji, če je sila pravokotna na ročico
• vrti le komponenta sile, ki je pravokotna na ročico
• sila prijemlje v osi (= ročica je nič): M = 0
• pri dani sili je navor odvisen le od tega, koliko je premica sile oddaljena od osi
(= od komponente ročice, ki je pravokotna na smer sile)
Ravnovesje togega telesa
razsežno togo telo je v ravnovesju, če velja, da je
• vsota vseh sil nanj enaka nič
• vsota vseh navorov nanj enaka nič

 Fi  0

 MiO  0

F
 i 0
telo se vrti

 MiO  0

F
 i  0 telo je v

ravnovesju
M

0
 iO
• os za računanje navorov (O) pri primerih ravnovesja izberemo poljubno
• vse navore izračunamo okoli iste osi
Naloga
Okrogla plošča je prosto vrtljiva okoli svoje vodoravne geometrijske osi.
Obremenimo jo s silama F1 in F2, kakor kaže slika. Velikost sile F1 je podana,
kolikšna je velikost sile F2?
Vsota vseh sil je enaka nič: -Fg + Fo – F1 - F2 = 0
Vsota vseh navorov je enaka nič:
1.) os O:
MgO + MoO + M1O + M2O = 0

F2

F1
y0
O‘
-Fg∙0 + Fo∙0 – F1∙a + F2∙b∙sin(j) = 0

Fo

Fo

Fg
x0
O a
b
j

F2
F2 
2.) os v O‘:
F1a
b  sin j 
MgO‘ + MoO‘ + M1O‘ + M2O‘ = 0
 -F ∙(x +0)+F ∙(x +0)–F ∙(x +a)-F ∙(x -b∙sin(j)) = 0
g
0
o
0
1
0
2
0
F1
x0(-Fg+Fo–F1-F2)-Fg∙0+Fo∙0–F1∙a+F2∙b∙sin(j) = 0

Fg
0
F2 
F1a
b  sin j 
Če je vsota vseh sil enaka nič in če je vsota vseh
navorov okoli neke osi enaka nič, je tudi vsota
navorov okoli katerekoli druge vzporedne osi enaka
nič (telo je v ravnovesju ne glede na izbiro osi).
Težišče sistema točkastih teles
težišče
Vsota navorov sil teže na sistem točkastih teles je enaka navoru

sile, ki je enaka vsoti tež in prijemlje v težišču sistema.
r
  i mi g i
rT 
 mi g i
 x m g   x  m g 
i

ri
i
i
T
i
i
masno središče

Fgi
T

rMS 

rT
xT 
xm g
m g
i
i
i
i
i
yT 
m g
i
i
m
i

Fg
 y i mi g i

 ri mi
zT 
geometrijsko središče
z m g
m g
i
i
i
i
i

rGS 

r
 iVi
V
i
Težišče telesa
Razsežno telo razdelimo na infinitezimalno majhne dele.
Vsota (= integral) navorov njihovih sil teže je enaka
navoru sile, ki je enaka vsoti (= integralu) tež in prijemlje
v težišču sistema.
mi  dm

rT 

r
 gdm
 gdm
 x  dm  g   x   dm  g 
T

rMS 
dm
 dm
dm
T
T

rGS 

r
x
xT

 r dm
xgdm


 gdm
yT
ygdm


 gdm
zT
zgdm


 gdm

r
 dV
 dV
Naloge
Kockast zaboj brez pokrova ima dno in stranice iz enakih kvadratnih plošč z
robom a. Kje je težišče zaboja?
1. Zaboj je postavljen v 1. kvadrant koordinatnega sistema, eno oglišče ima v
a


z koordinatnem izhodišču:
m1 g  0  3  a 
2

a
xT 
5m1 g
2
y
a
T
a

m1 g  0  4 
2 2

zT 
 a
5m1 g
5
a
a
a


m1 g  0  3  a 
2

a
yT 
5m1 g
2

r
2. Zaboj brez vrtenja prestavimo za vektor 0 = (x0 , y0, z0):
x
z
y

r0
a
y0
x0
a
T
z0
x


a

m1 g  x0  3 x0    a  x0 
2


x a
xT 
0
5m1 g
2
a
yT  y0 
a
2
2
zT  z0  a
5
Naloge
Homogeni kvadratni plošči z robom a in višino d izrežemo okroglo luknjo s
polmerom r in središčem v točki (a/4, a/4), r < a/4. Kje je težišče?
Ploščo z luknjo obravnavamo kot vsoto plošče brez luknje in luknje z negativno
maso, polni plošči (kvadratna in okrogla) imata težišči v svojih središčih:
-
=
m  mp  mo  mp   mo 
y
T
d  a 2    r 2  


mp  a2d
xT  yT 
mo  r 2d
a 2a 2  r 2

4 a 2  r 2

m  d a 2  r 2



zT 


d
2
a
2
d a 2  r 2


a
4
x
Zaradi simetrije je težišče na diagonali osnovne ploskve in na polovici višine.

