Tải file đính kèm

Report
THPT Xuân Hòa
NGOẠI KHÓA
CHUYÊN ĐỀ: “TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ”
TỔ TOÁN - TIN
Xuân Hòa, ngày 12 tháng 11 năm 2014
LÝ THUYẾT
1. Các định nghĩa:
• Cho hàm số f(x) xác định trên I (I là khoảng, nửa
khoảng, đoạn).
 Hàm số f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên I nếu
 x1 , x 2  I mà
x1  x 2  f ( x1 )  f ( x 2 )
 Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên I
 x1 , x 2  I
mà x1  x 2  f ( x1 )  f ( x 2 )
LÝ THUYẾT
 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên I
được gọi chung là hàm số đơn điệu trên I.
 Nếu hàm số đồng biến trên I thì đồ thị đi lên
từ trái sang phải còn hàm số nghịch biến trên
I thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
 Cho hàm số f(x) xác định trên tập I, điểm x0
thuộc I được gọi là điểm tới hạn của hàm số
nếu tại x0 đạo hàm f’(x) bằng 0 hoặc f’(x)
không xác định.
LÝ THUYẾT
2. Định lí: ( điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến
hay dấu hiệu đồng biến, nghịch biến)
Định lí 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên I
Nếu f/(x) > 0 với mọi x thuộc I thì f(x) đồng biến trên I.
Nếu f/(x) < 0 với mọi x thuộc I thì f(x) nghịch biến trên I.
Nếu f/(x) = 0 với mọi x thuộc I thì f(x) không đổi trên I.
 Chú ý 1: Khoảng I trong định lý trên có thể thay bởi
một đoạn hoặc nửa khoảng. Khi đó phải bổ xung giả
thiết: “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
LÝ THUYẾT
Định lí 2: (Định lí mở rộng):
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên I. Nếu f '( x )  0
( f '( x )  0 ),  x  R và f '( x )  0 chỉ tại một số hữu hạn
thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên I.
 Chú ý 2:
• Các điểm tới hạn của một hàm số thường là hữu hạn,
chúng chia tập xác định của hàm số thành các khoảng
nhỏ, trên mỗi khoảng đó đạo hàm chỉ giữ một dấu.
BÀI TẬP
DẠNG 1: Xét
chiều biến thiên của hàm số y = f(x)
Cách giải:
• Tìm tập xác định của hàm số.
• Tính đạo hàm f’(x).Tìm các điểm x (i  1, 2, ...n )
i
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập
i
bảng biến thiên.
• Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của
hàm số.
Chú ý: Điều quan trọng nhất trong bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm số y=
f(x) là ta phải xét được dấu của f’(x), từ đó suy ra chiều biến thiên. Thông thường
xét dấu ta sử dụng kiến thức sau:
• Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất.
• Định lý về dấu của tam thức bậc hai.
• Phương pháp khoảng.
• Giải trực tiếp các bất phương trình y’ > 0, y’ < 0
• Đặc biệt phương trình y’ = 0 vô nghiệm trên tập xác định D
thì sử dụng phương pháp khoảng để xét dấu.
• Giả sử D  ( a ; b )  ( c ; d ) thì:
+ Trên (a; b) chọn x1  ( a ; b ) , nếu f’(x1) > 0 suy ra f’(x) > 0,
còn f’(x1) < 0 suy ra f’(x) < 0.
+ Trên (c; d) chọn x 2  ( c ; d ) , nếu f’(x2) > 0 suy ra f’(x) > 0,
còn f’(x2) < 0 suy ra f’(x) < 0.
Chú ý
• Khi kết luận tính đơn điệu không dùng kí hiệu hợp của hai tập
hợp để viết hai khoảng có cùng tính đơn điệu của một hàm số mà
viết: (a; b), (c; d).
• Không viết hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên tập R \  x 
o
mà viết: (  , x ) và ( x o ;  )
o
Bảng biến thiên gồm 3 dòng:
Dòng 1: x: Thể hiện tập xác định của hàm số, điền các điểm tới hạn.
Dòng 2: y’: Điền giá trị 0 ( ứng với nghiệm) hoặc ( tại đó y’ không
xác định) và dấu y’.
Dòng 3: y : Điền chiều biến thiên: mũi tên đi lên ứng với khoảng
mang dấu (+), mũi tên đi xuống ứng với khoảng có dấu (-)
Ví dụ minh họa:
Xét chiều biến thiên của hàm số
a. y 
1
3
x 
3
3
2
x  2x  3
2
b. y  x  2 x  5
4
c.
y
d. y 
2
x4
x 1
2
x  x  20
2
e. y  x  2 x  3
g.
h. y 
i. y 
x3
x 1
2
x
x  x 1
2
k. y  2 x  1  4 x 2  4 x
Ví dụ minh họa:
Giải:
a. y 
1
3
x 
3
3
2
x  2x  3
2
Tập xác định: D = R
Đạo hàm:
2
y '  3x  3x  2
Xét   y '  9  4.3.2  0

