Document

Report
Biomechanika przepływów
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
Metoda elementu skończonego (Finite Element Method FEM)
Jest to jedna z podstawowych metod numerycznych wykorzystywana w modelowaniu
procesów bioinżynierskich.
Metoda ta została wprowadzona w latch 60 ubiegłego wieku.
Podstawowym założeniem FEM jest to że każde pole fizyczne może być podzielone na skończoną
liczbę podobszarów (subdomains) nazywanych elementami skończonymi (finite elements)
pole odkształceń
dla przepływu krwii
naczyniem krwionośnym
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
pole odkształceń
ux, y,z
powstałe na skutek oddziaływań mechanicznych
jest aproksymowane w każdym elemencie skończonym za pomocą pola wektorowego
odkształceń

ue r,s,t 
lokalny układ współżędnych dla elementu, i czas
aproksymacja przesunięcia elemntu jest wyrażana za pomocą wektora przemieszczeń:
dla węzłów elementu.
u  NU
N
ui   N KU
K
i
ilość węzłów
K1
funkcja interpolująca

elementy wektora przesunięcia węzła K


Ue
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
Można zapisać równanie równowagi poszczególnego elementu jak i całego rozpatrywanego
ciała, postaci:
KsysUsys  Fsysext
wektor zewnętrznych sił
stiffness matrix
wektor praesunięć węzłów

Ta prosta idea pozwala na rozwiązywanie i analizowanie skomplikowanych problemów:
układów dynamicznych, nie liniowych oddziaływań w ciele stałym jak i ogólnych układów
przepływowych.
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
Przykład
Jednowymiarowe odkształcanie
schemtyczna reprezentacja
Prosty układ pod obciążeniem siły F
1, 2, 3 – FE węzły
L1, L2 – długości elementów
U1, U2, U3 - przemieszczenia
A1, A2 – powierzchnie przekrojów
E1, E2 - Moduły Younga
Dwa elementy, trzy węzły
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
Rozpatrując powyższy układ, możmy wyodrębnić siły działające na poszczególne węzły F1, F2:
F1 pochodzi od podpory, a F2 w węźle 2 pochodzi od elementu 2. Z drugiej strony działa też
siła od elementu 1.
W węźle 3 działa zewnętrzna siła F
Na skutek deformacji elementów mamy przemieszczenie u na osi x.
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
deformacja zgodnie z prawem Hookea wyniesie:
du 
F
e 

dx AE AE
Jeżeli siła wzdłużna jest taka sama wzdłuż elementu, to przemieszczenie wzdłuż elementu
może być obliczone przez scałkowanie tego równania, co daje:
F
u
x  U1
AE

dla warynku brzegowego:
u  U1



x 0
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
Pozwala to wyznaczyć U2 :
 F 
U   L  U1
AE 
2
 x  1 x 2
u  1 U  U
 L 
L
i dalej:

zamiast współżędnej x , możemy wprowadzić tzw. naturalną współrzędną :

x
r  1 2
L
wartość r zmienia się od -1 do 1 dla dowolnej wartości L

WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
dostajemy
ur  N1rU1  N2 rU 2
u  NU
funkcje interpolacji
gdzie N jest 1 x 2 macierzą interpolcji


Można przekształcić to do zależności:



1
N1r  1 r
2
1
N2 r  1 r
2
xr  N1rX1  N2 rX 2
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
3D przypadki
elementy 8 – węzłowe:
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
Przypadek 2D
elementy 4 węzłowe
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
Wykorzystanie FEM do opisu pól wektorowych
W wielu problemach fizycznych i bioinżynierskich potrzebne jest okreslenie pola pewnych
właściwości fizycznych w opisywanym układzie: temperatury, cisnienia prdkości itp.
Wykorzystywana jest metoda Galerkina
Rozważmy równanie różniczkowe typu:
     v
c  D  f  0
t x i  x i 
stałe materiałowe

wielkość tworząca pole
człon źródłowy
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
Metody Lattice Boltzmann dla przepływu płynów nie-Newtonowskich:
Lattice – Boltzamann to metoda numeryczna modelowania układów fizycznych oparta
na opisie dynamiki „fikcyjnych” zbiorów cząstek.
Główna idea techniki LB sprowadza się do modelowania fizycznej rzeczywistości w
mezo-skali, poprzez odpowiednie zdefiniowanie oddziaływań pomiędzy cząstkami w
skali mikro, co po uśrednieniu oddziaływań w całej populacji cząstek, owocuje
odpowiednim zachowaniem się układu w skali makroskopowej.
Płyn jest opisany poprzez funkcję rozkładu gęstości cząstek:
fi r , t 
W ściśle określonej geometrii przestrzeni zawartej w sieci połączeń między węzłowych.
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
Geometrie siatek:
Funkcja
fi r , t  daje prawdopodobieństwo że fikcyjna cząstka płynu z prędkością vi
napłynie do węzła siatki w pozycji r w dyskretnym czasie t.
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
Bazując na modelu BGK, dynamikę układu opisuje równanie:
  1
Krok czasowy symulacji
Czas relaksacji
Lokalne funkcje equilibrium
Wielkości makroskopowe:
Gęstość płynu ρ:
z

m f
i i
i 0
z
Prędkość u :
u 
m f v
i i i
i 0
Równanie BGK, odwzorowuje
hydrodynamiczne zachowanie płynu
dla tak zdefiniowanych funkcji f0
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
mi to wagi powiązane z odpowiednimi kierunkami w siatce połączeń między węzłowych
Makroskopowa hydrodynamika układu dla tak zdefiniowanych parametrów spełnia równanie
Naviera – Stokesa dla prędkości dźwięku: cs v C2  i lepkości dynamicznej definiowanej
C 
 0
równaniem:
W metodzie LB tensor naprężenia wyrażony jest następująco:
I powiązany jest z tensorem odkształcenia następująco:
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
LB technika umożliwia łatwą implementację zmienionej reologii płynu np. dla płynu
nie-Newtonowskiego jakim jest krew:
Dla małych wartości naprężeń ścinających (<10s-1) i hematokrytu <40% spełnione jest równanie
Cassona:
(*)
Stała lepkość
Wartość naprężeń ścinających
Mira odkształcenia
Lepkość w funkcji odkształcenia
Dla takiego modelu profil prędkości
w rurze przyjmuje postać:
Granica płynięcia
WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
Równanie (*) można przekształcić do postaci:
(1)
Z relacji tensora naprężeń i
Tensora odkształcenia mamy:
(1) (1)
Gdzie naprężenia:    
Korzystając z :
(2)
można wprost wyznaczyć z:
 C
1 
2

 

 v 2 C  t
2
4


(1) = (2)
Rozwiązujemy względem μ

y

WYKŁAD 7 : Podstawy metod modelowania numerycznego;
Równanie jest spełnione dla θ < 1 tzn.
σ>σy
Dla modelu D2Q9 lokalnie zależność na czas relaksacji   1 jest modyfikowana jako funkcja
naprężeń σ zgodnie z zależnością przedstawioną powyżej.
 C

2  1
  
 v 2 C  t
2
4


Dla przepływu kanałem
otrzymano idealną zgodność
z rozwiązaniem analitycznym:
(Quared R., Chopard B., 2005)

similar documents