4 Δυναμική Πλέγματος

Report
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ
•
•
Ασχολείται με:
Κίνηση των ατόμων (ιόντων) μέσα στο πλέγμα.
Προσέγγιση:
Born Oppenheimer. (Αδιαβατική προσέγγιση)
•
Η συνολική ενέργεια των ατόμων παίζει το ρόλο δυναμικού,
εντός του οποίου κινούνται τα επιμέρους άτομα.
H ions ( R1 , .... R n )  H 0 ( R10 , .... R n 0 )  H (  R10 , .... R n 0 )
'
•
Μικρή αλληλεπίδραση δυναμικής ενέργειας των ατόμων και
της ενέργειας των ηλεκτρονίων.
•
•
•
Ειδική θερμότητα, θερμική διαστολή, θερμική αγωγιμότητα
Αλληλεπίδραση με ακτινοβολία.
Φαινόμενα μεταφοράς
Αδιαβατική Προσέγγιση (Born Oppenheimer )
Συνολική Ενέργεια = Ενέργεια Ιόντων + Ενέργεια ηλεκτρονίων +
ενέργεια αλληλεπίδρασης ιόντος –ηλεκτρονίου
H  H ion s ( R j )  H e ( ri , R j 0 )  H e  ion ( ri ,  R j )
2
H ions ( R1 , .... R n ) 
Pj
 2M
j
H e ( ri , R j ,0 ) 

2
j
p
H e  ion ( ri ,  R j ) 

i, j
1

i , j ,i  j
2
i
 2m
i
Σωτήριος Βες
1

2
4  0 R j  R j
1
2
i
Z i Z je

i , j ,i  j

 4
i, j
1
Z je
1
0
e
2

ri  R j
2
4   0 ri  r j

1
1
Z je 

 r R
ri  R j 0
j
 i
2
2

Pj
 2M
j
 E e ( R1 , .... R n )
j
1
 4 
i, j




Z je
0
 H
   R e
j 
j
Δυναμική πλέγματος
2
ri  R j 0

  R j
 R j0
Προσέγγιση
Born Oppenheimer
Προσέγγιση
Αδιαβατική
Προσέγγιση
Παγωμένων
φωνονίων
Φαινόμενα
μεταφοράς
Διαφάνεια 2
ΔΥΝΑΜΙΚΟ
• Συμβολισμός:
rn  n 1 a1  n 2 a 2  n 3 a 3
rn a  rn  ra
• Απομάκρυνση από θέση
ισορροπίας
u n i
Άτομο α
n-οστή στοιχειώδης κυψελίδα
Μ ηδενίζετα ι η παράγω γος
λόγω ακροτάτου στη
θέση ισορροπ ίας
Σ ταθερός όρος ισορροπίας
 ( rn ai  u n a i ) 
 ( rn ai )


n i

1

2
n i
m j
 
 ( rn ai )
 rn ai
u nai
2
 rn i  rn  j
u n ai u m  j
• Αρμονική
προσέγγιση
Α ρμ ονικός όρος

1
6

n i
m j
o k
 
3
 rn i  rm  j  ro k
u n i u m  j ' u o k  . .. 
Α ναρμ ονικοί όρο ι
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 3
Σταθερές σύζευξης
 
2
•
Σταθερές σύζευξης (Μεταξύ
οιονδήποτε ατόμων)
mi
 rn i  rm  j
  n j
n i
  n j
Δύναμη (ελκτική) στο α-άτομο της n-στής
U  kx / 2    U /  x   k κυψελίδας στην j-κατεύθυνση, αν το βάτομο της σταθερών
m-στής κυψελίδας
στην i-κατεύθυνση
• Ιδιότητες
σύζευξης:
2
2
mi
2
• Συμμετρία μετατόπισης
(m n)i
 n j   0  j
 nm j i   mn i j
• Δράση- Αντίδραση