 he sô a= 3> 0
 y '  0,  x  R
Vậy hàm số đồng biến trên R.
Ví dụ minh họa:
b.
y  x  2x  5
4
2
Tập xác định: D  R
3
2
y '  4 x  4 x  4 x ( x  1)
2
y '  0  4 x ( x  1)  0
x  0

 x  1

 x  1
Ví dụ minh họa:
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng: (  1, 0 )
và (1;   ) , hàm số nghịch biến trên các khoảng (   ,  1) và (0;1) .
Ví dụ minh họa:
c.
y 
x4
x 1
Tập xác định: D = R\{-1}
Đạo hàm: y ' 
5
( x  1)
2
 0,  x   1
Vậy hàm số đồng biến trên
(   ,  1)
và (  1;  ) .
2
d. y 
x  x  20
Tập xác định: D = [-4; 5]
Đạo hàm: y ' 
2x 1
2
x  x  20
y' 0 
2x 1
0 x
2
2
x  x  20
+ y’ > 0  2 x  1  0  x 
1
1
2
+ y’ <0  2 x  1  0  x 
1
2
Vậy hàm số nghịch biến trên
1

 4; và

2

1
đồng biến  ; 5 
2 
e. y  x 2  2 x  3
2
2
Viết lại hàm số: y  ( x  2 x  3)
Tập xác định: D = R
2
Đạo hàm: y ' 
(2 x  2)( x  2 x  3)
2
( x  2 x  3)
2
2
y '  0  (2 x  2)( x  2 x  3)  0
x  1

 x  1

 x  3
y’ không xác định tại x = -1; x = 3.
k. y  4 x  1  4 x  4 x
2
Tập xác định: D =
   ; 0   1;   
4x  2
Đạo hàm: y '  4 
2
4x  4x
4x  2
y' 0  4
0
2
4x  4x
2
 2 x  x  2x 1
 x  1
 
2
2
 4 x  4 x  4 x  4 x  1
x  1
 
 x
x  
Ví dụ minh họa
Suy ra phương trình y’ = 0 vô nghiệm.
Trên
( , 0)
thì y’( -1) > 0 nên y’ > 0
Trên
(1;   )
thì y’( 2) < 0 nên y’ < 0
Vậy hàm số đồng biến trên nửa khoảng (   , 0] và nghịch
biến trên nửa khoảng [1;   )
 Như vậy, các ví dụ trên đã minh họa các cách xét dấu
của y’.
Các câu g, h, i tự luyện.
Câu hỏi
Xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số sau:
y
5 x 
x 1
A. Nghịch biến trên R
B. Nghịch biến trên (- ∞; 1) và (1; 5) và (5; + ∞)
C. Đồng biến trên (1; 3) và nghịch biến trên (3; 5)
D. Nghịch biến trên (1; 3) và đồng biến trên (3; 5)
Câu hỏi
y  x
x
2
9
A. Đồng biến trên R
B. Đồng biến trên (-3, 3)
C. Đồng biến trên (- ∞, -3) và (3,+∞)
D. Đồng biến trên (- ∞, -3) và nghịch biến trên (3,+∞)
Câu hỏi
y  x
2
 2x  3
A. Đồng biến trên R
B. Đồng biến trên (-3, 3)
C. Đồng biến trên (- 3, -1) và (1,+∞) và nghịch biến
trên (- ∞, -3) à (1,+∞)
D. Đồng biến trên (- ∞, -3) và (1,+∞) và nghịch biến
trên (- 3, -1) à (1,+∞)
Câu hỏi
y  x  sin x , x   0; 2 

