noturiba

Report
SPIESTU STIEŅU NOTURĪBA
Elementu stiprības un stinguma aprēķini neievēro bīstamos gadījumus, kad
konstrukcijas elements var zaudēt noturību, t.i., spēju saglabāt savu sākotnējo
formu vai līdzsvara stāvokli, kuri piešķirti elementa izgatavošanas procesā un
kuriem izdarīts stiprības aprēķins.
Ja spiedes spēks ir mazāks par kritisko Pkr, stienis strādā spiedē, ja spēks lielāks
par kritisko, stienis pakļauts vienlaicīgai spiedei un liecei.
Pamatojoties uz teikto, var apgalvot, ka kritiskais spēks Pkr ir centriska spiedes
spēka vislielākā vērtība, līdz kurai stieņa ass taisnlīnijas forma ir noturīga.
The official temperature in the shade at 4.53 pm was 45.4C, the hottest
since 1908.
http://www.adina.com/newsgH73.shtml
Sākotnējās formas noturības zudums, slodzei
sasniedzot kritisko vērtību, novērojams ne tikai
spiestiem stieņiem, bet arī citiem konstrukciju
elementiem.
Piemēram, gredzena (vai plānsienu čaulas) radiālā
spiedē, spēkiem sasniedzot noteiktu vērtību (kritisko
vērtību), gredzena apaļā forma kļūst nenoturīga —
gredzens saplacinās. Apstākļi būtiski izmainās — ja
slodze mazāka par kritisko, gredzens strādā spiedē, bet
pēc noturības zuduma — spiedē un liecē.
Sija, kura pakļauta liecei maksimālā stinguma plaknē, lieces spēkam sasniedzot kritisko vērtību,
savērpjas un vienlaikus sāk strādāt liecē un vērpē.
Tātad visi noturības aprēķini raksturīgi ar to, ka, slodzei sasniedzot kritisko vērtību, notiek konstrukcijas elementa
deformācijas rakstura krasa kvalitatīva izmaiņa. Tāpēc noturības aprēķinam jānodrošina konstrukcijas elementa
darbība, saglabājot sākotnējo līdzsvara stāvokli, t. i., slodzēm jābūt mazākām par kritiskajām.
P  
Pkr
n not
,kur
[P] — spiedes spēka pieļaujamā vērtība;
Pkr — spiedes spēka kritiskā vērtība;
[nnot] — normatīvais (nepieciešamais) noturības drošības koeficients.
Atzīmēsim, ka noturības aprēķinos drošības koeficientu pieņem lielāku nekā attiecīgā materiāla stieņa stiprības
aprēķinos. Tas saistīts ar to, ka stieņa noturību iespaido spēka pielikšanas nejaušas ekscentrisitātes, stieņa sākotnējās
izlieces un daži citi faktori, kuri aprēķinu sakarībās netiek ņemti vērā.
Celtniecībā dažādiem materiāliem izmanto atšķirīgas noturības drošības koeficienta vērtības:
tēraudam – 1,8... 3;
čugunam – 5... 5,5;
kokam – 2,8... 3,3.
Eilera formula kritiskā spēka noteikšanai
Noteiksim kritiskā spēka lielumu spiestam stienim, kura abi gali nostiprināti ar locīklām
un kurš ir nedaudz izliekts . Pieņemam, ka noturība zūd, spriegumiem nepārsniedzot
stieņa materiāla proporcionalitātes robežu P. Ja stieņa šķēluma inerces momenti pret
galvenajām asīm nav vienādi, tad stienis izliecas plaknē ar mazāko stingumu, t.i. stieņa
šķēlumi pagriežas ap asi pret kuru ir minimālā inerces momenta vērtība - min.
Izmantojot liektas sijas ass tuvināto diferenciālvienādojumu (pret asi ar min):