•
mi
n j
 0
n

mi
n j
R n k 
n
Σωτήριος Βες

n
m k
n j
R n i
Αναλλοίωτο της Δυναμικής ενέργειας σε
απειροστή μετατόπιση
•
Αναλλοίωτο της Δυναμικής ενέργειας σε
απειροστή στροφή
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 4
Εξίσωση κίνησης
m u n i 

 nm i
j
• Νόμος Νεύτωνα
 0
m j
1
u n i 
M
u i ( q ) e
• Λύση - Απαίτηση !!!
Ανηγμένα Πλάτη [L] [M]-1/2
i ( q r   t )
a
 j
D i
  u i ( q ) 
2

 j
 j
D
i
(q) 

m
  u i ( q ) 
2
1
M aM
m
1
 j
i
i q ( rm  rn )
u n ( q )  0
 n i e
i q ( rm  rn )
u j (q)  0
 j
D e t  D  i u n  ( q )   1  0
 j
Σωτήριος Βες
2
• Εξίσωση κινήσεως

m j
M aM 
 D
m j
 n i e
    (q)
Δυναμική πλέγματος
    ό
 ί 
3r  3r
• Εξίσωση κινήσεως
• Μη τετριμμένες λύσεις
• Σχέση διασποράς
Διαφάνεια 5
Εφαρμογή: Γραμμική διατομική αλυσίδα
• Εξίσωση κινήσεως (γενική):
n  1,2
M 1u n 1   n 1
• Αλληλεπιδρούν μόνο γειτονικά
άτομα με την ίδια "σταθερά f "
• Συνολική δύναμη σε κάθε άτομο
μηδενική.
• Δείκτες α, β ={1,2}, {i,j,k} ={x}
• Δείκτης m ={n-1,n,n+1)
u n  1, 2   n 1 u n 1   n 1 u n ,2  0
n1
n ,2
n  1,1
M 2u n 2   n 2 u n1   n 2 u n 2   n 2
n1
n2
u n  1 ,1  0
Δύναμη που ασκεί στον
"εαυτό" (2f) του ένα άτομο
όταν εκτρέπεται κατά u0
 nn1 1,2   nn1, 2   nn21   nn2 1,1  f

n1
n1

n2
n2
 2 f

m j
n i
 
m  n , j
0i
M 1 u n 1  f ( 2 u n 1  u n ,2  u n  1 , 2 )  0
M 2 u n 2  f ( 2 u n 2  u n 1  u n  1 ,1 )  0
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
με το σύνολο των δυνάμεων που
ασκούν τα άλλα άτομα σε αυτό
όταν αυτά κινούνται κατά - u0. (2f)
• Εξίσωση κινήσεως:
Παρατηρείστε
Διαφάνεια 6
Εφαρμογή: Γραμμική διατομική αλυσίδα
• Λύση ( όχι γενική !, επιθυμητή !!):
1
u na 
M
ua ( q )e
x
D ax


2

f (1  e
f (1  e
 iq a
M 1M
iq a
M 1M
2
)
2f
M
 iqa
)


M 1M 2 

2f
2



M2

f (1  e
M1

i ( an  t )
a
 2f
2


M1
 j
x

D ai ( q )  D ax ( q ) 
 f (1  e iqa )


M 1M 2

2f
 2f
2


M1

 f (1  e iqa )


M 1M 2


2

M2

D i u  j ( q )  0
M 1M 2
2f
  u i ( q ) 
2
 iqa
)   u n1   0 

  

 

  

 u  0
  n2   
f (1  e

2
 j
 j
Σχέση διασποράς
)
 0
2
2
2
 (q)  f (
2
1

M1
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
1
M
) f
2
 1
1 
4


 
M2 
M 1M
 M1
2
sin ( q a / 2 )
2
Διαφάνεια 7
Σχέσεις διασποράς: ιδιότητες
2
 (q)  f (
2
1
M1