A. Đồng biến trên R
B. Đồng biến trên [0;2]
C. Đồng biến trên [0, ) và nghịch biến trên (, 2]
D. Nghịch biến trên [0, ) và đồng biến trên (, 2]
DẠNG 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm sốy  f ( x , m )
đồng biến, ngịch biến trên tập I (I là khoảng, đoạn,
nửa đoạn )
Phương pháp giải:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính đạo hàm y’= f’(x, m).
+ Hàm số y  f ( x , m ) đồng biến trên I
 y '  g ( x , m )  0 với  x  I
(1)
+ Hàm số y 
 y'
đồng biến trên I
g ( x , m )  0 với  x  I
(2)
f ( x, m )
Chú ý: Để giải quyết (1), (2) thường sử dụng:
+ Phương pháp tam thức bậc 2: Nếu I là R và y’ là tam
thức bậc 2
 a> 0
1. y '  ax + bx+ c  0,  x  R  
y '  0
2
2.
 a< 0
y '  ax + b x + c  0 ,  x  R  
y '  0
2
+ Phương pháp hàm số
+ Phương pháp đại số.
Nếu y '  ax 2  bx  c ,  x  ( p ; q ) với a, b, c chứa tham số m thì xét
theo tham số ở đạo hàm
DẠNG 2.1: Đạo hàm của hàm số chứa tham
số ở hệ số tự do.
• Quan sát và nhận xét về tham số ở biểu thức của đạo hàm:
a. y 
1
3
2
x  x  ( m  1) x  m ,
y '  x  2x  m  1
2
3
b. y 
1
3
m x   m  1 x
3
2
 3m  2x 
1
,
3
y '  m x  2  m  1 x  3  m  2 
2
3
2
2
c . y  x  ( m  1) x  (2 m  3 m  2 ) x  1,
2
2
y   3 x  2( m  1) x  (2 m  3 m  2)
 DẠNG 2.2: Đạo hàm của hàm số chứa
tham số đồng bậc ở hệ số của biến.
Phương pháp dạng 2.1 và 2.2:
+ Cô lập m:g ( x )  g ( m )
+ Sử dụng phương pháp hàm số hoặc đồ thị.
+ Căn cứ vào giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất và yêu
cầu của bài toán suy ra giá trị tham số m.
DẠNG 2.3: Đạo hàm của hàm số chứa
tham số không đồng bậc ở hệ số của biến
Phương pháp:
Không cô lập được m thì ta thực hiện theo các bước sau:
+ Tính ∆ và xét dấu của nó.
+ Biện luận theo ∆ và dấu hệ a.
+ Đổi biến hoặc đưa về so sánh nghiệm của tam
thức bậc hai với số thực cho trước.
Cách sử dụng ngôn ngữ đồ thị:
Nếu đồ thị hàm số y  g ( x , m ) khó khảo sát thì đưa bất
phương trình g ( x , m )  0 thành dạng h ( x )  t ( m ) và
g ( x , m )  0 thành dạng h ( x )  t ( m ) ;
Sử dụng:
• g ( x , m )  0 với  x  I  h ( x )  t ( m )  x  I đồ thị
y  h ( x ),  x  I không có điểm nào nằm phía dưới
đường thẳng.
• g ( x , m )  0 với  x  I  h ( x )  t ( m ),  x  I đồ thị
y  h ( x ),  x  I không có điểm nào nằm phía trên
đường thẳng.
Các bước sử dụng phương pháp hàm số như sau:
Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến
trên I. Ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Tính đạo hàm f’(x,m).
B2: Lập luận: Hàm số đồng biến trên I
 f '(x , m )  0,  x  I
 m  g (x ),  x  I  m  g (x ) 
B3: Lập BBT của hàm số g(x) trên I.
B4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận:
(*)  f ( x , m )  0  g ( x )  h ( m ),
I
 m i n g( x )  h( m )
x I
(*)
 f ( x , m )  0  g ( x )  h ( m ),   I
 maxg ( x )  h ( m )
(*)
Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
Lưu ý: Khi cô lập tham số mà hàm số mới ở vế trái là hàm
hữu tỷ thì cần tìm giới hạn tại các điểm biên (giới hạn tại
vô cực, hay tại điểm mà hàm số không xác định)
LUYỆN TẬP : I. HÀM ĐA THỨC BẬC BA
Dạng 2.1 Hàm đa thức bậc ba sử dụng PP tam thức bậc hai, PP
hàm số
Nhận dạng: Đạo hàm của hàm số chứa tham số ở hệ số
tự do.
Ví dụ 1: Với giá trị nào của a, hàm số sau nghịch biến trên R
1
y  f ( x )   x  2 x  (2a  1) x  2014
3
3
2
Giải: Hàm số đã cho xác định trên R
Ta có: f '(x )   x 2  4x  2a  1
Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi và chỉ khi
f '( x )  0,  x  R   f '  0  a  
Vậy các giá trị cần tìm là a  
5
2
5
2
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m, hàm số sau
nghịch biến trên R
y  f ( x )  m x  3x   m  2  x  3
Dạng
1
Giải: TXĐ: R
3
2
Đạo hàm:
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi
f '( x )  3m x  6 x  m  2
2
f '(x )  3m x  6 x  m  2  0,  x  R
2
1
• m = 0, khi đó f’(x) =  6 x  2  0  x   . Suy ra m=0 không
3
thỏa mãn.
m  0
• m  0 , khi đó f '( x )  0,  x  R  
  f '  9  3m (m  2)  0
m  0
m  0
 
