Analýza hlavných komponentov

Report
ANALÝZA HLAVNÝCH KOMPONENTOV
Principal Component Analysis
Viacrozmerné metódy -údaje
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11
1
2
3
4
5
n
n>p
Xp
Metódy analýzy skrytých vzťahov
Počet
premenných
Typ údajov
Kvantitatívne
Kvalitatívne
Analýza dvojrozmerných
kontingenčných tabuliek
Dve
Jednoduchá korelácia
Loglineárne modely
Analýza hlavných
komponentov
Analýza viacrozmerných
kontingenčných tabuliek
Loglineárne modely
Viac ako dve
Faktorová analýza
Korešpondenčná analýza
Často v praxi vzniká problém:
začiatočný počet premenných, popisujúcich objekty (pozorovania)
je vysoký a naviac premenné sú vzájomne korelované (problém
multikolinearity) .
zjednodušením môže byť vytvorenie menšieho počtu znakov
(premenných) bez podstatnej straty informácie
K riešeniu tohto problému boli vytvorené dve metódy:
• Analýza hlavných komponentov – Principal Components
Analysis – PCA
•
Faktorová analýza – Factor Analysis - FA
PCA a FA patria do metód analýzy skrytých vzťahov
a metód zníženia dimenzie
Analýza hlavných komponentov
Okruhy, ktorým budeme venovať pozornosť:
 Matematické a geometrické vyjadrenie hlavných
komponentov
 Hlavné komponenty
 Interpretácia hlavných komponentov
 Ilustratívne príklady v SAS EG
Analýza hlavných komponentov
PCA = metóda analýzy skrytých vzťahov:
 premenné nemožno logicky rozdeliť do dvoch skupín na závislé a
nezávislé
 cieľom je pochopiť alebo identifikovať prečo a ako sú premenné
navzájom prepojené, t.j. ako sa navzájom ovplyvňujú
 ak sú premenné navzájom prepojené – korelované, možno
rovnaký objem informácií vystihnúť
menším počtom premenných – zníženie dimenzie
 Metódy vychádzajú z analýzy kovariačnej resp. korelačnej matice
pôvodných premenných a pokúšajú sa nájsť skryté –
nemerateľné- latentné premenné = premenné sa nedajú merať,
ale majú schopnosť vecnej interpretácie.
Analýza hlavných komponentov
PCA – využitie v praxi
Finančný analytik - zistenie finančného zdravia firmy. Na základe
veľkého počtu ukazovateľov znakov (napr. 120) je nákladné, náročné a
ťažko interpretovateľné hodnotenie finančného zdravia podniku.
Úloha analytika: vytvorenie menšieho počtu ukazovateľov (3, viac),
resp. indexov, ktoré sú lineárnymi kombináciami pôvodných 120
ukazovateľov
Marketingový manažér – vytvorenie regresného modelu pre predpoveď
predaja – problém multikolinearity zvolených premenných (skreslenie
smerod. odchýlok a nestabilita modelu). Snaha o vytvorenie nových
premenných, ktoré sú lineárnymi kombináciami pôvodných
premenných, ale už nie sú korelované . Pre regresný model budú
použité nové premenné
Kontrola kvality – snaha vytvoriť z dostupných ukazovateľov nové
zložené ukazovatele (indexy ) o procese výroby – využitie pri kontrole
kvality
Analýza hlavných komponentov

Charakteristika
 predmetom analýzy je skupina kvantitatívnych premenných
 je metóda, ktorá umožňuje vytvárať nové premenné, ktoré sú
lineárnou kombináciou pôvodných premenných
 nové premenné sa nazývajú hlavné komponenty (HK)

Cieľ
 Identifikácia odľahlých pozorovaní, resp. vplyvných pozorovaní
(outliers)
 Zníženie dimenzie (premenných) viacrozmernej analýzy
 Odstránenie závislosti medzi premennými, následné použitie HK v
zhlukovej analýze, resp. pri tvorbe regresných modelov na
odstránenie multikolinearity
Matematické a geometrické vyjadrenie HK


Každá štatistická jednotka je charakterizovaná viacerými ukazovateľmi
(premenné, znaky), predstavuje body v p-rozmernom priestore
(p=počet sledovaných premenných)
Každá z pôvodných premenných má v súbore nejakú variabilitu,
meranú rozptylom. Rozptyl je nositeľom informácie.