2. Newtonov zakon
velja za:
• točkasto telo
• v nepospešenem opazovalnem sistemu


F  ma
telo se pod vplivom sile giblje pospešeno:
• pospešek ima smer sile oz. rezultante sil
• pospešek je sorazmeren z velikostjo sile
• pospešek je obratno sorazmeren z maso telesa
2. Newtonov zakon
• če na točkasto telo deluje več sil, jih sestavimo v rezultanto, ta določa
pospešek telesa
• gibanje opazujemo iz nepospešenega sistema (npr. vezanega na površino
Zemlje; vlak, ki se enakomerno giblje…)
• večja sila, večji pospešek
• večja masa pri dani sili, manjši pospešek


v

F  ma  m
t
telo se giblje:
• sila deluje v smer gibanja: pospešek v smeri gibanja, hitrost raste
• sila deluje v nasprotno smer gibanja: pospešek v nasprotni smeri gibanja,
hitrost pada
• sila deluje pravokotno na smer gibanja: telo spreminja smer gibanja
• v splošnem sila spreminja velikost in smer vektorja hitrosti
Sani na klancu
S kolikšnim pospeškom drsijo sani po hrapavem klancu?

FN
• izbira sistema teles: sani
+y
• izbira koordinatnega sistema: x, y

Ft

Fd

Fs
• sile na sistem: teža, sila podlage, sila
vrvi, sila trenja
j
j

Fg
a = g (sin(j) - kt cos(j))
drsenje po klancu navzdol
a = g (sin(j) + kt cos(j))
drsenje po klancu navzgor
(trenje v smeri Fd)
+x
• razstavitev sil v koord. smereh: Fd in Fs


• 3. Newtonov zakon:  Fi  ma
F
F
F
ix
 max → Fd – Ft = m·ax = m∙a
iy
 may → FN – Fs = m·ay = 0
iz
 maz → 0 = 0
Sistem togo vezanih teles

F
2
1
Kladi na hrapavi vodoravni podlagi sta povezani z lahko neraztegljivo vrvico.
Vlečemo ju s stalno silo v vodoravni smeri. S kolikšnim pospeškom se gibljeta?
1

Ft1

FN 1

Fg1

Fv
2

Fv

FN 2

F

Ft 2
sile v vodoravni smeri za vsako telo posebej:
Fv – Ft1 = m1a1
F – Fv – Ft2 = m2a2
telesi sta togo vezani = imata enak pospešek (in hitrost, premik): a1 = a2 = a,
pospešek sistema (= obeh mas skupaj) je določen z vsoto zunanjih sil na sistem:
F – Ft1 – Ft2 = (m1 + m2)a
Sistem togo vezanih teles
a1 = a2 = a
1

Ft1

FN 1

Fg1

Fv
1
2

Fv

FN 2

Ft 2
2

F

F
F – Ft1 – Ft2 = (m1 + m2)a
• vsota vseh sil na sistem teles je enaka vsoti vseh sil na vsa telesa sistema
• notranje sile nastopajo v parih, po 3. Newtonovem zakonu je njihova vsota
enaka nič
• torej je vsota vseh sil na sistem teles je enaka vsoti vseh zunanjih sil na sistem
• če so točkasta telesa togo vezana in se gibljejo translatorno (se npr. ne
vrtijo), torej če se vsako telo v istem času premakne za enako razdaljo v isto
smer (= imajo vsa enak vektor pospeška), je pospešek sistema določen z vsoto
zunanjih sil na sistem:


 Fiz  mi a
Sistem točkastih teles
sile na j-to telo razdelimo na zunanje in notranje sile:



F

F

m
a
 ijz  ijn j j
po definiciji težišča:

  ri mi g i
rT 
 mi g i

   ai mi g i
rT  aT 
 mi g i
seštejemo po celotnem sistemu, notranje sile se paroma izničijo:


 Fij  mj a j



 Fiz   mj a j  maT
Gibanje težišča
sistema točkastih
teles je določeno
z vsoto zunanjih
sil na sistem.
Sile pri enakomernem kroženju
Fvy
j
Fv
Fvx=Fr
Fv
r
Fvx = Fr = mar = mv2/r
Fg
Fg
Fr = mar =
Fg = Fvy
mv2/r
• enakomerno kroženje je pospešeno gibanje
(radialni pospešek!) = vektor hitrosti
spreminja smer, to spremembo povzroča sila
• na telo, ki enakomerno kroži, deluje
rezultanta v smeri proti središču kroženja,
imenujemo jo radialna sila (centripetalna)
• velikost sile raste s hitrostjo kroženja
Gravitacijska sila
• deluje med telesi z maso
• sila je privlačna
• sila je odvisna od mase teles in razdalje med njima
Gravitacijska sila med dvema točkastima telesoma z masama m1, m2 na razdalji
r (ali med dvema homogenima kroglama, pri čemer je r razdalja med
središčema obeh krogel):
m1m2
Fg  G 2
r
G  6,710-11 Nm2/kg2
gravitacijska konstanta
Gravitacijska sila
na površini Zemlje (r = R):
m1m2
 m1 g 0
2
R
m2
m
g 0  G 2  9,8 2
R
s
Fg  G
2
• gravitacijski pospešek (g) na površini Zemlje
znaša 9,8 m/s2
• ko se dvigujemo nad površino Zemlje, g pada
• (h = R, r = R + h = 2R → g = g0/4  2,5 m/s2)
• na zelo velikih oddaljenostih je g zanemarljiv
R
r
na poljubni višini: g  G m2  g  R 
0
r2
r
h
m2 = 6·1024kg – masa Zemlje
R = 6400 km – polmer Zemlje
Kroženje satelitov
• premajhna hitrost: satelit pade na Zemljo
• prevelika hitrost: satelit ubeži Zemlji
• pri ustrezni hitrosti (v tangentni smeri) se
satelit giblje po elipsi ali krožnici
kroženje:
Fg = mar
Zemlja – Luna
perigej: 363,104 km
apogej: 405,696 km
ekscentričnost: 0,0554
obhodni čas: 27,3 dni
Sonce - Zemlja
perigej: 147,097,000 km
apogej: 152,090,000 km
ekscentričnost: 0,018
obhodni čas: 365,26 dni
→
m1 m2
v2
G 2  m1
r
r
v G
T
m2
r
2 r
r
 2 r
v
Gm 2
Kroženje satelitov
m1 m2
v2
G 2  m1
r
r
m
v G 2
r
T
2 r
r
 2 r
v
Gm 2
• gravitacijska sila na krožeči satelit je pravokotna na smer hitrosti, spreminja
smer hitrosti
• vsaki višini nad centralnim telesom ustreza določena hitrost kroženja
• hitrost kroženja ni odvisna od mase krožečega telesa (m1)
• hitrost kroženja je velika, če je masa centralnega telesa (m2) velika in/ali je radij
krožnice majhen (takrat je gravitacijska sila velika)
• sateliti na krožnicah z velikim polmerom imajo dolg obhodni čas (velika
dolžina krožnice in majhna hitrost)
• obhodni čas na dani višini je krajši, če je masa centralnega telesa večja
Zemljini sateliti
višina
[km]
polmer
kroženja
[km]
hitrost
[m/s]
hitrost
[km/h]
obhodni čas
400
6800
7700
28000
1,5 h
geostacionarni
sateliti
36000
42000
3100
11000
24 h
Luna
380000
380000
1000
3700
27 dni
Mednarodna
vesoljska
postaja
Ogledi
Mednarodna vesoljska postaja, kakor jo vidimo z Zemlje:
http://www.youtube.com/watch?v=Nr9fiJzR4y8
Zemlja z Mednarodne vesoljske postaje:
http://www.youtube.com/watch?v=EP6-2JM2wdQ
http://www.youtube.com/watch?annotation_id=annotation_913593&featur
e=iv&src_vid=BOsdBhB8Apw&v=TwgXL6_lg58
Navidezno breztežno stanje na Mednarodni vesoljski postaji:
http://www.youtube.com/watch?v=OcEPNM-Ggfk
Navidezno breztežno stanje v letalu v paraboličnem letu:
http://www.youtube.com/watch?v=aLMg2DZwY18
Delo, energija
2. Newtonov zakon pomnožimo z vektorjem premika in integriramo:

 
F  ma / ds / 
sledi:
2
2
 
dv
m v2
m v1
  
 Fds   mat  ar ds   m at vdt  0   m dt vdt   m vdv 2  2
(premik je zmeraj v smeri tangente; tangentni pospešek meri spremembo
velikosti hitrosti)
Definiramo:
 
A   Fd s
delo
m v2
Wk 
2
kinetična energija
Sledi:
A  Wk
energijski zakon
Kinetična energija točkastega telesa
v2
Wk  m
2
• sorazmerna z maso telesa
• sorazmerna s kvadratom hitrosti:
- je nič, če telo miruje
- dvakrat večja hitrost  štirikrat večja kinetična energija
• skalarna količina - ni odvisna od smeri gibanja
• enote: Joule (džul) 1 J = 1 kgm2/s2
sprememba kinetične energije:
> 0, pospeševanje
Wk = Wk2 - Wk1 = 0, mirovanje ali enakomerno gibanje
< 0, zaviranje
Delo

F

F
j

s

F||
posebni primer: stalna sila, stalen kot med silo in smerjo gibanja točkastega telesa:
 