 
 m  1
2
m  1 v m  3
  3m  6 m  9  0
Vậy với m   1 thì thỏa mãn bài toán.
1
Ví dụ 3: Cho hàm số y  x 3  x 2  ( m  1) x  m. Tìm m để:
3
a. Hàm số đã cho luôn đồng
biến trên R.
b. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng (0; 2).
Giải Hàm số đã cho xác định trên R
Dạng 1
y '  x  2x  m  1
Ta có:
a. Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi
2
y '  0,  x  R   y '  0  2  m  0  m  2
b. Hàm số đã cho đồng biến trên (0; 2) khi và chỉ khi
y '  0,  x  (0; 2)  g ( x )  x  2 x  1   m ,  x  (0; 2)
2
Hàm số liên tục trên đoạn [0; 2] nên
2
g ( x )  x  2 x  1   m ,  x   0; 2   m i n g ( x )   m
[ 0;2]
Xét hàm số
g ( x )  x  2 x  1, x  [0; 2]
2
g '( x )  2 x  2
g '( x )  0  x  1
x
0
f’(x)
1
-
0
2
+
f(x)
-2
Từ bảng biến thiên suy ra m i n g ( x )   2
[ 0;2]
Vậy m  2 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số
Dạng 1
3
2
y  x  3 x  mx  4 .
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng
biến trên khoảng (  ; 0) .
Giải
TXĐ: D = R.
Đạo hàm: y   3 x 2  6 x  m. y' có
   3( m  3)
Cách 1: Làm tương tự phần b) VD3
Cách 2: Quy về so sánh nghiệm của phương trình y’ =0 với số 0.
Xét 2 trường hợp sau:
+ Nếu m   3 thì    0 → hàm số đồng biến trên R → m   3 thoả
mãn.
+ Nếu m   3 thì    0 → PT y  0 có 2 nghiệm phân biệt
x1 , x2 ( x1  x2 )
Dấu y’
+
+
x1
–
x2
x
Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (  ; x1 ),( x2 ;  ).
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (  ; 0)  phương trình y  0
có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1  x2 ) thỏa mãn: 0  x1  x2