Pozn. Ak premenná nemá pre dané pozorovania žiadnu variabilitu, všetky pozorovania
majú rovnakú hodnotu. Nemôžeme na základe tejto premennej pozorovania odlíšiť a
teda nám nedáva žiadnu informáciu ich charaktere.

Celkový objem informácie získame súčtom rozptylov jednotlivých
premenných
Matematické a geometrické vyjadrenie HK
 PCA je ordinálna metóda, ktorá umožňuje redukovať počet dimenzií v
euklidovskom priestore (definovanom korelovanými premennými ) tak,
aby nedošlo k strate informácií
 Pôvodných p vzájomne korelovaných (pozorovaných) premenných je
nahradených novými q vzájomne nekorelovanými, nemerateľnými
„syntetickými“ premennými tak, že prvá nová súradnicová os (prvý HK)
je vedená v smere maximálnej variability medzi objektmi. Druhá os je
(druhý HK) je kolmá na prvú os a je vedená v smere druhej najväčšej
variability medzi objektmi, atď .
 Relatívna pozícia objektov v pôvodnom priestore a v novom priestore
(danom HK) je rovnaká, tzn. pôvodný súradnicový systém sa natáča
do smeru max. variability medzi objektmi, pričom euklidovské
vzdialenosti medzi objektmi sa zachovávajú.
Matematické a geometrické vyjadrenie HK
V grafickej prezentácii:
Uvažujeme, že každý objekt je meraný len dvomi ukazovateľmi (x1, x2).
Pôvodný súradnicový systém posúvame do nového systému v smere
najväčšej variability.
Súradnice bodu A vzhľadom na nové osi sú lineárnou kombináciou
súradníc vzhľadom na pôvodné osi.
X2
A
X1
Hlavné komponenty
Cieľ PCA: nájdenie skutočného (nového) rozmeru, v ktorom sa údaje nachádzajú.
Pre splnenie tejto úlohy je výhodné určiť nové súradnicové osi tak, aby platili
podmienky V1 až V5
 V1 Vzájomná poloha bodov v p-rozmernom priestore (pozorovaní) sa nemení .
Nové osi predstavujú nové umelé premenné - hlavné komponenty, HK. Nové
hodnoty premenných na štatistických jednotkách (pozorovaniach) nazývame
komponentové body.
 V2 Každá z nových premenných je lineárnou kombináciou pôvodných p-
premenných
 V3 Nové premenné – HK, ktorých počet je max. p, sú navzájom nekorelované.
 V4 Prvý HK vysvetľuje najväčšiu časť variability údajov, preto je najdôležitejší.
Myslí sa tým najväčšiu časť zo súčtu rozptylov všetkých p pôvodných
premenných.
 V5 Každý ďalší HK vysvetľuje čo najväčšiu časť zo zostávajúcej variability
údajov tak, že na posledný komponent ostane už len nepatrný zvyšok.
Hlavné komponenty
Predpokladajme, že súbor pôvodných p – premenných
X1, X2, ..., Xp transformujeme na nové premenné Y1, Y2, ...,Yp – hlavné
komponenty tak, že sú lineárnou kombináciou pôvodných premenných.
premenné
hlavné komponenty
X1 X2 X3 X4 X5 X6
1
2
3
4
5
Xp
Y1 Y2 Y3
PCA
pq
n
Y1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + …. + a1p xp
Y2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + …. + a2p xp
...
Yq
Hlavné komponenty

Hlavné komponenty sú lineárnou kombináciou pôvodných premenných
Hlavné
komponenty
koeficienty aij ,
saturácie, váhy
Y1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + …. + a1p xp
Y2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + …. + a2p xp
Y3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + …. + a3p xp
….
Yp = ap1 x1 + ap2 x2 + ap3 x3 + …. + app xp
Hlavné komponenty Yi
•maximálne možno vytvoriť rovnaký počet HK ako pôvodných
premenných,
•každý HK je lineárnou kombináciou pôvodných premenných,
•nové premenné sú navzájom nekorelované (nezávislé)
Hlavné komponenty
Koeficienty aij , váhy, saturácie sú odhadované tak, že:


sú splnené podmienky V1 až V5.
celková variabilita sa nezmení , t.j. rozptyl nových a pôvodných
premenných sa rovná 1, t.j. aij2 = 1
ai12 + ai22 + ..+ aip2 = 1, pre každé i=1, 2,...p
 nové premenné boli navzájom nezávislé, čo zabezpečuje vzťah
ai1aj1 + ai2aj2 + …. + aipajp = 0 pre i  j a i, j =1,2,...,p
Hlavné komponenty
Vlastnosti hlavných komponentov:
 E(Yi)= 0,
 D(Yi) = i ,
i=1, 2, ..., p
i=1, 2, ..., p
i vlastné čísla (eigenvalue) kovariačnej matice, pre ktoré platí :
1  2  3 ...  p
 cov (Yi,Yj) = 0, i≠j
 D(Y1)  D(Y2)  D(Y3) ….  D(Yp)  0
 cov (Xi,Xj) = aijj a ich koeficient korelácie
 =


PCA - úprava údajov
Pred odhadom je potrebné rozhodnúť z akých údajov sa bude vychádzať.
 ak majú rovnakú mernú jednotku – vychádzame z kovariačnej
matice.
Je to vhodnejšie, pretože k-ty HK je taká lineárna kombinácia premenných,
ktorý vysvetľuje k-tu najväčšiu časť celkového rozptylu. Maximalizácia tohto
rozptylu pri normovaných premenných má umelý charakter.
 ak majú rôzne merné jednotky – vychádzame z korelačnej
matice
-
je potrebné brať do úvahy normované
(štandardizované) hodnoty, aby sme ich
previedli na spoločný základ.
zij 
( xij  x j )
sj
j  1,2,..., p
Analýza hlavných komponentov
Rozlišujeme nasledovné typy PCA – podľa toho, z čoho
vychádzame pri výpočte.
 Centrovaná PCA – vychádzame z kovariančnej matice.
Začiatočný bod novej súradnicovej sústavy je posunutý z
pôvodného bodu do centroidu objektov (centroid = hypotetický
objekt, kt. predstavuje priemerný objekt.
Vzdialenosti medzi objektami sú rovnaké v novom aj v pôvodnom systéme.
 Štandardizovaná PCA – vychádzame z korelačnej matice.
Začiatočný bod novej súradnicovej sústavy je posunutý z
pôvodného bodu do centroidu objektov a súčasne sú pôvodné
hodnoty normované (ich rozptyl = 1)
 Necentrovaná PCA – vychádzame z pôvodných premenných.
Začiatočný bod nového systému je v tom istom bode ako bol v
pôvodnom systéme.
Určenie počtu HK
Len niekoľko prvých HK stačí vysvetliť celkový rozptyl pôvodných údajov.
Existuje niekoľko pravidiel na určenie optimálneho počtu HK:
 Podľa vlastnej úvahy o potrebe zachovania informácií (vlastné čísla, ktoré
vysvetľujú napr. 90% variability)
 Kaiserovo pravidlo: použiť tie HK, ktorých vlastné číslo je väčšie ako priemer
všetkých vlastných čísel. Pri normovaných údajoch sa priemer=1, t.j. berieme
tie HK, ktorých eigenvalue > 1.
 Použiť HK, ktoré spolu vysvetľujú aspoň 70% celkového rozptylu
 Vychádzať z grafického zobrazenia, z tzv. Scree Plot grafu – nájsť zlom v tomto
grafe a do úvahy brať HK po tento zlom.
 Andersonove pravidlo (test sféričnosti): test hypotézy: len prvých q vlastných
čísel je určených jednoznačne, ostatné sú rovnaké.
H0 : q+1= q+2= …. = p = 0
 H1 : neplatí H0
 začneme q=0 => ak platí H1 => HK1 je štat. významný. Pokračujeme,
kým sa nepotvrdí H0. Testovacie kritérium má chí- kvadrát rozdelenie