1
M
) f
2
 1
1 
4


 
M2 
M 1M
 M1
2
sin ( q a / 2 )
2
 (q) = (-q)
 (q) = (q+2π/a)
• Γενίκευση
 j
D ai ( q )


m
1
M aM 
m  j i q ( rm  rn )
 n i e
 j
 j
 j
ai
 j
ai
D ai ( q )  D ai ( q  G ) G  rn  2  m
D
(q)  D
(t   t
(q)
N ew ton    ί  )
 (q)   (q  G )
 (q)   ( q)
 = j(q) όπου j=1, 2,…3(a+b), 3ρ
• Καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό
• Την αλληλεπίδραση με την ακτινοβολία
(ταχύτητα διαδόσεως, διασπορά, μήκος κύματος κλπ)
•
Θερμικές ιδιότητες
(Ειδική θερμότητα, αγωγιμότητα, αναρμονικότητα)
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 8
Γραφική παράσταση σχέσεως διασποράς
Οπ
τικ
ός
Κλ
άδ
ος
A'
2 f M  m

Β'
Mm
2f
Κύρια στοιχεία:
1.Δύο κλάδοι διασποράς
i."Ακουστικός"
a. Μηδενίζεται για q 0
b. Η μέγιστη συχνότητα καθορίζεται από την
βαριά μάζα M.
c. Τα δύο είδη ατόμων κινούνται σε φάση.
(Μόνο για q0 !!!)
m
ος
Χάσμα Συχνοτήτων
άδ
2f
ii."Οπτικός"
στι
κός
Κλ
M
G 

Β
Ακ
ου
A
a. Εμφανίζεται αν ρ  2 (άτομα/ κυψελίδα)
b. Δεν μηδενίζεται η συχνότητα
c. Η ελάχιστη συχνότητα καθορίζεται από την
ελαφρά μάζα m.
d. Η μέγιστη συχνότητα εξαρτάται και από τις
δύο μάζες.
2


0


Wavevectror
a. Εξαρτάται από τη "διαφορά" μαζών
• Παρατηρείστε και εδώ την ισοδυναμία
σημείων που "απέχουν" κατά n G
• Παρατηρείστε ότι το εύρος του ακουστικού
κλάδου είναι περίπου τριπλάσιο του
οπτικού. ( M/m=2 ).
Σωτήριος Βες
2.Χάσμα Συχνοτήτων
3.Διαφορετική διασπορά ( Εύρος ταινίας).
Δ ω ac  ω ac
m ax
Δ ω op 
Δυναμική πλέγματος
2f(M  m )
Mm
2f

M

2f
m

2f
m

m
2M
 Δ ω ac
m
4M
Διαφάνεια 9
Επίδραση του λόγου μαζών
Οπ
τικ

ός
Κ
λά
δο
ς
• Παρατηρείστε την εξάρτηση
του χάσματος μεταξύ του
ακουστικού και του οπτικού
κλάδου.
Αυξάνεται
όσο
αυξάνει ο λόγος Μ / m.
op
M/m = 1
M/m = 2
M/m = 10
Κλ
άδ
ος
• Παρατηρείστε τον μηδενισμό
του χάσματος για M = m
• Παρατηρείστε ότι το εύρος
συχνοτήτων του ακουστικού
και του οπτικού κλάδου
μειώνονται με το λόγο Μ/m.
Ακ
ουσ
τικ
ός
ac


0


Wavevector
  ac   ac
m ax
Σωτήριος Βες

2k
M
  op 
• Θυμηθείτε ότι τα εν λόγω
εύρη δίδονται από τις
εκφράσεις:
2k (M  m )
Mm
Δυναμική πλέγματος

2k
m

2k
m

m
2M
   ac
m
4M
Διαφάνεια 10
Πλάτη
 2f
2


M

 f (1  e iqa )

Mm


f (1  e
 iqa
Mm
2f

m
2
)   uM




  um
 0
  
 
  
  
 0

A
B

uM /
M
um /
m
Με τη βοήθεια της σχέσεως διασποράς προκύπτει ότι
Ειδικά σημεία:
q  0
 (q) 
2
2 f M  m 
4f
2
M
 m   8 f M m  1  cos qa 
2
A
   1
 B  ac
f (1  e
)
2