  0

P  0
 S  0
 m  3

 m  0  m  

 2  0
Vậy các giá trị cần tìm là m   3 .
Tự luyện
1. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  3 m x  1 . Tìm tất cả các giá trị
của m để:
a. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng (2; +∞)
ĐS:
b. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng (0; 3)
ĐS:
2. (ĐTĐH-KA,A1 2013)
Cho hàm số y   x 3  3x 2  3m x  1 (1) , với m là tham
số thực
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
m=0
b. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(0; +∞ )
Lời giải
b. y’ = -3x2 + 6x+3m, y’ = 0 ⇔ m  x 2  2 x  g ( x )
do đó yêu cầu bài toán ⇔ y '  0,  x   0;   
 m  x2  2x
 m  min  x 2  2 x  ,  x   0;  
x0

m   1  g 1 
Dạng 2.2: Hàm đa thức bậc ba dùng phương
pháp hàm số
Nhận dạng: Đạo hàm của hàm số chứa tham số
đồng bậc ở hệ số của biến.
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y 
1
3
m x   m  1 x  3  m  2  x 
3
2
1
3
đồng biến trên  2;  .
Giải TXĐ: D=R
2
Ta có: y '  m x  2  m  1  x  3  m  2 
Hàm số đồng trên [2;+∞) khi và chỉ khi ′ ≥ 0, ∀ ≥ 2
⟺ y '  m x 2  2  m  1  x  3  m  2  ≥ 0, ∀ ≥ 2
 m  x  2 x  3   2 x  6  0,  x  2  m 
6  2x
2
x  2x  3
2
,x  2
(vì x2 – 2x + 3 > 0)
Ví dụ 3: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  m . Tìm m để
hàm nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1.
(ĐHQGHN - D – 2000 - 2001)
Giải Hàm số đã cho xác định trên R
2
Ta có: y '  3 x  6 x  m có    9  .3 m
+ Nếu    9  3 m  0  m  3 thì y   0,  x  R  hàm số
đồng biến trên R  m  3 không thoả mãn.
+ Nếu    9  3 m  0  m  3 thì y   0 có 2 nghiệm phân
biệt x1 , x 2 ( x1  x 2 ).
Hàm số nghịch biến trên đoạn  x1; x 2  với x1  x 2  1

2
'
a
Vậy m 
9
4
là giá trị cần tìm.
1 m 
9
4
Ví dụ 4: Cho hàm sốy   2 x 3  3 mx 2  1 . Tìm m để hàm
đồng biến trên một khoảng ( x1; x 2 ) có độ dài bằng 1.
Giải
TXĐ: D=R
2
y
'


6
x
 6 mx  6 x ( m  x ) ; y '  0  x  0  x  m
Đạo hàm:
+ Nếu m = 0 thì  y    6 x 2  0,  x  R . Suy ra hàm số nghịch biến
trên R. Do đó m = 0 không thoả mãn.
+ Nếu m  0 thì y   0,  x  ( 0; m ) khi m  0
hoặc y   0,  x  ( m; 0) khi m  0
Hàm số đồng biến trong khoảng ( x1; x2 ) với x2  x1  1
 ( x1 ; x 2 )  ( 0; m )
 ( x ; x )  ( m; 0)
 1 2
Vậy
m  1
và
là các giá trị cần tìm.
x 2  x1  1
⇔
m  0  1
0  m  1  m  1

• Ví dụ 5 (HSG12 – 2014)
Tìm tham số m để hàm số  =  3 + 3 2 + 3  + 1  + 2
nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4
Câu hỏi
Cho hàm số y  x 3  3( m  1) x 2  (12 m  5) x  2
Tìm các giá trị tham số m để hàm đồng biến trên (2,+∞)
Dạng 3: Hàm đa thức bậc ba (đổi biến hoặc
quy về so sánh nghiệm của y’ với số cho trước )
Nhận dạng: Đạo hàm y’ chứa tham số không đồng bậc .
y
1
2
3
2
( m  1) x  ( m  1) x  2 x  1. Tìm
Ví dụ 1: Cho hàm số
3
m để hàm nghịch biến trên khoảng (   ; 2)
Giải
Sử dụng phương pháp đổi biến
TXĐ: D=R
2
2
y   ( m  1) x  2( m  1) x  2
Đạo hàm:
Đặt t = x – 2 ta được:
2
2
2
tham số
2
y   g ( t )  ( m  1) t  (4 m  2 m  6) t  4 m  4 m  10
Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng    ; 2  
TH1:
 m 2  1  0
a  0
 