(SAS tento test neposkytuje).
Scree Plot graf
Interpretácia výsledov
1. Komponentové skóre (component scores)- predstavuje súradnice objektu v
novom priestore definovanom HK. Jeho hodnotu pre j-tú štat. jednotku
(j=1,2,...,n) v i-tom komponente vypočítame podľa:
yij= aij(xj –xpr)
(aij = vij)
2. Vlastné vektory – kosínusy (eigenvectors) - vyjadrujú smer vektorov, ktoré
charakterizujú vplyv pôvodných znakov na komponenty.
Čísla vlastných vektorov = komponentové váhy (saturácie) jednotlivých premenných
pri tvorbe príslušného komponentu.
Čím je hodnota aij vyššia, tým viac informácie o pôvodnej premennej Xj vysvetľuje
komponent Yi .
Dôležité je zistiť všetky premenné s vysokými váhami pre daný komponent.
Komponent sa potom snažíme vhodne interpretovať. Všímame si vysoké váhy,
t.j. I(aij )I>0,5.
3. Vlastné čísla h (eigenvalue) - vyjadrujú mieru variability, ktorá je zachytená
príslušným komponentom. Z hľadiska interpretácie nie sú dôležité ich
konkrétne hodnoty, ale vyjadrenie ich podielu na celkovom rozptyle.
Interpretácia výsledov
4. Koeficienty korelácie premenných s komponentami- koeficient korelácie
vyjadruje nakoľko daná pôvodná Xi ovplyvňuje nový HK Yi
čím je koeficient vyšší, o to viac vplýva pôvodná premenná na nový HK
5. Ordinačné grafy objektov (pozorovaní) - zobrazujú štatistické jednotky –
objekty v súradnicovom systéme pôvodných premenných
6. Ordinačné grafy znakov (premenných) - zobrazujú pôvodné premenné v
novom súradnicovom systéme HK.
Vplyv hodnotíme na základe porovnania vektorov jednotlivých znakov, t.j. čím je vektor
dlhší, tým je pôsobenie znaku silnejšie a čím je uhol medzi vektorom a príslušnou
komponentovou osou menší, tým je vplyv znaku silnejší na daný komponent.
7. Biploty – zobrazujú pozorovania aj znaky ma jednom grafe, ktorého
súradnicové osi tvoria zvolené komponenty. Slúžia tak na lepšiu interpretáciu
podielu pôvodných znakov na komponenty.
8. Detekcia odľahlých pozorovaní - na základe zobrazenia pozorovaní na
priemete hlavného komponentu.
Ilustratívny príklad v SAS EG
K dispozícii údaje o 93 (n=93) modeloch áut rôznych značiek:
Make
Acura
Acura
Audi
Audi
BMW
Buick
Buick
Buick
Buick
Cadillac
Cadillac
Chevrolet
Model Engine Size
Integra
1,8
Legend
3,2
90
2,8
100
2,8
535i
3,5
Century
2,2
LeSabre
3,8
Roadmaster
5,7
Riviera
3,8
DeVille
4,9
Seville
4,6
Cavalier
2,2
Horsepower
140
200
172
172
208
110
170
180
170
200
295
110
Fueltank
13,2
18
16,9
21,1
21,1
16,4
18
23
18,8
18
20
15,2
Skúmané parametre jednotlivých automobilov:

Engine Size
Objem motora

Horsepower
Fueltank
Passengers
Lengh
Výkon motora
Objem nádrže
Počet miest v aute
Dĺžka auta
Wheelbase
Width
Rázvor náprav
Šírka auta

U Turn Space
Rear seat
Luggage
Vzdialenosť potrebná pri otáčaní auta
Priestor na sedenie na zadnom sedadle
Objem batoživnového priestoru