A  F  s  F  s  cosj   F||  s  F  s||
delo sile je enako produktu premika in komponente sile v smeri premika:
• sila je enaka nič  delo je nič
• sila deluje v smeri premika (j = 0)  A = Fs > 0
• sila deluje v nasprotni smeri premika (j = 180o)  A = -Fs < 0
• sila je pravokotna na premik (j = 90o)  A = 0
enote: 1 J = 1 kgm2/s2
Energijski zakon
Energijski zakon za točkasto telo je drugačen zapis 2. Newtonovega zakona:
A = Wk
delo je enako spremembi kinetične energije
• A > 0  Wk > 0 pospeševanje
• A = 0  Wk = 0, telo miruje ali se giblje enakomerno (= s stalno hitrostjo)
• A < 0  Wk < 0, zaviranje
Upoštevamo delo vseh sil na telo.
Zakon velja tudi za sistem točkastih teles, upoštevati moramo delo vseh sil na vsa
telesa (notranjih in zunanjih).
(Tudi notranje sile v sistemu lahko opravljajo delo: npr. človek na ledu vrže žogo
in se odrine nazaj, kinetični energiji žoge in človeka sta rezultat dela notranjih sil.)
Delo teže
• delo rezultante vseh sil na točkasto telo razdelimo na vsoto del
posameznih sil
• posebej izračunamo delo teže:
 
 

A   Fi  s  Fi  s   Ai  A  Ag  A  Fg s
Ag – delo teže
A’ - delo vseh sil razen teže
Delo teže
• telo se premakne iz točke 1 v točko 2 po različnih poteh (zaradi različnih sil, ki
delujejo nanj)
• za vsako pot izračunamo delo teže:
2
1

s
h
1

s

s
1
2

Fg
b)
• v vseh primerih velja:
2

s

ds
dh
2
1

Fg
a)
2
1800-j
j

Fg
c)

Fg

Fg
d)

Ag  Fg s  mgh2  h1   mgh
• definiramo potencialno energijo : Wp = mgh
1
e)
Potencialna energija
Wp = mg·(h2 – h1) = mg·h
izhodišče za merjenje višine poljubno izberemo, saj nas zanimajo samo spremembe
višine
2
1

s
h
1
180 -j

s
1
2

Fg
2
0

s

Fg
Wp > 0a)
< 0 b)
=c)0
sprememba potencialne energije je
• enaka negativnemu delu teže
• produkt teže telesa in spremembe višine

s

ds
dh
2
1

Fg
2
j

Fg
>d)0
1

Fg
e)
>0
h2 > h1  Wp > 0
h2 = h1  Wp = 0
h2 < h1  Wp < 0
Kinetična  potencialna energija
Wk = A = A’+ Ag= A’ - Wp →
A' = Wk + Wp
Delo vseh sil razen teže (A’) je vsota sprememb kinetične in potencialne energije.
2
2
Wk2 = mv2 /2 = 0
Wp2 = mgh2
A' = 0
Wk1 = mv12/2
Wp1 = mgh1 = 0
1
A' = Wk2 – Wk1 + Wa)p2 – Wp1  0 = 0b) - mv12/2 + mgh2 - 0 c) h2 = v12/(2g)
Kinetična  potencialna energija
Kamen vržemo navpično navzgor, klado potisnemo po gladkem klancu navzgor, kroglo na
vrvici potisnemo v vodoravni smeri, vse z enako začetno hitrostjo, vsa telesa imajo enako
maso. Do kolikšne višine se dvignejo?
2
2
Wk2 = mv2 /2 = 0
Wp2 = mgh2
A' = Wk + Wp
A' = 0
Wk1 = mv12/2
Wp1 = mgh1 = 0
1
• vsa telesa imajo
v spodnji točki
enako kinetičnoc) energijo
a)
b)
• startajo na isti višini, torej imajo tudi enako začetno potencialno energijo
• delo opravlja samo teža (trenje, upor zraka itd. zanemarimo; sili podlage in vrvice
sta pravokotni na premik in ne opravljata dela), torej je A’ = 0
• v vrhnji točki se vsa telesa ustavijo = imajo enako končno kinetično energijo
• sledi: tudi končna potencialna energija je za vsa telesa enaka = telesa dosežejo
enako končno višino (= telesa vso svojo kinetično energijo pretvorijo v potencialno)
Hookov zakon
Sila, ki je potrebna, da vzmet raztegnemo
ali stisnemo, je enaka produktu koeficienta
vzmeti (k) in raztezka oz. skrčka x.
F = k x
200