2 f  m
f (1  e
2
 iq
)
A
 0 στον ακουστικό κλάδο ( εν φάσει)
B
A
 0 στον οπτικό κλάδο ( εκτός φάσεως)
B
k
2( M  m )
 q  0
qa
k M  m
 op 
Mm
O
  qa  
2
Τα άτομα κινούνται
εν φάσει
α
Σωτήριος Βες
 iq
2 f  M
 ac 
2
2Mm

Δυναμική πλέγματος
λ >> α
Διαφάνεια 11
Πλάτη
Ειδικά σημεία:
q  0, λ  
m
A
  
M
 B  op
α
Τα άτομα κινούνται εκτός
φάσεως αντιστρόφως
ανάλογα προς το λόγο των
μαζών των..
Ειδικά σημεία:
q  / ( λ=2α)
B
  0
 A  ac
λ=2α
 Κινούνται μόνο τα
βαρέα άτομα!!
α
(Γειτονικά βαρέα
λ=2α
κινούνται αντίθετα)
A
  0
 B  op
 Κινούνται μόνο τα
ελαφρά άτομα!!
(Γειτονικά ελαφρά
κινούνται αντίθετα)
Σωτήριος Βες
λ >> α
α
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 12
Πλάτη ταλάντωσης διατομικής αλυσίδας
0
f1
n-1
m
n
n
α1-α2
M
f2
m
n+1
1
10;
2
10 3; f2 2; f1 7; m 1; M 7
1
Light Heavy Amplitude
M
1
1
4
Light Heavy Amplitude
α1
0
1
6
2
0
2
Acoustic
4
Optical
10;
2
10 4; f1 1; f2 4; m 2; M 2
0.5
0
Acoustic
0.5
Optical
6
α2
1
0
0
1
1
q
0
0
5
1
1
0
1
10;
2
Light Heavy Amplitude
•
Παρατηρείστε ότι θεωρούνται
δύο διαφορετικές σταθερές
δύναμης.
Εξάρτηση του λόγου των
πλατών του, "ελαφρύ" προς
"βαρύ", για διάφορες τιμές
των παραμέτρων.
Light Heavy Amplitude
•
q
10 4; f1 2; f2 2; m 1; M 4
5
Acoustic
10
Optical
15
1
10,
2
10 2, f2 2, f1 2, m 1, M 1
0.5
0
Acoustic
Optical
0.5
1
1
q
0
1
q
• Η πλέον γενική εμφανίζεται στο άνω αριστερό σχήμα και η πλέον
συμμετρική στο κάτω δεξιό. Παρατηρείστε ότι, γενικά, ο οπτικός κλάδος
παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβολή, απ΄ ότι ο ακουστικός
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
13
3 Διαστάσεις (Πραγματικά Υλικά)
Si
LO:?
TO:?
LA:?
L
Θεωρία
 Πείραμα
TA:?
1 THz = 4.1310-15 eV
= 33.3 cm-1.
• Η εμφάνιση του οπτικού κλάδου οφείλεται την παρουσία
τουλάχιστον δύο ατόμων στη στοιχειώδη
• Αν διπλασιάσουμε την σταθερά κυψελίδας
α2α τότε η 1 ζώνη Brillouin υποδιπλασιάζεται.
• Ότι βρίσκεται εκτός ζώνης πρέπει να αναχθεί εντός
ζώνης.
3N=3 ac+3N-3op
GaAs, Si κλπ : 23 = 3+3
(2TA+LA+2TO+LO)
• Έτσι προκύπτει ο οπτικός κλάδος
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
14
Προσομοίωση
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 15
Cl
Na
Cl
Na
Διαπερατότητα
Εφαρμογές (Infrared absorption in ionic crystals)
Cl
mNa= 23 amu = 23 1.6610-27 kg
100%
50 60 70 (m)
mCl= 35.5 amu = 35.5 1.6610-27 kg
λ = 61μm
f= ?
 