Weight
Hmotnosť auta







Passengers
5
5
5
6
4
6
6
6
5
6
5
5
Length Wheelbase
177
102
195
115
180
102
193
106
186
109
189
105
200
111
216
116
198
108
206
114
204
111
182
101
WidthU Turn Space
68
37
71
38
67
37
70
37
69
39
69
41
74
42
78
45
73
41
73
43
74
44
66
38
Ilustratívny príklad v SAS EG
Úloha: posúďte pomocou PCA, či je možné vyjadriť rovnaký objem informácií
menším počtom premenných.
Krok 1: Overiť, či je možné redukovať počet premenných
Existencia multikolinearity – pomocou korelačnej matice
Correlation Analysis
The CORR Procedure
Pearson Correlation Coefficients
Prob > |r| under H0: Rho=0
Number of Observations
Engine Horsepo
Passeng
Wheelba
Size
wer Fueltank
ers Length
se
Width
Engine Size
1
U Turn
Space
Rear
seat Luggage
Weight
0,73212
0,75931
0,37272
0,78028
0,73248
0,86711
0,77846
0,50275
0,68083
0,84508
<.0001
<.0001
0,0002
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
93
93
93
93
93
93
93
93
91
82
93
Horsepower 0,73212
1
0,71179
0,00926
0,55086
0,48685
0,64441
0,56122
0,25673
0,35922
0,7388
<.0001
0,9298
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
0,014
0,0009
<.0001
<.0001
93
93
93
93
93
93
93
93
91
82
93
0,75931
0,71179
1
0,4721
0,69046
0,75767
0,79872
0,67134
0,50969
0,61344
0,89402
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
93
93
93
93
93
93
93
93
91
82
93
Passengers 0,37272
0,00926
0,4721
1
0,48529
0,69405
0,48998
0,44902
0,69413
0,65332
0,55327
0,0002
0,9298
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
93
93
93
93
93
93
93
93
91
82
93
0,78028
0,55086
0,69046
0,48529
1
0,82365
0,82215
0,73895
0,54996
0,71296
0,80627
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
<.0001
93
93
93
93
93
93
93
91
82
93
Fueltank
Length
93
Ilustratívny príklad v SAS EG
Krok 2: Redukovať počet premenných pomocou PCA
SAS: Task/Multivariate/Principal Components ...
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: Zadať analyzované (pôvodné) premenné – záložka Data
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: záložka Analysis
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: záložka Plots
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: záložka Results
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: záložka Plots
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: Výstupy
Principal Components Analysis
The PRINCOMP Procedure
Observations
82
Variables
11
Passeng
Engine Horsepo
ers
wer Fueltank
Size
Simple Statistics
Wheelba
se
Length
Width
U Turn
Space
Rear
seat Luggage
Weight
Mean
2,589024 139,9512 16,11341 4,939024 183,1585 103,2073 68,90244 38,62195 27,53659 13,89024 2988,171
StD
1,004067 51,05502 3,010261 0,708808 15,27402 6,466892 3,693871 3,164776 2,841253 2,997967 565,9361
Correlation Matrix
Wheelba
Passeng
Engine Horsepo
se
ers Length
wer Fueltank
Size
Width
U Turn
Space
Rear
seat Luggage
Weight
Engine Size
1
0,7721
0,8213
0,5264
0,8523
0,8592
0,8898
0,7874
0,5173
0,6808
0,9167
Horsepower
0,7721
1
0,7956
0,2411
0,6432
0,663
0,6886
0,5982
0,2794
0,3592
0,8596
Fueltank
0,8213
0,7956
1
0,4505
0,7943
0,7934
0,7718
0,6741
0,4455
0,6134
0,9001
Passengers
0,5264
0,2411
0,4505
1
0,6463
0,6492
0,5164
0,4904
0,7398
0,6533
0,51
Length
0,8523
0,6432
0,7943
0,6463
1
0,9111
0,8845
0,8114
0,585
0,713
0,8797
Wheelbase
0,8592
0,663
0,7934
0,6492
0,9111
1
0,85
0,7458
0,6601
0,7341
0,8788
Width
0,8898
0,6886
0,7718
0,5164
0,8845
0,85
1
0,8205
0,4285
0,6735
0,869
U Turn Space
0,7874
0,5982
0,6741
0,4904
0,8114
0,7458
0,8205
1
0,4615
0,585
0,7869
Rear seat
0,5173
0,2794
0,4455
0,7398
0,585
0,6601
0,4285
0,4615
1
0,652
0,486