Fv1
x2

Fv 2

F1
x2
150
Fv [N]
x1
100

F2
x1
50
Fv(x)
Fv1
0
0
1
Fv2
x
2
x [cm]
3
4
sila v vzmeti narašča linearno z raztezkom: dvakrat večja sila  dvakrat večji raztezek
trda vzmet  velik koeficient vzmeti
Prožnostna energija
Med raztegovanjem vzmeti sila ni stalna: delo sile vzmeti je vsota (= integral)
produkta trenutne sile in raztezka pri tej sili (= ploščina pod grafom Fv(x)).
Predznak: Av < 0, če vzmet raztegujemo ali stiskamo (sila deluje v nasprotno
smer premika); Av > 0, če se vzmet vrača proti neraztegnjeni dolžini.
200
AvB    Fv dx    kxdx
x2
150
Fv [N]
 kx22 kx12 
  W pr
Av  

2 
 2
100
x1
50
Fv(x)
Fv1
0
0
1
Fv2
x
2
x [cm]
3
4
kx2
W pr 
2
Prožnostna energija je sorazmerna koeficientu vzmeti in kvadratu
raztezka oz. skrčka:
• dvakrat trša vzmet  dvakrat večja prožnostna energija
• dvakrat večji raztezek  štirikrat večja prožnostna energija
Mehanska energija, moč
Mehanska energija je vsota kinetične, potencialne in prožnostne energije:
Wmeh = Wk + Wp + Wpr
Delo vseh sil razen teže in sile vzmeti (A˝) je enako spremembi
mehanske energije:
A'' = Wk + Wp + Wpr = Wmeh
Moč pove, kolikšno je opravljeno delo v enoti časa. Enote Watt oz. vat:
1 W = 1 J/s = 1 kgm2/s3
 
A F  s  
P

 F  v  F  v  cosj 
t
t
Sunek sile, gibalna količina
2. Newtonov zakon pomnožimo s časovnim intervalom dt in integriramo:


F  ma / dt / 
sledi:





F
dt

m
a
dt

md
v

m
v

m
v
2
1



definiramo:


G  mv


 Fdt  Ft
sunek sile
gibalna količina


 Fdt  G
Sunek sile je enak spremembi gibalne količine.
Gibalna količina


G  mv
• sorazmerna z maso telesa
• sorazmerna s hitrostjo:
- je nič, če telo miruje
- dvakrat večja hitrost  dvakrat večja kinetična energija
• vektorska količina – kaže v smer hitrosti
• gibalna količina telesa se spremeni, če se spremeni vektor hitrosti,
torej če se hitrost spremeni po velikosti in/ali po smeri.
• enote: 1 kgm/s = 1 Ns
Sunek sile, sprememba gibalne
količine

stalna (oz. povprečna) sila:
Sunek sile je enak produktu sile in časa trajanja sile. Ft
sprememba gibalne količine je enaka sunku sile
 
G  F  t


F  ma / t



F t  ma  t  mv
• ni sile, ni spremembe gibalne količine (ne po velikosti, ne po smeri)
• sila v smeri gibanja poveča gibalno količino telesa
• sila v nasprotni smeri gibanja zmanjša gibalno količino
• enaka sprememba gibalne količine: velika sila kratek čas ali manjša
sila dlje časa
• žogica se prožno odbije od stene: sprememba gibalne količine žogice
je dvakrat tolikšna, kot če bi ustavila (+mv  -mv: G = -2mv)
Gibalna količina sistema točkastih
teles




G  Gi  mi vi  mi  vT
Gibalna količina sistema točkastih teles je enaka vektorski
vsoti gibalnih količin posameznih teles in je enaka
produktu mase sistema in hitrosti težišča sistema.



G   Gi   Fiz t i
po definiciji težišča:

rT 

r
 i mi g i
m g

v
 mg

m g
i
 
rT  vT
i
i
i
i
i
Sprememba gibalne količine sistema točkastih je enaka sunku zunanjih sil
na sistem (vsota sunkov notranjih sil je enaka nič – 3. Newtonov zakon).
Če so sunki zunanjih sil enaki nič, se skupna gibalna količina sistema
ohranja, ohranja se hitrost težišča sistema.
i
Trk v ravnini
Telo 1 se pred trkom giblje v smeri x, telo 2 pa v smeri y (leva slika). Nato trčita in se
sprimeta (desna slika). Kako se gibljeta po trku?