2 f (m  M )
mM
 f 

2

2

mM
4 c 
2
2
2
2
 11.2 N / m
Σωτήριος Βες
ω
(cm-1)
mM
Δυναμική πλέγματος
λ
(μm)
f
(N/m)
GaAs
300
33,3
95,7
Si
520
19,2
112
C-H
3000
3,33
245
Διαφάνεια 16
Σκέδαση από χρονικά μεταβαλλόμενες δομές
• Πλάτος στο Β
K
k
AB  e
k0
i 0 t
  ( r ( t ))e
 iK n r ( t )
dr
K  k  k0
(( : Μιγαδική πυκνότητα σκέδασης
(Φάση , πλάτος σε σχέση με το προσπίπτον)
 (r, t) 
  ( r  rn ( t )  



n
rn ( t )  rn  u n ( t )
un ( t )  
A B    

e
 ( r  rn ( t )) f ( r ) d r  f ( r )

AB 
[1  iK  u n ( t )]e
 i 0 t
un ( t )  u
n

n
Σωτήριος Βες
 i K  rn
e
iK un ( t )
e
 i 0 t
n
 i K  rn
Ainel 

e
e
i( K
q )  rn
iK  u ( t )
1
e
1
e
 i ( q  rn   ( q ) t )
M
 i (0  ( q ) t
M
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 17
Σκέδαση από χρονικά μεταβαλλόμενες δομές
Ainel 

e
i( K
q )  rn
iK  u ( t )
n
 =0  (q)
1
e
 Αinel  0
 i (0  ( q ) t
M
• Διατήρηση Ενέργειας
ℏ -ℏ0 ∓ ℏ(q) =0
k – k0 ∓ q = G
ℏk – ℏk0 ∓ ℏq - ℏG =0
• Σκέδαση Raman
• Σκέδαση Brillouin
• Διατήρηση Ψευδο-Ορμής
– (Μέτρο G)
Συμμετοχή από οπτικό κλάδο
Συμμετοχή από ακουστικό κλάδο
Οπτική περιοχή:
Συμμετέχουν
ταλαντώσεις για q ≃ 0
Σωτήριος Βες
Κινηματικές
Εξισώσεις
Μη ελαστικής
Σκέδασης
2k0 
q m ax 
Δυναμική πλέγματος
4
4

5000 Å
3
2  10 Å
-1
2
q m ax
1000
( 2 /  )
( 2  / 5Å )
1
1000
1000
1000
Å
-1
Διαφάνεια 18
Σκέδαση από χρονικά μεταβαλλόμενες δομές
Περιοχή ακτίνων X:
Ενέργειες: 104 eV (λ =1,24 Å ,
ΔΕ:
1eV (Δλ =-1,2410-4 Å)
E
λ[nm]=hc/E[eV]=1240 [eVnm]/E[eV]
Δλ[nm] = - 1,24  10-5[nm eV] ΔΕ/Ε2
  2 d sin 
•


    2  d sin   2 dco  



d
d


E
E

10


1 m eV
4
4
E
Ενέργειες φωνονίων: 1 - 100 meV ( λ = 1,24 10 7 – 1,24 10 5 Å
ΔΕ:
1 meV (Δλ =-1,2410 3 Å)
• Αν χρησιμοποιούμε ακτίνες Χ
• Για να επιτευχθεί αυτό
10
 10
2
7
10 eV

d

tan 
d
tan 
10
Εξαιρετικά δύσκολο να βρεθούν κρύσταλλοι αυτής της τελειότητας
7


• Εξαιρετικά δύσκολο να επιτευχθεί τόσο μικρό γωνιακό άνοιγμα Δθ.
– Σύγχροτρον
Λύση: Σκέδαση θερμικών νετρονίων. Ε ( 100 meV – 1 eV ( λ = 1,24 10 5 – 1,24 10 4 Å
ΔΕ:
1 meV (ΔΕ/Ε = Δλ/λ = 10-2- 10-3)
Σωτήριος Βες
Δυναμική πλέγματος
Διαφάνεια 19

similar documents