2
  0
 3 m  2 m  1  0
g ( t )  0,  t  0
a<0
Dấu g(t)
–
–
t1
TH2:
Vậy
a  0

  0

S 0


P  0
1
3

 m  1 thì
+
t2
t
 m2  1  0

2
3
m
 2m  1  0


 4 m 2  4 m  10  0

2m  3

 0

 m1
hàm số nghịch biến trong khoảng (   ; 2).
1
Ví dụ 2: Cho hàm số y  ( m 2  1) x 3  ( m  1) x 2  2 x  1
3
Tìm tham số m để hàm nghịch
biến trên khoảng (2;  )
Giải
TXĐ: D=R
2
2

y

(
m

1)
x
 2( m  1) x  2
Đạo hàm:
Đặt t = x – 2 ta được: y   g ( t )  ( m 2  1) t 2  (4 m 2  2 m  6) t  4 m 2  4 m  10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2;  )  g( t )  0,  t  0
TH1:
TH2:
a  0

  0
a  0

  0

S 0


P  0


 m 2  1  0

2
 3 m  2 m  1  0
 m2  1  0

2
3
m
 2m  1  0

 4 m 2  4 m  10  0

2m  3

0
 m  1
Vậy  1  m  1 thì hàm số nghịch biến trong khoảng(2;  .)
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số sau đồng biến trên khoảng(2;  )
3
2
2
y  x  ( m  1) x  (2 m  3 m  2) x  1
Giải: Hàm số đã cho xác định trên R
Ta có: y   3 x 2  2( m  1) x  (2 m 2  3 m  2)
Hàm số đồng biến trên khoảng (2;   ) 
2
y '  0,  x  2
2
 g ( x )  3 x  2( m  1) x  (2 m  3 m  2)  0,  x  2
2
2
2
Xet :  '  ( m  1)  3(2 m  3 m  2)  7( m  m  1)   m  R
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;  )  y '  0,  x  2
2
2
g ( x )  3 x  2( m  1) x  (2 m  3 m  2)  0,  x  2
Dấu g(x)
+
+
x1
–
x2
x
Hay g(x) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 t/m: x1  x2  2

1 m 
2
7m  7m  7
2
3

2
7m  7m  7  5  m
m  5
 
2
2
7
m

7
m

7

25

10
m

m

m  5
 
2
6
m
 3 m  18  0

m  5
3

  3
  m2
2
  2  m  2
Dạng 4: Hàm đa thức tìm được nghiệm của của đạo hàm
Đặc điểm: Phương trình y’ = 0 có ∆ là số chính phương
3
2
Ví dụ: Cho hàm số
Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (2;+∞)
y  2 x  3(2 m  1) x  6 m ( m  1) x  1
Giải: Hàm số đã cho xác định trên R
Ta có y '  6 x 2  6(2 m  1) x  6 m ( m  1) có   (2 m  1) 2  4( m 2  m )  1  0
Suy ra phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x = m; x = m+1
Dấu y’
+
m
–
+
m+1
x
Hàm số đồng biến trên các khoảng (  ; m), ( m  1;  )
Do đó, hàm số đồng biến trên  2;    
m 1 2  m  1
Vậy m  1 thì hàm số nghịch biến trong khoảng (2;+∞).
Bài tập tự luyện
Bài tập: Cho hàm số
y
1
3
2
x  ( m  1) x  m ( m  2) x 
3
Tìm m để hàm số đồng biến trên [2,9].
1
3
II. HÀM ĐA THỨC BẬC BỐN
Ví dụ: Cho hàm số y  x 4  2 mx 2  3 m  1 (1) . Tìm m để hàm số
đồng biến trên khoảng (1;2).
Giải .
x  0
3
2
y
'