G2 z  Gyz

Gz


G1z  Gxz

G yk

Gk

G xk
Če je sunek zunanjih sil na
sistem obeh teles v času trajanja
trka zanemarljiv proti sunku
notranjih sil, je skupna gibalna
količina teles po trku je enaka
kot pred trkom (enaka je vsoti
gibalnih količin obeh teles pred
trkom).
Med trkom se ohranjata komponenti skupne gibalne količine v obeh
koordinatnih smereh:
m1v1x + m2v2x = m1u1x + m2u2x
m1v1y + m2v2y = m1u1y + m2u2y
Premi trki
točkasti telesi z masama m1 in m2 se gibljeta po isti premici s hitrostma v1 in
v2 in nato trčita tako, da se na koncu še zmeraj gibljeta po isti premici, njuni
hitrosti tik po trku sta u1 in u2
v1
v2
u1
u2
m1
m2
m1
m2
pred trkom
po trku
V kratkem času trka je sunek zunanjih sil zanemarljiv: gibalna količina
sistema se ohranja:
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2
V enačbi nastopata dve neznanki (obe končni hitrosti). Za njuno določitev
potrebujemo še dodatne informacije.
Koeficient prožnosti trka
u1  u 2
e
v1  v2
razmerje relativnih hitrosti po trku in pred trkom
e=1
popolnoma prožni trk,
ohranja se kinetična energija (npr. trk biljardnih krogel)
0 < e < 1 delno prožni trk
e=0
popolnoma neprožni trk
telesi se zlepita
Premi trk
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2
u u
e 1 2
v1  v2
v1
v2
m1
m2
m1v1  m2 v2  e  m2 v1  v2 
m1  m2
m v  m2v2  e  m1 v2  v1 
u2  1 1
m1  m2
u1 
u1
u2
m1
m2
m1 = 10 kg, m2 = 20 kg, v1 = 10 m/s, v2 = -15 m/s
popolnoma prožni trk:
delno prožni trk:
popolnoma
e=1
e = 0,5
neprožni trk:
u1 = -23,3 m/s
u1 = -15 m/s
e=0
u2 = 1,7 m/s
u2 = -2,5 m/s
u1 = u2 = -6,7 m/s
Čeprav so začetne hitrosti enake, so izidi različni (= odvisni od stopnje prožnosti
trka). V vseh primerih se ohranja gibalna količina.
Primer
Voziček z maso m1 in hitrostjo v1 se zaleti v mirujoči voziček z maso m2 (v2 = 0),
trk je premi in popolnoma prožen (e = 1), relativna hitrost vozičkov se ne
spremeni (u2 - u1= v1) :
1.) m1 = m2 → u2 = v1, u1 = 0, enaki masi: prvi voziček se ustavi, drugi nadaljuje
s hitrostjo prvega (npr. biljardni kroglici)
1
2
1
2
2.) m1 >> m2 → u1 ≈ v1, u2 ≈ 2v1, težki voziček se zaleti v lahkega: težki skoraj ne
čuti trka, drugega „izstreli“ z dvojno hitrostjo (npr. udarec pri golfu)
2
1
1
2
3.) m1 << m2 → u1 ≈ -v1, u2 ≈ 0, lahki voziček se zaleti v težkega: lahki se odbije
nazaj s skoraj začetno hitrostjo, drugi se skoraj ne premakne (npr. metanje žogice
ob steno)
1
2
1
2
Primer
Newtonovo nihalo:
- kroglice enakih mas na enako dolgih vrvicah, trki so popolnoma prožni,
- dvignemo eno kroglico za h in spustimo: potencialna energija se
spremeni v kinetično, kroglica trči v mirujoč kroglico s hitrostjo v0 v
vodoravni smeri,
- prva kroglica se ustavi, druga nadaljuje s hitrostjo v0 in udari ob tretjo,
zato se druga kroglica ustavi… itd.
- zadnja odleti z v0, se dvigne za h in udari ob predzadnjo z v0… itd.
- kaj se zgodi, če dvignemo dve kroglici skupaj in ju hkrati spustimo?
Kroženje točkastega telesa

točkasto telo kroži, 2. Newtonov zakon pomnožimo z leve z r 

 
F  ma / r 
sledi:
 
 
  
 
2 
r  F  mr  a  mr  at  ar   mr  at  0  mr 
definiramo:
  
M  rF
J  m r2
M  rF sin j
navor
vztrajnostni moment točkastega telesa


M  J
Navor sile (oz. rezultante sil) je pravokoten na ravnino kroženja, po velikosti
je enak produktu vztrajnostnega momenta in kotnega pospeška telesa.
Kroženje točkastih teles
Posplošitve:
• več sil - izračunamo
posameznih
sil

navor rezultante
 oz. vsoto navorov





M  r  F  r   Fi   r Fi   Mi 
• sistem točkastih teles, ki se vrtijo (krožijo) z istim kotnim pospeškom
– seštejemo po vsem sistemu, navori notranjih sil se paroma odštejejo (3.
Newtonov zakon), ostanejo samo navori zunanjih sil




 M i  M in  M zi   M iz
vztrajnostni moment sistema točkastih teles je enak vsoti vztrajnostnih
momentov

M i 
 m r   J
2
i


J   mi r 2   J i
Vztrajnostni moment togega telesa
razsežno telo razdelimo na infinitezimalno majhne dele in seštejemo (=
integriramo) vztrajnostne momente, r – pravokotna razdalja dm do osi
vrtenja:
J   J i   ri 2 mi  J   r 2 dm
r
dm


