FILTRES DE DEUXIEME ORDRE

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FILTRES DE
DEUXIEME ORDRE
I.
II.
III.
FILTRE PASSE-BANDE
FILTRE PASSE-BAS
FILTRE PASSE-HAUT
1. FILTRE PASSE-BANDE
On considère le circuit RLC suivant
L
ve
C
R
vs
Fonction de transfert
Vs
R
1
H  j  


V e R  jL  1
  o 
1 jQ  
jC
 o  
Avec
o
2
1

LC
et
Lo
1
Q

R
RCo
Diagramme de Bode
Diagramme de bode pour le gain


Si ω<< ω0






j
2

 
H  j  


2
Qo
G  
GdB  20 log  20 logQo 

Qo
On a une droite de pente +20dB par décade.

Si ω>> ω0




 
  2

2
jo


H  j   


 o
o
Q
G 
GdB  20 log  20 log
Q
Q








On a une droite de pente -20dB par décade

Intersection des asymptotes
 o 
 20 log  20 log
 Q 
  20 log  20 logQ 


 40 log  40 logo    o
Pour ω= ω0, GdB=20logQ


La courbe de réelle vaut pour = 0, G (0)=1 =>
GdB (0) =0
Pulsations de coupure à -3dB:
Ce sont les pulsations 1 et 2 pour lesquelles
Gmax
G1   G2  
2
On trouve deux pulsations
 1
1 

1  o  
 1

2
Q
4
Q
²


et
 1
1 

2  o 
 1

2
Q
4
Q
²


La bande passant eà  3dB vaut
  2  1 
o
Q

Etude de la phase

  o  
L'argumentde H vaut :   arg H   arg1  jQ  
 o   


  o 
tan  Q   

 o  

cos  0      ,  
 2 2




sin   1

Si   o 
 
2
tan  
sin   0
Si   o 
  0
tan  0
sin   1

Si   o 
  
2
tan  
Comportement du filtre en
dehors de la bande passante

Si
  o
H
j
. A basse fréquences, le montagese comporte
Qo
donc commeun dérivateur.
1 dve
v s t  
Qo dt

Si
  o
H
o
. A basse fréquences, le montagese comporte
Qj
donc commeun intégrateur.
v s t   v s 0 
o
Q
t
 v t ' dt '
e
t 0
2. FILTRE PASSE-BAS
On considère le circuit RLC suivant
L
ve
R
C
vs
Fonction de transfert
1
jC
Vs
1
H j 


²

V e R  jL  1
1 2  j
jC
Qo
o
1
Avec o ² 
LC
et
Lo
1
Q

RCo
R
Diagramme de Bode pour le gain


Si o
GdB  0
H  j   1  
  0

Si o
  
  
o ² 
o ²  
H  j   

G

GdB  40 log  40 logo
²


²

On a une droitede pente- 40dB par décade

Intersection des asymptotes
0  40log  40logo    o
Pour  o , GdB  0
La courbe de réelle vaut pour = 0, G (0)=Q =>
GdB (0) = 20 logQ.

Pulsation de coupure à -3dB:
On peut montrer que
Si Q  1,  
o
Q

Etude de la phase
 ²
j 
L'argumentde H vaut :   arg H   arg1 



²
Q

o
o




Qo
tan  
²

1

o ²

cos  0      ,0
cos  1
Si   o 
  0
tan  0
sin   1

Si   o 
  
2
tan  
cos  1
Si   o 
   
tan  0
3. FILTRE PASSE-HAUT
On considère le circuit RLC suivant
C
ve
R
L
vs
Fonction de transfert
²

Vs
jL

²
o
H  j   

V e R  jL  1 1  ²  j
jC
o ² Qo
L
1
1
Avec  ²  et Q 

LC
RC
R
o
o
o
Diagramme de Bode

Diagramme de Bode pour le gain
 Si   0
²

GdB  40 log  40 logo
²
G 
o ²  
H  j   

  
o ² 

  
On a une droitede pente40dB dpar décade.

Si
 
GdB  0
H 1 
  0

Intersection des asymptotes
0  40log  40logo    o
Pour  o , GdB  0
La courbe de réelle vaut pour = 0, G (0)=Q =>
GdB (0) = 20 logQ

Pulsation de coupure à -3dB:
On peut montrer que
Si Q  1,  
o
Q

Etude de la phase
L'argumentdu passe - haut du secondordre vaut :
 ²
j 
 ph 2    arg1 



²
Q

o
o

Or on a vu que l' argumentdu passe - bas du secondordre vaut :
 ²
j 
 pb2   arg1 



²
Q

o
o

La courbe se déduit donc de la courbe du passe - bas du second
ordre par une traslation :
 ph2     pb2

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