0

Ta có y '  4 x  4 mx  4 x ( x  m ) ;
 2
x  m
+ Nếu m  0,, y '  0  x  0 . Suy ra m  0 thoả mãn.
+ Nếu m>0 , y’=0 có 3 nghiệm phân biệt:  m , 0, m
Dấu y’
–
–
− 
+
0
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi

+
m 1  0 m1
Kết hợp hai trường hợp trên ta được: m  1
Vậy
m     ;1
x
là các giá trị cần tìm.
III - HÀM PHÂN THỨC BẬC 1/ BẬC 1
Ví dụ 1: Cho hàm số y  m x  1 .Tìm tham số m để hàm số luôn
xm
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Giải
TXĐ: D  R \   m 
m 1
2
Ta có: y ' 
x  m
2
,x  m
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
y '  0,  x   m  m  1  0  m   1  m  1
2
Vậy m  (  ;1)  (1;  ) là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
y
mx  4
xm
. Tìm m để hàm số luôn
nghịch biến trên khoảng (-∞; 1).
Giải
TXĐ: D  R \   m 
m 4
2
Đạo hàm:
y'
x  m
2
,x  m
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-∞; 1) khi và chỉ khi
m 2  4  0
y'  0
 
 2  m  1

m  1
m  1
Vậy  2  m   1 là các giá trị cần tìm.
IV. HÀM PHÂN THỨC BẬC 2/ BẬC 1
2
2 x  3x  m
Ví dụ: Cho hàm số y 
x 1
biến trên khoảng (-∞; -1)
Giải TXĐ: D  R \ 1
Ta có:
2
y' 
2x  4x  3  m
( x  1)
Hàm số (1) đồng biến trên
2
(  ;  1)

. Tìm m để hàm số đồng
f ( x)
( x  1)
2
 y '  0,  x  (  ;  1)
2
 2 x  4 x  3  m  0,  x<  1
2
 g ( x )  2 x  4 x  3  m,  x<  1
Xét: g ( x )  2 x 2  4 x  3, x   1
 g '( x )  4 x  4
g'(x) = 0  x= 1
Bảng biến thiên của hàm số g(x):
x
-∞
-1
–
g’(x)
0
g(x)
9
Dựa vào BBT của hàm số
g ( x ),  x  (   ;  1)
ta suy ra
g( x )  m,  x   1  m  9
Vậy m  9 thì hàm số (1) đồng biến trên khoảng(  ;  1) .
V- HÀM CÓ CHỨA HÀM LƯỢNG GIÁC
Phương pháp:
* Sử dụng phương pháp hàm số
* GTNN, GTLN của hàm số
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y  x  m sin x luôn đồng biến trên R.
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên R
Ta có: y '  1  m cos x
Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi
(1)
y '  1  m cos x  0,  x  R
Đặt t  cos x ,  1  t  1
(1)  g ( t )  1  m t  0,  t    1; 1 
 m in g ( t )  0
  1;1
(1)  g ( t )  1  m t  0,  t    1; 1 

m in g ( t )  0
  1;1
m  0
m  0


 g (  1)  0
1  m  0




m  0
m  0


  g (1)  0
 1  m  0
m

m


m

  m
0
1
0  m  1
 
 1  m  1
0
1  m  0
 1
Ví dụ 2: Tìm điều kiện a, b để hàm số sau luôn
đồng biến trên R: y  a sin x  b cos x  x
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên R
Ta có: y '  a cos x  b sin x  1
Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi
y '  a cos x  b sin x  1  0,  x  R
(1)
(1)  g ( x )  a cos x  b sin x  1,  x  R
 m in g ( x )  0 (2)
  1;1
Xét:
g ( x) 
a  b cos( x   )  1, cos  =
2
a
2
a b
2
; sin  
2
  1;1
(2)  1 
a b 0
2
 a b 1
2
Vậy …
2
2
a b
2
D o -1  cos( x   )  1 nen m in g ( x )   a  b  1
2
b
2
2
Trân trọng cảm ơn!

similar documents