EI min y   M ,
2
y    y  0 ,
kur:
M = Pkry, iegustam
 
2
kur
Pkr
.
EI min
Homogēna otrās kārtas diferenciālvienādojuma atrisinājums ir
y  A sin  z  B cos , z ,
kur A un B — integrācijas konstantes.
Gadījumā, ja z = 0, arī y = 0. Ievietojot šīs vērtības izlieces y izteiksmē, iegūstam, ka B = 0. Līdz ar to elastīgās izlieces
līnijas vienādojums ir
y  A sin  z .
Ja z = l, izliece y = 0, iegūstam, ka
A sin  l  0 .
sin  l  0 ;
n 
2
Pkr 
l
2
Tā kā A≠0, tad
 l  0 ,  , 2  , ... n  ;
 
n
l
2
EI min ,
kur n ir vesels skaitlis.
n 
2
;
 
2
l
2
2
; un
n 
2
Pkr 
l
2
2
EI min
Iegūstam virkni kritiskā spēka vērtību, kuras atbilst dažādam sinusoīdas pusviļņu
skaitam n, pie kam kritiskais spēks ir proporcionāls n2. Kritiskā spēka vērtība pie
n=4 ir 16 reizes lielāka kā viena pusviļņa gadījumā.
Tomēr visbiežāk realizējas gadījums, kad stieņa liektā ass ir
sinusoīda ar vienu pusvilni (n=1), t.i. gadījums, kuram atbilst
minimālā kritiskā spēka Pkr vērtība
Pkr 

l
2
2
EI min
.
Šo gadījumu pieņemts saukt par ļodzes pamatgadījumu.
Formulu , kas atbilst ļodzes pamatgadījumam sauc par Eilera
formulu.
Stieņa galu iestiprinājuma veida ietekme uz kritisko spēku
Arī cita galu nostiprinājuma veida gadījumā kritiskā spēka vērtību var noteikt izmantojot stieņa liektās
ass diferenciālvienādojumu, to atrisinot pie atšķirīgiem robežnosacījumiem.
Dažiem vienkāršākajiem gadījumiem kritiskā spēka formulu var iegūt, salīdzinot stieņa liektās ass
formu ar formu, kuru ļodzes gadījumā iegūst ar locīklām nostiprināta stieņa ass.
Piemēram, stienis, kura apakšējais gals
ir nekustīgi iespīlēts, bet augšējais gals
ir brīvs, zaudējot noturību, izliecas kā
parādīts attēlā. Tas atrodas tādā pašā
situācijā kā puse stieņa ar locīklām galos, un liektā ass ir sinusoīdas viļņa ceturtdaļa. Tātad kritiskā spēka lielumu
var noteikt pēc pamatgadījumam atrastās Eilera formulas, stieņa faktiskā garuma vietā ievietojot tā divkāršu
garumu:
 EI min
2
Pkr 
2l 
2
Stieņiem, kuru gali ir nekustīgi nostiprināti, liektās ass forma (zaudējot noturību) parādīta attēlā. Šajā
gadījumā sinusoīdas pusvilnis atbilst stieņa garuma pusei, tāpēc Eilera formulā faktiskā garuma vietā
jāizmanto stieņa garuma puse:
 EI min
2
Pkr 
l / 2  2
Rezumējot iepriekš teikto varam konstatēt, ka neatkarīgi no spiesta stieņa galu nostiprinājuma veida
kritiskais spēks nosakāms ar sakarību , kurā faktiskā stieņa garuma l vietā izmantots tā saucamais
reducētais stieņa garums lred:
 EI min
2
Pkr 
l red
2
.
Stieņa reducēto garumu ērti izteikt ar faktisko garumu un kādu koeficientu , kurš atkarīgs no stieņa
galu nostiprināšanas veida:
l red   l .
Koeficientu  sauc par stieņa garuma redukcijas koeficientu; tā vērtības biežāk sastopamajiem
stieņa galu nostiprināšanas veidiem parādītas attēlā.
Tātad Eilera formulu vispārīgam gadījumam var uzrakstīt šādi:
 EI min
2
Pkr 
 l 
.
2
Tātad, jo mazāks , jo lielāka kritiskā spēka un tātad
arī pieļaujamā spēka vērtība. Tā, piemēram, abos galos iespīlētam stienim var pielikt 16 reizes lielāku slodzi nekā vienā galā iespīlētam stienim.
Normālo spriegumu, kas stieņa šķērsgriezumā atbilst
spiedes spēka kritiskajai vērtībai, sauc par kritisko
spriegumu.
Kritisko spriegumu kr nosaka sakarība:
 kr 
Pkr
 EI min
2