Luggage
0,6808
0,3592
0,6134
0,6533
0,713
0,7341
0,6735
0,585
0,652
1
0,6372
Weight
0,9167
0,8596
0,9001
0,51
0,8797
0,8788
0,869
0,7869
0,486
0,6372
1
Eigenvalues of the Correlation Matrix
Eigenval Differenc Proportio Cumulati
ve
n
e
ue
1 7,923947 6,600408
0,7204
0,7204
0,85283
0,1203
0,8407
0,47071 0,117461
0,0428
0,8835
2 1,323539
3
0,0842
0,0321
0,9156
5 0,269048 0,078806
0,0245
0,94
0,01735
0,0173
0,9573
4 0,353248
6 0,190242
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: Výstupy - Eigenvalues – Vlastné čísla
Eigenvalues of the Correlation Matrix
Eigenvalue
Difference Proportion Cumulative
1
7,92394719
6,60040774
0,7204
0,7204
2
1,32353945
0,85282992
0,1203
0,8407
3
0,47070952
0,11746123
0,0428
0,8835
4
0,3532483
0,08419999
0,0321
0,9156
5
0,2690483
0,07880612
0,0245
0,94
6
0,19024218
0,01735034
0,0173
0,9573
7
0,17289184
0,06574433
0,0157
0,9731
8
0,10714752
0,02474044
0,0097
0,9828
9
0,08240707
0,01293818
0,0075
0,9903
10
0,06946889
0,03211916
0,0063
0,9966
11
0,03734974
0,0034
1
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: Výstupy - Eigenvectors – Vlastné vektory - všetky
Eigenvectors
PRIN1
PRIN2
PRIN3
Engine Size
0,332726
-0,133891
-0,028179
PRIN4
PRIN5
PRIN7
PRIN8
PRIN9
-0,07999 0,459683
-0,58292
-0,46353
-0,22489 0,204534
Horsepower
0,268123
-0,442852
0,483422
0,101863 0,034546 0,167596 0,373185 0,439403 0,208247
-0,01435 0,287615
Fueltank
0,311244
-0,210124
0,295624
-0,256119
Passengers
0,238683
0,530291
0,084605
0,309984
Length
0,335379
0,02122
-0,18549
0,098909
-0,14137
-0,33017
-0,33568 0,242327 0,064401
Wheelbase
0,335386
0,061032
0,03264
-0,00468
-0,00853
-0,54672
-0,15868 0,249994
Width
0,324896
-0,134248
-0,367014
-0,014745
-0,12218
-0,26628
U Turn Space
0,299218
-0,083047
-0,507362
Rear seat
0,231256
0,53351
0,431096
Luggage
0,276494
0,322776
-0,198901
Weight
0,337017
-0,206599
0,134033
-0,044582 0,061705
PRIN6
-0,14917 0,303583
-0,6209
-0,39258 0,104072 0,127614
-0,6606 0,292672 0,166169 0,014664
0,22535
-0,14169 0,106413
0,191148 0,572662
-0,02279
-0,765211 0,133847 0,257032 0,163953
0,006185
-0,06407 0,029227
-0,01336
PRIN11
0,15755
-0,03028 0,079261 0,038687
-0,70883 0,189473
-0,36517 0,579211 0,164983
-0,2449 0,689995 0,231204
0,440231 0,389111 0,478667
-0,11331
PRIN10
-0,11511 0,146134
-0,16458 0,242442
0,28529
-0,00247
0,10864
-0,21071
-0,06893
-0,12396
0,07629
-0,08714
-0,0329 0,030273
-0,08992
-0,86966
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: Výstupy - Eigenvectors – Vlastné vektory – len významné
Eigenvectors
PRIN1
PRIN2
Engine Size
0,332726
-0,133891
Horsepower
0,268123
-0,442852
Fueltank
0,311244
-0,210124
Passengers
0,238683
0,530291
Length
0,335379
0,02122
Wheelbase
0,335386
0,061032
Width
0,324896
-0,134248
U Turn Space
0,299218
-0,083047
Rear seat
0,231256
0,53351
Luggage
0,276494
0,322776
Weight
0,337017
-0,206599
PRN1: váhy sú približne rovnaké
PRN2: významné: passengers, rear seat - pozitívne korelované
luggage
horsepower – negatívne korelovaný
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: grafický výstup1: SCREE PLOT
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: grafický výstup2: Matica komponentového skóre
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: grafický výstup3: Vlastné vektory
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: grafický výstup4: Komponentové skóre
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: grafický výstup5: Vlastné vektory
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: Výstup1
Ilustratívny príklad v SAS EG
SAS: Výstup2

similar documents