M  J
Vztrajnostni moment togega telesa
r
r
m
m
• točkasto telo na
razdalji r od osi:
J = mr2
m
• krogla, os skozi
središče:
J = 2mr2/5
r
• obroč, os skozi
središče, pravokotno
na ravnino obroča:
J = mr2
m
l
• palica, os skozi
središče, pravokotno
na palico:
J = ml2/12
r
m
• valj, os sovpada z
geometrijsko osjo:
J = mr2/2
m
l
• palica, os skozi
krajišče, pravokotno
na palico:
J = ml2/3
Steinerjev izrek
poznamo vztrajnostni moment skozi težišče (J0), iščemo J okoli vzporedne osi


J   r 2 dm   dm a 2  r02  2ar0 cos j  ma 2  J 0  2a  xdm ma 2  J 0
definicija težišča:
T
a
r
J
J0
j r0
dm
 xdm  0 ,
J 0   r02 dm
J  ma2  J 0
J0 – vztrajnostni moment skozi težišče telesa
J – vztrajnostni moment skozi vzporedno os
a – razdalja med osema
Okoli osi skozi težišče je vztrajnostni moment najmanjši, okoli vseh
vzporednih osi je večji.
Vrtilna količina
točkasto telo kroži
 

• 2. Newtonov zakon množimo najprej z leve z r  , dobimo M  J , nato
množimo še z dt in integriramo po času:







 Mdt   Jdt  J 2  J1  2  1  
• ali: najprej množimo z dt in integriramo po času, dobimo zakon o gibalni


količini Fdt  G , nato množimo z leve z r 



  
 Mdt  mr  v2  v1   J  
definiramo:
sunek navora:

 Mdt



vrtilna količina:   J  r  G


M
dt




Sunek navora je enak
spremembi vrtilne količine.
Vrtilna količina

  
  J  r  G
 vrtilna količina
J – vztrajnostni moment
  kotna hitrost
r – ročica
G – gibalna količina
• vrtilna količina je vektor (v smeri osi vrtenja)
• odvisna od vztrajnostnega momenta in kotne hitrosti
• je nič, če se telo ne vrti
• dvakrat večja kotna hitrost, dvakrat večja vrtilna količina
• vrtilna količina se spremeni, če na telo deluje sunek navora
Vrtilna količina
posplošitve:
• sistem točkastih teles, vrtilne količine seštejemo:


  i
seštejemo enačbe za vsako telo, notranji navori se odštejejo, vsota zunanjih
navorov določa spremembo skupne vrtilne količine sistema teles:


 M z dt  
• razsežno telo, ki se vrti: vsi deli imajo isto kotno hitrost, seštejemo vrtilne
količine posameznih delov:


2 
   dmr   J
Delo, energija, moč pri vrtenju
točkastega telesa
točkasto telo kroži (premik v smeri tangente na krožnico):
• energijski zakon izrazimo v kotnih količinah:
A = Wk
 
 
dA  Fds  Ft rdj  Mdj
1
1 2 2 1
2
Wk  mv  mr   J 2
2
2
2


• ali: 2. Newtonov zakon množimo najprej z leve z r  , dobimo M  J , nato


skalarno množimo še z dj in integriramo po kotu ( dj in  sta vzporedna):
 
d
1
1
2
2
M
d
j

J

d
j

J

dt

J


J

2
2  Wk


 dt
2
2

dA
P
 M moč pri vrtenju
dt
Delo, energija pri vrtenju
točkastega telesa
A = Wk
 
A   Mdj
delo pri vrtenju
• skalarni produkt navora in kota
zasuka
• navor v smeri zasuka: A > 0
• navor v obratni smeri zasuka: A < 0
1
1 2 2 1 2
2
Wk  J  mr   mv
2
2
2
(rotacijska) kinetična energija
• je nič, če telo miruje
• sorazmerna vztrajnostnemu momentu
in kvadratu kotne hitrosti
• skalarna količina
Rotacijska kinetična energija
togega telesa
togo telo se vrti okoli osi O s kotno hitrostjo :
• različni deli vrtečega telesa imajo različne hitrosti,
vendar enako kotno hitrost: ·= v/r
• kinetična energija masnega elementa dm na
razdalji r od osi vrtenja je:
O
dm
r
0
v =·r
v' =·r'
J
Wk 
2
2
dm  v 2 dm  r 2   2 dJ    2
dWk 


2
2
2
• skupna kinetična energija je vsota prispevkov po
celotnem telesu:
2
dm  r 2   2  2