A
 l 
2
A
 Ei min
2

2
 l 
2
 E
2

 l
imin
 E ,

2

2
2
kur
A – stieņa šķērsgriezuma laukums;
i min 
 
I min
- stieņa šķērsgriezuma laukuma minimālais inerces rādiuss;
A
l
i min
- stieņa slaidums.
Stieņa slaidums raksturo stieņa izmēru (l, imin) un galu stiprinājuma veida () iespaidu uz kritiskā
spēka un tātad arī kritiskā sprieguma lielumu.
Kā divu tādu lielumu dalījums, kuriem katram ir garuma mērvienība, slaidums ir bezdimensionāls
lielums. Jo lielāks ir stieņa slaidums , jo mazāks ir kritiskais spriegums un jo mazāks spiedes spēks ir
vajadzīgs, lai radītu stieņa maksimāli pieļaujamo izliekšanos.
Eilera formulas pielietojuma robežas. Kritisko spriegumu noteikšanas empīriskās formulas
Eilera formula ir pielietojama tikai materiāla proporcionalitātes (elastības) robežās.
Tā kā jāizpildās nosacījumam
 kr   p ,
tad
 E
2

Līdz ar to
 
2
  P.
 E
2
.
P
Tātad Eilera formula ir pielietojama tikai tad, ja stieņa slaidums ir lielāks par robežslaidumu
2
 E
,
 rob 
P
kurš atkarīgs no stieņa materiāla fizikāli mehāniskajām īpašībām (E un P).
Mazoglekļa tēraudam E = 2105 MPa, P = 200 MPa. Pieņemot  2  10 , iegūstam
 rob 
10  2  10
2  10
2
5
 100 .
Tātad, mazoglekļa tērauda stieņiem Eilera formula pielietojama tikai tad, ja stieņa slaidums lielāks par
100 , t.i., stieņiem ar lielu garumu un maziem (salīdzinājumā ar garumu) šķērsgriezumu izmēriem. Koka
stieņiem  rob  80 ... 100 ; čuguna stieņiem  rob  80 , utt. Katram materiālam robežslaiduma vērtību
varam aprēķināt zinot materiāla elastības moduli un proporcionalitātes robežu.
Praksē bieži vien spiestu stieņu slaidums ir mazāks par robežvērtību, t.i., kritiskie spriegumi lielāki par proporcionalitātes
robežu. Tādos gadījumos Eilera formulu izmantot nedrīkst un
jāpielieto empīriskas formulas, kuras atrastas eksperimentālu
pētījumu rezultātā.
Jasinska formula:
 kr  a  b  .
Mazoglekļa tēraudam, ja slaidums
60    100
, Jasinska formula ir šāda:
 kr  304  1,12  (MPa).
Ja kritiskais spriegums, kas aprēķināts pēc Jasinska formulas, izrādās augstāks par tecēšanas robežu
T, tērauda stienim bīstama ir nevis noturības zušana, bet gan ievērojamu paliekošo deformāciju
rašanās. Šajā gadījumā par kritisko spriegumu jāuzskata tecēšanas robeža, t.i.,  kr   T . Tas
raksturīgi tērauda stieņiem ar mazu slaidumu (   60 ).
Īpatnējie inerces rādiusi
Šķērsgriezums
min
0,204
0,289
0,36
0,27 – 0,41
0,38 – 0,45
0,4 – 0,6
0,86 – 1,53
a=0,7 – 0,9
Lai salīdzinātu savā starpā dažādas formas šķērsgriezumus izmantojam bezdimensionālu lielumu – īpatnējo
inerces rādiusu
 min 
i min
A

I min
A
.
Jo lielāka inerces rādiusa vērtība, jo izdevīgāks
šķērsgriezums (tabula ).

similar documents