Wk   dWk  

  dm  r 2 
J
2
2
2
Torzijska vzmet
za zasuk torzijske vzmeti je potreben navor:
M = Dj
M – navor
j – kot zasuka
D – torzijski koeficient vzmeti (trda vzmet ↔ velik D)
Absolutna vrednost dela, ki ga pri zasuku opravimo,
je enaka prožnostni energiji vzmeti:
Dj 2
A   Mdj   Djdj 
 W pr
2
dvakrat večji zasuk:
• dvakrat večji navor
• štirikrat večja prožnostna energija
Dj 2
W pr 
2
Simetrija enačb za vrtenje in premo
gibanje
s
j
r

v
r

at
r
J  m r2
  
M  rF
  
  r G




F  ma
M  J




G  mv
  J




Mt  
Ft  G
 


dA  M  dj dA  F  ds
 
P  M 
J 2
Wk 
2
M = Dj
Dj 2
W pr 
2
 
P  F v
m v2
Wk 
2
F = kx
kx 2
W pr 
2
Togo telo - splošno


 Fiz  maT
vsota vseh zunanjih sil določa pospešek
težišča telesa


 M iz  J
vsota vseh zunanjih navorov določa
vrtenje (t.j. kotni pospešek) telesa okoli
izbrane osi

T


aT

Ft
Vrteče kolo postavimo na
hrapavo podlago: zunanja sila
(trenje s podlago) pospešuje kolo
v desno in zavira vrtenje.
Kotaljenje
kotaljenje je kombinacija translatornega
in rotacijskega gibanja:
• telo se premika kot celota s hitrostjo v0
• telo se vrti okoli osi s kotno hitrostjo 

v0
·r

hitrost posamezne
točke na telesu je
vektorska vsotav0dveh komponent:
• vsaka točka telesa se premikav v smeri
kotaljenja s hitrostjo v0
• zaradi vrtenja okoli osi ima vsaka točka
še komponento hitrosti v smeri tangente
na krožnico, njena velikost je odvisna od
oddaljenosti od osi (r): v = r
Kotaljenje
telo, ki se kotali brez spodrsavanja,
naredi en obrat (kot 2) v času T:
j =  = T
v tem času se translatorno premakne za svoj obseg: s = ·r = v0T
pogoj za kotaljenje brez spodrsavanja:
v0 =  ·r
j =  = T

v0
s = ·r = v0T
spodrsavanje: v0 >  ·r ali v0 <  ·r
2v0
Kotaljenje
v0 2

v0
·r
2v0
v0 2
1,5v0
v0
v0
·r
0,5v0

v0 2
1,5v0
kotaljenje brez spodrsavanja lahko
v0 2vrtenje s kotno
v0
obravnavamo
tudi kot
hitrostjo
0,5v0  okoli osi skozi trenutno
dotikališče telesa s podlago:

• hitrost posamezne točke na telesu je
vektorska vsota komponent zaradi
translacije in rotacije
• v dotikališču s tlemi je hitrost nič
• v vsaki točki je hitrost pravokotna na
zveznico s trenutno osjo
• velikost hitrosti je sorazmerna z
oddaljenostjo od osi
Kinetična energija pri kotaljenju
Telo se kotali, os vrtenja gre skozi težišče. Seštejemo kinetične energije
delcev z maso dm po celotnem telesu:



1
1
2
Wk   dm  v 2   dm v02  r   2v0r cos 90o  j 
2
2
1
1
 m v02   2  r 2 dm  2v0  r sin j dm 
2
2
1
1
 m v02  J 2  2v0  ydm 
2
2
1 2 1
Wk  mv 0  J 2
2
2
dm
v0
90º + j
r
j y
x ·r
po definiciji
težišča je ta člen
enak nič
Kinetična energija telesa, ki se kotali, je vsota
• kinetične translacijske energije (celotno telo se premika s hitrostjo v0)
• in kinetične rotacijske energije (telo se vrti okoli težišča s kotno hitrostjo
, J - vztrajnostni moment okoli težišča)
v
Kotaljenje
energijski zakon
os skozi težišče
os skozi dotikališče s
podlago
r
h
r
Fd
Fd
Fl
m v2 J 2
m gh 

2
2
Fd  Fl  maT
Fd  r  J
Fl  r  J 0
J  J 0  mr2
aT    r
aT    r
Ogledi
Ohranitev gibalne količine – žogice v breztežnosti:
http://www.youtube.com/watch?v=4IYDb6K5UF8
Žogica za golf zadene steno – počasni posnetek:
http://www.youtube.com/watch?v=aMqM13EUSKw
Pirueta na ledu:
http://www.youtube.com/watch?v=0oStQg4kNMA
Skoki v vodo:
http://www.youtube.com/watch?v=cgDwOogTPX4
Mačka se obrne tako, da pade na noge – posnetek:
http://www.youtube.com/watch?v=rajyivXuihw
Mačka se obrne tako, da pade na noge – simulacija:
http://www.youtube.com/watch?v=yGusK69XVlk

similar documents